장음표시 사용
351쪽
P pLANIS QUIBUSCUNQUE FACTIS. 3 s
qq.. Si in aequatione pro Superficie duae variabiles y &
ubique eundem dimensionum numerum constituant, tum omnes sectiones ad Axem A P normales erunt figurae rectilineae. Posito enim pro x valore quocunque constante , prodibit aequatio inter y & r homogenea, quae unam pluresve Lineas rectas indicat. Cum igitur numerus dimensionum , qui a binisy constituitur , ubique sit idem, vel par erit vel impar ;& hanc ob rem, uti supra g. 2o. ostensum est , hujusmodi Corpora hinas habebunt partes inter se aequales. Scilicet pomtiones in regionibus prima & quinta inter se erunt similes, tum vero etiam in regione secunda & tertia, & ita de ceteris , uti Tabella loco citato indicat. 6s. Iam plures hic contemplati sumus Corporum species, in quibus dantur infinitae sectiones rectilineae; veluti hanc ultimo pertractatam , & cylindricas atque conicas. Hae vero ita sunt comparatae ut sectiones per Axem A P factae sint rectilineae; hoc autem genus latius patet. Sit enim AKMP,
erunt constantes ab angulo φ pendentes : ideoque erunt Fun
tiones nullius dimensionis ipsarum y & r. Sint B & S huiusmodi Functiones : eritque x R r - - S ; sev x ByS. Vel , denotante T Functionem unius dimensionis , & Snullius dimensionis ipsarum 1 & r , omnia hujusmodi Corpora
continebuntur in hac aequatione generali x - Τ Η- S. 6. Quaecunque autem fuerit proposita Superficies , cujus natura per aequationem inter tres variabiles x , y , & r definiatur , facile erit ejus sectionem quamvis secundum Axem
AP factam determinare. Sit enim angulus V P Id, quo ista Euteri Introducr. in Anas insin. Tom. II. X x
352쪽
3 6 DE SECTIONIBUS SUPERFICIERUM
APPε ς n. sectio AKIIP ad planum ACVP inclinatur, - cp; & ponaturrecta P M - ν , quae erit Applicata sectionis quaesiitae ; quo facto habebitur QM- r v. sin. φ & P Q -y tam ν. cos cycQuod si ergo in aequatione pro Superficie loco variabilium γ& r istii valorus v. cos φ & v. . p substituantur , orietur aequatio inter duas variabiles x&ν, qua natura sectionis ARM PT i , inprimetur. Simili vero modo omnes quoque se mones, quae xxxi. fiunt secundum alterutrum hinorum reliquorum Axium princi- Hs palium A U vel A R , invenientur. Tres enim isti Axes A P. A Q & A A , a quibus tres variabiles x , y & r pendent, ita inter se sunt permutabiles, ut perpetuo, quicquid de eorum ullo docetur, ad binos reliquos transseratur. 7. Sumto ergo plano A P Q pro norma , ad quod omnes sectiones Superficiei reserantur ; sectio quaecunque plano facta vel erit parallela huic plano , vel ad id erit inclinata; hocque casu planum sectionis continuatum alicubi intersecabit planuin A P Q, atque intersectio illorum planorum erit Linea recta. Priori quidem casu , quo planum sectionis parallelum est plano A P Q, natura sectionis innotescet tribuendo quantitati ν valorem constantem. Posteriori vero casu, quo planum sectionis ad planum AP Q inclinatur, naturam sectionis adhuc tantum definire licet, vel recta A P vel recta A Q suerit interseetio plani secantis cum plano A P Q. Ad omnes ergo omnino sectiones eruendas superest, ut quascunque alias binorum ill
rum planorum intersectiones contemplemur.
xxxiii. 68. Sit recta E S, Axi A P parallela , intersectio plani s .Fig. 23. cantis cum plano APQ: angulusque inclinationis QSM, quo planum secans ES M ad planum A P Q inclinatur , pinnatur p , & distantia A E vocetur f. Cum jam sit AP -x, PQ y & OM- γῆ erit ES-x, dc QS γ ε f. Quod si ergo sectio ad rectam E S tanquam Axem reseratur, erit Abscissa ES - x, Applicata vero S M ponatur ν ; unde, ob angulum Q SM-φ, obtinebitur Q M- v. . φ , & S Q - y - - v. cof p, hincque y v. cos p - f Quare , si in aequatione pro Superficie
353쪽
A PIANIS QUIBUSCUNQUE FACTIS. 34
sitae. Si intersectio E S esse , normalis ad Axem A P ; tum , quia seret parallela alteri Axi principali in plano A P Q etitia tenti, permutandis variabilibus x & y, sectio eodem modo
9. Habeat jam intersectio E S in plano A P O positi nem quamcunque ; cui recta A E , ad Axem A P normalis, occurrat in puncto E. Tum ducatur ET X Axi AP parallela, & ponatur AE f, & angulus TE S - θ. Sumtis porro tribus variabilibus A P x , P Q -y & Q M - ; ex Q ad E S ducatur normalis QS, & jungatur, recta IIS, erit angulus Q S M inclinatio plani secantis ad planum A P Q, qui ponatur p. Deinde vero sint sectionis qua sim Coo dinatae E S - e & S II v. Ex S ad E X & Q P productam ducantur perpendicula S T& S V; eritque Q M- - v.Iin. φ ; QS v. cos. φ ἔ S V v. cog φ Iin. θ , & V V
v. cos. p. costa. Postea vero , erit S T V X- t. sin. θ , &ET-t.c0 . θ. Ex his colligitur tandem A P x t. ccs θ - ν. cos. φ.sn. θ , & P Q - γ v. cos. p. cos. θ - t. sn. θ - f; qui valores, si loco x. y & r substituantur, dabunt aequationem pro sectione quaesita. ueo. Data ergo aequatione pro Solido quocunque, ex ea facile elici potest aequatio pro Sectione ejus quacunque plana. Ac primo quidem perspicuum est, si aequario pro Solido inter tres Coordinatas x, y & r , fuerit algebraica , tum quoque omnes ejus sectiones fore Curvas algehra; cas. Deinde vero , cum aequatio inter Coordinatas sectionis i di v oriatur , ponendo in aequatione pro Solido i v.s n. φ, x t. cos. θ εν. cos. p. sn. θ , & γ - ν. cos. φ. cos. θ- t. su. θ - f, manifestum est in aequatione pro quavis sectione CCorsinatas i di vplures dimensiones obtinere non polle, quam in in quatione pro Solido tres Coordinatae x, y & r constituant. Fit ri t men quandoque potest ut aequatio pro sectione ad ordinem X x ΣCAP. II. T A B. xxxii Fig. 9.
354쪽
inseriorem reseratur; supremis scilicet membris, post substitutionena, se tollentibus. si . Si igitur in aequatione pro Superficie tres variabiles x, γ & r unicam tantum constituant dimensionem, ita ut aequa tio sit liuiusmodi αx Φ 8y--γῖ - a; tum omnes hujus Superficiei sectiones erunt Lineae rectae. Erit autem hoc casu Su- Perficies plana ; uti, cum attendenti facile patebit, tum infra clarius ostendetur : atqui ex Elementis notum est sectionem duorum planorum Lineam rectam esse oportere. Simili modo hinc intelligitur omnium Solidorum , quorum natura hac generali aequatione contineatur sngulas semones, nisi sint Lineae rectae , Lineas secundi ordinis elle debere, neque ullam dari lectionem, cujus natura per aequationem secundi gradus exprimi nequeat.
CAPUT III. De sectionibus Cylindri , Coni o Globi. 3 α. Quos et M haec Corpora in Elementis Stereometriae
consitierari solent , ' eorum sereones hic antea investigati conveniet, quam ad Solida alia minus nota progrediamur. Primum igitur , Cylindrorum duae occurrunt species in Elementis, rectorum scilicet ac sialenorum. Cylindrus reclus Vocatur, cujus omnes sectiones ad Axem normales sint Circuli inter se aequales, atque Centra in eadem Linea recta disposita habentes. Cylindrus autem scalenus sectiones ad Axem , non normales sed sub dato angulo inclinatas, habet circulares ; quae affectio commodius ita exprimetur, ut dicamus Cylindrum obliquum seu scalenum esse cujus omnes sessiones.
355쪽
ad Axem normales sint Ellipses aequales, quarum Centra in eadem Linea recta , quae Axis Cylindri vocatur , sint posita. 33. Sit igitur Cylindrus , sive rectus sive scalenus, cujus Axis C D perpendiculariter instilat plano tabulae; sitque ejus Basis A E B F, seu sectio a plano tabula formata, vel Circulus vel Ellipsis. AsIumam vero hanc satin esse Ellipsin quamcunque , Centrum in C & Axes conjugatos AB & E Fhabentem ; quoniam , quae de Cylindro scaleno tradentur,
facillime ad rectum accommodabuntur. Ponatur ergo alter
semiaxis A C - B C - a , alter vero C E - C F c- ; p sitis nunc tribus Coordinatis CP - x, PQ ydc QM- , erit. ex natura Ellipsis, cacc aayy Φ ccxx ; quae eadem aequatio exprimet naturam Cylindri, cum tertia variabilis r , ob omnes iactiones plano C P Q parallelas inter se aequales,
in aequationem non ingrediatur.3 . Hujus ergo Cylindri omnes sectiones Basi parallelae eidem erunt similes & aequales. Scilicet Circuli in Cylindro recto & Ellipses in scaleno. Tum vero sectiones, quae fiunt secundum plana ad A P Q normalia , erunt Lineae rectae, binae
inter se parallelae , quae , ubi Cylindrus tangetur a plano , in unum coalescent; atque adeo imaginariae evadunt, si planum Cylindro prorsus non occurrat. Hoc ipsu in ex aequatione sponte sequitur; si enim vel x vel γ vel x 1 .cy ponatur coniarans ad denotandam intersectionem plani secantis & Basis , tum aequatio duas habebit radices simplices. Sicque determinavimus jam sectiones omnes, quae fiunt per plana, uni trium planorum principalium parallela. sue. Ad naturam reliquarum sectionum indagandam, ponamus planum secans cum plano Basis intersectionum conlii tuere
rectam Lineam G T, quae primo sit parallela alteri Axi conjugato E F, seu ad alterum AB productum in G normalis. Hoc posito, sit distantia C G -, & inclinatio plani secantis
G TM ad Basim mensuretur angulo φ. Occurrat planum
secans GTM Axi Cylindri in D; & , ducta recta D G, erit
356쪽
TG P Q γ, & DS - - .s6. Sumantur nunc rectae D S & S M pro Coordinatis seotionis quaesitae ; sitque D S t , & S M - u. Hinc erit y V, π t. cos. φ : &, Ob i erit f tang. φ - t.sn. φ: Substituantur isti valores in aequatione pro Cylindro nacc aara in ccxx, atque resultabit pro sectione quaesita illa aequatio cacc aauu ε ccit cos. φ ': quae indiacat sectionem sore Ellipsin Centrum in puncto D habentem , cujus alter Axis principalis in rectam D G cadat, alter vero ad hunc fit normalis. Erit vero semiaxis in rectam D G cadens facto v - ο ὶ - - - . Uel, ducatur recta B H parallela ipsi G D , erit B H - - - alter semiaxis sectionis
quaesitae , alter vero conjugatus erit - c C E.
17. Erit ergo sectio Cylindri hoc modo ortae Ellipsis, cujus sumiaxes conjugati erunt & c. Quod si ergo in Basi AEB F fuerit A C - a semiaxis major ἔ tum , Oh maj rem quam a , sectiones erunt Ellipses magis oblongae, quam Basis. Sin autem fuerit c minor quam a : seu , si intersectio G T fuerit Axi majori Basis parallela, tum fieri potest ut insectione ambo Axes fiant inter se aequales, atque adeo sectio Circulus evadat. Eveniet hoc si fuerit - - c. seu co Q
357쪽
sumatur BH-CE, sectiones erunt Circuli, quod cum duplici modo fieri queat, rectam B H-C E sive supra sive infra conitituendo, binae existent sectionum circularium series, quae ad Axem CD oblique erunt inclinatae; ex quo hujusmodi Cylindri scaleni appellantur. 8. Sit nunc recta G T, utcunque oblique posita , intemsectio plani secalitis cum Basii, ad quam ex Centro Bassis C demittatur perpendiculum G C -s; & ponatur angulus B C G- θ ; sitque angulus inclinationis CGD - φ , cui aequalis erit angulus Q TAI, ducta O T ad G T normali. Erit ergo D G - - - , & C . Sit II punctum in sectione quaesita , unde ad Basilia perpendiculum II Q hincque porro ad Axem Q P demittatur; ita ut, vocatis C P -x, P Q -y& Q M - r , sit na c y ccxx. Ducantur porro ad intersectionem G I normales PC. Q T; erit G V x. sin. θ, PC f- x. cos θ; & , ob angulum Q PIV θ , fiet Q V y. . θ, PIV UT 5 .c . θ, & QT j x. cos θ -hy. θ.
358쪽
quam aequationem patet esse ad Ellipsin , cujus Centrum sit in D, at Coordinatae D S & S M ad Axes principales non sint normales , nisi sit 4 - c seu Cylindrus rectus. 6o. Ad hanc sectionem propius cognoscendam , sit a Mebs Curva, cujus aequatio est inventa inter Coordinatas D S - e&I1S ti; sitque , brevitatis ergo ista aequatio a acc α vu 28 t u Φ γ it l, ita , ut pro casu praesente , habeatur
Sint hujus sectionis ab & ef Axes principales conjugati, ductaque ad eorum alterutrum Applicata I 1ρ , vocetur Dp pdem p q; ac ponatur angulus ab H ζ ; eritu p. sn- c, in q. cof c & t p. g. ς - q.sn.c, quibus valoribus substitutis, net
si. Haec jam sequatio cum reseratur ad Diametrum orthogonalem , coessiciens ipsius ρ ρ debet esse o : unde , ob
: unde angulus a D H, ac proinde positio Diametrorum principalium cognoscitur. Hinc porro ipsi semiaxes de-sniuntur , hoc modo.
359쪽
63. Simili modo, cum sint quadrata
Euleri Introduci. in Anal. insn. Tom. II. Y y
360쪽
x Si Cylindrus quicunque secetur plano quocunque , erit re n tangulum Axium sectionis ad recIangulam Axium Basisn Cylindri, uti secans anguli, quem planum sectionis cum planon Bass constito, ad senum totum. πQuare, cum omnia parallelogramma circa D ametros conjugatas descripta aequalia sint rectangulis ex Axibus sermatis, etiam parallelogramma ista circa Basin & sectionem quamcunque Cylindri formata eandem inter se tenebunt rationem.
6s. Natura autem hujusmodi sectionum obliquarum Cylindri commodius sequenti modo definiri poterit. Si fuerit Basis Cylindri Ellipsis AEBF, cujus senaiaxes AC BC a,EC CF e , atque recta CD ad Centrum Basis C perpendicularis Axis Cylindri : secetur iste Cylindrus plano , cujus cum plano Basis intersectio sit recta TH ad Axem AB productum utcunque oblique posita, ad quam ex C perpe diculum demittatur CII, sitque angulus GCH-θ. Transeat planum secans per Axis Cylindii punctum D . erit , ducta DII, angulus CH D inclinatio plani secantis ad planum Ba- sis , qui angulus Vocetur p. Posita ergo c G - 1, erit