장음표시 사용
61쪽
in magna aliqua distantia eandem intensionem servabunt, quam habent prope ipsum lumen , Veluti in MX: unde characteres a lumine remotissimi legi poterunt , Ω distantium locorum superficies commode illustrari. ἡ COROLL. III. Linea FD , conjungens lacum ς' ad concursum tangentis verticalis axis cum alia laterali tangente , est huic ipsi tangenti perpendi Cularis : ostendimus enim , angulum FDG rectum esse.
COROLL. IV. Etiam MU portio diametri MX a suo vertice M ad lineam sublimitatis PU , est quarta pars parametri sibi correspondentis et nam FM aequalis FG , aequatur PK , adeoque est aequalis MU :& ubi libet ducta se aequatur axi parallelae m v ad dictam lineam sublimitatis existensae : unde quaelibet FM ad MU est , ut FN ad NPa61. COLOLL. U. Quaelibet XM cum MF aequatur alteri xm cum mF: aequatur enim XU , iive TP, propter MU aequalem MF. - COROLL. Vt. Sumtis in perimetro Parabolae, hinc inde ab axe,hinis pundiis M , B aut ex
eadem parte M , b j . st junctis ad focum F rectis ME , BF seu bE ), ductisque tangentibus MG,
ΒΗ convenientibus in L s aut MG, b b, concurrentibus in i erit angulus M FB duplus contentia tangentibus GLB sive MFb duplus G l b).Nam quia ostensum est aequi rure triangulum MFG,
aut BFΗ vel b F h J , externus angulus ΚFB duplus est interni FHB ΩΚ Fb duplus F bb , necnon MFX duplus M GF ; unde KFB plus MFΚ, scilicet MFB , aequatur duplo FFIB cum duplo MGF , sive HGL , quibus aequatur duplum GLBs at RFb , minus MFΚ , scilicet M Fb, aequatur duplo F b b, minus duplo M GF . sive b G I, quibus aequale est duplum Gib): quare angulus ex
62쪽
ramis ad Deum ductis MFB , aut MFb, duplus eth anguli a tangentibus contenti GLB , aut G l h.
COROLL. VII. Quod si puncta M, B sint in
eadem recta linea cum foco P, tangentes ML, BL in angulum rectum MLB convenient, eo quod anguli BFK, k ΕFM sint duobus rectis aequales, se eorum medietas sit angulus ille MLB a tanuentibus comprehensus. MCOROLL. VIII. Hinc ipsa recta MB erit parameter diametri LSR , bifariam secantis MB illi Ordinatam . Circulus quippe triangulo M BL circumscriptus habebit centrum in R, quia re- tus angulus L erit in semicirculo ; quare M B erit
dupla radii R L, Se R L est dupla RS , sive s ducta tangente SH parallela MB est dupla FH, cui
aequatur FS, uti ostensa fuit FM aequalis FG; ergo M B eli quadrupla FS : sed haec est quarta pars para metra ad diametrum SR pertinentisi ergo ipsa
COROLL. IX. Juncta LP erit quoque perpendicularis MB q. cum enim ostensae sint aequales L, , SR , FS, angulus LFR erit rectus , quippe in semicirculo circa diametrum I R descripto ι & doribri Rivm LF aequatur rectangulo M FB. COROLL. X. Ipse autem rectus angulus MLB, a tangentibus comprehensus , est in recta P V sutili mitatis ejusdem parabolae , quia FS aequatur 'SL, ut PN aequatur NP, unde punctum L ad re-etam IV pertinet, cujus est talis proprietas.
In axe transverso EII sis, se Huperbolaram oppostarum , determinatis rectangulis DFN,NFOVs' AEqualibus quadrato semiaxis secundiali condiu 'gat/ CB ,seu quarti parti rectanstuli per tras OersumuΝ, Oper latus rectum NS comprehen-
63쪽
β, ad quodlibet puneium Curvae M junctis rectis PM , UM ex utroque puncto F, V, comprehenisne
eum tangente GME angulos aquales . Vocentur
hae duo puncta P , V Foci diciarum sectionum. V Erticales axis tangentes QE, NO conveniant cum alia tangente MG ad puncta E, O ; ergo reRangulum ex QE in NO, quod aequatur quadrato CB s ex prop. is. J , aequabitur rectan
erunt 3 quare angulus ΕUὰ aequabitur NOU : Rquia NOU, cum NUO complet unum rectum existente recto angulo ONU in eodem triangulo , erit EUQ cum NUO rino aequalis , Liaoque OVE resilus angulus erit. Similiter ob angulum QFE aequalem ΝOF, qui cum NFO rectum complet, etiam angulus EFD eli rectus: unde semicirculus super diametro Eo descriptus per pu RaU, F transibit, rectos angulos EVO, EFG comprehendens: 2 per punctum D ducta Λο parallela VE , quam secet in I recta VM , arit angulus AOU rectus, utpote alterno parallelarum
EVo aequalis: estque Ao aequalis Oi , quia ordiis Data MK , cum sit QG ad G N, ut QK ad KNs Orsu. I . Prop. 9.), erit etiam EG ad GD , ut EMad MO , quare M EU ad OA , ut ΕU ad lo; undo. GA aequatur ΙΟ : Angulus ergo OVI aequabitur OUA in triangulis OVI, OUA aequalibus M limilibus: sed OUA aequatur angulo O EF, quippe
eidem arcui OF insistunt in eodem circulo , quare δε angulus OUI aequabitur OFF: Ω ex puncto H, tibi concurrunt Vo , EF , juncta ad M linea .HMerit tangenti EM perpendiCularis, quia ob aequa les ngulos HVM, HEM, circulus per puncta Η, Π
64쪽
Η , V , Ε , M describi posset, existente angulo
ΗME recto, quia oppositus est angulo recto HUE, unde & rectus erit HMO: qui cum opponatur at teri recto HFO, etiam per puncta M,Η,F, o transire poterit circulus; quare angulus VMR aequa
bitur UΗE , Ω angulus FMo aequabitur FΗΟ, cum sint in eodem circulari segmento : sed UHEest aequalis aut idem cuin FHO ; ergo anguli VME , FMO, quos rami,ex Focis V , F ad idem
1eBionis punctum M ducti, cum tangente com prehendunt, sunt aequales . Quod erat demonstrandum.
COROLL. I. Hinc radii ex puncto V in peri
metrum sectionis Ellipticae, aut Hyperbolicae NMincidentes, reflectuntur ad aliud punctum F in Ellipti; aut in Hyperbola ita reflectentur in R, ut in ipsum punctum F sint collimantes , Ob anguluin reflexionis R MY aequalem angulo inciden tiar UME , adeoque aequalem angulo OMP, ipsi ad verticem opposito . Et vicissim, ex puncto Pin sectionem MN incidentes radii, reflectentur in alterum lacum V in Ellipsi : at in Hyperbola, ob angulum ZMY aequalem verticaliter opposito VME, adsoque I angulo incidentiae FMO , re flectetur FMin MZ, quae collimat in punctum V Et ideb haec puncta Foci appellantur, quippe luminis in uno ipsorum potiti reflexi radii ab Elliptica curva in aliud regeYi colligentur 3 2 in Hyperbolica reflexi radii . luminis irradiantis ex uno foco imaginemi reserent in altero . Idem de objectis per specula Elliptiea, aut Erperbolica Videndis intelligi debet. COROLL. II. Determinari poterunt socii Elini ipsis , aut Hyperbolat, si super quamlibet tangen tem ΟE , Verticalibus tangentibus No, QE in terceptam , velut diametrum circulus describatur, secans iu F,2 U, quae puncta erunt Focir quae
65쪽
quathii, propter angulos in semicirculo rectos OVE, OFE. COROLL. III. Item,si ex vertice B Iecundain xii axis inclinentur hinc inde in Ellipsi supee axem transversum rectae BF, k BV, singulae aequales semiaxi transverso CN, seu CQ, erunt pun- ω F, V ipsi Focit tunc enim rectangulum NFQ, aut QVN , cum quadrato CF, seu CV , adaequans quadratum CN , vel BF, aut BU , idest quadratum BC cum quadrato CF , aut CP . dabit ipsum rectangulum NFQ aut QUN dicti semiaxis secundarit BC quadrato aequale, ut contingit in FO
COROLL. IV. In Hyperbola si rectae BN, iungenti terminos utriusque axis , aequalis Ponatur ex centro CF , aut CV in axe transverso , erunt
puneta F, V foci quaesiti: nam rectangulum QSN, quod cum quadrato CN complet quadratum CF, aequabitur quadrato CB, quod cum eodem CNquacisto complet quadratum BN.
. . ,γ Si cuilibet ramo FM, ex fico P ad aliquod stu=r- ctum M Ellimeos, aiat Huperbola ducto, agatur ex centro C parallela CI, cum tangente ME co veniens in I, erit ci aqualis semiaxi νransversta aut CN. Ducta ex alio soco V recta VD pararella it dem FM , CI, 2 tangenti occurrente in D, & juncta vM , quam secat CI in T, ductisque verticalibus tangentibus QE , No. Quoniam angulus VME per prop.yrae. aequatur FMO, sivae V DM ob parallelas nuic aequali , erunt latem 'M, V Daequalia , ut pote angulis aequalibus OP posita : estque MI ad ID , ut in ad TU, ut FCad
66쪽
ad CV, quae sunt aequales , ergo triangulorum MUI, DUI, latus commune UI habentium , caetera latera MU, UD, necnon MI , ID aequalia sunt , unde v anguli MIU , DIU aequales erunt, adeoque recti: & quia pariter recti sunt V L, VNO , circulus circa diametrum UE descriptus, per puncta Q , t transibit; 2 circulus circa dia metrum UO , per puncta N , I pariter se conseret . Quare angulusQIU aequabitur QSU, quippe ad idem circuli segmentum pertinebunt: Sed V aequatur OUN s ut, Prop.prac.ostensum est),
qui pariter aequalis erit Nio, cum in eodem circuinti segmento, per puncta N , I, U , O transeuntis, Uterque consistat ue ergo angulus dlY aequatur NIO : 2 si alteruter addatur angulo Ni V in Ellipsi , vel ab ipso subtrahatur in Hyberbola, fiet angulus alN aequalis recto UIO . Quare circulus super diametro QN descriptus per punctum Itransibit, eritque radius CI aequalis semiaxi CQ, aut CN. Quod erat demoni randum.
COROLD 1. Hinc habetui, quod in Ellipsi
summa inclinatarum ex socis ad quodlibet punctum curvae ,2 earum differentia in Hypernota, aequatur integro axi QN. Nam quia FU est dupla
VC , erit FM dupla GT; 2 cum sit quoque Dudupla MI. erit UD, sive ipsi aequalis UM dupla Tl: quare FM, 2 UM in Ellipsi est dupla CT,cum ΤΙ, hoc est dupla CI vel Cm adeoque aequalis QN. In Hyperbola verb differentia VM ab MF est. dupla differentiae TI CT , hoe est dupla CI , seu
C , & propterea aequalis axi transverso QN. COROLL. II. Rursus si per centrum C agatur tangenti parallela CP. utrumque ramum secans in P, R , erunt MP. M R eidem semiaxi CN aequales. Nam in parallelogrammo CIMP est utiqua MP aequalis CI: R ducta etiam CS parallela ramo VM, resultabit quoque CS aeq alis semiaxi,
67쪽
aequalis MR . unde utraque M P , aut MR , aequatur semiaxi CN . COROLL. III. Quoniam ostensa est CI, ausCS aequalis CN , & juncta VI fit perpendicularis tangenti , quemadmodum eidem foret perpendicularis FS , colligitur, quod si circa diametrum QN circulus describatur, ad quem terminabunt illae lineae CI, CS aequales CN , elusque peripheria secetur I qualibet tangente M G in punctis Ι, S, tunetae Cl, CS evadent parallelae ramis ad containctum ductis FM , UM , utpote aequales semiaxis nec enim tales parallelae possunt Occurrere tangenti extra perapneriam circuli, quia alias non forent aequales lemiaxi , 3c factis angulis rectis
GIV , GS F, illae perpendiculares IV , SP ad focos
in axe determinandos se extendent: unde patet Inoclus alius determinandi focos harum sectio
COROLL. IV. Duλe ex focis F. Vin aliquam tangentem G M perpendiculares FS, VI continentrectangulum aequale quadrato semiaxis secundarii CB, nempe rectangulo NMo aut No in QR . Nam extensa SF ad circulum in X, iuncta XC erit in directum alteri radio CI ; nam ob angulum re Pum lSX , est arcus XSI semiperipheria aequalis semiperipheriae QIN ; 2 ablato communi NI , et arcus XN aequalis QI, 2 angulus XCN aequalis QCI ε circa quos angulos, cum latera XC , CF lateribus CI. CV sint aequalia, & basis FX aequatur
hali UI, unde rectangulum FS in VI aequatur re Sangulo SFX , adeoque etiam rectangulo NFQ. COROLL. U. Ducta ad tangentem perpundiculari MΗ, eri r harmonice sectus axis ab utroque foco, a perpendiculari, & tangente ; nempe erit FH ad HV , ut FG ad G V. Nam concurrente Ps
68쪽
aeduales, atque FMS , SMχ qui aequatur . VMΕ pariter aequales,lateri MS communi triangulorum MSF, MST. adiacentes, erunt 2 latera FS, SZa qualia: unde Fs ad VI est , ut SZ ad UI; sed prima ratio eadem est cum ratione FG ad GU, secunda cum altera SM ad MI, sive FH ad HU , ergo et FG ad GU, ut FH adHU. COLOLL. VI. Quadrata autem FS, VI, 3c Iserunt semper eidem quantitati aequalia, nempe
quadratis NU , 2 UQ, sive N F, 2 F Nam juncta FI, erunt quadrata FS , SI aequalia quadrato FI ; ergo addito VI quadrato , sunt quadrata FS, VI, & IS quadratis UI, Ω ΙF aequalia : haec autem ex supradictis s Scholirimo num, s. sunt aequalia duplo quadrati IC hinecantis basim UF trianguli VI F, cum duplo semibasis CV, 2 duplum quadrati CI, sive in una cum duplo CV quadrati aequaetur binis quadratis inaequalium partium
N F , FQ quadratis Prop.9.Θ- IO. D.Elem. ergo quadrata FS, VI, 9 IS , hisce quadratis aequantursid.oque sunt semper ejusdem quantitatis.
In Hyperbola summa angulorum MFB , Mys, quos recta ex utroque foco ad bina curva puncta incli- εnatae, continens , in Ellipsi vero eorum dissa rentia dupla es anguli MLB a tangentibus eorundem punctorum comprehensi.
ANeulus enim MFK externus arquatur intes nis angulis MVF, FMU ue ergo MFK cum MVF aequatur duplo MVF cum ipso FMU, qui pariter duplus est anguli UMG ; ergo MFK cum MUF duplus evadit anguli MGF, iqui aequatux
69쪽
gulus BFK, cum BVF duplus anguli BΗP: quare totus angulus M FB, cum toto MUB aequabitur duplo anguli MGF, sive HGL , cum duplo ΒΗF, sive GHL , quibus aequatur duplus anguli externi MLB, a tangentibus comprehensi. In Eli ipsi ve- quia angulus G1 F , sive UMI , aequatur MGU cum MUF ; ergo addito utrinque MGU, erunt anguli GMF , MGU , idest externus MFU, aequales MUF cum duplo M GV: eodemque modo externus BFU aequabitur RUF cum duplo ΒΗF, sive duplo LΗG: quare totus angulus M FB aequatur toti MVB cum duplo MLB, qui ipiis NGU,2 LHG aequatum: Igitur excessus anguli MFB supra MVB est aequalis duplo anguli MLB, a tau gentibus comprehensu &c. COROLL. Recta MPT per focum traducta, R
ductis tangentibus ME , TE convenientibus in E, erit angulus MET in Hyperbola semper obtusus, in Euipsi semper acutus e nam anguli a ramis MF , TF ad focum P directe convenientibus CO tenti , sunt duobus rectis aequales , unde medietas anguli MFT est rectus, quare eius summa Cum medietate anguli MUT maior est recto , eiusque eX- cessus supra medietatem MUT est minor recto: quare angulus MET aequalis summae ex dimidio
MFT ,& dimidio ΜUT erit in Hyperbola obtutus;& in EIlipsi cum sit MET aequalis differentiae
dictarum medietatum, erit acutus
PROPOSITIO XXIII. - φ. Distantia fra m Fr est media proportioualis inter ω 1. latur transversum QN, ω in summam transiversi , O racti in in 'parbola. eorumve differentiam in Eu si
70쪽
parti rectanguli ex transiverso & recto QNΗ , seu G, posita NG aequali NH; utrovis addito in Hyperbola , 2 subtracto in Ellipsi, ad semiaxis transversi CN quadratum , resultat CP quadratum aequale aggregato quadrati CN, 2 quartae partis QΝG in Hyperbola , eorumque disserentiae in Ellipsi : & quadruplicando terminos , erit quadram tum distantiae socorum FV aequale summae quam drati QN, 2 rectanguli QNG in Hyperbola , idest rectangulo NQG; in Ellipsi autem eorundem AtDferentiae , quae pariter est NQG res angulum. Ergo VF distantia socorum est media proportionalis inter axem transversum QN , 2 QG, quae summa est in Hyperbola , in Ellipsi verb differentia eiusdem. transversi lateris Q recto NH, seu NG. Quod
COROLL. Quoniam quadratum axis eoniugati ΛΒ aequatur reAangulo QNH. sive QNG , εο quadratum distantiae socorum FV aequale ostensum est reBangulo NQG; erit quadratum AB ad quadratum UF,ut QNG ad Ni, idest ut rectum latus NG ad QG summam transversi lateris, Rrecti in Hyperbola, & eorum differentiam in Eblipsi : eodemque modo erit quoque quadratum s mi axis conjugati CB ad quadratum distantiae focia centro CF , aut CU.
tangento RG concurrente cum binis diame- -- feris conjugatis m, O in punctis G , M., eris rectangulum GR in aequale quarta parti recta guli ex transererja diametro RI, per contactum ducta, in ejus parametrum , Me aequale qua drato semidiametri in parallela tangenti, ν