Sectionum conicarum synopsis cujus auctor d. Guido Grandus ..

51쪽

resultat N b sΙ, quod vidimus aequari triangulo p bs, a quale G b rM, 2 ablato p h r d, remanet

triangulum iis faequale trapegio M G.

COROLL. III. Hinc patet, ad quamlibet aliam diametrum MC ordinatarum quadrata XZ, DF , df, esse ut rectangula partium diametri m XM ,

m DM, mdM: sunt enim illa uuadrata , ut trian

gula similia XTU seu XNI , DPS, d G, quae vidimus aequari tramet iis MXNG , MD PG , M Ap G, atque aded esse , ut differentiae trianguli CMG triangulis similibus CXN , CDP, C dρ , quae sunt

ut dicta reBangula , nempe ut differentiae quadrati CM a quadratis homologorum laterum CX, CD ,

C d: quare XZ quadratum est ad quadrata DF, daes seu quadratum N X ad quadrata H D, b d b, ut rectangulum m XM ad m DM, md M.

COROLL. IV. Hinc qxuecunque ostensa sunt , circa tangentes, 2 circa parametrum diametri primigenii QN, ad quamlibet aliam diametrum peccentrum C deductam referri possunt, ob eandem essentialem proprietatem ejus ordinatarum hi demonstratam; nempe, ut tangens MG dividit diametrum QN, ut sint continua proportionales CK, CN, CG, 2 GCK aequetur quadrato semidiametri CN, atque harmonica evadat ratio in ad KN , ut QGad GN; sic tangens NI secat diametrum mCM, ut CX, CM, CI sint continue proportionales.& rectangulum XCI aequetur quadrato semidiametri CM , necnon harmonice secta sit eadem diam ter, nempe m X ad XM fit, ut m I ad I M. COROLL. V. Atque Parameter huius diametri CM determinabitur, si fiat ut reetangulum Partium ipsius m D M ad quadratum ordinatae DF, ita eadem transversa diameter m M ad aliam lineam haec enim per CorolL6. Prop. s. Parameleverit , seu Latus reEtiren, quod se habet ad transversum ubi quadrata ordi*atarum sunt ut rectangula

52쪽

partium diametri ut quadratum Ordinatae ad rectangulum ipsi correspondens eta diametri parti-

COROLL. H. Quaecunque Prop. IO.Coroll. 8.4 ,. 6. ostensa sunt in Parabola de aequalitate triangulorum cum quadrilateris correspondentibus ,

etiam hisce Hyperbolis, & Ellipsibus, ob eandem

rationem hic repetendam, conveniunt: nimirum

quod ORM sequatur ΟΗPG,unde duo simul tria gula PHL, ORM toti GLO aequantur; non tamen iquod quadrata Η ΟR sint aequalia quadrato Linquia diametri NK, MD hic noo sunt paralleli, ut in parabola; & ideb triangula DHR , PLH non sunt fimilia. Idem dicendum , de triangulo MSA aequali trapezio FPGΛ, ac triangulis PBF, MSA aequalibus GAB, ti sic de aliis. COROLL. VII. Qvqd veth sit rectangulum secantis in partem externam , tangenti & curvae in terpositam, ad quadratum tangentis, puta ΦΛF ad ΛM quadratum, ut tangentis parallelae secanti NE quadratum ad quadratum alterius Contiguae

tangentis EM t 2 sic etiam FISH ad quadratum K N, aut sal b ad AE N quadratum , ut ME quadra tum ad quadratum EN , etiam iniHyperbola, MEllipsi chtinet, idque etiamsi ex duabus oppositis Hyperbolis tangentes ductae foreat, invicem con mientes , sut Prop. I 6. infra generatim dei n- stabitur.

PROPOSITIO XV.

Ex quolibet paxm H in perimetro 'perholae , aut v Ellipsis, inter binas diametros CN, ω, sumto ' vel etiam extra 'fas in Eliu , si agahtur H' 'r' 'DP rangentibus NI . MG parallelae , usque ad ipsas diametros producta in R , P et, Quadrilate rem nidc aquabitur Diangulo CGM, aut CNI. Nam

53쪽

DMGP scoroh. a. Prop.IId , utrovis demto In Hyperbola ex triangulo CΡD . vel hoc utrivis addito in Ellipti, resultabit quadxilaterum PHRCaequale triangulo CGM . Quod erat demonstran

COROLL. I. Hinc si ex alio puncto A perimetri Hyperbolici, aut Ellipsici, agantur iisdem tangentibus parallelae ΛT, ΛL.ad ipsas diametros Productae in T , L , etiam quadrilaterum LΛΤGaequabitur eidem triangulo CGM, adeoque ipsa quadrilatera PHRC, LΛTC erunt aequalia. COROLL. II. Convenientibus ΛT, PH in Κ, differentiae cujusvis ex dictis quadrilateris aequa is libus ab alio PKTC , nempe trapezia ΚHRT, PKAL, erunt aequalia. COROLL. III. Et convenientibus etiam AL, HR in Σ addito, vel demto dictis trapeziis ΛΚΗ fiet AZRT aequale HZLP.

PROPOSITIO XVI.

FD.a1. D m ni sectione eonica , si dua tangenter eiusdem 4 . 44. sectionis,vel Hyperbolarum oppositarum ME, NI 4s. 46. conveniant in Ε, O quapiam Necta FMuui tan-47. 48. genti ME parallela , secet curvam iti Η, F , ρογα aliam taneentem NE in AE, oris rectangulum FAEH ad quadratiam ME, ut quadratum ME ad EN quadratum.

Ducantur per puncta contactus M, N diameistri MD, NK, secantes ipsam ΗF in D, & P, tangentem NE in I, 2 ME in G , atque paralle- Iam ipsi NE per H ductam in R,R.Erit quadratum AED ad triangulum AE DI, ut quadratum ΗD ad triangulum H DR alteri simile ; unde differentia antacedentium, nempe rectangulum ni

54쪽

Np hlfariam dividitur in D a diametro MD . cui

est ordina a, urpote parallela tangenti MK altrapegium IJEΗR erit . ut unum antecedens ad , unum consequens, siVe ut quadratum ML ad triangulum EMI, quod pariter est, ut AED quadratum ad AEDI: estque IJΕΗR aequale triangulo AEPNsnam PΚΗ aequatur NKRI in Parabola, &quibundam aliis figuris, unde ablato, vel addito N ΕΗΚ, supersunt aequales IIEHR, 9 APN ; In Ellipsi verb, & 'perbolis, ob quadrilineum CR ΗP aequale triangulo CNI sex Prop. I sd . ablato , vel addito

aequale . EPN); & triangulum EMI aequatur ENG ex Coroll. I. Prop. Ici. I 4. ergo rectangulum FAEH ad triangulum 'PN est, ut quadratum ML ad triangulum ENG; 2 permutando,reetangulum FIΕΗ ad quadratum ME, ut triangulum JEPN ad triangulum ENG, sive ut quadratum AEN ad EN quadratum I unde iterum permutando , reet angulum FIEH ad quadratum AEN est , ut quadratum NE ad quadratum EN. Quod, Me. COROLL. I. Ducta MN iungente contactus quae secet HF in V, erunt FAE , VAE , HIE continue proportionales, idest rectangulum FIEH aequa-hitur RU quadrato, quod pariter ad quadratum AEN est , ut EM quadratum ad quadratum EN, . . .

sicut dictum rectangulum FSH est ad AEN qua

dratum.

COROLL. II. In Parabola etiam quadratum Fig. 4 IEP aequabitur rectangulo FZΞΗmam ut ME aequa Ag tur EG. ob proprietatem tangentis, ita VAE aequalis erit IEP; unde utriusvis quadratum aequatur re et angulo FKΗ. COROLL. III. Si plures secantes invicem pa- Fie so rallelae FH, f h cum aliqua tangente NE concur rant in Ir,a, Rectangula FAEH, jὰ h erunt ut quadrata partium interceptarum tangentis NA , N a,

55쪽

nam illis aequantur quadrata AEU , ae si, quae sunt ipsis quadratis NAE, N a proportionalia. Fla/π- COROLL. IV. Quoniam ΗF bifariam secta incidisses D a suo diametro, exhibet rectangulum Fost Η cum quadrato HD aequale quadrato DAE , substituto quadrato AEU dicto rectangulo aequali, erunt quadrata ASU, 2 m simul sumta, aequalia AED qua

drato

Fig. 42. COROLL. V. Quoniam in Parabola UAE aequa-ga. tur 2EP, rectangulum UΗΡ cum quadrato AEA aequatur quadrato iam, nempe rectangulo F ΕΗ , idest rectangulo FHAE , cum quadrato ASH , quare utrinque demto ora quadrato , rectangulum VHΡ aequatur rectangulo FΗ E ; 2 ideb FH ad ΗΡ est , ut HU ad Η Ε, sive ut reliqua VF ad reliquam

PAE, seu est FH ad Eu, ut PH ad HAE , sive ut PK ad KN. PROPOSITIO XVII. Si rectae BF .ra , binis tangentibus M, NA ,

convenientibus in Λ , parallelae , secent quam li-Feri ' het conicam sectionem , oppositas Hyper-rn Η, F, Κ, Τ, ipsa autem conveniant ' ru sue intra , με extra sectionem , eris re IV ctangulum HI F ad rectangulum ΚRT , ut quam dratum tanZentis ad quadratum tanyeuris A

Ductis per contactas diametris ME , NL, ad

quas ordinantur ipsae FH, ΤΚ tangentibus Parallelae, adeoque bifariam secantur in E, L, agatur KO parallela MΛ, Ω ΗS parallela ΛN, secantes diametros in O, S, quas etiam secant product e tangentes in G, D, 2 productae FΗ,TΚ in P , Q. Manifestum est utique, ese Rectangulum ΗRF , quod ust uictrentia quadratorum HE, RE, ad trapezium

56쪽

pegium HSQR,quod est differentia similium trianis igulorum HES, REQ , ut quadratum ΗΕ ad triangulum HES,vel ut MΛ quadratum ad simile trianingulum AMD, vel ad ANG ipsi aequale: trapezium autem HSQR , quod aequatur alteri ΚΟPR ut in Corollariis Prop. I s. ostensum est), erit ad rectangulum KRT eariter, ut triangulum XLo ad quadratum KL, sive ut triangulum AN G ad quadratum .RN , ergo ex aequo rectangulum HRF ad KRTest, ut quadratum M A ad ΛN quadratum . Quod

COROLL. I. Si duae aequidistantes chordae ΗP, TX secentur ah alia ΚT in R, V, erit rectangulum HRF ad ZUX, ut KRT ad RVT , quippe alternatim ΗRF ad KRT est, ut ZUX ad ΚUT, nempe ut quadratum tangentis MΛ, prioribus secantibus Parallelae, ad quadratum AN parallelae alteri secanti KT. COROLL. II. Si reste ΗF , ΚΤ concurrentes in R sint parallelae binis aliis XZ, YH conVenien tibus in I, tam ΗRF ad KRT, quam XIZ ad YIHerunt in eadem ratione quadrati MA tangentiri ad quadratum tangentis ΑN ; unde permutando P RFad XIZ erit, ut ERT ad Y1Η. COROLL. III. In Parabola eadem rectangu Fἰσ erila HRF, LRT sunt etiam, ut parametri diametrorum ME, NL, ad quas illae reree ordinantur : nam ex concursu R ducta RB diametris pa-xallela , rectangulum HRFaequatur rectangulo pa- Tametri, ad diametrum ME pertinentis, dum in RB s ex Prop. II.) . 2 similiter rectangulum X RTaequatur reetangulo ex ductu parametri pertinentis ad aliam diametrum NL in eandem RB; ergo talia rectangula sunt, ut dictae Paramatri. COROLL. IV. Unde colligitur , Parametros variarum diametrorum Parabolae esse, ut quadratR tangentium ipsarum veitices, & invicem concus Lem

57쪽

rentium nelope ut MΛ quadratum ad AN quadratum, ita latus rectum diametri ME ad latus rectum alterius diametri N L. COROLL. V. In Ellipsi verb, 2 Hyperbola tangentium quadrati sunt in ratione composita diametrorum ductarum ex contaRibus,2 iptarum. Parametrorum illis respondentium , adeoque sunt, ut quadrata semidiamotrorum conjugatarum, quae ipsis tangentibus sunt parallelari ideoque in hac ratione pariter sunt regangula ex partibus secanistium has semones. dictis tangentibus parallelarum et Id quod in Ellipsi patet, quia per Centrum ipsum clusis parallelis tangentibus, eorum rectangula erunt digarum semidiametrorum , quae ordinatis ad transversas diametros aequid istant,ideoque sunt conjugatae ipsis transversis , quadrata, ipsis tangentium parallelarum quadratis proportionalia. In Hyperbola autem, teque ac in Ellipsi, hoc idem demonstrabitur in CorolLain 3. sequentis Proposi-' tionis.

. Si ad terminos eri vis diamεtri v N, sectionis F/g. 33. Ellipticae , aut inperbolicae, agantur xavensers 9 ΩR, NE , quae erunt parallelis, utpote ordinatis aequiis antes , or alia tangens MG illas secet iuR E, rectangulum ex in in ΝΕ aequabitur qua arato seuuaaria semidiametri CIS , priori QNeonjugata.

NAm ex proprietate tangentis MG, ordinata ad diametrum MK, erit QG ad GN, ut QK ad KN Coroll. ra. Prop.9. ;nnde QG plus GN H. Ellipsi. seu QG minus GN in Hyperbola, eris ad GΝ, ut QK plus KN in Ellipsi, leu minus ΚN in

Hyperbola ad KN, M sumtis antecedentium m diem

58쪽

dietatibus, erit CG ad GN , ut C. ad κN ; unde

summa antecedentium QG ad summam consequentium ΚG , erit ut primum antecedens CG ad primum consequens GN:est autem ob similia trian

CL ad NE ergo sunt in eadem ratione in , RM,&CL, NE ; adeoque rectangulum ex QR in NE aequatur restangulo ΚM in CL,idest, ducta Λ Η parallela CN . quae ex semidiametro CB secabit CH aequalem ΚM , erit QR in NE aequale LCH: sed rectangulo LCH aequatur semidiametri CB quadratum; est enim primariae semidiametri CN quadratum ad semidiametri conjugatae Cll quadratum, ut transversa QN ad suam parametrum sex dictis Prop. I a. in sine ), scilicet ut rectangulum CKG, quod aequatur QKN s Prop.9. roIL8,ad quadratum KM , quod est in ratione composita ex CK ad

K M, sive ad CH, 2 GK ad KM, hoc est CG ad CL, ideoque ut CK in CG ad CL in CHi sed KCG

aequatur CN quadrato coroll. H.1Prop.9. J ue erga LCH est aequale quadrato CB ; ideoque etiam QR in NE , quod vidimus aequari LCH, aequatur qua drato conjugatae semidiametri CB. Quod erat, stet. COROLL. I. Per contactum M ducta alia diametro MCS, ductaque tangente SA , quae parallela erit MG. conveniente in Λ cum alia tangento NE, quae diametro MS occurret in I, ductaque ex centro CD parallela ME, quaesit semidiameter secundaria conjugata semidiamotro CM , erit pariter ro et angulum SA in ME aequale quadrato semidiametri CD, ob eandem rationem. COROLL. II. Duelis QS. NM, GI, quae invi- cena parallelae erunt i ob aequalitatem triangulorum NEG, MEI, adeoqua etiam NGM, NMI, 2

59쪽

trum CB ad quadratum CD, erit ut quadratum NE ad quadratum ME. COROLL. III. Et ideli si duae chordae, tangenistibus NE, ME parallelae, invicem conVeniant, erunt ipsarum rectangula, ut quadrata semidiametrorum CB, CD ipsis aequidistantium, cum sint ut quadrata dictarum tangentium.

PROPOSITIO XIX.

In ara Parabola o ponatur NF infra vertieem aequalis quarta parti sua parametri, atque iniNF ponatur supra verticem aqualis NP, ω δε- eatur Pr parallela ordinatis: dacta ex F ad quodlibet cur punctum M recta FM , ductaque irangente Om, ac diametro MX, axi NX paraia tela , erit angulus Xm aequalis F- , O 'DMF erit pariter aqualis quarta parti parame-τri ad diametrum inpertinentis. DIc tur autem punctum F ricus Parabolae; dipunctum P ejus sublimitas; & recta PU Lianeasublimitatis. Ordinata ad axem MK, erit quadratum MK aequale rectangulo KN in quadruplam NF , quae est parameter axis; ergo quadruplum reetanguli LNF , cum quadrato FK , arquatur quadratis MX ,& ΚF, idest FM quadrato: sed ob N P aequalem NS, quadratum PK est pariter aequale quadruplo re-sitanguli ΚΝF cum quadrato FK s8.ILElem.j, ergo quadratum FM aequatur PK quadrato ; unde Friorquatur PK , sive aequatur FG: nam ob NK aequa- em NG, Ω NF aequalem NP, erit FK aequalis PG, adeoque PK aequatur FG . Est igitur GF M triangulum aequi crure, adeoque angulus FMG aequatur

60쪽

MGg,five externo parallelarum XV o. Quod erat prim b demonstrandum . Et producta diametro MX ad lineam sublimitatis P U in U , erit MUaequalis PK , ideoque aequalis MF , atque ordinata NX , tangenti MG parallela, 2 ex axis vertice dum tangente ND . quae hi fariam secabit MG in D, juncta DP , erit DG quadratum aequale reis Sangulo FGN : cum sit enim MD aequalis DG, ut EN aequatur NG , sitque MF aequalis GF, Ω anguintus FMD aequalis FGD , etiam reliqui anguli ho

Tum triangulorum aequales erunt, adeoque GD Peli angulus rectus , quippe aequalis Consequenti

MDF , ergo GD quadratum arquatur FGN 8. VI. Elem.), sive aequatur MF in MX , quia FG aequaturn F, Ω GN est aequalis MX: at GD quadratum et quarta pars quadrati MG uel XΝ , quae ipsius GD sunt duplae; ergo ordinatae XN quadratum est quadruplum rectanguli FM in MX ; sed aequatur ruet angulo suae parametri in abicissam MX ι ergo FM erit quarta pars dictae parametri: Quod erat

COROLL. I. Cum ex Catoptrica ita reflectan- Fig. 6o. tur radii, ut angulus incidentiae XMO aequetur angulo reflexionis FMG ; patet, omnes radios axiparallelos , ex remotidiano luminoso corpore , Velut ex sole descendentes qui velut paralleli hahentur , multd magis, quam directiones gravium ejusdem loci in centrum terrae, ipso sole multb Proximius ), Ω in parabolicum speculum MN in incidentes , nempe XM , χ m, X m &C., in Punctum illud F reflecti debere, adeoque ibidem ex eorum concursu ignem excitari: M ideb punctum illud Focus appellatur. COROLL. II. Uicissim , si lumen aliquod in hoc foco F speculi Parabolici positum fuerit, emittet radios FM, F m , F m, qui reflexi in lineas MX, m η , m x axi parallelas extendentur , unde

D in