Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

301쪽

Sicque quaeritur eiusmodi relatio inter et x, ut tantum haeduae formulae evadant integrabiles. f. s. 'mi igitur reductione supra adhibita tamur, et cum sit frΘWm x fae r et L --fρ , ponamus a G, set, Vt a xj I tum vero altera formula eries of cuius valorem in vellemus latuere u,

quantitas r signum radicate inuolueret, quod V euitemus, tamur eadem reductione: m. -l affra ac iam statuamus f u s, fietque in . . Hic iam pro S unctionem quamcunque ipsius r accipere licebit, Unde fiat is m. Θr, sicque habebimus hincque regrediendo fes festa tars -- et Sis

bus absoluetur. S. το

302쪽

f. I . Ceterum non dubito, quin contemplatio huius roblematis et Solutionis Vtcunque obliquae, quae casu tantum succetiisse videatur, Ceometris occasionem suppeditare queat, O nouum Calculi genus, cuius vi prima elementa nobis etiamnunc sunt cognita, Vlterius rimandi atque ad maiorem persectionis gradum euehendi, quandoquidem hinc magiam incrementa ad uniuersam Analysin redundare sunt exist,

manda.

303쪽

IN SUPERFICIE SPHAEROIDICA QUACUNQUE GEOMETRICE DUCENDIS.

Conuent exhib. d. q. Iul. II 6.

f. 1. aXime ardua est quaestio, quando in superficie corporis cuiuscunque eiusmodi lineae geometrice ducendae requiruntur, quarum Omnes arcus algebraice assignare liceat cum adeo in cylindris, etsi pro genere simplicissimo huiusmodi corporum sint habendi, praeter lineas rectas agi parallelas nullae aliae curuae rectificabiles duci queant. Hinc equidem etiam sum arbitratus, in superficiebus conicis quoque nullas alias tales lineas , si quae ipsae sint rectae, duci posse, id quod quidem in genere assirmandum Videtur; eruntamen deinceps deprehendi, in iis conis rectis, quorum latera ad basis diametrum rationem teneant rationalem, infinitas plane lineas rectificabiles geometrice duci posse, quemadmodum alia occasione sum ostensurus. In superfici autem sphaerica nullae adhuc aliae huiusmodi lineae rectificabiles inueniri potuerunt, praeter Epicycloides illas satis O-tas, quae prouolutione circuli maximi super minore nascuntur,

Noua Acta Acad. Imp. So. T. III. Η quae

304쪽

quae quidem inuestigatio per nullam certam methodum, sed potius casu quodam fortuito peracta videtur. f. et Multo minus igitur sperare licuit, Vnquam fore, ut in superficie corporis sphaeroidici eiusmodi lineae rectificabiles detegerentur quandoquidem arcus elliptici talem inuestigationem penitus impedire videbantur. Incidi autem nuper in insigne quodpiam Theorema , quod tanquam fundamentum talium inuestigationum merito spe stari potest, unde non solum pro superficiebus sphaericis methodo satis plana et facili curvas illas rectificabiles elicere potui, sed quod me etiam ad tales curuas in supersicio sphaeroidica quacunque manu duxit. Hoc igitur Theorema ante omnia isti inuestigationi praemittere

necesse est.

Theorema generale.

f. a. Si littera o denotet functionem quamcunque anguli φ, atque ejementum curvae ita exprimatur O si SI CΘφ--δ. Z, Ium coordinatae orthogonale huius curuae, licte sint .et , em

Demonstratio.

T. 1 f. Sit a linea illa curua ad axem Am relata Fig. 1 ad quam in quouis puncto Y ducatur mormalis m, in qua . producta notetur punctum , centrum, circuli curvam in Y . Osculantis Tum vero vocetur angulus ac demisso ego ad axem perpendiculo a sint coordinatae A X: x et ipse vero arcus Aa vocetur dam quia eius

305쪽

f. s. Ad istas sormulas integrales aeuoluendas per reductiones notissimas elicimus

quibus coniunctis manifesto prodit e m-e cos RMin. p. Simili modo pro applicata F reperietur

Corollarium .

f. P. Quodsi ergo C fuerit functio algebraica, non quiadem ipsius anguli l , sed potius eius sinus Vel tangentis, ita ut posita tang. quantitas G sit functio quaecunque algebraica ipsius t euidens est, ipsam curuam futuram esse algebraicam, propterea quod ambae eius coordinata x et a per functiones algebraicas ipsius t exprimuntur. Longitudo autem huius curuae, cum sit VI LOG p - - ὀ adeo erit rectificabilis, quoties sormulam OG p, sues integrare licet. Contra Vero H a. haec

306쪽

hae rectificatio ab eiusmodi quadratura pendebit, quam sormula integralis o inuoluet; Vnde ope huius theorematis facile erit, non solum innumerabile curua algebraica assignare, quae sint rectificabiles , sed etiam tales, quarum rectificatio datam quadraturam inuoluat.

Corollarium .

f. . Quoniam insta normal proxima DO priori incentro circuli osculantis O occumente, ob angulum nymp- - Θ p, erit anguluso a m ideoque ipse radius osculi Vom s. in ergo sumto elemento pro differentialibus secundis, constante, erit ipse radius osculi Ozo . .

Corollarium .

Corollarium .

f. s. Mines igitur discimus quoties hoc perpendiculum fuerit functio algebraica anguli p, seu po

307쪽

tius eius tangentis toties ipsam curuam fore algebraicam; quoniam inde ambas coordinatas AP et N algebraice exprimere licet. Vbi meminit se iuvabit angulum et tanquam mensuram amplitudinis curuae spectari posse.

Corollarium

q. O. Si praeterea ducamus chordam Y quia in triangulo rectangulo AP habemus cathetos AP j et ΡY longitudo ipsius chordae ita concinne Xprimit Ur, ut

quae ergo simul erit o tangens anguli AYT, quem chorda cum tangente constituit, ita ut huius anguli tangens sit dum ipsa tangens aequatur recta AP A

Scholion

f. o. Ceterum si perpen diculum, e quopiam puncto 1s X A in tangentem curuae demissim fuerit functio algebraica amplitudinis curua seu potius eius tangentis III t, ficile perspicitur, si loco A aliud quod ut punctu In a accipiatur, perpendiculum inde in tangentem demissitim a pariter fore unctionem algebraicam ipsius p seu t. Vnde in genere pateti quoties perpendicula e puncto quocunque fixo in tangente curuae demi ista fuerint functiones algebrathae ipsius Q vel ι, toties curuam semper ore algebraicam, quod est theorema sine dubio maximi momenti in theoria linearum curuarum.

f. a. Vae hactenus analytice sunt demonstrata, per ab L sola considerariones geometricas sequenti modo ostendi possunt. 'S Sumatur punctum quodcunque fixum A, nde recta A posi-H a tione

308쪽

tione data cum radi osculi curua constituat angulum A NYSIO tum vero ex Min ipsum radium osculi ducatur perpendiculum AJ positoque interuallo F ' O si ex A simili modo in radium osculi proximum ducatur perpendiculum Ap , erit utique interuallum TAY propterea quod ambo radii osculi ad curuam sunt normale SP quare cum,

ob angulum is TTI sit angulus ad O G p, erit etiam angulus Dd p Vnde cum euidens est fore perpendiculum 'AT ex quo erit A RIII N, ideoque elementum Vnde ob angulum ad O G pstatim deducitur interuallum siue ori sicque perspicuum est ipsum radium osculi sore. - Porro vero quia inuenimus perpendiculum Ρ - , ob angulum ANΡz perit ipsum interuallum N abi. et interuallum N m Scot. p, ita Vt iam futura sit tota normalis Y α YΡ- - ΡΝ -' - col. p. Demittamus am ex cadis N perpendiculum obtineamus coordinatas A X I x et Ym , et quoniam in triangulo rectangulo habemus hypothonusam Ym α. H. E cot O , cum angulo ma inde statim cognoscimus ipsam applicatam

e subnormalem

qua a toto interuallo ablata relinquitur abscissa AXITI XIII - cos. asin. quas ergo coordinatas sine ulla integratione, algebraice e pressas elicuimus, prorsus si ante. viis igitur praemissis insti,

309쪽

Problema.

f. 13. Si quadrans II ipticus ACB circa axem CB eir Db cumuoluatur, sicque phaeroides ellipticum formetur, cuius aequator erit circuius radio G descriptus, semiaxis vero i , in superbole huius sphaeroidis eiusmodi linea curvam geometrice Ocribere, quae mul si rectiscabilis.

f. 1 . Vocemus radium aequatori S CATI, at emi Fi . . axem sphaeroidis C B IIT , ac reserat in Figura circulus centro C radio in III I descriptus aequatorem sphaeroidis propositi, ad quem ex quo uis superficiei puncto 'demittatur perpendiculum ci atque exo ad radium aequatoris C A pem pendiculum X, Vt locum puncti Z per ternas coordinatas orthogonales determine mus , quae sint C Atax, et dita et, quibus constitutis, si nostrum sphaeroides esset sphaera radio II I descripta , ob interuallum a III et habe etur

Nunc igitur , quis semiaxic sphaeroidis est III, ista altitudor in ratione III augeri debet, ita ut pro hac superficie sphaeroidica habeamus istam aequationem: et I-xx II , quae est aequatio naturam huius sphaeroidis exprimen S. f. s. Constat autem in genere, quando in superficie corporis cuiu8cunque ducatur linea curua quaecunque eiu elementum d semper ita exprimi, ut sit s w Θx ' μυ' μὰ et φ). Quamobrem nostra quaestio huc reducitur, ut eiusmodi relatio inter binas coordinatas xj et 3 assignetur, unde formula illa differentialis pro Θ data euadat integrabilis ; tum autem aeqlla tio inter x et 3 huic conditioni satisfaciens simul exhibebit proiectionem curvae illius rectificabilis in plano aequatoris factam, ita

310쪽

ita ut vicissim ex cognita in ac proiectione ipsa curua quaesita in superficie sphaeroidis facile exploretur. f. 16. Quisquis autem hunc laborem in genere suscipere voluerit, O deprehendet, nullum successum exspectari posse , nisi inuestigationem ad casum particularem adstrinxerit, quo ratio constans inter longitudinem curuae quaesitae s et altitudinem et statuatur. Hanc ob rem statim ponamus esses, net, ita ut sumtis differentialibus esse debeat Θ, -- , -- s et ni ' ideoque

unde perspicitur numerum n necessario Vnitate maiorem esse debere. f. I . Cum igitur formula H-ost eXprimat elementum proiectionis in plano aequatoris factae, patet etiam hanc prolestionem esse debere curuam rectificabilem. Si enim

eius longitudo ponatur α, ob mn 1 sequitur fore nn - 1 -- C; quamobrem si amplitudo istius arcus es ponatur per theorema praecedens, si C denotet functionem quamcunque algebraicam ipsius o erit Q- ό, ubi manifestum est formulam Odo quoque integrabilem esse debere tum vero necesse est ut sit