장음표시 사용
141쪽
exhibet va or prior binomius anguli CFM , pertinente posteriore simplice ad angulum perpendiculi cum axe ; dum ibi declinationem axis a positione verticali exhibet posterior simplex , exhibente priore binomio declinationem perpendiculi a recta normali eidem axi. Ascendet autem directio FC , descendente CF , ut figura exhibet ; si valor primae sermulae fuerit positivus , R FAabibit supra FC , si fuerit positivus valor secunda: : contrarium accidet, si ii valores fuerint negativi; cum nimirum eae formulae respondeant casui expresso a figura. 32. Schol. 2. Etiam hic , ut num. 2s , determinatio erit facilior , si inveniantur binae positiones, quae exhibeant binas ED aequales, Sc assumatur media in aequali distantia ab ipsis. Uerum ibi quidem id licebit praestare semper, cum index possit percurrere totum circulum azim ut halem figurae r , dum hic filum penduli non potest evagari nisi per quadrantem , vel sextantem , in quem si lacn cadat maxima vel minima distantia fili, non poterunt haberi hince aequales : & vero si caderet prope initium , vel finem ; binae distantiae aequales non essent satis idoneae ad determinationem accuratam , cum prope maximam , vel minimam earum variatio sit perquam exigua .
a. Pro punctis O, O', O' figurae 3 assumi possunt ipsa puncta D, quibus in f g. I respondet filum cum satis pateat, arcum AD metiri conversionem rectae FN ipsius circa FG .a . Scholi Du 3. Facile patebit, quid facto opus sit, ut corrigatur error, quo axis horizontalis FG sfig. I) aberrat a perpendiculo FN plani ABC inventus num. 3I . Id planum adnecti solethi, i cylindri habentis axem FG per cochleas . optimum esset, si ex ipsa instrumenti constructione haberetur facultas mutandi inclinationem cylindri ad ipsius instrumenti planum, ut induci posset positio penitus perpendicularis post hujusmodi observationes,
quod sane liceret, & quidem haud disticulter. Ubi id commodum
non habetur, ut sere' haberi non solet, potest a plano cylindri detrahi per limam , quλntum oportet, in parte Opposita ei, ve sus quam declinabat axis, estecto novo plano , quod a priore de-esiis
142쪽
ΟPUsCULUM VII. I 3Iclinet per angulum aequalem invento GFN figura i , sive C FO CFA figura: s . vel tot interseri lamella crassitudinis debitae , quae remoto plano ACB figurae I a priore positione per eundem angulum inventum , efficiat, ut axis FN recidat in FG . 33. Plaga , in qua fieri debet abrasio , est illa , quae respondet puncto A invento in fig. 3 . Posito instrumento in ea positione , in qua assumpta est prima distantia fili a limbo, quae nimirum pertinet ad punctum O , notetur in superficie cylindri solidi punctum , quod eminet summum prope os circulare cavi, in quod ille inseritur: tum assumatur in eadem superficie Secundum eum ipsum circulum arcus similis invento OA figurae 3 in ea directione , in qua succedunt sibi puncta ejusdem superficiei , si con- Versio continuetur in directione OO'. Is arcus facile habito simili invento habebitur , cum ex crassitudine cylindri innotescat ejus circuli diameter. Extremum punctum ejus arcus erit id, quoa respondebit puncto A figurae tertiae , in quo nimirum debebit fieri abrasio, vel hiatus in ejus opposito. Id vero invenietur multo facilius, si punctum A in fig. 3 ita cadat inter puncta O, O', ut assumpto et analogo in fig. I , id habeatur in limbo instrumenti . Tum enim adducto filo ad id punctum per conversionem in-Strumenti ipsius, punctum quaesitum pro abrasione erit illud ipsum , quod tum eminebit in summo cylindro. 36. Facile itidem definiri potest crassitudo abradenda , vel hi t-tus procurandus . Sit in fig. 6 AI planum pertinens ad cylindrum , cujus axis FG , adnectendum plano instrumenti CD ope cochlearum H : sit autem FN perpendiculum plani CD applicati immediate plano AI adductum ad positionem , in qua id jaceat supra FG in eodem plano verticali. Ad hoc ut FN, FG congruant, debebit in A inseri cuneus BAI habens angulum I aequalem invento GFN , vel abradi AIE ipsi aequalis . Porro pro valore argu
li exigui BAI, vel AIE , assumi potest . Is Valor num. 3r
est aequalis valori fig. s CFA m
143쪽
est perquam exigua respectu radii instrumenti a , Sc nisi ipsum instrumentum sit negligentissime elaboratum, distantia fili alimbo debet esse exigua. Abrasio post determinationem crassitudinis abradendae succedet utique , potissimum si ab radatur potius minus justo, tum observationibus repetitis resumatur opus, donec deveniatur ad positionem accuratam , quod fiet utique satis cito. Adhuc tamen facilior erit intrusio lamellae tenuis ex parte Opposita , quae potest exsecari ex tenui longiore cuneo , a cujus basi crassiore , & longis lateribus facile fluet determinatio crassitudinis requisitar BΙ : debebunt autem binae aliae habentes crassitudinem dimidiam ejus crassitudinis inseri hinc , & inde ab F in verticibus diametri perpendicularis diametro AB . Si sorte post prinum earum lamellarum intrusionem aliquis errorculus supersit observationibus iteratis deprehensus ; sacile corrigetur is etiam ipsis intrusis aliquanto ulterius , vel retractis ad augendum angulum , vel minuendum . 38. Probl. 3. μυentis superioribus angulis invenire angulum,
quem M. i) axis I G continet cum G F. 39. Sit in fig. 7 circulus BDA idem, ac in fig. I arim ut halis
O 'H cum suo centro G , sed positus in situ accurate horizon tali . Occurrat autem superficiei sphaerae habentis eum circulum maximum axis GL figurae I in L, in F axis GF ejusdem habentis eam positionem , quam habebat in observationibus pro secundo
problemate, in I recta verticalis demissa ex G, in B LIA planum verticale GLI , in FL planum LGP : sit autem ID quadrans circuli maximi transeuntis per F, ad quem terminetur arcus Lo descriptus polo F. ψo. E primo problemate habetur num. Σο) diameter BGA, punctum autem D e positione instrumenti in observationibus secundi: nimirum arcus AD erit aequalis arcui in fig. 1 intercepto inter punctum H , & locum indicis in ea postione : quamobrem habetur ejus complementum BD mensura anguli LIF. Est autem DF mensura anguli DGF, sive depressionis axis GF infra horizontem , cui in fig. s aequatur angulus CFM elevatio directionis contraria:
144쪽
ΟPUSCULUM VII. I 33 FG supra rectam horizontalem FM habens s num . a IJ pro valore
erit Io m cos. a , ubi cos. ρ erit valor positivus , Vela o - b)negativus , prout AD suerit quadrante major, ut figura exhibet, vel minor, & cadet Io versus D, vel ad partes oppositas, prout totus is ejus valor fuerit positivus, vel negativus , cum sermula: aptatae sint casui expresso a figura. Hinc habebitur IO - - FD disterentia a quadrante arcus Fo, sive FL , nimirum di flerentia a recto anguli quaesiti FGL , quae erit desectus , ut figura exhibet, vel exceSSus, prout summa earum binarum formularum fuerit positiva vel negativa . Quamobrem habebitur error corrigendus : debebit autem seri correctio in directione verticali FD ; nam ob arcum Lo exiguum directio LF producta congruit ad sensum cum ipSa. 42. Schol. I. Si pro secundo problemate observationes fiant inpositione distante a BGA per quadrantem , sive indice figura: Inotante punctum distans per quadrantem ab H ; arcus AD erithla quadrans, cujus cosinu evanescente , evanescet IO , & error FD deprehensus in probi. E snum. 24, Sc o) erit totus error hujus problematis tertii. Si vero fiant eae observationes indice notante punctum H figurae I; evanescente BD fiet ille cosinus m I,& punctum o abibit in L, eritque error anguli axium LGF sum- .ma errorum EL , FI definitorum in binis problematis pro binis
ipsis axibus seorSum. 3. Schol. 2. Ut habeatur unico intuitu fructus totius perquisitionis, en valores analyticos, Sc formulas, ac totam errorum corrigendorum seriem. Tres distantiae fili a limbo notandae sunt, dum axis horizontalis convertitur circa verticalem, & aliae tres, dum Planum instrumenti convertitur circa axem horizontalem : dican
145쪽
tur illa: κη , n, r , hae r', & radius instrumenti a. Eorum ope in fig. 3 prce parantur valores pro determinatione errorum. Puncta O, O', O' respondent punctis notatis ab indice in iis conversionibus . Di ameter AB invenitur , producta chorda ο''o' in Ο'S in ratione r -- u ad n - =u, sine accentu pro primo pro blemate , cum accentu pro secundo , ac ducta recta SO, & per centrum C diametro perpendiculari eidem : ponitur autem A in extremo propiore illi e punctis Ο , quod respondet maximae distantiae fili a limbo . Eadem diameter inveniri potest calculo tri-ronometrico posito num. I7 . Si capiatur arcus OH in fig. I aequalis arcui ΟA tertiae , & jacens eodem ordine respectu punctorum O, , quo ibi ; habebitur positio ejus axis , qui debereteise horizontalis, versus quam inclinatur is, qui deberet esse verticalis . Quantitas ejus inclinationis habebitur , si cosinus CR , Cae arcuum AO, AO' dicantur b , c : angulus, quo axis Verticalis inclinatur , erit snum. 24 . Is error non pertinet ad con tructionem instrumenti, sed ad ejus collocationem ope cochlearum pedis, ac reliquis correctis facile corrigitur methodo
44. Si in f g. 3 puncta Ο, O', Ο'' reserant tres positiones instrumenti circumacti circa axem horigontalem , sive puncta in divisione limbi notata a filo penduli in iis positionibus, eadem methodo invenitur diameter AB. Si ibi punctum A jaceat respectu punctorum o in ea positione, ut ejus analogum in fig. I cadat in limbum AB ; adducto sto per conversionem ad id punctum, abrasio debebit fieri in altissima parte basis cylindri . Si id cadat
extra ; tum adducto instrumento ad positionem respondentem puncto O, in qua est facta prima observatio, notetur punctum, quod eminet summum in superficie cylindri solidi prope os circulare concavi , cui is inseritur : ab eo puncto ibidem in eadem superficie capiatur arcus similis invento OA in eadem directione, inqua, filo notante in limbo puncta o respondentia punctis Ο, ο', succedere sibi debent puncta superficiei ipsius cylindri convexi. Pun tum positum in extremo puncto ejus arcus respondebit cras
146쪽
ΟPUsCULUM VII. 13ssitudini AE abradendae in fig. s. Posito ibi BA f erit crassitudo A E , vel BI
s. Supplementum distantiae puncti H figurae r inventi num. 22 a puncto notato ab indice in circulo eodem azimuthali in conversione circa axem horirontalem immotum dicatur ρ , 8c error anguli axium , quo is deficiet a recto , erit snum. 4o, 3c r) mm' ι' n-γn J . su- m) .
n a c - DJ a c - b)Si ea formula negativum valorem exhibeat. Correctio similis adhibitae in fig. s adhiberi debebit in nexu alterius axis cum altero& simili methodo ex hac formula invenitur quantitas abradenda vel hiatus procurandus ita , ut axis horizontalis depressus in plano verticali, vel elevatus acquirat positionem debitam . Si nimirum dicatur f latus inducendi hiatus, vel longitudo cunei abradendi ; crassitudo analoga crassitudini AE , vel BI fg. 6, erit is valor ductus in s. 6. Omnium expeditissima determinandi ratio erit, si in gyro circa axem verticalem notentur bina loca indicis, in quibus filum tangit limbum : tum , nulla alia mensura ibi capta, ponatur index horiton talis in puncto remoto ab eorum medio per quadrantem,Sc ibi fiat conversio circa axem horiZontalem : errores corrigendi erunt sequentes duo, in quibus m', n sunt binae distantiae fili alimbo in gyro circa axem horietontalem, b c' cosinus arcuum AO, AO' figurae 3 respondentium iisdem observationibus , a radius instrumenti , s latus cunei abradendi, vel hiatus procurandi per in-
trusionem lamellae in situ correctionis: en eos errores X --π
147쪽
DE VERI FICATIONE DIVISIONUM SEXTANTIS.
o C opusculum conscripseram occasione inquirendi indivisiones sextantis habentis radium pedum Sex , qui habebatur in Mediolanensi specula, pro quo etiam excogitavi methodum traditam in opusculo praecedente inquirendi in positionem axium sectoris ejusdem , qui laborabant vitio ibi
exposito ita , ut in ejus usu necessarius esset perpetuus motus cochlearum pro adducendo filo penduli ad limbum , vel reddenda ipsi libertate positionis verticalis impeditae a nimia applicatione ad
ipsum limbum . In eo repetebatur tota methodus, quam in alio opusculo conscripto alio tempore adhibueram pro quadrante, determinandi inaequalitatem arcuum per inaequalitatem chordarum , eruendi inde errorem arcus graduum 6o per comparationem ejus chordae cum radio , tum pro subdivisionibus considerando errorem derivatum in singulis partibus ab errore totius, qui aequaliter distribuitur inter partes, & haberetur in iis , etiam si eae essent accurate aequales inter se, ac errorem proprium , qui oritur ab inaequalitate partium ipsarum , conjungendum cum derivato ad habendum errorem totalem partium singularum , ac demum deducendi tabulam errorum absolutorum pertinentium ad arcus omnes incipientes a Zero usque ad quodvis punctum notatum in limbo . Habebatur series amplissima numerorum exhibitorum a singulis observationibu I repetitis Sc calculorum numeri eorum adhibitorum ad obtinendam demum eam tabulam . r. Ordinata jam serie opusculorum pro hac collectione , & imminente impressione, censui sore magis opportunum, si pro eo integro opusculo exhiberem potius compendium quoddam , in quo omissa omni serie numerorum , qui pertinebant ad illum tantummodo individuum sextantem , proponerem tantum ea , que in
148쪽
eo pertinebant ad methodos generales, addendo nonnulla, quae ibi deerant, & proponendo formulas quasdam idoneas pro ordinanda
serie calculorum, quae in eo opusculo occurrebant. Occurrit in primo opusculo pro quadrante theorema pertinens ad eruendam di Diarentiam arcuum a disserentia chordarum , quod ibi supposueram: habebatur hic ejus demonstratio , quam huc inde transferam . Ibi divisiones habebantur per rectas lineas perpendiculares arcui circuli delineati ductu continuo per circinum habentem binas cuspides perpendiculares virgae metallicae , quarum altera cum esset fixa ncentro , altera non poterat exhibere ullam inaequalitatem radiorum : hic divisiones erant factae per punctula , quae dum imprimuntur malleolo percutiente cuspidem innixam circulo delineato per ductum tenuem , ac levem , non ita ficile habentur ejusmodi , ut centra eorum punctorum , quae per microscopium apparent ut circelli , cadant accuratissime in medium ductum tenuis imae illius peripheriae circularis , adeoque habeant omnia eorum circellorum centra distantiam a centro ejusdem peripheriae accurate eandem . Circellorum , qui nudo oculo apparebant simplicissima quaedam punctula, diameter microscopio visa occupabat plura quam Io secunda . Inquirendum igitur erat in essectum inaequalitatis binorum radiorum terminatorum ad duo extrema puncta eorum arcuum , in quorum inaequalitatem inquirendum erat per inaequalitatem chordarum terminatarum ad eadem puncta determinatam methodo exposita in eodem opusculo I. Id ibi praestiteram : proponam hὶc inde erutum theorema eo pertinens, & regulam , quae ex inaequalitate tam chordarum , quam radiorum exhibet disserentiam arcuum, sive angulorum terminatorum ad centrum , & quidem redditam adhuc simpliciorem. Accedet demonstratio aliquanto melius ordinata eruendi errorem proprium , & quidem immediate pro parte quavis , ex inaequalitate partium , quae deberent esse aequales , ac formula melius ordinata pro habendo errore totali absoluto . Quare habebitur hic id , quod ibi deerat , cum
additamento admodum utili . 3. Throrema i . Disterentia duarum chordarum ad di oren-riam arctium parum a se invicem disserentium est , ut cosinus
149쪽
. Si enim Tab. VI fig. i) arcus BA, BC differant a se invicem
per differentiam exiguam AC , & centro B radio chordae minoris BA concipiatur arcus AD abscindens a chorda majore BC di L ferentiam chordarum CD ; is arcus exiguus haberi poterit pro recta perpendiculari ad chordam BC , ut & arcus AC pro recta , quae in triangulo ADC jam rectilineo , & rectangulo erit hypothenusa . Si ea consideretur ut radius, erit CD sinus anguli CADsibi oppositi, adeoque cosinus anguli ACD sibi adjacentis, & si CD consideretur ut radius, erit AC secans ejusdem anguli ACD . Porro is angulus insistit arcui AB ad circumferentiam in C , adeoque habet pro mensura dimidium arcum BA . Quare differentia CD duarum chordarum BA, BC est ad differentiam AC arcuum ut cosinus dimidii arcus ad radium, vel ut radius ad secantem dimidii arcus. Q. E. D. ). s. Corollarium. Hinc habita differentia chordarum habebitur differentia arcuum , dividendo differentiam priorem per cosinum dimidii arcus, vel illam multiplicando per secantem ejus dimidii.
6. Scholium. Ηὶc, ubi agitur de arcubus pertinentibus ad sextantem , & vero etiam in opusculo Ι, ubi agebatur de pertinentibus ad quadrantem , semper occurrunt arcus, in quibus chordae majori respondet arcus major, quod habetur semper in arcubus semicirculo minoribus : contrarium accidit in arcubus semicirculo majoribus , ut facile patet. Quaevis chorda respondet binis arcu-hus , qui simul complent circulum integrum. Diameter quidem binis semicirculis inter Se aequalibus, quaevis autem alia chorda binis arcubus inaequalibus, quorum alter est major semicirculo, alter minor. Eo ipso, quod , ubi agitur de arcubus minoribus semicirculo , chorda major respondet majori arcui, debet haberi op
pinc Φ Patet, hoc theorema debere habere Ioeum etiam , si bini reus proxime inistet se aequales distent a se invicem , ut CB , MN . Abscisso enim versus Careus majoris arcu BA , aequali arcui minori NM , chorda BA erit aequalis ehordae NM , R redibit eadem demonstratio pro differentia chordarum MN, CB , quae pro chordis AB, CB .
150쪽
positum , ubi agitur de majoribus semicirculo : nam residuum arcus majoris ad eundem integrum circulum debet esse minus residuo minoris. Idem respondet naturae cOsinus, Sc Secantis, quarum ratio adhibetur in hoc theoremate : nam dimidium arcus minoris semicirculo est minus quadrante , & dimidium majoris illo est majus hoc : cOsinu autem arcus minoris quadrante , qui metitur angulum acutum , assumpto pro positivo , uti fit, secans ipsius est itidem positiva , sed cosinus arcus majoris quadrante, qui metitur angulum obtusum, est negativus, ut & secans negati-Va , quod mutat differentiam positivam respondentem excessui in negativam respondentem desectui . 7. In casu sextantis, Sc quadrantis dimidium nunquam est majus gradibus sis , vel eam mensuram parum admodum Superat , ubi adduntur gradus aliquot citra Zero, & ultra clo, vel 9o . Id autem e Scit, ut theorema sit in iis semper proxime Verum , atque id sive assumatur dimidium arcus majoris, sive dimidium minoris , quorum dimidiorum cosinus , & secantes differunt inter se per differentias exiguas, ubi agitur de arcubus non parum distantibus a quadrante . At in his exigua differentia mutua potest inducere differentiam cosinuum ingentem respectu cosinus utrius libet, qui est exiguus etiam ipse , R prope quadrantem secantes excrescunt in infinitum ita , ut exiguis differentiis arcuum possit respondere differentia secantium immensa .. Prope quadrantem angulus ACD accedit ad rectum etiam ipse, Sc considerando arcus AC, AD pro rectis lineis , & angulum ADC pro recto , negliguntur quantitates ejusdem ordinis cum iis, quae retinentur pro determinatione rationis quaesitae : differentia CD evadit ordinis inferioris respectu arcuum AC, AD , qui accedunt ibi ad rationem aequalitatis ultra quoscumque limites. Sed hic casus, ut innui , e-Vitatur, ubi agitur de arcubus AB, CB vel minoribus quadrante, Vel non nisi paκllo majoribus, quorum dimidia longe distant a quadrante, prope quem oritur ille defectus sermularum . Hoc autem accidit omnibus ejusmodi methodis differentialibus, quae prope quaedam puncta possunt inducere in errores etiam infinitos , si theoremata ipsarum ope eruta pro casibus generalibus adhibean-S a tur Diuili od by Corale