장음표시 사용
331쪽
Cir enim altitudo a sit valde exigua, series more solito hine
nata prodit ita Xpressa c-bcos. ζ - T-- etc. quae series Vtique Valde convergit, quando formula --hcos. multum superat altitudinem . Quoniam autem pariter transeundum est per eos casus, quibus est -- b cos. D ITI O, post primum terminum sequentes omnes in infinitum abeunt, ideoque a Veritate maXime abhorrent, atque adeo nullum adhuc
artificium in Analysi est repertum, quo huic incommodo medela afferri posset. His igitur casibus recurrendum erit ad dimensionem practicam, qua totam superficiem coni in plures partes partiri et singularum areas seorsim exquirere solemus, id quod commodissime fiet, si superficies cocii in planum explicetur, cui operationi sequens problema est destinatum.
Si superficies coni caleni in planum explicetur, Indolem fgurae, quae hinc nascetur, explorare.
f. 9. Concipiamus cono A E Gam, quem in figura ab L et 6 sumus contemplati, chartam circumuolui, eamque te V/S' 'rum explicari in planum, Veluti fig. . indicat, ubi A respondeat Vertici coni, rectae autem AE et in exhibeant latus maXimum et minimum coni ita ut area figurae dimidiae superlicie conicae sit aequalis .manentibus igitur denominationibus supra adhibitis, scilicet altitudine coni AB a, obliquitate et radio basi CE CF c, erit in praesenti figura latus maximum AE ' latus Verin minimum AF Maa-l- h - I, longitudo autem curuae
332쪽
Fs aequabitur semiperipheriae baseos coni, quae estis c. Euidens autem est istam curtiam plurimum a natura circuli recedere, cuius ergo indolem et proprietates hic indagari oportet. f. O. Cum triangulum elementare sg. . in ipsa superficie coni sit assumtum, id nunc in nostro plano reperietur, et quoniam rectae A in plano trianguli erant sitae, eae etiamnunc in nostrum planum incident, eritque recta M tangens curuae in puncto , recta vero Terit perpendiculum e puncto A in hanc tangentem demissum; portio vero curvae E aequabitur arcui circulari S c p,
fig. . posito scilicet angulo uodsi ergo
nunc has rectas Vocemus S C, Ρ III et SP q, erite iis quae supra attulimus b c os et
Hinc autem si vocemus aream AS TE, Vt s exprimat aream trianguli elementaris Ays, erit uti supra inuenimus Θ le a - - cos. or III cpὸ p. Quodsi iam vocemus angulum AS si , ut sit angulus S Asm Θω, ob AS C mrex eiusdem trianguli erit αἰ UUδω, quamobrem habebitur haec aequatio: pG p, ideoque δ. - siue habebimus
cuius ergo integrale nobis praebebit ipsum angulum As, angulo Q respondentem ac si tum fiat p. 18O r, prodibit angulus in F, cuius ergo determinatio maxime est disse scilis, cum neque per togarithmos neque per arcu circulares expediri queat.
333쪽
f. r. At vero haec figura continet alia symptomata, quae satis concinne exprimere licet. Primo scilicet, si angulus, quem tangens Si cum recta AS constituit, Vocetur
unde patet in ipso puncto E , ubi Q o fieri cos. IT , ideoque rectam A E ad curuum in E esse normalem, quod idem quoque euenit ii puncto , b c r, ita ut in ambobus terminis rectae A E et i curua normaliter insistant in punctis autem intermediis rectae AS cum curua angulos obliquo constituent, quemadmodum ex quantitate an gentis Si est manifestum. Vbi imprimis notasse iuvabit, si punctum S capiatur in ipso puncto G fig. . , ubi est so', tum quantitatem tangentis fore mi , ideoque ipsi obliquitati coni aequalem. In omnibus autem reliquis punctis ista tangens minor erit quam obliquitas b. f. a. Praeterea vero etiam ipsam curuaturam nostrae curvae E Si in singulis punctis S sitis concinne Xprimere licet. Si enim radium osculi in puncto S designemus littera , constat, eum e perpendiculo in tangentem AP III ita e
Vnde sequitur in ipso puncto , ubi radium osculi fore
334쪽
at vero in altero termino , Ibi OA A r, radius osculi erit
Vnde patet, si trierit m c hoc est iis casibus, quibus altitudo
AH extra basim cadit, tum radium osculi in F ore negativum, ideoque curuam in hoc loco conueXitatem versus A b- vertere contra autem, Uamdiu fuerit αἰ , tum totam curvam ubique versus A Ore concauam.
mus ita si IIco, notum est formulam integralem y exprimere amplitudinem arcu curvae quae si designetur littera V, erit i l quamobrem iubstitutis valoribus pro is et inuentis habebimus
cuius formulae integratio, etiamsi pariter eXpediri nequeat, tamen multo simplicior est censenda illa, qua Θω exrrimebatur. Inuento autem hoc angulo se, e eo quoque ipsum illum angulum definire licebit. D ucta enim ex S ad rectam A Eperpendiculari S X, angulus S X ipsam curuae amplitudinem metitu quare cum etiam angulus sit cognitus erit angulus II 18 - se , qui cum etiam sit m 9O - , reperiem ipse angulus in I - OP, sicque integratione formulae illius dimcilliinae pro . inuentae supersedere poterimUS. f. Ex his iam, quae hactenus sunt allata, ipsa curua ES haud diffculter in plano describi poterit, uuae si in plures partes diuidatur, singularum partium areae acili negotio practice mensurari poterunt, quae in unam summam collectae dabunt superficiem coni caleni propositi. aeterum hic silentio
335쪽
silentio non est praetereundum, quoniam haec figura per XpI: nationem chartae tam facile exhiberi potest, hinc eximium exemplum curuae maxime tran Scendenti obtineri, cuius nihilominus descriptio facillime Xpediri queat.
uodsi formulas in . 1 tradita euoluamus, atque simili modo, ut ibi coepimus, summa terminorum quintorum, sextorum et sequentium actu definiamus, seriem haud in elegantem pro superficie coni scalen e X hibere poterimus. Quod si enim breuitatis gratia ponamu TTI re, tota coni scaleni superficies erit III ra axu. V denotante summam sequentis seriei:
Euidens autem est hanc seriem iis tantum casibus sum praestare, quibus quantitas bimulto minor est quam formulacta H-c , Uando a Utem propemodum est aequalis, vel adeo maior, tum necessario confugiendum erit ad descriptionem illam practicam, Uam supra Xposuimus.
336쪽
Conuent exhib. d. as Gelobris 1 8 . S. I. Dauca tantum exstant specimina illius doctrinae Sphaericorum partis, quae de figurarum linearumque curuarum in superficio sphaerae descriptarum proprietatibus agit. Super cetera in hoc genere eminent quae celeberrimus quondam Academicus noster Lexeli, circa Epicycloides in superficie sphaerae descriptas V. Acta Acad. Tom. III. P. L); circa lineam curuam, in qua collocantur Vertices omnium triangulorum sphaericorum eiusdem areae et basis V. Acta Acad. T. V. P. L); circa circulorum in sphaerae superficie descriptorum proprietates planis analogas V. Acta Acad. T. VI. P. L) etc. exhibuit, inde occasionem arreptus Geometrarum attentionem ad nouam Geometriae partem ex huiusmodi disquisitionibus sorte aliquando oriundam dirigendi. is viri beate defuncti speciminibus praeclaris aliquo Obseruationes circa
proprietates Ellipsis in superficie sphaerica descriptas, quae se mihi
337쪽
mihi nuper obtulere, adiicere constitui, cum a nemine adhuc, quantum quidem memini, sint obseruatae. f. a. In hanc autem Ellipsis speciem inquirendi ansam mihi praebuit inuestigatio Maximorum quorundam sphaericorum cum Academia non ita pridam communicata, praesertim probicina de triangulo super data basi in superficie sphaerica construendo, cuius amborum laterum summa sit omnium minima V. Nova Acta Tom. IL). Cum enim huius problematis solutione absoluta, etiam quaestionem illi similem aggrediebar: super data basi triangula sphaerica construere ita comparata , ut summa reliquorum laterum semper sit eiusdem magnitudinis, statim se obserebant proprietates quaedam Ellipsi planae
analogae, Vt et alia Vlteriore indagatione digna, unde hoc mgumentum seorsim tractandum potius quam ad calcem dissertationis modo memoratae annectendum existimavi.
f. a. Si in superficie sphaerica silum datae longiti
dinis in duobus punctis figatur stilique ope Xtendatur, cu Vam, quae stilum promouendo, super sphaera describitur, ob hunc ipsum describendi modum delineationi Ellipsis planae analogum Ellip phaericam vocare licebit, cuius Urilae a Tab. II. turam et proprietates perscrutari in animum induxi. unc in Fig. . finem pono longitudinem fili et amborum punctorum datorum A et B distantiam, siue arcum circuli maximi A B et a Bisecetur autem arcus iste A B in C, ut sit A CB a tum vero sim N arcu curvae descriptae, in eoque V punctum quodcunque, Unde ad puncta A et B duct1 concipiantur arcus circulorum aYimorum A et B quae positionem fili pro loco stilio reserant, demissisque perpe diculo in basin X vocentur coordinatae sphaericae CXTx, ita ut sit X et a - Porro ma voce-
338쪽
gitudini fili, uti requiritur. f. His stabilitis consideremus bina triangula sphaerica rectangula X et XY, ex quibus habebimuscos Aa III cos. A M. cos. X , cos. III cos. B v. cos. Xa, siue adhibitis denominationibus modo stabilitis:
differentia vero dat sin cin C III cos. sin a sin x, ex quibus aequationem pro curua confici oportet. f. s. umplicetur prior harum aequationum per sin .c,
Sumatur summa quadratorum quo quantita liminetur, eritque
339쪽
f. . En igitur aequationem nacti sumus relationem coordinatarum x et I complectentem, quam sequentem in modum commodiu repraesentare licebit. X aequatione modo inuenta habebitur:
unde porro haec expresso satis commoda eruitur:
qua igitur aequatione, quae etiam ita repraesentari potest:
f. . Consideremus casum quo fili longitudo aequatur semicirculo sphaerae maximo, ita ut sit c I 8O', ideoque O', quo casu igitur applicata I , ob ang. ν st Ua drans, ita ut punctum curvae Y caderet in polum circuli ma-Ximi, cuius arcus Am est portio, quantacunque fuerit abscissa CX x, quo igitur casu curua unico puncto constare Vide tur, cum tamen nihil obstet, quominus stilus promoueatUr. Verum hoc dubium sequenti modo facile diluetur. Retento Valore C 29O', et sumtis in arcu circuli maximi AB, Vtrin-
340쪽
qtie prolongato, arcubus so', quaeramus applicatam in punctis , E, F, atque statim patet, posito xj I , pr applicata in C fore
ideoque I sO', ita ut pro puncto C applicata si quadrans et vinpolo circuli maximi EF reperiatur. Tum Vero ponatUr T - , eritque pro applicata in punctis et F, tang. I ideoque Tab. II in desinita. Hoc scilicet casu curua descripta erit circulus ma-VJg imus bas AB, cuius polus incidit in ipsum punctum , in e F normaliter insistens. Producto nim arcu A B utrinque in E et Fosque, ita scilicet ut Em CF o circulus maximus E Y F, ipsi ECF normaliter insistens, exhibebit hanc Ellipsin sphaericam. Sumto enim puncto X in ipso puncto F vel F applicata indefinita omnia dabit puncta in hoc circulo maximo, et in puncto C xtique erit C oo'. f. . Hinc ergo deducimus sequentem proprietatem maxime memorabilem. Si in superficiei sphaericae duobus punctis quibuscunque A et B, minus quam 18O a se inuicem distantibus, fili semicirculo maximo aequalis termini figanturis ope stili extendantur, stilum promouendo describitur circulus maXimus, cuius polus in medio arcus AB, hoc est in C erit situs, cuius rei veritas cuilibet, super globo in suos Meridianos et Drallelos diuiso periculum facienti, Ino in oculo incurret. f. . EX aequatione generali pro natura curuae in
Fig. . liquet, applicatam 3 evanescere casibus III - . Vnde patet,
si circa punctum C trinque capiantur arcus C m CF c, curuam per haec duo puncta E et in transire. sicque haec puncta