장음표시 사용
111쪽
oo NEO. STATICAE ponens sit praedicto modo ex se determinatus, praeci siuE oinnino ab altero motu componente. Ad cuius nitidam demonstrationem, duo praemittere hic oportet. Unum est, quod uterque impetus gratiis a in ipso pii octo a constituti, unus proiectionis secundum
ab , & alter naturalis ex quiete conceptus versus centrum com
mune α, est ibi adaequa te cast vivus, propter angulum rectum tbaa. Alterum est, quod, licet impetus primigeni j versus centrum commune x, in decursu concepti, non habeant directiones perpendiculares ipii abs singuli tamen resolui b intelliguntur in duos impetus, quorum unus est secundum rectam in directum posita in cuidam parallelae ipsi a b , unde elidi intelligitur tantundem impetus secundiim parallelam eidem ab ι de alter est secun- dum rectam perpendicularem eidem parallelae, unde augeri intelligitur impetus secundum parallelam ipsi R, perpendiculari utique ad abradeo ut propterea in quolibet punctor ipsius curuat a vis duplex concipiatur adesse impetus vivus; unus secundum
o r parallelam ipsi a b, residuus neminpe post factas elisiones; de alter secundum mr parallelam ipsi a x sperpendiculari utique ad ab in aggregatus nempe ex praedictis impetibus subnascentibus secundum perpendiculares ad parallelas eidem. a b. His animaduersis: Si planum ab comitari intelligatur graue a in descriptione curuae ac, existente semper ab perpendiculari ad a a; atque item simul , si planum ax comitari
intelligatur idem graue a in descriptione eiusdem curuae a c, eκistente semper a n perpendiculari ad ab e constat sanε ex prae- millis, quod in olus composi usse quo curua ac describitur , componi intelligetur ex duobus praedictis motibus. Quoniam vero motus ille compositus oriri intelligitur ex duobus istis motibus componentibus, necessarium plane est, quod alteruter motus com-
112쪽
LIBER TERTIUS. Iorponens sit praedicto modo ex se determinatus, praeeisiuE omnino
ab altero motu componente . Non dico, utrunque seorsum acceptum debere esse et ratione determinatum: sufficit enim ad rem praesentem aIterutrius determinatio praedicta ; cum ex alterutro taliter determinato possit alter motus componens nisi aliud speciale obsit suam ultimam determinationem accipere. Dico autem necessariam esse alterutrius determinationem pridictam 3 quia,hae sublata, non erit quomodo incipiat ipse motus compositus; quia nempe non erir, quo determinato motu procedere debeat, seu planum a b secundum a E, seu planum a x secundam a b; elim tamen ex intersectionibus ipsariim ab , a x , tali quodam motu procedentium semper. ad perpendiculum , describenda intelligatur ipsa curua a c. Igitur neeessarium est, quod alteruter horum motitum componentium sit praedicto modo ex se determinatus, prat risiuε omnino ab altero motu componente. Atque ita quidem, i angulus bax fuerit remis. Sit iam secundo angulus , a B obtusiis , vel acutus. Excitata autem ad ab perpendiculari h a , cui occurrat ad perpendiculum recta xk, compleatur rectangulum x Φ a b . Ducatur etiam
ad a b perpendicularis ae x ; atque lieni ad a ducantur , paralis telae ipsi , a, recitae t I, ro. AEquales inter se erunt Ax. rm ;atque item ii, quae etiam perpendiculares erunt ad ipsama v. Iam vero, impetus proiectionis secundum a b, tantum ab usq;
113쪽
Iox NEO STATIGAE sus aut aequirere inclementum csi angulus bax fuerit acutus Jquantus est impetus secundum a b , subnascens ex impetu priamigenio seeundum a a r alter autem impetus componens , erit secundum a fi, subnascens nempe ex eodem impetu primigenio secundum ax a qui utique ita erit ad ipsum ' impetum secundum an , ut a B ad a x . Porro in ipso decursu , vel minuetur, vel augebitur impetus proiecticin is secundum ab, prout directiones im
petuum, s cessive Conceptorum versux Centrum commune z, ob
tu suin, vel acutum angulum effecerint cum parallelis ipsius a b. Semper tamen motus compodentes, in descriptione curuae ac, intelligendi erunt secundum paralleIas ipsis ab , a . Quare ne taedium afferam benigno lectori si Ioeo plani, & rectae a x substitiiatur planum, de recta a k, eisdem plane verbis procedet demons latio, duin angulus β an suerit obrusus, vel acutus, atque supra, dum angulus bax fuit rectus. Igitur, qtialiscunque sit angulus bax, graue a, aequali tempore descriptionis citruae a G alterutram Meam deseripsit, vel a si vel a d. Quod erat &c
HIne, itinctis r x, lx, da; ita erit impetus t consule etiam
figuram primam huius prop. conceptus a graui a in m versus centrum commune n, ad alterutrum impetum, conceptum ab eodem
114쪽
LIBER TERTIVς. Ioseodem graui, vel in ι, vel in ri versus idem centrum x , ut distan. tia ra ad alterutram distantiam , vel ι x, vel d a. Quoniam enim graue a, qquali tempore descriptionis curuae alterutram lineam descripsit, vel at, vel ad: si ponamus, quod graue a, aequali tempore descriptionis curvae ar, descripserit ipsam as; iam impetus primigenius secundum ra, conceptus ibi in punctor, ita erit ad impetum primigenium ca) secundum r et, conceptum ibi in puncto ι, ut distantia ra ad distantiam t et . Sin autem ponimus, quod graue a, aequali tempore descriptionis curuae a ridescripserit ipsam ad; iam impetus primigenius secundum ra, conceptus ibi in puncto ν , ita erit ad impetum primigenium s b) secundum de , conceptum ibi in puncto d, ut distantia rα ad distantiam da . Itaque constat propositum .
QVae hactenus geometrice demonstrauimus, confirmarI etiam
possunt experimento sensuum. Nam, currente naui, si graue quodpiam demittatur ex summitate mali 3 eius tamen descensus perpendicularis nullatenus profecto alterari viis debitur a latione horizontali 3 sed eodem modo apparebit, ac si nauis omnino consisteret.
Voniam praecedenti propositioni inniti debet doctrina sere omnis infra tradenda: propterea initio libri quarti abu de leges, quae ulterius desderari hic possent.
115쪽
IO. . NEOSIATICAE resimis aqualibus ipsius n d nouos gradias impe us t prioribus ηυιique retentis j proportionatos dissitan sti ab ipso ptincto d : Dico nunquam fore.υι ρandus ia perueniat in d, algiae etiam in ipso et sique puncta n quietum permansurum. Poinitur aurem, quod primus . Gus , quo potirur in parte infinite a n, sit tinnire paruus, ct ex se inept- ad ρrocreandum, Iangissimo quouis ιe ore finisa, magum sensibilem. :DVcta enim perpendiculari cn, iungat ni ν ά . InteII atur
etiam ex altera parte trianguli cnae curna quaedam ; ad
quam demissa V perpendiculari ipsi n ae, si ex alio quoivs pii
cto rectar n. educatur perpendicularis a e, occurrens ipsi euruae in ri ita si ae ad V, vi reeiproce trianguIum enae ad trapezium ena, ὲ protracta nimirum in , ipsa ea. Constat, quod curua praedicta semper quidem accedet, sed nunquam tamen occurret rectae cnI, in infinitum protractae . Rursuin constat, quod triangulum en d repraesentabit impetus ponderis ae in motR pern d; seu singulares acquisitos in singulis aequalibus infinitesimis partibus ipsius nil, seu totales aggregatos ex omnibus simuI praecedentibus. Nam primus impetus in n ita est ad singularem impetum acquiuium in quavis aequali infinitesima a, ut nd ad ad, hoc est xn ad ba. in are impetus totalis in a nimirum ibi aggregatus ex omnibns impetibus siccessive illuc usqtie aequifitis 3 ita erit ad impetum lotalam in ae, ut trapezium cn ab ad trianguis
tum cnd. Similiter figura and I repraesentabit tempora pet
116쪽
LIBER TERTIUS. Ioyn ά. Nam pars infinite sima temporis, qua pondus n si ibsistere intelligitur, ante ulteriorem progressem, in parte infinitesima a , ita erit ad partem to infinite simam temporis , qua subsistit in qua uis aequali infinite sina a, ut reciproce impetus totalis in a ad imis petum totalem in is, hoc est ut tra Eium en ab ad triangulumen d , siue ut d c ad AE e . Quare tempus totale ex n in is, aut exn in a , ita erit ad tempus totale ex a in A, ut tota figura n d fer, aut portio interminatare any ad portionem terminatam a d D. Iam vero ostendere oportet, quod portio interminata Ira sit infinita ,& infinities continens ipsarn portionem terminatamaa dfe. Diuisa enim sit nae bifariam in ar designatoque in a nquouis inineto Θ, ducatur per 5 ad n d perpendicularis Io , occurrens ipsi σά in I, & dictae curuae ita o . Tum ex Es excutetur perpendicularis fir , Occurrens aetar; & ex ho perpe dicularis o m, occurrens ny in m. Quoniam igitur rectangulumen d ad rectangulum c πε ira se habet, ut En ad h n; ita etiam erit dimidium rectanguli enae, seu triangulum cnd, ad idem rectangulino e n B, ut dimidium ipsius aen , hoc est ipsa da, ad eandem 6 n. Est autein ratio trianguli e n ae ad rectangulum enominor ratione eiusdem trianguli cnae ad trape Zium c no Irigitur ratio da ad hn minor est ratione dicti trianguli cnd ad trapezium c Ab I. Atqui, ex natura propositae curuae, ita est bo ad dL, ut reciproce triangulum c n is ad trapeZium cnBI: igitur ratio da ad Bn minor est ratione bo ad ae . Quapropter rectangi litin nhom maius est vectangulo a dio: atque adeo, diuisa biis fariam in . ipsa bn, demissaque ad om perpendiculari ε ν; rectangulum khot, dimidium ipsius nhom, imius erit dimidio ipsius a dfr. Porro autem, protracta ε ν usque ad praedictam a curitam in g, demissaque ad n I perpendiculari g ρ s ostendetur similiter nam punctum is suinptum est pro quovis puncto ipsius an) quod rectangulum n/gρ maius est rectangulo adfr.
117쪽
ro 6 NEO. ST AT IC AEdiculari us ι erit similiter rectangulain Ghgr i dimidium ip- suis n/gρὶ maius dimidio ipsius a d r. Atque ita semper con-s militer. Itaque infinita est portio interminata Iean , utpote infinita continens distincta rectangula, singula maiora dimidio ipsius adfrs atque adeo infinities etiam continebit ipsam portionem terminatam a dfe. Quoniam igitur tempus totale ex re in a ita est ad tempus totale ex a in d, ut portio illa interminata ea na ad portionem terminatam adse , infinitum erit tempus illud totale ex n in a, ut pote infinities continens ipsum tempus totale ex a in d. Quare pondus n nullo finito tempore perueniet
usque in a, & multo minus usque in d. Assumptum est autem punctum a pro quovis puncto ipsius nae, designabili inter puncta n, deae: Igitur pondus n nullo finito tem-Pore egredietur de puncto n, seu de parte infinitesima n ; sed ibi semper morabitur. Quod erat demonstrandum .
SIn vero ita res intelIigatur, υι, designatis in rectae n d duobus quibusvis punctis a ct k, ratio impetus singularis acquia
μὰ in parae .nfinite a a, ad impetum singularem acqui in min quali parte infinite a h , componatur ex ratione dire E G flantia
118쪽
LIBER TERTIVS. Io Rant..e ad ad dictantiam k d, ct ex reciproca ἐmpetus rotatis
in k ad impetum totalem in a : Dico pondus n motum iri ex nversus d , finitoque tempore in ipsum punctum d peruenturum. DVcta enim perpendiculari nx, intelligatur ad easdem partes
constituta talis curua ; ad quam demissis ex duobus quibusvis punctis ipsius n ae rectis a g , s perpendicularibus ipsinae, ita sit ag ad ε s, ut impetus singularis acquisitus in a ad singularem impetum acquisitum in Φ. Constat, quod figura xndgrx repraesentabit impetus ponderis n in motu per n d; seu singulares acquisitos in singulis aequalibus infinite simis partibus ipsius n d, seu totales aggregatos ex omnibus simul praecedentibus. Cἰim enim ita sit ordinatim applicata ag ad ordinatim applicatam fis, ut singularis impetus acquisitus in a ad singularem impetum acquisitum in ,ε , ubiuis designata suerint ipsa puncta a, & ε in recta n d; consequens etiam est , ut aggrega tua in omnium ordinatim applicatarum ab ea curua ad axem n d, nimirum integra figura xn rx, eam habeat rationem ad respecti-uas portiones xnag sx , xn E s x , quae est impetus totalis aggregati in ae, ad impetus totales aggregatos in a, & in Φ. Et quoniam ratio impetus acquisiti in a ad impetum acquisitum in B componitur ex ratione directa distantiae ad ad distantiam B.,& ex reciproca impetus totalis in ad impetum totalem in a, hoc est portionis xn ε s x ad portionem xn a gs x; ex eisdem etiam rationibus componetur ipsa a g ad ks. Patet etiam , quod ea curua exunt parte incidet in punctum d, cum nulla ibi fiat acquisitio impetus s ex altera vero semper quidem acceder, sed nunquam tamen occurret ipsi n x, in infinitum protractae. Concipiatur etiam talis alti curua constituta , ad quam pro
tractis in e , & m ipsis ga, σε, ita sit a e ad k m, ut reciproch porrio xn fis x ad portionem x nags x. Constat primo, quod ea non incidit in punctum d . Si enim excitetur ad n d perpendicularis aes, quae ita sit ad a e, ut reciproce portio xn agrae
119쪽
r o 8 NEO-STAT GAE ad eiusmodi curuam. Constat secundo, quod ea repraesentabit tempora ponderis n in motu per nae. Nam, ubiuis designata suerint ipsa puncta a, & ε in recta n d, ita est ordinatim applicata a e ad ordinatim applicatam fi m , ut reciproch portioxnfis x ad portionem x nagια, siue ut impetus totalis in fiad impetum totalem in ar ut autem impetus sa totalis in k ad impetum totalem in a, ita reciproch mora infinitesima temporisina ad moram infinitesimam temporis in t igitur ita est ordinatim applicata a e ad ordinatim applicatam his, ut directE mora infinitesima temporis in a ad moram infinitesimam temporis
in B. Unde etiam consequitur, ut aggregatum omnium Ordina tim applicatarum ab ista curua ad axem n ae, nimirum integra
figura an Efe, eam habeat rationem ad respectivas portiones Ina emr, I n km , quae est temporis totalis ex n in A ad tempora totaIta ex n ina, & ex nin h. Quare sper conuersionem rationis, & diuidendo in ita erit tempus v. g. ex n in a ad tempus ex a in d, ut portio I n aea a portionem e a d L.
Iam vero ostendere oportet, finitam esse rationem portionis
nae ad portionem ea f. Brevitatis enim gratia ponatur a eaequalis ipsi ag . Quoniam ratio Φ s ad ag componitur ex ratione directa distantiae ad distantiam ad , & ex reciproca impetu S
120쪽
LIBER TERTI US . Iost totalis in a ad impetum totalem in hoc est morae infinite simae in k ad moram infinitesimam in a, nimirum ipsius km ad a es estque .maior quam a d : consequens utique est, ut ratio ε m ada e minor sit ratione fi s ad ais silie a e ipsi aequale in . Igitur ἡ mminor est quam fis . Atque ita, ubiuis designatum suerit punctum k inter punctan , dc a. Quare figura In aer minor erit ipsaxnag x. Porro autem , cum ratio integrae figurae x nadae ad
portionem xn agx ostensa sit aequalis rationi directae impetus totalis in d ad impetum totalem in a , hoc est morae so infinitesimae in a ad moram infinitesii nam ind, nimirum ipsius a e ad aes, erit etiam sper conuersionena rationis, & diuidendo ita portio
x nagx ad portionem ga A, ut aes ad excessum, quo ae laperat ipsam V. Quare, si ratio istiusmodi sit finita : finita etiam et itratio portionis x nagx ad portionem ga δ. Itaque multo magis finita erit ratio figurae x nagx ad figura in eam quae facile, ex praedictis, ostenditur maior ipsa ga de atque adeo iursum nullibmagis finita erit ratio asterius figurae Inam quae urique ostensa est minor ipsa xnagxst ad eandem figuram e a d L. Sin vero infinita ponatur ratio ipsius V ad excessum, quo a esuperet ipsam dL: hoc est, si excessus praedictus sit infinith pamus, iam integra figura γ n ALI non disseret a parallelogrammo nain punctum a sumitur pro quolibet puncto inter puncta n , & da
atque adeo ita erit figura F n a m ad figuram ea ut na ad ad. Igitur, seu finita ponatur, seia infinita ratio praedicta, adhuc tamen sanitam esse oportet rationem figurae I n a m ad figuram ea V. Quare, cum Ostensum iam sit. ita esse tempus ex re in a ad tempus ex a in d, ut portio Inaea ad portionem e a m finita pariter erit ratio tempori si ex n in a ad tempus ex a in ae. Mani testum est autem, finitum esse a m pus ex a in do igitur finitum est etiam tempus ex n in a , atque adeo ipsum etiam integrum tempus ex n in d. Quod utique erat demonstrandum .