장음표시 사용
311쪽
sicque totum negotium reductum est ad hanc aequationem:
ad quam resoluendam ponamus cos. λς -- M, eritque
qui ergo est valor membri sinistri nostrae aequationis. s. s. aero membro autem dextro primo eritv v mffcos pH M' et
quere possumus, indeque numerum illum n definire, qui ergo erit mi, has ob tantum notari oportet, numerum cita accipi debere, ut numerus 1-λλ-λλ c prodeat Ο-stiuus, id quod eu eniet quando fuerit tum ero etiam, i iam notauimus, numeru n nitate maior esse debet,
312쪽
Vnde coordinatae proiectionis curua quaesitae in planum aequatoris factae ita determinabuntur, ut sit x cos. Q cos. λφ-- α - λsin. psn. λ ,- , et
x x --II TI 1 - 1 - λὰ sin. λ cp--α . At vero per notas ae ductiones ambae se coordinatae ita repraesentari poterunt:
f. 21. a sormulas multo simpliciores reddere licet, sumendo angulum constantem Quoniam enim per a riationem huius anguli α tantum positio coordinatarum x et immutatur, dum ipsa curua eadem manet, sine ulla solutionis restrictione tuto statuere poterimus o tum autem coordi natae
313쪽
nata x et cita concinnius exprimentur:
quae ergo evanescit Vbi O, et O Sque Xtenditur, quoad angulus euadat rectu S, a quo termino curua iterum recedere incipit. f. a. In hac euolutione quantitas , qua species pnae roidis exprimitur, aliter in computum non est ingressa, nisi innumero nὐ quem inuenimus q*', ' et quo ratio continetur, quam longitudo curvae quaesitae ad altitudinem tenet; Vnde haec proprietas notatu maxime digna consequitur: quod pro omnibus sphaeroidibus ellipticis, siue sint oblonga siue compressa, lineae rectificabiles, in corum superficiebus ducendae, si in planum aequatoris proiiciantur, ad easdem proiectiones perducant ita ut solutio huius problematis plane comgruat cum solutione eius, quo lineae rectificabiles in superficie sphaerica quaeruntur. Atque adeo praesens solutio illi, qua hactenus istud problema pro sphaera est solutum, ideo, longissime ante serenda videtur, quod per certam methodum ad scopum optatum perduxit, cum solutio vulgaris casui ortuito accepta sit reserenda.
praecedentis Solutionis ad corpora conoidica hyperbolicd.
f. 3. Quoniam quantitas , qua semiaxem ellipsis generantis C designauimus, ex calculo fere penitus est egreSia, manifestum est nostram solutionem retiam docum habere a posse
314쪽
posse, licet ista quantitas o fiat adeo imaginaria, id quod euenit, quando ellipsis initio considerata transmigrat in hyperbolam, cuius centrum erit etiamnunc in et semiaxis transuersus A I, ut ante. Ad hunc igitur casum euoluendum tantum opus est ut loco' quantitatem imaginariam statuamus, ponendo aa, siue H - 1. f. et . Omnia igitur, quae supra uoluimus, prorsus immutata manebunt, sola illa aequatione, qua numerum n definia Vimus, Xcepta, quae posito recipiet hanc Ose
ubi patet esse debere a -- ), T, siue tum vero, quia etiam esse debet Do tam haec quam praecedens conditio adimplebitur, dummodo capiatur λ I. Quamobrem tota solutio huius casus a praecedente in hoc tantum discrepabit, quod hic numerum nitate maiorem accipi oportet, cum ante nitate minor fuisset quamobrem coordinatae proiectionis nunc ita Xprimentur:
ex hisque erit x x H-Fa TX - λ - 1 sin λ ζ', ipsa autem curua in superficie descriptae longitudo erits sui. λ p, ubi signum negationis nihil in gura curuae turbat, dum tantum in partem Vergit contrariam ei quam in calculo spectauimus. Hoc igitur modo solutio nostra multo latius est extensa quam primo initi sperare licuisset.
315쪽
QVAE IN MAC INVESTIGATIONE OCCURRUNT, PERΡENDUNTUR.
it circulus E GFII basis coni caleni propositi, cuius Vese Tab L te in sublimi situs sit , unde ad planum basis demit S='tatur perpendiculum i et ex B per centrum basis C agatur recta Fix E. Vocetur altitudo AB, a, deinde Verosit B σαρ Κ, quae linea exhibet coni obliquitatem; si enim esset conus foret rectus. Denique Ver Vocetur radius basi CE CFic, ac manifestum est his tribus quantitatibus a b c naturam coni penitus determinari. Hinc si ad verticem ductae intelligantur rectae E et A, ob BE ,-- et rimis G, erit A E H - - b quod est latus coni maximum latus vero minimum erit F aa -- c-br. Praeterea si in basi ducatur diameter Had Ei normalis, rectae G et vi erunt latera media coni inter se aequalia ad quorum quantitatem inueniendam, quoni am
316쪽
rectangulari erit AG m Η a -- bd H. f. a. Quoniam igitur nobis propositum est super i-c huius coni scaleni indagare, quemadmodum ea scilicet per terna elementa a, b et o definiatur, haec inuestigatio facillime sequenti modo instituetur. Ducto coni latere maXimo AE in basi coni, ex centro C, capiatur angulus indefinitus E CS: p, qui suo differentiali CS det augeatur, ac vocetur portio superficiei conicae inter rectas A E et Ari atque arcum S inclusa III S, ita V posito p 18 O punetiim in F perueniat, et ista quantitas S nobis sit indicatura semissem superficiei conicae, eiusque ergo duplum totam superficiem coni quaesitam. Quodsi iam X A ducamus rectam proXimam As, area trianguli elementaris in s dabit valorem differentialis S ita ut totum negotium huc redeat, Vt area istius trianguli As exploretur, quod ob arculum sic Θ p, ideoque infinite paruum, tanquam triangulum rectilineum spectari potest. f. a. Hunc in nem ducatur ad S tangens circuli SP, siue, quod eodem redit, producatur elementum S a , ita ut recta S sit basis S producta unde si ex A ad eam ducatur perpendicularis Ai, erit area trianguli Ario, me
Constat autem hoc perpendiculum A duci, si ex puncto ad rectam Si demittatur perpendiculum i , quandoquidem tum etiam recta Al ei erit normalis. Iam ex C ad rectam Ῥnormaliter agatur recta es, et quia i parallela est radio
317쪽
e -- cos. v et interuallum 'm sin o , ideoque ex triangulo Si qui AB ad BP est perpendicularis, repe
cae erit m k rc aa -- ό , ideoque tota coni superficies H Vbi notetur, formulam a b c o e primere latus huius coni recti tum vero, totam basis peripheriam esse c. Constat autem superficiem coni recti inueniri, si latus coni ducatur in dimidiam basis circumserentiam. f. s. in autem facile intelligitur pro conis calenis hanc in uestigationem multo magis fieri arduam propterea quod ea pendet ab integratione huius sormulae: δ a -- cis secos. Or, quae uolata praebet, ipsa, abi cos O b his cos. φ', quae i, cos. φ IIII cos et etiam . transmutari potest in hanc sormam dS ἐοῖφι aa- bh--ce- ab ocos . p--Ibbcos. ap). Huius autem formulae integrati, absoluta mullo modo sperari potest, siquidem certum est, cam neque per Ogarithmo S, ne que
318쪽
que per arcus circulares expediri posse quamobrem nobis a tum in approximationibus erit acquiescendum. f. Ponamus breuitatis gratia a --ἔνθ--ς zzz ff., ut habeamuS:ῖς qui a b c cos. φ- bbcos. O, ubi primo obseruandum occurrit, di quantitas 1 1 fuerit valde magna prae binis reliquis terminis, tum approximationem nubiam moram facessere; si enim ponamus et me cos. φ--ἔbycos et plata ,
quae series eo magis convergit, quo minor erit quantitas prae 10 unde sussiciet huius seriei vel tantum binos terminos priores accipere, Vel insuper tertium, vel adeo etiam quartum Pluresue admittere, Unde aliquot casus euoluamus.
quo approximatio in secundo termino subsistit.
f. Hoc igitur casu habebimus ubi primus terminus integratus dat Iccp, secundus ero terminus , ob v a b c cos o lseph b cos et p. integratus praebet
319쪽
Fiat munc ac formula duplicata dabit totam coni superficiem . Ics, qua restituto pro I alore crit
quae ergo sufficere potest, quoties quantitates et me et rara fuerint quam in inimi respectis quantitati S a -- bb-co. Haec conditio imprimis locum habet, quando altitudo coni fuerit permagna prae obliquitate ι atque etiam radio basis c. Ante autem Vidimus, si obliquita coni prorsus euanesceret, superficiem coni recti aes c, , nunc igitur superficies tantillo est maior in ratione
quo approXirnatio in tertio termino subsistit.
f. . Quoniam hic tantum superficiem coni quaerimus, statim ponere possumus f- - , tum enim integratione peracta tantum opsi est facere r. Praesenti igitur casu erit
320쪽
transformatur in hanc: et mmc, -- h - cos. ira cos a p-Φ b c os as b cos. 4 , quae ergo formula constat quatuor membri S, quorum primum tantum in integratione est considerandum propterea quod sequentes termini integrati darent sin Q; sin sin et sino cla, qui posito ci omnes in nihilum abeunt, ita Vt pro hoc casu sit f O ara b c o b. 4' quamobrem tota coni superficies erit S II πὰ quae sormula iam multo propius ad Veritatem accedit, quam ea quae casu primo est inuenta.
quo approXimatio in quarto termino sistitur.
f. . Hic igitur ad expressionem modo inuentam insuper adiici debet alor, qui ex hac formula integrali resuNtat Θ p, postquam scilicet positum fuerit Modo autem vidimus esse Orata ab b c - - b --4' cos abG cos ac -- b c cos . b cos. q. p, quae forma per a b c cos. -l Ibycos multiplicata, retentis tantum termini constantibus, qui facta reductione supererunt, dabit C III b -- b c b c , unde si Orb' , ita ut pars adiicienda sit consequenter adiecta etiam hac parte habebimus accuratius