장음표시 사용
151쪽
r o ToM Us IV. tur prope ea puncta ita, uti exprimuntur. Unus ex iis casibus habetur, ubi parum distat a quadrante arcus, cujus inducitur co- sinus, qui ibi decrescit in infinitum, vel tangens, & secans, quae in infinitum augentur: potest id ipsum accidere etiam, ubi is arcus ipse est exiguus. Sed ut innui, nullum hic habetur ejusmodi periculum , & potest adhiberi cosinus, ac serans arcus vel majoris, vel minoris ex iis hinis, dummodo arcus ipsi non sint ita exigui , ut eorum differentia non sit exigua respectu eorundem . 8. In arcubus, qui hic possunt Occurrere, secunda ratio radii ad Secantem est multo aptior . Satis est multiplicare differentiam chordarum inventam per excessum secantis supra radium, & addere productum ei ipsi differentiae ad habendam differentiam arcuum quarSi tam . Porro is excessus incurrit statim in oculos inspicienti tabulas Sinuum, dempta prima unitate, quae radium exprimens occurrit sola in arcubus minoribus gradibus clo . Cum autem differentia chordarum , quae in arcubus instrumenti verificandi proximὲ aequalibus pot-eSt Occurrere, debeat esse admodum exigua; ea multiplicatio evadit expeditissima , atque id eo magis , quod in excessu secantis supra radium , sit satis in iis arcubus pro prima illa unitate ponere Zero . Satis autem erit assumere in eo excessu partes radii tantummodo centesimas , vel ad summum millesimas, quod ipsum reducet ad notas ad summum tres, & cito ad duas, vel etiam ad unicam , eo penitus neglecto in arcubus minoribus. Pro dimidio arcus graduum 3o m Is, jam is excessus est tantummodo o,O33 , pro 7'. - dimidio arcus I s' is non pertingit ad o,oo9. q. Tridior. 2. Si duo radii sint suae quales cum disserentia exigva respectu 1 cye jungentis corum extrema puncta , quae reritia
hὶc an Hab tur chorda observata, ct haec comparetur cum chorda arcus interceptι ivter eorum radiorum directiones in circulo habcure pro suo radio majorem ex iis binis radiis , quae dicatur chorda reducta ' excessus radii majoris supra m uorem erit ad disserentiam earum chordarum , quae erit excessus reduectae supra observatam , ut est sinus totus ad sinum dimidii ejusdem arcus intercepti.
io. Sint enim sfig. a in ii radii CB , CD , quorum posterior pr
152쪽
ΟΡusCULUM VIII. I rductus occurrat in A arcui circuli habentis pro suo radio priorem; chorda observata erit BD , vera BA, angulus autem DBA erit exiguus ob disterentiam AD aequalem ei disterentiae radiorum exiguam respectu chordae utriusque . Hinc arcus DE circuli habentis B pro centro qui abscindet differentiam chordarum AE, haberi poterit pro recta perpendiculari ad chordam B A. Haec autem debet cadere intra angulum DAB , qui in triangulo C AB semperiSOScelio erit semper acutus, adeoque ea disterentia erit excessus chordae reduelae supra observatam . Deinde si recta CF sit perpendicularis ipsi chordae BA , quam secabit bifariam; erit AF sinus dimidii arcus AB, & ratio radii CA ad ipsam AE erit ratio,
quam habet sinus totus ad sinum dimidii ejus arcus, quae cum sit ratio excessus AD radii CB supra radium CD ad excessum AE chordae verae supra observatam : sic patet quidquid fuerat propoSitum. II. Scholium . Hic itidem nulla dissicultas haberi poterit in applicatione hujus theorematis differentialis ad casus, qui possunt occurrere in hujusmodi verificationibus, cum ex una parte dimidium arcus AB debeat distare multum a quadrante, & ex alia supponaturdi flerentia AD binorum arcuum ita exigua respectu chordarum earundem , ut angulus ABD evadat exiguus, nec angulus C AB pos- Sit ita accedere ad rectum, ut sinus-versus arcus DE, qui negligitur accipiendo ipsum arcum pro suo sinu re ipsa rectilineo , S perpendiculari ad chordam BA , non debeat esse perquam exiguus respectu differentiae AE , respectu cujus negligitur. I 2. Cor. I. Si pro chorda reducta assumatur chorda arcus determinati a productione binorum terminatorum ad bina puncta diGisionis limbi in circulo habente radium paullo mavor m utroque ex iis , ct is circulus , ac ejus radius dicantur circulus, o
radius r ductionis , excessus chordae reductae supra observatam con jungentem ea diυisionum puncta habebitur multiplicando summam excessuum radii reductionis supra eos radios per sinum dimidii ejusdem arcus.13. Si enim fig. 3 ii radii minores sint CD, CG , qui producti occurrant in A, & B , circulo habenti pro radio reductionis
153쪽
terminatuς ad hanc, & centro B arcus DE terminatus ad cho dam BA ; erit ΒΗ excessus rectae BD supra chordam observatam DG , & AE excessus chordae reductae AB supra eandem rectam BD . Quare summa ipsorum excessuum B H, AE erit excessus chordae reductae AB supra observatam DG Porro ex hoc theoremate erit tam BG ad ΒΗ , quam AD ad AE in eadem ratione sinus totius ad sinum dimidii arcus AB . Quare habebitur summa ipsarum lineolarum B H, AE , quae est excessus chordae reductae supra observatam, multiplicando summam excessuum BG, AD
radii reductionis supra radios terminatos ad bina puncta G, D per sinum dimidii arcus AB intercepti inter horum productiones , quod
productum exhibebit excessum chordae reductae supra observatam, uti fuerat propositum . Iq. Cor. 2. Si comparandi sint inter se per differentias chordarum bini arcus circuli reductionis, etiam non contigui, quorum radii terminati ad puncta divisionum sint omnes inter se diversi, poterit assumi pro radio reductionis maximus ex omnibus radiis
terminatis ad omnia divisionum puncta , & inveniri differentia ,
quam habebunt a se invicem binae chordae illorum arcuum reductorum ad hunc circulum , & differentia ipsorum arcuum methodo sequenti . IS. In primis comparando eos radios inter se methodo opusculi I, invenietur excessus radii reductionis supra singulos ex iis quatuor, qui erit m o, si ipse ille radius omnium maximus suerit unus ex iis quatuor. Dicantur ii excessus pro radiis arcus primi a , & b , Sc pro radiis arcus secundi a , & b' Deinde determinetur in iisdem particulis excessus primae chordae Observatae Su pra Secundam d , qui erit delectus , si ea prima chorda suerit minor Secunda, valore d eo casu evadente negativo : chorda prima observata dicatur e , & dimidium arcus utriuslibet m Chorda Secunda Observata erit c - d : chorda prima reducta erit c - - a 'μ b) sis. m , secunda e - d - - sa - - θ') sin. m . Hinc excessus primae chordae reductae supra secundam erit d sa - b - a b'ὶ
154쪽
I6. Invenietur excessus primi arcus Supra Secundum per theorema I , dividendo hunc valorem per cos .m , vel multiplicando illum per sec. m : poterit autem adhiberi pro primo termino ea
multiplicatio, & pro secundo ea divisio : hac autem adhibita , obvenit ' ' , qui valor ex formulii trigonometricis est m
ran. m. Quare excessus primi arcus supra secundum erit d see. m- - sa -b a-b') tan .m , qui evadet desectus, si is valor evaserit negativus. II. Scholium . Inde oritur pro disserentia arcuum , quae demum quaerebatur, sequens regula, in qua habetur ratio non solius tantummodo inaequalitatis chordarum, sed etiam inaequalitatis radi rum pertingentium ad puncta divisionis . Pro habendo excessu primi e duobus arcubus comparatis per Suas chordas supra secundum , excessus primae chordae supra secundam multiplicetur persecantem dimidii arcus : sat tam Summa excessuum radii maximi omnium exhibitorum ab instrumento supra radios arcus primi , quam summa excesSuum Supra radios arcus secundi : subtrahatur summa posterior a priore z residuum multiplicetur per tam gentem ejusdem dimidii arcus : summa horum binorum productorum erit quaesitus excessus arcus primi supra secundum .
18. Patet ex hac regula, & e formulis, rem totam peragi per solas disterentias chordarum , & radiorum , quae solae debeant haberi accuratae, & quidem relate ad scalam quamcumque , quae
exhibere possit particulas perquam exiguas, independenter a valore accurato cujusvis chordae, vel radii, dummodo habeatur relatio particularum scalae ipsius ad valorem arcus non ita nimis exiis gui insculpti in instrumento , utcumque non prorsus exacti, ut minutorum Io, vel s, cujus arcus error exiguus respectu totius, inducet in numerum exiguum particularum , quae habentur in iis disterentiis, errorem exiguum respectu ipsius totius exigui, ademque penitus contemnendum . Ea scala habetur per numerum integrarum revolutionum cochleae micrometri , & partium unius revolutionis .
I9. Methodus determinandi eas disterentias pro chordis habetur in Dissilirso by GO Ie
155쪽
ibi inventus est constans , cum chorda arcus graduum 5o : pro
chordis methodus hic est eadem , & eodem modo lilc compararrpossunt omnes radii inter se , quo ibi ille constans, cum ea chorda : quoniam hic supponuntur omnes divisiones factae per punctula, possunt omnia fieri accuratius, cum lineola ducta in supersicie laminae vitreae multo accuratius adducatur ad positionem , in qua ea tegat fere totam diametrum circelli visi pro puncto per microscopium ita, ut extent hinc, & inde duo segmenta aequalia. Si haberetur hic etiam , ut in quadrante , cylindrulus in centro , circa quem circumducatur alidada ; comparatio radiorum terminatorum ad punctula fieret multo facilius : satis esset adnectere ipsi alidadae unicam machinulam habentem lamellam vitream mobilem
ope cochleae : adducta alidada ad positionem primi puncti adduceretur lineola ad ejus centrum : tum ipsa Midada adducta ad omnia sequentia punctula , haberetur per micrometrum disterentia ejus primi radii a sequentibus omnibus .
EO. PropoSuimus num. I , ut assumatur pro radio reductionis radius Omnium maximus, ut nimirum in exprimenda regula adhiberetur pro disterentia vox excessus, sine alternatione positivorum , & negativorum , excessuum , & desectuum, ubi radius posterior est major priore : verum patet , rem aeque perfici , si assumatur pro radio reductionis quicumque e radiis , ut primus ex iis, ad quos alidada sit adducta, adhibitis desectibus cum signo negativo . Posset etiam initio amandari ope micrometri lineola ad distantiam aliquanto majorem ea , quae possit supponi in radiis
parum utique discrepantibus a se invicem . Tum differentia numeri notati a micrometro pro ea positione a numero notato pro quovis alio radio exhiberet semper immediate excessum sine ulla permixtione negativorum. 21. Sed nec esset necessarium adhibere radium quempiam reductionis communem pro omnibus binariis arcuum comparandorum: posset assumi quivis e quatuor radiis pertinentibus ad ip os: habebitur enim disserentia angulorum Subtensorum in centro, pro quorum mensura potest considerari arcus circuli cujusvis : valor
156쪽
particularum micrometri desumitur a numero ipsarum respondente arcui circuli cujusdam determinati , sed pro hoc assumi potest, ut diximus , arcus quivis ex iis, qui habentur in ipso instrumento, utcumque non nihil erroneus, cum ejus erroris effectus dispareat in valore exigui numeri, qui habetur in exiguis differentiis , atque id eo magis, quod pro eruendo Valore ipsarum particularum assumi possunt plures arcus determinati a pluribus binariis punctorum exhibentibus arcum ejusdem numeri minutorum,
quorum errores se maxima ex parte compenSabunt, as Sumpto Valore medio. Porro adhibendo pro radio reductionis unum ex illis quatuor radiis , non adhibentur in singulis ex iis calculis numericis , nisi tres tantummodo excessus . Ubi autem comparantur inter se bini arcus contigui , quod fit semper in bis sectionibus , &saepe etiam , vel quandoque , in tri sectionibus, & divisione arcus cujuscumque graduum quinque in gradus singulos , non occurrunt, nisi tres radii , adeoque assumpto pro radio reductionis intermedio ex iis tribus , non occurrunt adhibendi nisi duo ex.
22. Verum pro divisione arcuum graduum quinque in gradus singulos negligenda erit omnino inaequalitas radiorum , si sit exigua , ut esse debet; nam tangens dimidii gradus, per quam debet multiplicari a q- b - a - b non est, nisi o,oo9: etiam pro bissectione arcuum Io in arcus s' tangens arcus 2'. 3o' dimidii hujus non est nisi O , o 3 addenda est consideratio Valoris multiplicandi, qui componitur e positivis, & negativis, quae erunt vere negativa, si pro radio reductionis assumatur radius major iis omnibus, qui occurrunt adhibendi, vel maximus eorum. In primo
casu si assumeretur radius non parum excedens omnes exhibitos ab instrumento , Obvenirent excessus a, b , a , b' non ita parvi, sed tunc it essent veri excessus, adeoque positivi, & valor a - - b- a - b' minueretur ab oppositione signorum. Hinc ibi etiam Videtur contemni posse secundus terminus sermulae. Cum autem in iis excessus secantis supra radium sit adhuc minor, quam o, Imulto magis negligi poterit haec additio facienda differentiae chordarum multiplicandae per secantem , adeoque ibi jam adhiberi m. IV. T mnino Disiligod by Cooste
157쪽
mnino poterit sola disserentia chordarum observatarum pro di fierentia arcuum.
23. Inventa disterentia arcuum, procedebatur lila etiam, ut in opusculo I, ad determinationem erroris tam derivati, quam proprii arcuum quorumcumque. Error totius divisus per numerum partium est error derivatus singularum ex ipsis partibus, nimirum
is, qui esset ipsarum error, si omnes essent aequales . Invento errore arcus graduum 5o per comparationem ejus chordae observatae cum radio reductionis, & radiorum ipsius observatorum cum eodem , non currit usque ad gradus singulos, nisi divisio ipsius in duos m 3o , tum horum singulorum in duos m Is , horum in tres m s , horum in quinque graduum singulorum , adeoque in hisce casibus assumendum est pro errore derivato dimidium , iterum dimidium , tum triens, ac demum pars quinta erroris sui. arcus totius. Pro errore proprio, qui oritur ex inaequali divisione partium, ibi assumebatur excessus partis primae supra quamcunque e reliquis, & pro errore ejusdem partis primae assumebatur omnium ejusmodi excessuum summa divisa per numerum partium , tum pro quavis alia parte demebatur ab errore partis primae excessus hujus supra eam partem. In hoc opusculo pro habendo immediate errore partis cujusvis adhibebatur eadem regula, assumendo summam excessuum ipsius supra omnes reliquas, & pro errore partis alterius cujusvis demebatur excessus illius ejusdem suis
pra hanc aliam e demonstratio expeditissima habetur ibi numero 18. Si ea regula hic adhibeatur, habetur immediate error partis cujusvis etiam intermediae , sed res eodem redit, & nihil reseri, utro modo fiat calculus. et . In eo sextante, pro quo haec investigatio suerat instituta, habebatur etiam subdivisio singulorum graduum in dena minuta per punctula : quamobrem ibi habebatur altera subdivisio singulorum graduum in go', & horum in Ies, cum errore totius subdi viso adhuc primum in partes duas , tum in tres ad habendum errorem derivatum partium singularum . Quoniam quaevis pars divisionis postremae habet participationem singulorum errorum totalium pertinentium ad unam e singulis magnitudinum praecedentium, vide-
158쪽
opus CULUM VIII. I Tvidetur primo aspectu posse timeri augmentum justo majus in omnium ejusmodi terminorum summa. Ad amovendum eum timorem , 3c subjiciendum progressum omnem ejusmodi errorum ita, ut videri posset unico aspectu , proposita fuerat in hoc opusculo , cujus compendium h)c exhibetur, sequens tabula , in qua errores proprii pro arcu totali graduum M , 8c arcubus provenientibus ex divisionibus, & subdivisionibus aes, Is s', I', go', Io' appellantur p, g, r, x, x, u , κ . In prima columna habentur magnitudines arcuum , tum e regione singulorum error totalis compositus e derivato, & proprio.
23. Si in determinatione singulorum ex iis erroribus deveniretur ad praecisionem particulae cujusvis; summa terminorum omnium efformantium errorem derivatum , qui praecedunt postremum proprium , Sc in postrema linea sunt sex, adhuc vix excederet dimidium unius ejus particulae . Si enim reducantur singuli coefficientes fractionarii ad eundem denominatorem 36o , Summa inmnium numeratorum non erit nisi I - - Σ - 4-FIχ--6o-FI2om I99, quae Vix superat I8o dimidium numeratoris. 26. Inventis erroribus totalibus partium singularum , facile eLsormatur tabula errorum pertinentium ad arcus totales , qui incipiunt a Zero usque ad quodvis e punctis notatis in limbo. In ipso opusculo primo habetur ordo servandus in progressu calculi usque ad arcus continentes gradus integros, & ostenditur, quam parum accumulentur errores , servato eo ordine , qui evaderent s9 , iusque ad eum terminum fieret summa errorum pertinentium ad gradus singulos. Is ordo poscit, ut digestis in prima columna o T L mi- Dissilirso by Corale
159쪽
mnibus numeris a Zero usque ad si adscribatur in secunda prius huic error suus : pro 3 es, Suus totalis erutus e secunda linea: itidem pro Is', s', I 3 es, Io Suus erutus e Singulis sequentibus numeris : pro ψ3' suus pertinens ad suum Is , additus ei, qui habebatur respondens arcui 3 o. Pro IO,ao, 33, SO, qui arcus componuntur addito s arcubus S, Is,3o,qs, qui jam habebantur, apponetur summa errorum horum arcuum, Sc sui graduum s adjecti: at
pro as , & ss , qui respondent divisionibus in partes tres, & co poni possunt demendo s a gradibus go, & 6o, demendus est error sui s ab errore 3o, & 6o. Ita habebuntur jam omnes errores. arcuum compositorum e quinque gradibus. Horum singulis accedent errores primi, tum primi, Sc secundi ex intermediis, qui addidebent arcubus praecedentibus ad eos efformandos , ac ab errore sequentis demendus erit error tertii , Sc quarti, vel solius quarti ab errore arcus sequentis , a quo ii arcus auferri debent ad efformandos praecedentes . Eadem est ratio Ordinis pro arcubus continentibus gradus, & minuta.
27. Patet sane, quam eo pacto minuatur errorum accumulatio. Accedit autem eorum eli Sio mutua, quae occurret utique semper ob errores negati vos permixtos positivis, quae permixtio semper occurrit. Si examen instituatur diligenter cum hono micr metro, Sc microscopio , invenietur consensus ingens, verificatione
160쪽
PROBLEMA PERTINENs AD EXCENTRICITATEM IN CIRCULO VERTICALI , CIRCA CUIUS AXEM HORIZONTALEM CONVERTATUR TELESCOPIUM MERIDIANUM.
N astronomicis speculis adhiberi solet ubique instrumentum appellatum a Gallis Instrument des passages, quod idcirco in uno e praecedentibus opusculis appellavi Instrumentum transituum , de cujus verificatione agetur in opusculo XI. In eo circa axem horizontalem perpendicularem plano meridiani convertitur telescopium : ejus usus praecipuus , & plerumque unicus est determinatio momenti, in quo astrum quodcumque transit per meridianum, quod ipsi instrumento nomen dedit,& ad eum usum sussicit unicum filum tensum in directione perpendiculari ad filum horizontale in eo soco , in quo habetur imago objecti: appulsus astri ad id filum determinat momentum ejus
transitus : filum horizontale haberet usum ad determinandam distantiam a zen illi , vel altitudinem supra horizontem : ea de temminatio simultanea addita momento ejus transitus esset admodum utilis , quia per eam unicam observationem haberetur completa determinatio Ioci astri in sphaera caelesti. Momentum transitus comparatum cum appulsu vel solis , vel astri cujuspiam , cujus nota sit ascensio recta , exhiberet ascensionem rectam illius prioris, dum via astri congruens cum filo hori Zontali in instrumento bene rectificato ad eum usum exhiberet declinationem ipsius . Sed ad habendam ejusmodi determinationem satis accuratam Oporteret habere saltem semicirculum radii satis magni collocatum in plano meridiani, cujus centrum esset collocatum accurate in ipso axe
conversionis : index assi xus ipsi axi methodis, quae adhibentur pruquadrante murali, nimirum ope nonii, & micrometri , quod ibi etiam aptari posset, exhiberet accuratas distantias a Zenith , vel