장음표시 사용
161쪽
D STABILITATE SITUS AEQUILIBRII oue
m . K , ac momentum respectu Xi RS ny. Ι- - η'. S; ex quo datis momentis respectu axium principalium Be EF, facili negotio sine calculo momentum respectit cuiuscunque XiS, per centrum grauitatis C transeuntis, determinari poterit. f. et O 8. Quia est Inm 1 - m, erit momentum
stetionis aquae respecti axis I K , ubim denotat sinum anguli CP, quem axis Q cum Xelongitudinali A constituit. Quod si ergo angulus ACΡ evanescat, seu aXis Q in B incidat, prodibit mome tum respectu ius id quod est momentum respectu mi A B at si axis PQ incidat in latitudinalem se momentum eius respectu I. Ponamus autem angulum C esse semirectum, seu axem P medium interiacere inter axes principales
quod ergo est medium arithmeticum inter momenta r specti axium principalium , ac propterea aequale mome
to respectu agis RS normalis ad axem PQ, id quod ipsi rei natura indicat, cum axis RS hoc casu similiter sit positus respectu axium principalium , ac Xis Q. f. et O9. Quoniam in omnibus sectionibus aquae, quae Occurrere selent momentum respectu axis latitudinalis EF maius est , momento respectu axis longitudinalis A seu Κ , Ι erit momentum respecti axis obliqui I--- K- Ι). Quare momentum respecti axis obliqui PQ maius est , quam momentum respectu axis longitudinalis AB atque hoc momentum continuo crescet, quoad axis PQ in latitudinalem EF incidat. In omni igitur naui momentum sectionis aquae respectu axis longitudinalis Pars II. . Ο ΠΡ
162쪽
xo DE STABILITATE SITUS AEQVILIBRI.
omnium est minimum , momentum vero respectu aris latitudinalis omnium maXimum. Quodsi ergo nauis beat stabili irem re ecta aXium binorum principalium, ea reipectu omnium omnino Xium firmiter in tu aequilibri peruite , ex quo uitici ad stabilitatem nauibus conciliandim ad binos tantum axes principale attendere, e umque reΘectu stabilitatem satis magnam eicere quippe quo reliquis Xibus omnibus simul erit coni illum. et Io. Si igitur momentum sectionis aquae respectu axis latitudinalis aequale uerit momento respectu aris omgitudinalis, tum eidem momerito aequalia erunt momenta respectu omnium axium obliquorum. Quare si nauis eiusmodi habeat figuram, ut respectu binorum axium principalium aeque sit stabilis, tum eandem stabilitatem habebit. VIII respeeti alius cuiusuis axis horizontalis. Si ergo sectio' quae fuerit quadratum AEBF quia momenta eius respectu axium AB et E inter se lint aequalia , momenta quoque respectu omnium omnino axium per transeuntium erunt aequalia , hincque corpus aquae innatans, cuius sectio aquae est quadratum, secundum omnes plagas aeque erit stabiles, atque aequali vi inclinationibus resistet. Eadem vero proprietas locum habebit si sectio aquae sue rit quaecunque alia figura , dummodo ea ita sit comparata, Vt eius momenta respectu binorum axium princi palium sint inter se aequalia. f. et II. Cum igitur ad iudicium de stabilitate uiu que naui respectu cuiuscunque Xis horiZontalis serendiam sussiciat sectionis aquae momenta cum resipectu aXis lor gitudinalis tum latitudinalis determinasse , ante omnia necesse erit figuras aliquot instar sectionis aquae considerare, pro
163쪽
DE STAIILITATE SITVS AEQUILIBRII re
pro iisque momenta respectu Xium principalium analytice definire. Quodsi enim plurium figurarum momenta suerint cognita , ex iis aliarum quarumcunque figurarum quae alias dissiculter ad calculum reuocentur, momenta
fatis prope , id quod ad sum practicum sussicit, colligi poterunt. Calculo quidem hic temur eodem , quo in Tub viii. superiori libro sumus si scilicet sectionem aquae in qua is tuo portiones ACE, AC F, CE , et C divisam contemplabimur per axes principales A et D calculumque pro singulis portionibus seorsim instituemus. Sic si pro quadrante AC Vocetur P. X, dabit bd momentum huius quadrantis respecti axis AB ac DX'd momentum respectu axis F. Tantum igitur opus est , hae expressiones pro singuli quadrantibus quaerantur atque in nam summam colligantur obi quidem hoc compendium affert, quod momenta cum quadrantum C et CF, tum quadrantum C et BCF sint aequalia , ex quo calculus duplo fit curtior. f. et 1 et Sit igitur primum sectio aquae quadratum AEBF per cuius centrum grauitatis C ducti sint axeά hei principales longitudinalis A et latitudinalis EF ponaturque AC i, erit positis Cp X mTTI J Vnde Drax a et D dx atque I X X T. Quam ob rem momentum respecti axis Assi erit III ' cui aequale est momentum respectu axis latitudinalis EF , et respectu cuiuscunque alius mi PQ per centrum grauitatis C ducti. Quodsi ergo aream huius sectionis aquae ponamus in D , quam designationem semper ad aream cuiuinis sectionis aquae designandam adhibebimus, a erit
164쪽
16 40 SUBILITATE SITUS ANGLIBRII.
erit AB aD; hincque stabilitas respectu cuiusuis axis
per C transeuntis erit Commodum autem erit in sequentibus considerationem areae sectionis aquae in eXpresiuionem momenti inducere, quo ea facilius per Volumen partis submersae, quod pariter per aream sectionis aquae in rectam quandam ductae Xprimere conuenit, dividi queat. Tab. VIII. f. 13. Sit nunc sectio aquae parallelogrammum recta
gulum AEBF , cuius axis longitudinalis sit B , latitudinalis F. Ponatur et CC i , erit AB EF ab et area sectionis aquae D lab. Posito ergo OP erit m b, atque es dae b X unde momentum respectu agis longitudinalis Am
bit momentum respecti axis latitudinali ex quo momentum huius sectionis aquae respectu aYis longitudinalis A se habebit ad momentum axis latitudinalis EF inverse ut quadratum axis longitudinalis AB ad quadratum axis latitudinalis F. Tab X. f. I . Sit porro sectio aquae rhombus EB Fq. citius diagonales B et EF repraesentent Xe principales, illa AB ilicet longitudinalem haec EF atitudinalem. Ponatur CE b, erit K et a EF , et area et D et . Qtiodsi ergo ponatur
- . . Posito itaque prodibit momentum respecti axis longitudinalis AB ex
quo momentum respectra aris latitudinalis E erit m τ-; quae expressiones a praecedentibus, quae pro parallel
165쪽
D STABILITATE SITUS A VILIBRII ros
grammo rectangulo prodierimi, hoc tantum disserunt, quod ibi diuisium erat per si hic vero per et Manentibus igitur eadem longitudine ac latitudine momenta parallelogrammi rectanguli duplo sunt maiora quam rhombi f. Is Accipiatur pro sectione aquae trapegium xe ab inu constans ex duabus triangulis aequicruris V et ef,βου, quae figura hoc dilcrepat a rhombo, quod hic triangulae AI et Bs, sint inaequalia Manebit igitur quidem AB axis longitudinalis, at es, quia per centrum grauitatis figurae non transiit, non erit Xi latitudinalis. Ad veram igitur positionem axis latitudinali EF inueniendam, determinari oportet centrum grauitatis figurae G id quod ita reperietur. Natura centri grauitatis hanc praebet aequationem AB. e. Ch B c. e. ic Ac ce
punctum C recta EF parallela ipsi ef, erit erus Xis latitudinalis cuius respectu momentum huius figurae deii
niti oportet. f. 216. Qiuaeramu primum momentum huius tra
m mentum respecti axis Assi erit m , trianguli vero, B ce unde totius figurae momentum respecti axis B ent Quod si ero momentum figurae respectu axis es quaeratur, quia huius respectu momentum trianguli Ac est et triaris
166쪽
11 DE STABILI TATE LTUS A VILIBRs
Tab. IX. f. I . EX hac ipsa autem expressione momenti fi)' gurae respecti axis es definiri poterit sine peculiari calculo momentum respecti axis latitudinalis veri EF. Namque si figurae cuiuscunque AEBF detur momentum respecti axis es per eius centrum grauitatis non transeuntis, quod sit mi , ex eo definiri poterit momentum respectuaris EF illi axi es paralleli ac per centrum grauitatis Ctranseuntis. Consideretur enim figurae particula quaecunque , erit momentum figurae respectu axis es quod datum ponitur scilicet L jω. DU at momentum respectu aris EF quod quaerituri Jw.wN' Est vero fw.ren' - ω.wN - 2Nυω π -- Nnγω. Quoniam autem aris EF per centrum grauitatis figurae C transire ponitur , valor huius expressionis 1μ. v xtrinque sese destruit fitque atque s abit in aream figurae aD. Quocirca momentum figurae respecti axis E erit in L et D. Nn m L et D. C. . Tab. IX g. 218. Cum igitur momentum sectionis aquae Ae
f espectu aris es inuentum siti P μ' 'ς ' qq, verus autem axis latitudinalis EF distet ab axe e interuallo Cbα '; obtinebitur per regulam modo inuentam momentum figurae respectu avis si
Maius igitur est momentum huius figurae respectu aris latitudinalis EF, quam si esset D ic. In huiusmodi ergo figuris quadrilateris, quae eandem habent longitudinem AB eandemque latitudinem es, momentum respectumis latitudinalis eo erit maius, quo magi fuerint partes A et B inter 2 inaequales.
167쪽
D STABILITATE SITUS A VILIBRII.
f. a19. Sit nunc sectio aqua ellipsis AEBF , cu Talaius axis maior Am axem longitudinalem , minor vero'. EF latitudinalem exhibeat. Sit AC BC a CE
Hinc itaque momentum quadrantis A CE respectu aris
latitudinalis E erit Jbaeaedae V et Psd V ' El. ' H exprimit aream quadrantis
elliptici ACE . e quo momentum quadranti respectu aXis E erit totiusque ellipsis Hinc sine ulteriori calculo constat ellipsis momentum respecti axis longitudinalis A sores quae brmulae iterum similes sunt iis, quae pro parallelogrammo rectangulo ac rhombo prodierunt , excepto solo denominatore, qui pro parallelogrammo rectangulo erat, , pro rhombo Iet , nunc vero pro ellipsi 8. q. a et O. Quoniam supra circa figuras quadrilatera vi, dimus , ea quae partibus dissimilibus circa axem latitudinalem sint praeditae, maiora habere momenta, quam eas, quae constent partibus similibus, seu hombos ceteris paribus operae pretium erit hic inuestigare virum idem in figuris curvilineis eueniat. Sit igitur proposita pro sectione aquae figura AEBF quae cum praecedente M ellipsi communem habeat axem longitudinalem BetmaXimam latitudinem es, itemque totam aream , sed in qua maxima Iatitudo es axem AB non secet bifariam sed inaequaliter in , existentem uncis axis longitudinalis medio. Huius ergo figurae centrum grauitati cadet in punctiim C eritque E axis latiuidinali ciuius res pectu
momentium figurae determinari oportet ponatur ergo
168쪽
11L DE STABILITATE SITUS AEOVILIBRIL
q. 22 I. Huiusmodi autem curuae, quae aequalem habeant aream ilipsi, cuius axes sunt A et 1 innumerabiles exhiberi posituri posito enim AP haec aequatio X Ἀ- Yffa ' , ubi
denotat unctionem eiuSmodi ipsius y , quae evanescat posito a tam , infinitas curuas istius proprietatis praebebit. Posito namque 3 o fit x et Veli za, e quo axis transuersius huius curua erit AI III et a Deinde maxima huius curuae latitudo est. Κ, resipondetque abscissae x a --Y, posito in Y loco F valore quo DXima applicata e non in punctum axis medium o ca-olat. Denique vero Ut curua haec ad tramque partem axis AB duas habeat parte AE et FB similes et aequales, necesse est sit functio par ipsius y. Hanc-obrem ponamus quo fiat interuallum uti si imsimus. f. 222. Primum autem dico , quamcunque significet tinctionem ipsius dummodo non ambiguam cuiusmodi sunt eae quae signum radicate V inuoluunt, aream huius curua AEBF aequalem esse area ellipsis, cuius axes sint et et ab Cum enim sit a s valor valebit propnitione ce , alter autem aior -- a
pro portione B ce Erit itaque portionis Ace
ita coeptum euanescat posito I b, ponatur Contra vero portionis c area entis si post integrale ita acceptum V evanescat sit 33 b
ponatur Quamobrem area AE erit: f ue
quippe quae expressio dat aream semiellipseos.
169쪽
g stas. Deinde dico huius figurae momentum respecti axis longitudinalis AB idem prodire , quicquid sitsunctio Y , seu aequale esse momento ellipsis respectu axis AB, posito enim curua nostra abit in ellipsin. Est enim momentum portionis Ac respectu axis
ita sumtum ut evanescat posito o fiat 3 ib. o tionis vero ce respectu eiusdem axis momentum est α;θή - si si post integrationem institutam, ut
fiat integrale posito mira , ponatur I i. Areae igitur E momentum respectu axis A erit ss, , , in V s mittas non inest. Erit igitur totius figurae plane t ellipsis momentum respectu axis longitu-
*. 22 . Vt nunc etiam momentum huius figurae re specti axis latitudinalis I definiamus, determinemus id prius respecsti axis cuiusdam illi paralleli, puta respectu rectae a in ad AB normalis cognito enim hoc momento facile erit momentum et pecti axis EF assignare, dummodo distantia AC suerit definita. ortioni quiderii
integralibus ita sumti xt evanescant positostm tumque posito 3 Ib. Portioni vero Bo momentum respectu axiS
v bb integralibus contrario modo acceptiS. Pars II. Ρ f. a S.
170쪽
rr DE STABILITATE SITUS A VILIBRII.
q. 226. Ponamu nunc centrum grauitatis totius figurae cadere in C erit DACI Daedae integrali per totam aream AE extensio: Quodsi ergo ista formula pro utraque portione ce et ce seorsim Xprimatur, pro
ter, si per centrum grauitatis C axis latitudinalis EF ducatur, erit momentum totius figurae eiu respectu III
Quoties nunc est unctio par ipsius y , sermulae hae integrales reduci poterunt ad hanc jam an seu hane Dyd V bb I siue etiam ad hanc; ν bb ID)