장음표시 사용
321쪽
f. o. Contemplemur hic casum , quo obliquitas ipsi radio baseos est aequalis, me Vbi perpendiculum i in ipsum punctis in F incidit. Facto igitur superficies huius
coni, dum approXimatio Vsque ad Uartum terminum producitur, crit
vbi notetur esse 10 c. Haec Xpressio eo propius ad veritatem accedit, quo maior fuerit quantitas 1 prae radio basis c. Ita si altitudo coni lar etro baseos aequetur, ita Visit sta P c, tum superficies huius coni erit S et rc H ---)di
quae parte in V nam contractae praebent superficiem coni
f. ΙΙ. Hanc autem approXimandi methodum non ad plure termino prosequimur , quoniam calculus nimis fieret molestiis, neque ulla e progressioni perspici posset. lerumque autem approXimatio postrema sum cere posse videtur, dummodo quantitas notabiliter superet ambus quantitates h et c. Tentem v autem aliam methodum, quae quidem pariter postulat ut altitudo coni a plurimum superet bina reliqua elementa b et , quae autem quandam legem progressionis pollicetur, ita V approximationem pro lubitu continuo Vlterius persequi 1iceat.
approXimandi quando a multum supera b et .
f. a. Hic scilicet formulam . - b cos. p ' non uouvemus, sed cum sit per seriem
322쪽
singulas potestates pares ipsius b c Os ei ita euo lamus, ut statim omnes potestates ipsius cos o ad cosinus simplices re- ocemu tum enim omnia membra per quempiam cosinum affecta tuto reiicere poterimuS, propterea quod in integratione praebent sinus angulorum multipiorum ipsius O, qui possito p omnes in nihilum effeta abituri. f. a. Quo igitur hoc negotham facilius expediri queat, ante Omnia obserua me iuvabit, omnes potestates impares ipsius cos. p nullam suppeditare quantitatem absolutam, ita ut has potestates penitus omittere liceat ex potestatibus autem paribuo sequentes mascuntur quantitate M absolutae:
323쪽
f. a Introducamus nunc istos valores in seriem pro P b co . or exhibitam, et statis; per multiplicemus, inique 'integra coni: superficies tequenti' modo iXpri
quae series manifesto conuenit cum ea quam formula P au---ΓΓ)producit, quamobrem loco omnium terminorum primorum scribere licebit c). Simili modo secundos termino Ssing Ulorum membrorum Xcerpamus, qui dabunt hanc seriem:
quae etiam hoc modo repraesentari potest:
cuius seriei a 'or manifesto est 1 se E ita ut summa om-Tri immenium terminorum secundorum sit III
324쪽
qui termini reducuntur ad sequentem Xpressionem
s o . . Ista series sequenti modo in clariorem ordinem redigi poterit:
Ponamus hic breuitatis gratia atque faciorem comm nem iis . Sh multiplicari oportebit per hanc seriem:
Haec series iam satis est regularis, et nisi postrem factores numerici adessent, eius summatio in promptu oret. Ad hos igitur factores tollendos tamur integratione ac reperiem US L X ' - - X - etc.
svnde patet ore fsδx IIIx IH xx hincque differentiando colligitur
325쪽
mlinem dabit summam omnium terminorum tertio-
quamobrem si istae summae terminorum primorum, secundorum ac tertiorum coniungantur, pro superficie nostri coni caleni nanciscemur sequentem expreinionem πaabh I ra ab C aa - 4 cc
nominatores futuros esse a a b c 93 etc. Verum n Umeracore mimis operosum foret Xplorare. f. 19. Tentemus igitur summationem terminorum quar
torum, qui adhibita simili operatione talem progressionem suppeditant, cuius fastor communis et
in ovem duci debebit haec series
326쪽
--- 8O diem cuius ergo serie sumi inam indagari oportet. id quod sequenti modo sumus Xpedituri.
f. et o Primo scilicet, sae res postrem tollantur, per integrationem formetur ista series:
Vt nunc hinc denuo ultimos factores tollamus, multiplicemus per x , et integrando reperiemus
haecque formula denuo differentiata praebets III, 4-xx et xx I xx '--63 τ' I- xx quae eXpressio porro reducitur ad hanc:
quae formula ducta in factorem communem prae
327쪽
C a -- f. a. uolutio ista postrema nobis hoc eximium cor modum praestat, Vt etiam legem, qua seqUentium terminorum summae progrediuntur , patefaciat. Quemadmodum enim , si summa terminorum tertiorum statUatur PO- sit L 'ox, pro b peruenimus ad lanc aequationem fimae
quantitate S inuenienda prodituram esse hanc aequationem
Eodemque modo pro terminis sextis, si eorum summa statuatur m kZ 'la J. tum quantitas S e hac aequatione
sicque ex progressionis in infinitum senitus est manifesta. f. et et . Quoniam igitur summam terminorum quartorum nobis pariter uoluere licuit, eam insuper ad summam praecedentium addamus , atque superficies nostri coni caloni nunc accuratius sequenti forma Xprimetur
Noua Acta Acad. IN. Se T. III. L et c
328쪽
aa -- cc quam sormam semper adhibere licebit, quoties I fuerit, valde paruum prae id quod duplici modo contingere potest, Vel quando altitudo coni a plurimum superat eius obliquitatem , vel quando radius assis o multum excedit obliquitatem h atque si haec traque conditio locum habeat, ista sormula eo magis ad Veritatem appropinquabit. f. a. Sin autem neutra harum conditionum locum inueniat, atque obliquita b tam ratione altitudinis a quam radii baseos o notabilem habeat magnitudinem, vel adeo hos terminos superet, tum sormula nostra inuenta nullum plane sum praestare poterit. His igitur casibus maxima difficultas occurrit superficiem coni definiendi, atque longe alia artificia desiderantur, quorum beneficio ista quaestio enodari queat. f. et . Consideremus primo casum, quo altitudo conia penitu evanescit, ita ut pro elemento superficiei habeamus
imus, ita ut integratione peracta tantum supersit statuere m18ORTII r. Cum igitur signum radicate quadrato sit praesiXum, erit utique S c Θ p c μὴ cos. Oh, unde integrando elicitur S cc ῖ-bcsim. Q, unde facto mi)zI 18 tota superficies prodit rcc, sicque ipsi areae basis erit aequalis, id quod per se est perspicuum , quoties vertex coni intra basin cadit; sin autem extra basin incidat, manifestum est superficiem coni multo maiorem fore quam aream baseos Si enim talem conum charta
329쪽
obducere Oluerimus euidens est eo maius spatium requiri, quo longius Verte coni extra basi fuerit remotus. f. s. onamus igitur verticem coni extra basi in A ab. I. incidere , ita ut sit in V, existente radi o Fig. T. tum vero ex A ducantur rectae A me Am basis tangentes ac manifestum est ex basis portione in , si ex singulis punctis ad A rectae ductae intelligantur , produci aream X area circuli et trilineo A in compositam. Deinde ex altera baseos parte i , si pariter ex singulis punctis ad A rectae agerentur, area prodibit itidem trilineo aequalis, ita ut tota coni superficies aequalis sit areae baseos una cum hoc trilineo bis sumto Ad hanc igitur aream inueniendam Vocemus angulum m , et cum it b, erit recta tangens sin. , ideoque area trianguli ACM Z sim ζ, a quo aufferatur area sectori FCΜ et remanebit area trilinei AΜFria, ain. cui, cuius duplum dabit aream trilinei AMFΝm in. quamobrem tota superficies huius coni, cuius altitudo a est quasi infinite parua , erit III a b c sin. o . f. 6. Cum igitur super hac determinatione nullum dubium superesse possit, quaeritur, cur calculus hoc casu tantopere a veritate abludat Caus autem sine ullo dubio in formula radicat H b os ob latet, quae cum duplicem significationem inuoluat, alteram positivam, alteram negativam natura nostrae quaestionis manifesto tantum alorem positiuum
postulat. Quare cum posuerimus mcos p), haec
positio eatenus tantum Valet, quatenus quantitas cos. Oest positiua , at vero, dum angulus Q atra rectum augetur quia os o sit negativus , euadere poterit c -- b cos O, quando scilicet sit cos. ζ Quare cum supra ducta tan a gente
330쪽
irmulam b os . D evanescere ; sin autem angulus o ultra hunc terminum augeatur, eiu Valor euadet negativus, at lite in locum formulae radicalis substitui debebit
f. et . Ob hunc duplicem vim sormulae radicalis perspicuum est, integrationem formulae nostrae ivserentialis in duas partes distribui debere, quarum prior petenda erit exsormula o P --b cos cuius integrale tantum Vsque ad terminum extendi debet, hinc ergo colligetur
deduci oportet, cuius integrale a termino r- Vsque ad terminum extendi debet. Cum igitur integrale hinc oriundum sit S Ita C a main. p, constans ita definiatur, Vt hoc integrale evanescat, sumto r ζ; eritque idcirco H mcim. ζ. Fiat igitur nunc p Ir, atque altera pars nostri integralis erit sin. 'ipi:, qt Iae cum parte pri u inuenta praebet totam huius coni superficiem 7 a b c sin. cet, quia iam valor cum Veritate egregie conspirat. f. s. Hoc casu, quo O Xpedito, facile patet, etiam illis casibus, quibus altitudo a est Valde parua resolutionem bipartitam institui debere. Verum hic statim maxima se oster diffcultas in euolutione formulae radicatis 4 -b- ις - 4 cos. pr. Cum