Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

341쪽

puncta erunt vertices Ellipsis , et cum cuilibet abscissae, ob gnum radicate ambiguum, duae respondeant applicatae, positiva scilicet et negativa, arcus C reseret axem Ellipseos sphaerica tran Suersum, cuius longitudo F ac longitudini filiae qualis, et in quo punctum C centrum, puncta A et B vero socosissipsis exhibent, quorum distantia AB eta. orro si ad quod uis punctum curvae Y ducantur arcus Aa et Y eorum summa semper aequalis est axi transuerso E F. f. TO. Quaeramu etiam semiaxem coniugatum nostrae Ellipsis. Statuamus hunc in finem abscissam X O, fietque

unde si semiaxis coniugatus vocetur g, erit

existente pro semiaxe transuerso tang. in m ang. tang. qui valor, sin. Ο sin f sn. , certe maior est praecedente. Quodsi porro desideremus aequationem pro applicata abscissam una cum semiaXe maiore et minore complectentem,

vi pro Ellipsi plana quaeri solet, ob ' si' μ' tang. g, habebimus tang. I sin sin. '), quam aequationem inter et illam, qua natura Ellipsis planae e primitur, manifestus neXus subsistit. Denique ex ipsi curvae descriptione sequitur, ambos arcus A et B aequaliter ad

curuam esse inclinatos. S. II.

342쪽

f. 1. Quo autem attiram huiu curvae accuratius perscrutemur, in eius proiectionem super plano quopiam factam inquiramus. Hoc autem planum ita accipiamus Vt sphaeram

in ipso Ellipseos centro C tangat, ita ut, si Ellipsis fuerit

quam minima, ea cum proiectione ipsa conueniat. Concipiamus igitur sphaeram, ii in Astronomia fieri solet, referatque rib. II. circuluS CK Meridianum, circulus vero OK origon- Fig. . tem, atque Ellipseos sphaericae centrum situm sit in ipso eniti, seu puncto C, a quo soci Ellipseos utrinque distent interuallo A. CBma, longitudo vero sili sit III et , itavi, sumtis arcubus CE CF c, puncta E et F sint vertices Ellipsis, cuius si punctum quodcunque Y consideretur, ad id ex centro C ducatur arcu CVIII et Vocatoque angulo in III et ex his duobus elementis et et o binae coordinatae supra assumta CX x, IIJ ita determinabuntur, ut sit in . III in et in et tang. tang. et cos. pf. a. Quoniam autem proiectio quaesita fieri debet in planum quod sphaeram in ipso puncto C tangat, hoc planum erit parallelum ipsi origonti H AE; Vnde quaesito pariter satisfaciemus, si nostram Ellipsin sphaericam in Hori Zontem proiiciamus. Hoc igitur planum in gura quinta seorsim reprae lentemus; ubi linea recta b c est proiectio Meridianimae I et diametro sphaerae aequalis, ita It punctum Fio. ω6. medium c ipsum centrum sphaerae, atque adeo proiectionem centri Ellipseos C reserat, quam proiectionem gura sexta clarius ob oculo ponit. f. a. Statuatur igitur ch III, VIII et capiunturque in rectara puncta a et , focis A et B respondentia, eruntque interualla ca,c sinus arcuum C A et B, quae si vocemus 'a cb IIIA, habebimus in a II Simili modo sint Puncta

343쪽

puncta e et proiectiones verticum E et eruntque inter tib Invalla ce of sinus arcuum E, F positoque e cfIIC, Fig. Lerit in. Incidat porro Iunctum a in x et Y in I , voceturque interuallum V , atque euidens est ore n. zmet. Denique manifestum est in proiectione angulum ac aequalem esse angulo ACY, ideoque o. Vnde si in proiectione Vocentur coordinatae et 3 Y erit g c cos o dicos o et x sin o et Zin Q, hincque Totum igitur negotium eo redit, ut elementa ante introducta x et I reuocentur ad has coordinatas et .

expressio ob ZZ XX aY abit in hanc:

g. 1 f. . Substituamus nunc in aequatione supra inuenta:

f. s. loco tang. et n. , alores modo erutos, atque aequatio loco sino et n. a scribendo C et , hanc induet

344쪽

deXtram partem tollamus, quo facto aequatio nostra ita se habet:

ex qua colligitur L. YY- CC-A A se ζ ideoque

unde statim intelligitur proiectionem quaesitam Te Ellipsin. b. II. f. 16 uo indolem huius curvae accurati v cognoS HS ' cere queamus , consideremus attentius hanc ae illationem, ac statim euidens est applicatam Y evanescere, sumto X. Quare cum sit cis manifestum est puncta e et ffore vertice Ellipseos planae, et rectam es eius Xem tranS- Versim. Ponamus porro II O, quo casu applicata Y nobis dabit semiaXem coniugatum id quem si vocemus id erit S 'Q. Quod autem socos attinet, probe O-tandum est eos non incidere in puniata proiectionis socorum Ellipseos sphaericu a et , ipsis A et B respondentia. Onamus en ut ficos Ellipsis planae reperiri in et , atque necesse est ut si CC - GJ. Modo autem in

Cum igitur U1 b II A manifestum est fore icimc se), propterea quod ideoque I. Sicque distantia socorum in proiectione semper minor est quam in

345쪽

in Ellipsi sphaerica Ceterum aequatio pro hac Ellipsi plana, introducto semiaxe minorem P erit

cum pro Ellipsi sphaerica filisset

f. Euoluatur casus Vbi C: et, quod euenit si in Ellipsi sphaerica fili longitudo semicirculo maximo fuerit aequalis, quo casu istantia socorum is penitus evanescit et aequatio pro proiectione sit . e 1-XX), quae ergo erit circulus radio h descriptus. oc scilicet casu, ut iam supra . . obseruauimus, Ellipsis sphaerica sit circulus maximus inmorigontem incidens, ita ut eius proiectio sit ipse Horigon ideoque etiam circulus, cuius radius ch ch sim.c III quo ipso huius casus solutio supra . . tradita magi confirmatur.

ANNO.

346쪽

Auctore

Conuent exhib. d. at Decembr. 1 8 .f. I.

Quinque, qui ad nos peruenerunt, Pappi Alexandrini libri

tot elegante ingeniosasque continent propositione S, Vt merito in Geometris de11derium excitent trium, quibus temporis iniuria nos priuauit, librorum. Eo magis autem ipsa, quae supersunt, attentione sunt digna, quod inter priscos Geometras maxime appus eiusmodi instituit disquisitiones, quae fines Geometriae Elementaris transscendere videntur, atque hodie post inuentum calculum infinitorum non nisi Analyseos ope absolui solent, quae ideo optime ostendunt, quae inter syntheticam analyticamve methodum intercedit, differentiam. Sunt equidem nonnullae inter eius propositiones, ubi Analys ad calculum ducit tam prolixum , ut Synthesis merito ideatur praeserenda plurimae autem eius sunt indolis, i ingeniosa Poppi demonstratio Geometrica, licet per longa ambage pro cedens, tamen pro quocunque casu speciali aliter sit formanda inprimis autem ipsa propositio adeo est determinata, Vt Analysis idem obiectum via longe breuiore methodoque generalissima po1sit absoluere Opus itaque mihi videtur haud inutile,

347쪽

utile analytice considerare obiectum, quod geometrice tractavit anus. f. et Theorema quod hic commentaturus sum Pan verbis sic exprimitur Circuli portionum, quae aequalem circumferentiam habent, xima es seMicirculus. Quodsi itaque Fig. . AFB sit semicirculus, et ap-Tab ILpelletur radius arcus incitas, angulus CF et , patet, s esse constantem, vero et o variabiles. Quaeruntur itaque casus, bi area segmenti in E sit Maximum. Quem in finem aequatione opus est inter et s. Est autem area sectoris DFEC Sr, et triangulim sin o cos. p. Vnde et in. p cos o ex qua aequatione Valor

seu tang. p p. Quodsi segmentum integram circuli peripheriam non Xcedere statuatur, It nunquam r, prisor radix dat p. so seu arcum DF semicirculo aequa lem; posterior prodit angulum infinite partium, adeoque radium r infinitum, quia quantitas s cur supponitur finita.

348쪽

- ro et i Inquiramus iam Vtra radi praebeat Maximum, tra

Ergo adi posterior inimum praebet, prior Maximum. Et hunc postremum quidem casum solum anus considerauit, eiusque Veritatem plurimis ambagibus demonstrauit, primo si

f. a. Operae pretium mihi videtur, rem adhuc sollertius ac modo generaliore considerare. Prior radiX, cos. : TO,

seu totum arcum DF r, π, π, π, etc. Quoties cunque igitur area est semicirculus, aut plures circulos integro cum semicirculo continet, toties ea sit Maximum. Sed omne istae areae minores sunt ea, quae resultat casu pT r.

Sint enim generatim bini anguli ci et i ad radios pertinentes, et quidem et xl r, et i m. Erit nunc si I/ρ, ideoque m rrant, et Binae autem areae erunt or et V ρ ρ h. e. in ratione r, quia rimis ρ. Vnde patet, areas semper euadere minores, quo plures circulos integros complectuntur. Vnde sequitur, casum, Q dare Maximum absolutum seu DXimum inter Maxima, ut itaque propositio an sensu strictissimo vera sit. f. s

349쪽

mmmm Ioa m f. . Quotiescunque autem est tang. p, totie area fit Minimum. Hoc non solum infinite paruum, sed pro innumeris aliis anguli εὶ valoribus euenit. Si oor,

tangentes inde a - usque ad O decrescunt, dum arcus crescit. Ergo semel esse debet in secundo quadrante, cla Ita-- tang. p. Quoniam autem tangente negativi haud praebent Minimum, iste casus huc non pertinet. Facile ero patet, tertio quadrante fieri oportere et III tang. p, quia, crescentecp, tang. Vsque ad Oo crescit. Idem de quinto, septimo, non et quolibet quadrante numeri imparis euidens est. Sic e. r. inuenitur in partibus radii

etc.

Ergo generaliter area sit Minimum, si in L et, si r,

ternent, quemadmodum esse debebat. Ceterum patet, etiam hic primum Minimum est absolutum Minimum , quia casu

p maior est exponente ipsius r. Hoc autem casu Xcepto omnia haec Minima eo erunt minora, quo maior et , adeoque in tertio quadrante, area erit Maximum quoddam inter haec Minima. Quia enim semper pratam qu, Ibi My 9O erit semper tang. III tang. V; et quoniam cp semper crescit, crescere quoque oportet tang. tang. xk Vnde et Vsemper

350쪽

et semper decrescit, quia xl cum p simul crescit. Adeoque et area decrescit. f. s. Ulterius hanc disquisitionem extender mihi liceat et ad alias superficies vel corpora applicare. Si itaque

primum immemisphaerium , cuius radius D Erepraesentet basi segmenti sphaerici cuius altitudori; a superficies sphaerica in Ezs, corpus inimi S.

Si nunco statuatur constans, et quaerantur MaXima et Minima corporis S r et a ceu variabiles sunt considerandae, quaeriturqUe ratio , quae aequalis est sinu verso anguli DC seu distantiae segmenti a polo. hic ut functio ipsius s considerari debet, quod ita optime succedit Est segmentum conoidale D C E ni ru, conus in Em DAE'. CAE: L et a 2 - ah - a π έπω a a WH- 'bideoque