장음표시 사용
61쪽
96 RE ADRATUM diametri figura altera parte long roris aquale es duobus quadratis ιaterum ina qualium . Ad propos. 67. y SI fuerint duo triangula rectangula, quorum latera rectis angulis oppositasint aqualia: Erunt duo quadrata reliquorum duorum laterum uvius trianguli aqualia duobus quadratis ratiquorum duorum Iarerum alterius.
Ad propos 47.9s DUOBUS quadratis inaqualibus propositis , inuenireis ali duo quadrata. qua O aqualia sint inter se , ct simul sumpta aqualia duobus in aqualibus propositis simul sumptis . Ad propos 47.99 PROPOSITIS duabus lιneis ina qualibus, inuenire id, quo plus pote a maior, quam minor . Ad propos 47.1oo PROPOSITIS quoreunque quadratιs, siue aqualibus, sue in aqualibus , inuenire quadrataem omnibus tuis aquale. Ad propos 47.
tor PROPOSITIS duobus quadratis quibuscunque, alteri itiorum adiungere figuram , qua reliquo qua4ruto sta qualis , ita ut rota figura compositast etiam quadrata.
tota COGNITIS duobus lateribus quibuscunque trianguli rectanguli , in cognitionem reliqui lateris peruenire .
r o I SI ex angula a duobus lateribus in aqualibus trianguli eomprehenso ad basin perpendicularis. ducatur cadens intra triangulum : Secabitur basis in fartes ina quales, maiorque pars iuxta maius latus erit. Et contra, basis a perpendiculari secetur non bifariam. Erunt duo latera
inaqualia,maiusque ilίud erit, tum maiori basis segmento adiacet. Ad propos 37.
ro IN omni triangulo,parallelogramma quacunque su- ρεν duobus lateribus descripta, aqualia sunt paralleloeramo super reliquo latera constituto , euius alterum latus aquale sit, is parallelum recta ducta ab angulo , quem duo illa latera comprehendunt, ad punctu in quo conueniue latera parallelogrammorii lateribus trianguli opposita ad partas anguli illius producatur. Ad propos. 7. TRIAN
62쪽
ios TRIANGULORUM eomparationes in primo lιbro demonstraras explieare. Ad finem lib. I. 1 o 6 ΩUANDO duo latera unaus trianguli duobus lateriabus a iterius trianguli aqualia sunt,utrumque vrriqueia, unus angulus uni angulo, qui uni aqualium lateνum opponitur;bases aquales esse nequeunt,nisi quando angulus in utroque triangulo alteri lareri aquaia oppositus metest minor recto,vel non minor recto. Ad finem lib. i. ro A N Do duo latera unius trianguli duobus Iateribus altarius trianguli aquatia sunt, utrumque viriq;
ct unus angulus uno angulo , ita ut unus uni aquatium laterum ,'alter altera opponatur : nihil codigi potes. Ad finem lib. r. io 8 EUANDO duo latera unius trianguli obus lateribus alterius trianguli aequalia sunt,uιmmque utrique, is angulus in uno triangulo illis lateribus eomprahensus, aqualis angulo, qui in alteνo triangulo opponetur uni
illorum laterum: nihil potos inferri. Ad finem liba.
IN omni parallelogrammo, si unus angulus duntaxat deιur rectus, reliqui etiam tres recti erunt. Ad defin. r. - SI fuerint dua recta linea ,serenturque amba in quot-eunque segmenta : Rectangulum comprecessum sub iliis duabus rectis lineis, aquale es eis, qua subsingulis segmentis unius, ct qualiber segmentorum alterius conirnentur, rectangulis. Ad propos. 1.3 SI sns dua rarita linea , secenturque amba utcunqueta: Rectangulum comprehesum sub illis duabus rediis lineis, υna cum rectangulo sub una parte unius, ct una parte alterius comprehenso,aquale eri eis,qua sub toria lineis,et dictis partibus mutuo continentur, rectangutis, una cum rectangulo sub reliquis partibus eoprehenso. Ad propos. I. ' SI linea recta metur in quotcunque segmenta: Lu -d 3 uratum,
63쪽
dratum, quod a tota sit, aquale est eis, qua sub fini gulis segmentis, is quolibet segmento comprehenduntur, rectangulis. Ad propos. 2.s ρARALLELOGRAMM A eirca diametrum quadrari sunt quadrata. Ad propos .
6 DIAMETER cuiusuis quadrati diuidis eius angulos bifariam. Ad propos . et SI linea recta fuerit dupla linea recta, quadratum ex illa descriptum, quadruplum ea quadrati ex hae deseripit.Etsi quadratum quadruplum fuerit quadrati , latus illius diaptam ea lateris huius. Ad propos .
8 N V M E R UM quadratum inuenire, eum quo datus quiuis numerus quadratum quoque numerum constituas. Et vicissim qu dratum numerum reperire , a quo datus quiuis numerus subtractus relinquat numerum quoque quadratum . Ad propos. 4. s. o.& 8. 9 SI tres linea habeant proρortionalitatem Arithmetiaeam ; Rectangulum sub extremis contentum , Una eum
quadrato excessus , a quale es quadrato media . Ad propos. 6.1o SI recta linea an partes in aqualesseeeturri Earum par rium quadrata aqualia sunt rectaviato , quod bis dictis partibus ceatinetur, una eum quadrato eius linea, qua maior pars superat minorem. Ad propos. 7. II IN omni triangulo obtusangulo, linea perpendientaris ducta ex quo uis aeutorum angulorum ad latus ορρ
rum , ea dit in usum latus Aa partes anguli obtusi protractum . Ad propos. I 2.r 2 SI an triangulo quadratum unius lateris maius sit
duobus quadratis duorum laterum reIiquorum: Angulus
illi lateri oppositus, obtusus est. Ad propos i a.
1 3 SI in triangulo quadratum unius lateris maius sit quAEdratis reliquorum duorum laterum, rectangulo bis comprehenso sub alterutro horum laterum, , sub exteriore linea, quam ex illo latere producto recta linea ab opposito angulo demissa absindit ἰDemissa hae linea ad latus productu perpendicularis erit, ct angulus propositi trianguli priori illi lateri oppositus,obtusus. Ad propos r2
64쪽
t AMBLTGONIA triangula coniaiIuere laterum commensurabilium, rn quibus segmonium inter angulum obtusum, oe perpendicularem commensurabile etiam M lateribus . Ad propos Ia. Is SI in triangulo quadratum unius lateris minus fduobus quadratis duorum laterum reliquorum: Angulus illi lateri oppositus, acutus erit. Ad propos II.l6 SI in triangulo quadratu unius lateris minus sit quadratis reliquorum duorum lasertim,rectangulo bis eo m-prehensosub alierutro horum laterum sub recta linea inter angulum priori lateri oppositum, is rectam lineam
ab angulo alteri illi lateri opposito demissam et Linea haedemissa ad alterum illud latus perpendicularis erit, ct angulus propositi trianguli priori illi lateri oppositusiaci ius. Ad propos r3.1 TRIANGULA commensurabiIium laterum eonstituere,in quibus segmenta inter perpendicularem, qua in basiem cadit , eisdem lateribus commensiurabilia quoque sint. Ad propos i I. 18 SI in triangulo a quouis angulo recta linea ducatur, diuidens latus oppositum bifariam e erunt duo quadrata laterum eum angulum ambientium simul dupla duoruquadratorum simul sumptorum, quorum vnum ex linea ducta, alterum uero ex dimidiato latere describitur. Ad. Propos i 3. IO AREAM euiusque trianguli latera habentis nota imuenire. Ad propoc ι I. Eo DATO excessu diametri alientur quadrati supra Mintus eius A. Inuenire latus ipsius quadrati. Ad propos I .aa DA L IS duobus excessibus diametri alicuius parallelogrammi rectanguli Iupra utrumque latus: Inuenire Iais ιera isus rectanguli. Ad propos
r SI in circulo recta aliqua linea aliquam rectam Iinea bifariam, is ad angulos rectos secet: in secante est centrum eireuli . Coroll. propos r.
65쪽
1 LINEA recta, qua circulum tangit, ita ut eum non se. eas;in uno tantum puncto ipsum tangis.Coroll. propos. χι IN triangulo aquilatero, veι Isoscete, recta secans basem bifariam,ad basiem perpendicularis est. Et perpendi- eularis ad basem, secat basem bifariam.Coroll.propos3. l DUOBUS circulis ex eodem centro descriptis,s ab aliquo puncto cireumferentia exterioris recta ducatur interioris circumferentiam secans:Erunt eiusfegmenta interutramque cιrcunferentiam posita , inter se aqualia . Ad propos. 3.s SI intra circulum punctum sumatur, ab eoque puncto in circulum rectarum linearum eadentium, una quide maxima sit, una vero minima; ct reliquarum alia sinain aquaIes, alia aquales : Maxima quidem per cenιrum tra ibit,minima vero erit reliqua pars diametri; is aliarum motores quidem erunt maxima propinquiores;aqua. les autem M eadem maxima,vel minima aquatitor di-
flabunt. Ad propos. I. o A L in semidiametro circuli pro uera punetum mitra
centrum sumatur , circulus ox eo puncto, ut centro , per, extremum semidiametri punerum descriptus, eangat priorem eirculum in dicto puncto exeremo semidiametri, totusque extra eundem cadest. Ad propos. ιδ. R E UTA linea a diametri circvii ex remitata ad angulos rectos ducta ipsum eirculum tangit.Hinc facile per datum punctum in circunferentia duei poterit linea eirculum tangens Coroll. propos r6 8 DIGRESSIO de angulo eontacsus aduersus Iacobum Pelo/arium. Ad propos I 6ὰ
minores sunt quouis angulo scuto rectilineo. Ad prop.16.r o ALI UUA quantitas potest continue , is infinite augeri, Itera vero infinita minui: , tamen augmentum illius, quantumcunque sit, minus semper erit decremento
r I TRANSITUR a minori ad maius,vel cotra,ct per omnia media: is tamen non per quale. Ite reperitur maius
66쪽
i a PROPOSITIS duobus *rculis, quorum neuter alιerumi includat, reetam lineam ducere, qua utrumque tangati circulum. Ad propos I ιr3 PER datum punerum describere eireulum, qui alium tangat siue interius , sue exterius. Ad propos II.ν CIRCULUM,qui duos alios circulos,quorum unus noni sit torus intra alium,tangat, describere. Ad propos. 17.13 LINEAE recta, qua tireula secet, lineam parallelam
ducere , qua eundem eirculum tangat. Ad propos. I .io DI OB VS cireulis ex eodem centro descriptis. erunt omnes rectε linea interiorem ei eulum tangentes, is usque ad eircumferentιam exterioris eircuti extensa,inter se aquales,bifariamque in punctis contactuum secabuntur.
Ad propos. I 8. ιγ Ι N eircula spatium ad centrum dupdex es anguli ad periphariam, cum fuerit eadem peripheria basii natiν cianguli. Ad propos. 2 o.
ι8 Sca duobus punctis quatuor reo Pa linea ducantur, ex singulis bina , qua ad easdem partes contineant angulos aquales. Cιrculus per duo illa puncta, , alterutrilini uotum angulorum descriptus, por alterum quoque angulum transibit. Ad propos a I. I9 SI in quadrilatero anguli qui ex aduersio, duobus rectis sint aquales'. circulus, qui per tres quosesique eius angulos describitur,transibit etiam per reliquum quartum angulum atque adeo eirea ipsum quadrilaterum circu- llus describi potest, Ad pr opos . rao SI ex semicιrculis, aut circulis, segmenta ilia detrahantur, relι qua quoquesegmenta ilia erunt. Ad propos. 21.2 r ANG VM insistentes arcubus eireulorum similibus siue ad censra, e ad cireumferentias,sunt inter se aqualen Et con Ira arcus,quibus anguli aquales siue ad centras-ue ad eireunferentias in uni ,smiles sunt. Ad pro
:2 S duo aut plures eireuli ex eodem eentro describan-ιΜr arque centro dua, aut plures recta linea ducantur: eruus areus inseν quascunq;.e duas lineas intercepti,
67쪽
similes. Ad propos 22.sI S I duo aut plures circuli l. mutuo tangat interius in
uno puncto, quo dua am plures recta educantur: eruntis arcus inter quascunque duas lineas interceptiar eus inter quamcunque lineam,is punctum contactus interceptismiles. Ad propos 22. 24 SI unum latus quadrilateri in circulo deseripti proἀucatur,erit angulus externus angulo, qui angulo ei dei
ceps opponitur,aqualis. Ad propos a r. 2 s SEGMENTA circulorum aqualia super ςquales lineas, vel super eandem consiluta sunt similia. Ad propos. 24.26 IN aqualibus circulis in aquales anguli i qualibus peripher,s insistunt, maior maiori, sis minor minorisve ad centra ue ad peripherias connitut i ivsistant. Ad pro
rν IN aqualibus eireulis anguli,qui in aqualibus per be-rijs insistunt,sum inter se ira quales,maior, qui maiori, ct minor,gui minorisve ad eentra, e ad per herias con
stituit insistant. Ad propos 1 . a
18 D V AE recta linea, qua in eois eirculo aquatis reus intercipiunt,se mutuo non secantes,siunt paralleia .Et λεπtra, dua linea parallela in eodem circulo arcus aquales intercipiunt. Ad propos 27. . 2o LζNEA recta,qua ex medio puncto peripheria alleatus dueitur tangens circulum, parallela es recta linea, qua periphariam illam subtendtr. Ad propos a . 3o ANGULUS rectus in centro in is quadranti: aeutus vero arrui quadrante minori:, obtusus arcui quadrante masori. Et contra,angulus in centro quadranti insistes rectus est in ens vero arcui quadrante minori, acutus: O arcui quadrante maiori,obtusus, Ad propos. 27. 31 RECTA linea a centro circuli ducta , secansque aliam rectam no per centra ductam bifariam, secabri et areum, eui hae recta Gbtenditur, bifariam. Et contra ,sisecet marcum bifariam,siecabit rectam ei subransam bifariam. Ad propos 2ν.
Ss inu circulo, ductis duabus diametris sese ad angulos
68쪽
parte quotquot parallela agantur diis identes virum quequadrantem in partes aquales, ac enique ex tuncto extremo alterius diametra per extremum punctum proxi-mA parallela recta ducatur conueniens eum diametro producta: Erit tota recta inter punctum concursus, ct concauam peripheriam cireuli.ouisibui parallelis una cum diametro, qua producta e mulsumptis , aqualis . Ad propos. 27. 3 3 IN aqualibus eirculis ina quater refra linea in aquales peripherias auferuur, maiσr quidem maiorem, , minor minorem loquamur de segmentis eirculi minoribus semicir extor At veros de hygmentis eirculi maioribus sermo habeatur , maior minorem, c, minor maiorem. Ad propos χε
ῖ IN aqualibus eirentis,ina quales peripherias in aquales recta tinea Fubtendunt, maiorem quidem maior, ct minorem minor,si de rimentis semicirculo minoribus fiat sermo: Aι vero si de segmen iis semieireulo maioribus loquamur, minorem maior, , maiorem minor. Ad propos. 29. I s CIRCULI, e quibus aquales recta linea auferunt similes eircumfere utias, a quales)isnt. Ad propos . 29.; 6 EX circulis in equalibus aquales recta linea cireumferentias dissimiles auferunt. Ad propos a9. 37 1pX cireulis in qualibus linea recta, ua circumferentias iles auferunt,ina quales t. Ad propos. 29. I 8 RECTAE linea, qua ex quibuscunque circulis circunsis ferentias similes inaquales auferunt, inaquales seunt.
I9 SI in diametro cireuli prater tentrum punctum sumatur, ab eoque in peripheriam dua recta non in eascem partes cadentes efficiant ad diametrum angulos equales :Recta illa linea aequales erunt, , arcus absindent a quales. Es linea Any equales, constituent ad diametrum angulos aquales,abse indentque equales arcusiari denique arcus aquales asin dant, erunt recta illa aquales, eon' ruentque ad diametrum angulos aquales. Ad propos. 29s o SI in diametro cireuli prater renoum sumatur punctum
69쪽
crum quodpiam,in quo ad easdem partes duo angulι ἀ- quales constituantur, insistent hi anguli arcubus in aqualibus , maiorque erit ille, qui a minori porrione diametri remotior est. Ad propos*9. i ANGULUS trianguli, qui reliquis duobus aqualis ex sit, rectus et . Coroll. proPOs. I 1. . . SEGMENTUM circuli, in quo angulus eonsitutus est rectus , essemicirculus : in quo vero anguluι es acutus, en segmentum malui: ct in quo angulus es obtusus, en segmentum minus:Et segmentum,cuius angulus recto ea Imβδερ ,ea semicirculo matur cuius uero angulus es recto. minor , es vel semicirculus , vel semicirculo minus. 'Ad
1 SI angulo recto linea re cta Dbtensa,hoe est, si h triangulo rectangulo latus recto angulo o positum , bifariam secetur, is ex puncto aetasonis circa illam rectam,vel larus illud circulus describatur: transibit necessa io circu- ius ille per avgulum rectum. Ad propos I λ.
3 A dato puncto extra cireulum,rectam lineam ducere , qua datum tangat circulum. Ad propos II. SI per eentrum circuli alius circulus describatur , ct per utriusque circuli centrum recta ejeiatur,a puncto vero,υbi hac recta a posteriori circulo secatur, catur recta utcunque; secabitur eius portio intra priorem civeulum a circumferentia posserioris bifaria. Ad propos si . s LVADRITATERVM in circulo descriptum , eu,us duo late να opposita=m parallela, ct aqualia arallelogrammum est rectangulum,hoc est, vel quadratum , vel
altera parae longius. Ad propos 31.
6 SI Iinoa recta ducta ad extremitatem linea circulum se tantia fecerit eum ipsa angulos aquales θs, qui in alternis eirculi segmentis consis tint, anguli MLinea ducta cireulum tanget. Ad propos Ir. 7 SI dμa recta ita se secenmus rectangulum seub unius segmentis comprehensum , a quale sit et , quod sub segmentii
AIIerius comprehenditur,rectangulo : describi poterit per quatuor illarum puncta extrema circulusnhoc ect, circulus per qualibet trio puncta earum extrema descriptus,
70쪽
per quartum quoque punctum transbit. Ad propos. 3 s.
8 SI a puncto quouis extra circulum assumpto plurima linea recta circulum seeantes dueantum. Rectangula comprehensa sub rosis lineis, is partibus exterioribus inser se sunt aqualia. Coroll. I. propos. I 6. 9 DUAE recte linea ab eodem puncto aucta , quo circulum tangantsenter se sunt aquales. Coroll. propos. I 6.so AB eodem puncto extra circulum assumpto , duci tantum possunt dua linea, qua circulum tangant. Coroll. 3.
propos 36.s I SI dua recta aquales ex puncto quopiam tu couexam peripheriam incidant, , earum una circulum larigat, altera quoque circulum eanget.Coroll. 4. propos. 36,
sd SL a puncto aliquo bina linea recta fuit g egrediuntur , qua ita seeentur in binas paries,ut rectangula sub totis, ct segmentis prope punctum conprehensa sint aqualia;deseribi poι erit per extrema puncta aliorum segmensorum circulus , hoc est, circulus per tria puncta extrema aliorum segmentorum descriptus , per quartum etiam punctum extremum transsibit. Adpropos 36.13 DATIS duabus rectissiue aqualibus , e in aqualibus,
alteri earum rectam adiungere,ut rectangulum sub tota composita, et adiuncta comprehensum,quadrato alterιussit aquale. Ad propos 36. i- - s 4 SI a puncto extra circulum dato dua linea recta circulum tangentes ducantur, aut dua linea usque ad conis uexam peripheriam inter se aquatis ; Linea recta ab eodem puncto per centrum circuli eiecta angulum ab eis eomprehensum diuidit bifariam. Et contra , Linea recta angulum ab eis comprehensum diuidens bis iam , per
centrum circuli transibis Ad propos s7.
1 IN o cireulo rectam lineam accommodare aqualem data recta linea,qua circuli diametro non sit maior alteri data parallelam. Ad propos i. IN