장음표시 사용
131쪽
TO Mus IV. stat non nihil a limbo per distantiam ipsi perpendicularem ED .
4. Cylindrus verticalis cavus adnexus pedi immoto desinit in limbum circularem exigui circuli horizontalis immoti cum ipso , quem indicat arcus O 'O'H , in cujus divisionibus exiguis determinatur crassiore determinatione motus circularis axis horizontalis ab indice assi xo huic cylindro . Ut autem in utroque motu tam axis hori Zontalis circa verticalem , quam plani sectoris circa axem horizontalem hoc planum possit remanere semper inpositione verticali, debet axis ipse horizontalis esse accurate perpendicularis tam axi verticali, quam plano Sectoris , quae positio utraque nisi accurata sit tam in G , quam in F, non poterit id obtineri, nisi in quavis nova positione sextantis fiat ille novus illarum cochlearum usus . At si ea habeatur Satis accurata I satis facile obtinetur positio debita verticalis conservata in quovis motu tam axis horizontalis circa verticalem , quam plani sextantis circa axeni hori Zontalem. s. In eo casu satis est reducere axem I G ad verticalitatem accuratam , qua reductione facta, axis GF evadit semper accurate horizontalis, & planum GF accurate verticale, ac silum CP, quod si libere pendeat, est semper accurate Verticale , Semper accurate conradit limbum . Porro positio axis IG accurate verticalis tum facile inducitur ope cochlearum pertinentium ad pedem . Convertatur axis GF , donec evadat ad sensum parallelus binis ex iis c chleis pertinentibus ad idem quodpiam e quatuor lateribus quadri- linei, quod concipiatur terminatum ad quatuor puncta R, S, T, V,
ut binis R , V : planum ACB , quod supponitur perpendiculare et axi , erit perpendiculare ei lateri : si filum CP vel distet alimbo , vel ipsi ita applicetur , ut non libere pendeat ; facile
per motum cochlearum pertinentium ad latus adjacens , ut cochlearum R,S , vel U,T , mutabitur inclinatio plani ACB ita , ut filum adducatur ad contactum simplicem liberum limbi , sed
cum tria puncta determinent planum, poterit utique una e reliqui S binis cochleis remanere elevata supra planum pavimenti vel basis
Iapideae praeparatae ad stabilem sectoris positionem , quae adduci p terit ad contactum cum ipso . Tum axis I G erit in plano quodam Disitigod by Corale
132쪽
dam verticali transeunte per puncta R, S. Fiat conversio axis GF per quadrantem motus sui circularis, & eodem pacto ope cochlearum pertinentium ad latus alterum utrumvis perpendiculare priori , ut cochlearum R, V , vel S, T iterum mutetur inclinatio plani, ea mutatio nihil oberit positioni axis ejusdem in plano verticali priore, si fiat per motum aequalem utriusque cochleae; axis ipse tantummodo inclinabitur intra id planum , donec filum iterum adducatur ad liberum contactum cum limbo . Eo pacto adducetur is axis ad alterum planum verticale transiens per puncta R, V, adeoque erit in intersectione binorum planorum vertic lium , quae debet esse verticalis. 6. Quod si post ejusmodi binas operationes , circumacto axe
GF circa GI , vel plano ACB circa ipsum GF , filum CP alicu-hi nimis apprimatur limbo, vel ab eo distet , limbus autem sit in eodem plano cum centro, quod ut fiat obtineri potest meth do opusculi II; manifestum erit, haberi in collocatione axis GP vel respectu axis I G , vel respectu plani ACB , vel respectu utriusque, aliquod vitium , quod oportebit determinare , ut possit corrigi. Ea correctio haberi non potest per normas , quae nimirum applicari non possunt in G , R F ita , ut per eas obtineatur ea positio accurate perpendicularis . Inveni methodum de terminandi ope Geometriae, & calculi singulos errores , per ipsas distantias ED fili a limbo determinatas in tribus positionibus plani sextantis circumducti circa axem hori Zontalem immotum , & alii
tribus axis horizontalis transferentis Secum planum Sextantis carentis quovis alio motu praeter eum, quo transferatur ab axe eodem,& dirigendi correctiones , determinatis plagis, & magnitudinibus
singularum correctionum , indicato etiam modo, quo correctiones
obtineri possint, & id est scopus totius hujusce opusculi. . Ubi filum distat a limbo AB , admodum facile determinari potest ipsa ejus distantia DE , quae ob datum radium CD exhibebit angulum inclinationis DCE. Si rectae verticalis positio jaceat ad partem oppositam ; filum apprimetur plus aequo ipsi ii
bo : Verum etiam tum ea poterit determinari, removendo punctum suspensionis a C versus caput e acus Cc , defixae in centro ita,
133쪽
TOMUs IU. ut filum jam distet a limbo. Tum vero distantia Ce fili ipsius a centro in C evadet major, quam ejusdem distantia a limbo in D, & haec subducta ab illa exhibebit ejusmodi inclinationem iactam
in partem contrariam , cujus valor facile habebitur . Si enim DE, vel ea differentia sit m m , & radius instrumenti CD m a, patet , sinum ejus anguli sore - : cumque is angulus debeat esse exiguus ob errores instrumenti exiguos, ut hic supponimus; is ipse poterit assumi pro valore anguli, sive pro Ualore arcus eum metientis in circulo , cujus radius m I . Uerum satius erit em cere , ut filum pendeat ex ipso centro C , ut unica debeat assumi distantia DE , & ea quidem in loco commodiore , nimirum in imo limbo : id autem facile obtinebitur; nam si ope cochlearum pedis RSTV satis inclinetur axis. I G ; habebitur in aliqua parte conversionis axis GF circa ipsum G I filum a limbo remotum, &posito axe GF ad eam plagam, versus quam inclinatus est axisIG , planum ACB ita inclinabitur, ut filum vel in magna parte
conversionis, vel etiam in ea tota sit non nihil remotum a limbo. 8. Porro admodum facile definiri accuratissime poterit distantia DE ). Charta crassior ope longioris regulae rescindatur perrectam longiorem , tum per aliam , quae cum ea exiguum angulum contineat. In eo angulo quaeratur distantia a vertice , in qua
latera a se invicem distent per duas, vel tres lineas pedis Parisiensis, & sectis lateribus in duas, vel tres partes aequales, habebitur locus, ubi distantia laterum sit unius partis assumptae duarum,&c . Subdivisionibus adhibitis facile habebuntur bases anguli incentesimis etiam ejusdem partis . Anguli planum limbo perpendi-
cula- Hle ego quidem proposui, eum hoc opusculum conscriberem , methodum e Peditam praestandi Ope crassioris chartae abscissae ad angulum exiguum , illud idem, pro quo habetur in opusculo II instrumentum , quod ad ejusmodi usum perpetuum curavi perficiendum e metallo , & appellavi cuneum microme tricum , ac habetur in fig. a Tab. I. Ibidem exhibui methodum tutiorem dividendi ejusmodi superficiem ita, ut hasce distantias accuratissime exhibe t. Cum illud non haberem ad manuς, substitui hoc instrumentum chartaceum ,
quod hὶc relinquo, eum sit tam facile parabile , occasione se oflarente , di illud non sit in usu communi.
134쪽
ΟPUsCULUM VII. eulariter applicatum insinuetur inter limbum , 3c situm , ae sensim promoveatur, donec attingat filum ipsum . Ibi a loco lateris apparebit , quanta sit distantia fili a limbo, aequalis nimirum basi anguli, sive distantiae laterum a se invicem in eo loco. 9. Positio quoque instrumenti, in qua assumitur distantia filia limbo , facile determinabitur . In casu , in quo planum ACB circumagitur circa axem GF , positionem ejus plani respectu ipsius axis exhibebit ipsa divisio limbi AB cum gradibus ibi adnotatis. In altero autem casu , in quo axis GF circumducitur circa axem I G , notari poterit positio axis mobilis in illo circulo azimul hali OO'O', per indicem Go tendentem ad partes ipsi axi
oppositas, vel utcumque connexum cum ipso axe. Io. Iam vero si concipiantur rectae G , FN perpendiculares ad
planum ACB ; circumacto axe GF circa IG , Sc notatis tribus distantiis fili a limbo in tribus positionibus axis GF ita determinatis, ut obtineatur id, quod obtinendum proposuimus, determinabitur & magnitudo , & positio inclinationis axis I LG ad horizontem , & angulus I G Q. , quem is continet cum perpendiculo G , quanquam hujus posterioris nullus nobis occurret usus, ac circumacto plano ACB circa axem GF , 3c notatis itidem tribus distantiis fili a limbo , determinabitur inclinatio hujus ad horizontem , & angulus GFN , quem is continet cum perpendiculo FN,
ac positio utriusque inclinationis : eorum autem ope invenietur, quantum angulus LGF aberret a recto , quibus cognitis innotescet quidquid requiritur ad corrigendam instrumenti constructionem , ut deinde possit ad accuratam positionem perduci . Verum eae omnes determinationes requirunt bina lemmata, quae idcirco
II. Lemma I . Si e binis punctis C, C fig. Σ) quibusvis plani inclinati MN pendeant bina pondera P, P' per fila CP,C'P',& assumptis CE,C'E' versus P, P' aequalibus, ducantur perpen dicula ED, E'D' in ipsum planum ; erunt aequalia ipsa, & aequa les anguli DCE, D'C'E', ac latera CD, C'D' aequalia . I 2. Erunt enim inter se parallelae binae rectae verticales CE,C'E', & bina perpendicula ED, E'D' in idem planum ducta . Qua-d a re ScDissilirso by Corale
135쪽
re & anguli CED, C'E'ta, & eorum complementa DCE, C'E',& tota ea triangula, adeoque & latera ED, ED', ac CD, CD
omnia erunt inter se aequalia .
I 3. Scholisnu. Hinc si in fig. I in conversione axis GF circa axem IG penderet filum ex Q, vel in conversione instrumenti circa axem GF penderet ex F; id in distantiis ab eo puncto aequalibus distantiae CE haberet distantiam a plano ACB aequalem distantiae DE fili pendentis e puncto C. I . Patebit infra, quanto faciliorem determinationem id reddat : nam in primo casu recta Gd perpendicularis plano ACB conversa cum ipso circa axem I G describit superficiem coni recti , si angulus IG. non est rectus , quo existente recto , de- Scriberet planum circuli perpendiculare ipsi axi IG : in secundo Vero casu , converso plano ACB circa axem GF , punctum Fmanet fixum , recta vero FN perpendicularis ipsi plano describit
itidem superficiem coni recti , nisi congruat cum eodem axe I ea consideratio solutionem exhibebit.
13. Lemma a. Datis fig. 3) in peripheria dati circuli tribus punctis O, O', O', quaeratur in eadem punctum A ejusmodi, ut ductis perpendiculis OR , O R', O'R' in diametrum ACB , in qua sit quoddam punctum M , rectae M R, MR', M R' sint ad
Se invicem in ratione data m, u , r, quaeraturque ipsum illud punctum M. I 6. Ducantur chordae OO', O'O': harum posterior occurrat perpendiculo RO in S. Quoniam datur ratio rectarum M R , MR,MR', dabitur etiam ratio RR' ad R'R'', quae erit n-m ad r - n. Ea autem est ratio rectae GS ad chordam O'O'. Quare dabitur
ipsa O S cum puncto S , adeoque 3c SO . In hanc , si opus e t, productam ducatur perpendiculum CR , quod utrinque produSium determinabit quaesitam diametrum AB , posito A in eo ejus extrzmO , quod accedit propius ad punctum e tribus O respondens maximae distantiae fili a limbo, quam ad respondens minimae. Ductoin AB perpendiculo O R', habebitur RR', cujus ratio ad RV, cumbit eadem ac u - m ad m, habebitur & RM cum puncto M sito ad partes R', vel R , prout suerit m major, vel minor, quam N. 17. Schol Di iligoo by GO Ie
136쪽
opos LUM VII. Ias17. Schol. I. Datis a rhuq AO, Ao', AO', & numeris m,n,ν, facile caetera expediet hir calcitio etiam trigonometrico. Occurrat enim So peripheria sttiam in V, Sc cum anguli O 'O' mensura sit dimidius arcus Ogo', cui is insistit; mensura ejus supplementi OO'S erit dimidium dati arcus Oo'O'. Chordae autem Oo', Ο'O' sunt dupli sinus dimidiorum suorum arcuum , adeoque dantur ii sinus respectu radii dati circuli, qui assumi potest pro unitate . Hinc eae dantur, & factis r-n: v - m:: O'O': O S, dabitur & haec recta . In triangulo OO'S habito angulo G cum lateribus adjacentibus , invenietur angulus SOO', adeoque Sc hujus Suplementum O'OU, cujus duplum est arcus O'O''U. Si huic addatur O O , Sc assumatur dimidium ejus summae ; habebitur a cus O A. Tum vero R'R erit disserentia cosinuum CR , CR' arcuum AO , AG jam datorum : si ii cosinus dicantur b , 8c c; erit n - m :m ::c-b: m RM, 3c CV m --- b.
Ι 8. Scsol. 2. Ad hoc secundum lemma reducitur determinatio eorum , quae ex datis distantiis fili penduli a limbo quaeruntur in utraque conversione circa axes IG, GF figurae I, quod hasce perquisitiones instituenti mirum sane accidit , Sc commodissimum. Ternae ejusmodi distantiae pro singulis ex iis binis casibus omnia exhibent, ut innui num. io, Sc jam patebit: idcirco libuit ipsum lemma praemittere utrique e sequentibus binis problematis.
in tribus datis positionibus axis GF rarantis circa axem ΙG, iu- Cevire declinationem exiguam ipsius axis IG a recta verticalι
cum plaga, tu quam iuriiuatur, oe di orentiam exiguam auguli IGd a recto. ro. Sint Ο, O', O' tria puncta notata ab indice, quae determinabunt arcus ΟΘ', Ο Ο' similes iis, quos interea describit punctum Q in circulo, cujus planum est perpendiculare ad axem IG. Exprimat eum circulum figura , in qua sit C ejus centrum, ScCG segmentum axis I G figurae I , quod erit axis coni descriptia perpendiculo G. . Concipiatur ex G recta verticalis, occurrens plano circuli in Κ: sit autem ACB intersectio plani verticalis
137쪽
ras To Mus IV. GCK cum plano ipsius ei reuli , ac GA , GB cum ejus coni superficie . Angulus CGK exhibebit declinationem axis I G figurae ra positione verticali , & punctum A plagam , in quam is inclinatur , ac angulus. CAG, sive C. differentiam anguli quaesiti
a I. Ad ea invenienda concipiatur per punctum d planum horizontale occurrens rectis GI, AB in H, R : tum in plano BGArecta AI, S: GM utraque parallela horigontali RH , quae occurrant rectis GK, AB in I, M. Erit ut KI ad KA, ita tam ΚΗ ad KR , quam ΚG ad KM , adeoque etiam , capiendo antecedentium , & consequentium summas , GH ad MR , quae ratio cum Sit constans , utcumque mutata positione puncti Q, erit, eo ut cumque mutato, GH ut MR . Hὶc revocandum est animo, pua cta G, Q. esse in hac figura eadem , ac in fig. I , & axem GC coni recti descripti hic a recta G perpendicularem plano Sectionis circularis BQ A ejus coni esse segmentum axis GL ejusdem figurae I . Quamobrem si concipiatur recta verticalis QE aequalis
fio penduli CE figurae i , cum recta ED hic perpendiculari ad id ipsum planum ejusdem figurae 1 , erit haec aequalis illi ED in
ipsa determinatae ope cunei : angulus autem G D rectae perpendicularis plano eidem cum recta ED existente in eodem plano erit rectus, adeoque aequalis angulo H E , quam recta Θ horizontalis continet cum QE verticali . Quare dempto communi
erit GH ad ED in constanti ratione G , ad QE . Quare erit GH , ut ED , adeoque etiam MR , quae est ut GH , erit ut distantia fili a limbo in figura I . Facile autem patet, punctum Adebere respondere maximo angulo G. .eta. Si jam figura 3 referat hunc circulum , & in eo tria puncta Ο,O', O' respondeant tribus punctis Ο, O , o notatis ab indice in sg. I pro tribus diversis positionibus axis GF gyrantis circa I G ;habebitur ratio trium MR,MR',MR'; erunt enim, ut tres distantiae fili observatae, quae appellari possunt m , n,r, cum respondeantiis, quarum ratio cxpressa est iis litteris numero Is . Quare ha
138쪽
opus CULUM VII. Ia 3c adducatur index ad H ; habebitur positio axis GF obversi in eam plagam , in quam inclinatur axis IL , & habebitur num. 1 in
23. Invenientur etiam facile in fig. & anguli quaesiti CGL , CAG . Nam in primis dueta , angulus G H , aequalis E ,
seu num. 13 aequalis angulo ECD figurae I dato per num. 7 erit divisus in duas partes ΚΘ, ΚΘ , quae erunt ad totum , ut ΗΚ, ΚG ad totam HG snam tangens HG ejus anguli exigui relata ad radium . confunditur ad sensum cum arcu circuli), n, mirum ut rectae M Κ, ΚR, sive neglecta perquam exigua CL; est enim exiguus angulus CGΚ, & exigua recta ΚG ob angulum Κ AG exiguum in ut rectae MC, CR jam datae ad totam MR . Quare habebuntur illae duae partes , quarum posterior, nimirum angulus G est quamproxime aequalis angulo C. sob punctum K quamproximum puncto C in , sive angulo CAG , qui est altere quaesitis. Prior autem, nimirum KQH, exhibebit elevationem rectae KQ supra horizontem R . Ea ad ΚΑΙ erit quamproxime, ut KH ad ΚI nam ob punctum K proximum centro C, est proxime Κ ΚΑ , & ΚH,ΚI sunt eorum angulorum tangentes ad eos radios, quae in angulis exiguis sunt ut ipsi anguli), nimirum ut KR, sive CR ad C A . Dabitur igitur & angulus ΚΑΙ , qui aequalis est quaesito CGK, cum ii sint complementa angulorum aequalium ad verticem Κ in triangulis rectangulis ΚIA, ΚCG, existente recto etiam hoc secundo ob CG axem coni recti num. I q).2 . Scholium I . Erit MR m -- num. II): KR m
se b) po tremi duo Valores exhibent binos angulos quaesitos. 23. Si Dissiliros by GO Ie
139쪽
se aequales, & media cadat in medium arcum determinatio evadit multo simplicior. Punctum secundae observationis fg. 3) cadet in A, & immediate determinabit ipsum A: cosinus o observationis Secundae erit m I. Quod si prima, R tertia exhibeant distantiam o; chorda ipsa Oo' determinabit M , cum eo casu tam MR, quam MR' debeat esse m o : Ualores angulorum , facto m mo, rm o,c m I, erunt inc GAC m δε--,&KGCm . . . a I-b ' a 1 - b)Facile autem ejusmodi observatio instituitur circumducendo axem
GF circa GL hinc, R inde , donec deveniatur ad positionem , in qua filum appellat ad limbum , Sc deinde adducendo eum axem ad medium arcum prioribus positionibus interceptum , ac ibi capiendo distantiam n . 25. Probl. 2. Notatis sim r) tribus distantiis DE siti a limbo in tribus datis positionibus plani ACB Drautis circa GF, inυ nire inclinationem exiguam ipsius axis ad horizonton cum plaga , in quam inclinatur , ct decliuationem exiguam ejusdem a perpendiculo FN.α7. Sit in fig. s recta Fo eadem, ac in fig. I recta FN perpendicularis plano ACB, substituto hac puncto O illi N ad habendam analogiam cum figura 3 , cujus usus hic recurrit : AOPB sit circulus descriptus ab eo puncto , cujus circuli planum erit perpendiculare axi GF ejusdem figurae 1 , & centrum C hie in eodem axe ita, ut hic axis FC coni habentis pro basi eum circulum,& pro vertice punctum F sit segmentum ipsius axis FG figura: I. Concipiatur recta verticalis UFE cum hinis planis verticalibus transeuntibus per ipsam , & eorum altero per C , altero per O. Eorum planorum intersectiones cum plano circuli determinabunt diametrum AB , & chordam OP. Erit autem punctum V admodum remotum ob axem FC parum abludentem a positione plani horizontalis ducti per F. Id planum occurret rectis VOP , UAB in I , M, R erit IM perpendicularis plano VBF, cum sit ipsi perpendiculare praeter id planum horizontale etiam planum AOPB, quorum planorum ea est intersectio. Demum concepta FE aequali
140쪽
ΟPusCULUM VIL Ia o filo CE figurae 1, sit ED perpendicularis plano instrumenti, adeoque num. 13 ) aequalis distantiae fili a limbo, quae quidem debebit
esse parallela FO normali itidem ad idem planum , adeoque jacens cum ipsa in eodem plano OFΙ . Demum sit OR parallela IM, Ddeoque normalis itidem ad diametrum AB.28. Angulus CFM erit quaesita inclinatio axis FC ad horizontem FM, & ΟFC α AFC declinatio ejusdem a perpendiculo mitidem quaesita : indicabit autem A positionem puncti O , in qua ipsum perpendiculum jacebit in eodem plano verticali supra eundem axem FC. 29. Ob angulos AFB , OFP exiguos, bases ACMB, OIP haberi possunt pro arcubus subtendentibus angulos in F ad radium constantem FO , 8c sinus ED itidem pro arcu subtendente angulum EFD ad radium FE . Porro ob angulos OFD, I FE rectos, ablato communi IFD , habetur EFD m OFI. Igitur erit ut FEad ΟF, ita ED ad OI, quae ratio cum sit constans , erit OI ut ED. Porro est proxime OI RM ; est enim ΟΙ: RM :: UO: VR , quae ob ingentem distantiam puncti U haberi potest pro ratione aequalitatis. Quare erit & RM , ut ED. go. Redit igitur pro inventione puncti A per tria puncta ofigura tertia cum lemmate 2 , Sc invenietur ratio RM , sive OItam ad AC , quam ad CM , quae erit ratio anguli OFI, seu dati DFE aequalis snum. 13) ECD figurae I dati per num. 7, ad AFC, 3c CEM, qui anguli idcirco habebuntur, ut oportebat. 3I. Schinium l. Tres distantiae fili a limbo in hoc motu dicantur r', cosinus CR, CR' figurae 3 b c : erit, ut nu