장음표시 사용
61쪽
LIB. II. a Diametro E F. Hae igitur ambae Diametri GI & E F iit inter se sunt affectae, ut altera hi secet omnes Ordinatas alteri parallelas , quam ob reciprocam proprietatem hae duae Diametri inter se coN GATAE appellantur. Si igitur in terminis . G & I Diametri GI ducantur redhae alteri Diametro E F parallelae, tangent hae Lineam curiam, similique modo si per E & F ducantur rectae Diametro GI parallela: aar tangent Cur-Vam in punctis E & F. II Z. Ducatur nunc Applicata quaevis ΜQ obliquantula et sique angulus A QM - φ , ejus Sinus a & COL - ν. Ponatur Abscissa C Q - t, & Applicata M Q - M, eritque in triangulo P M Q ob ang. P M Q φ- q ac Proptereasn. P M Q - μ n - ν ni , y : u : P Q - μ. ζ m : μn m
ex qua Applicata v duos obtinet valores Q M & - Q ueritque QM- Qn--Bi tatur Or clinata Μ n in p, eritque recta Cp g nova Diameter secans omnes ordinatas ipsi Mn parallelas bifariam, eritque Qρ
obtinetur aurem hinc anguli G C g tangens
62쪽
unde ex aequatione yy Φ cxx - α Orietur
63쪽
, unde plurima consectaria deduci
II s. Sit semidiameter Cg-a, ejusque semidiameter con jugata C b ; erit ex aequatione ante inventa ,
64쪽
II 6. Si ergo in Sectione conica hinae Diametri con ligatae habeantur, GI, EF&gi, es, erit primo
si ergo ducantur chordae EG dc es, vel e regione FI dcfierunt pariter Triangula IC F de in I aequalia : unde sequitur omnia parallelogramma, quae circa hinas Diametros conjugatas describuntur , inter se esse aequalia. II 7. Habentur ergo tria triangulorum paria inter se aequalia , nempe,
I. Triangulum FCf aequale Triangulo I C i. II. Triangulum 1 CI aequale Triangulo F C i. III. Triangulum FC I aequale Triangulo 1 C i. Unde sequitur fore trapezia FfC I de i ICI inter se aequalia; a quibus si auferatur idem triangulum 1 CI, erit Triangulum FI f- Triangulo Ui: quae cum super eadem basi j I sint
conmtuta, necesse est ut sit chorda Fi chordae s I parallela. Porro itaque erit Triangulum FIi - Triangulo is F, ad quae si addantur triangula aqualia FC I dc C i, crunt quoque haec traperia inter se aequalia FC I i - i Cy F. II 8. Hinc etiam deducitur methodus ad quodvis Lineae secundi ordinis punctum M tangentem M T ducendi. Sumta enim Diametro GI pro Axe , cui conjugatae semistis sit E C , ex puncto M ipsi CE parallela ad Axem ducatur M P, quae erit semiordinata . ac PN-PM. Ducta C M, quae erit Semidiameter, quaeratur ejus Semidiameter conjugata CX , cui tangens M Ι' quaesita erit parallela. Sit angulus G C E - ρ ;Euleri Introdiact. in Anal. ion. Tom. II. H
65쪽
unde positio tangentis eXpedite invenitur. Erit autem ex hac
66쪽
Ieto. Cum igitur dentur duae Semidiametri conjugatae CG& C E , pro Semidiametro C M ad lubitum assumta statim reperitur ejus semidiameter conjugata CR sumendo C Κ V C E' in C G' - C M' . Ex superioribus ergo Sectionum conicarum proprietatibus erit T G. TI: TM' - CG. CL CX' - C G': C Κ' - C G': C E' - CG' - CM'ide
producta ordinata MN, ducatur tangens NT, ambae tangentes Μ T de NT. Mi TI in eodem puncto T occurrent. Erit mim pro utraque C P : C G - C G : C T. At x ero
I xi. Ducantur in terminis Diametri A Se B tangentes AR, B L , ac producatur rangens quaecunque M T donec utramque tangentem secet in punctis K de L. Sit ECF Diameter conjugata, cui tum Applicatae M P tum tangentes AK δ: B L.
67쪽
L η- Π erunt paralltilae. Cum jam sit, ex natura tangentis , CP r
P sΓ - AC' : CE', unde consequitur ista egregia proprie
122. In quocunque ergo Curvae puncto Is ducatur tangens
occurrens tangentibus parallelis AR, B L in Κ & L, erit semper Semidiameter CE tangentibus AR & BL parallela media proportionalis inter AK &BL, seu erit CE' - AK AB L. Quod si ergo in alio quocunque Curvae puncto m simili modo ducatur tangens fimi, erit quoque C E'- A h . Bl, ideoque AK : A Bl : BL hincque erit quoque ΑΚ . Kk-BI . LI Secent tangentes XL & bl se mutuo in o , oritque AE : Bl - A k : B L-K k: Ll - ho : Io - ΑΟ :Lo. Atque hae sunt praecipua: Sectionum conicarum proprietat2s , Ex quibus NE UT ONUS plurima insignia problemata resolvit in principiis.113. Cum si AK : BI - ΚΟ : Lo , si tangens L B pro- duratur in I ut sit BI - A X , crit I putamina , ubi tangens ex altera parte ipsi XL parallela hanc tangentem L B esset sectura , quemadmodum X in tangente LX est punctum, ubi ea
68쪽
a tangente A X ipsi P L parallela secatur. Transibit ergo recta CAP. V. IK per Centrum C , ibique bifariam secabitur. Quocii igitur
duae quaecunque tangentes B L, AIL, modo praescripto in I& Κ producantur, eaeque a tertia tangente imo in punctis I&ο secentur , erit B I. B l - ΚΟ : LO, & , componendo , Id :Il -Ro: KL, ubicunque ergo tertia tangens imo ducatur erit perpetuo IB. X L Il RO. Ducta ergo quarta tangente quacunque λμω hinas primum assumtas IL & Κ L se cante in λ &-, erit pariter I B . Κ L Iλ .R ω, ideoque Il. Κ Ο - Iλ . X a. seu II: Iλ - Κ ω: ΚΟ. Ductis ergo rectis lia, λο, in qua ratione hae secabuntur, recta per sectionum puncta transiens in eadem ratione secabit rectam I K. Quare si rectae lω & λ o bisecentur, recta per hisectionis puncta transiens , bisecabit quoque ructam IK ideoque per Centrum Sectionis conicae C transibit. 1 Σ Quod recta n m H, quae rectas lω , λo in data ratione T A B. secat; in eadem ratione secare debeat rectam RI, si quidem si ifuerit II: Iλ - Κ ω : Κ o, seu I λ:λl - Xo : Oω, hoc modo
11s. Datis duabus Semidiametris conjugatis C G . C E, quae T Α n. angulum obliquum G C E q inter se comprehendant, sem- VII. per reperiri poterunt duae aliae Semidiametri conjugatae C M O RI& C A quae angulum AJ CX rectum constituant. Sit angulus G CM mi & posito E CR - π, erit q Φ π-P- 9O'.
69쪽
TAn. VII. I 26. Sint igitur C A & C E ambae Semidiametri conjug β tae Sectionis conicae orthogonales , quae vocari solent D I AMETRI PRINCIPALES, sese in Centro C normaliter decussam es. Sit Abscissa C P - x, Applicata PM-y, eri que , uti vidimus, yy - α - cx x , vocatis autem Semidiametris principali hiis A C - a, C E - b erit α. - b-c unde fit yy--bb- ''UT. Ex qua aequatione intelligitur . cum non mutetur , sive x & y sumantur affirmativae sive negativae , Curvam esse habituram quatuor partes simi ips &aequales utrinque circa Diametros AC & E F litas. Erit nempe
quadrans ACE similis & aequalis quadranti ACF, hisque bini pares ad alteram partem Diametri E F sunt posti. 127. Si ex Centro C, quod pro initio Abscisiarum assumsimus , ducamus rectam CisI, erit ea V xx-l-yy v bb-- sex x , unde intelligitur , si fuerit b seu C E - C A, sere C M - v bb - b a. Hoc ergo casu omnes rectae ex Centro C ad Curvam Productae inter se f
70쪽
erunt aequales; quae, cum sit proprietas Circuli, manifestum est Sectionem conicam , cujus binae Diametri conjugatae principales sint inter se aequales, esse Circulum , cujus adeo aequatio inter Coordinatas orthogonales, positis CP - x & P ZI- y, erit Π aa- xx, existente Radio Circuli CA a. I 28. Sin autem non fuerit b - a, recta C M per x rationaliter nunquam exprimi poterit. Dabitur autem aliud punctum D in Axe , a quo omnes rectae ad Curi am ductae D Mrationaliter exprimi possimi ; ad quod inveniendum , pon tur CD f, atque ob D P - 1-x erit D M' -- f Σμ xx bb - -- - bb - 2δε - -- φη oua,
di ergo punctum dabitur geminum in Axe AC, utrinque scilicet a Centro in distantia CD V ab - bb . Erit autem tum D M'-aa-χxv aa- bb Φ-, hincque D M- ὰ π V μ μ T si h )-AC-- . Facto .P-o, fiet DM- DE a - AC, sumta autem Abscissa CP-CD, sdux V aa-bb , recta Du abibit in Applicatam D G, eritque ergo D G- - et, seu fiet D G tertia proportionalis ad AC & CE. 129. Ob singularem hanc proprietatem, qua puncta D hoc modo definita gaudent , ista Diametri principalis puncta omnino attentione sunt digna ; plurimis aliis autem haec eadem puncta praedita sunt eximiis proprietatibus , ob quas peculiaria nacta sunt nomina. Vocantur vero ista puncta Foci scit υMBILi I Sectionis conicae; & , cum in Diametro majori a sint
posita , ista Diameter a sua conjugata b ita distinguitur , ut ea vocetur Axis principalis & trans uersus ; dum altera b ejus Axis conjugatus appellatur. Applicata vero Orthogonalis D G tu ipso