장음표시 사용
171쪽
r o T O M V s IV. ter ipsam, & punctum notatum ab eodem indice in positione , in
qua observatio est instituta, vel si non habeatur ejusmodi motus micrometricus, is potest induci, rite aptata machinula ad id idonea . Adducendo ope ejus cochleae prius lineam lamellae alterius ad alterum extremum limbi , tum lineam alterius ad alterum extremum , invenietur differentia anguli intercepti inter duos radios illius circuli transeuntes per ipsa puncta extrema terminantia arcum comparatum cum ea distantia lineolarum ab angulo intercepto inter binos radios tranteuntes per ipsas lineolas . Facta ejusmodi comparatione eum singulis quadrantibus, habebuntur
comparationes horum inter se, nimirum disterentiae angulorum contentorum inter radios tendentes a centro motus ad eorum extrema puncta ; quae exhibebit errorem proprium singulorum ex iis
quadrantibus et T. Comparatis quadrantibus, poterunt eodem modo comparari singulorum partes, ut tres compositae e gradibus 3o , tum tres singulorum ex his compositae G arcubus graduum Io, & ita porro usque ad divisiones postremas. Eo pacto comparatio exhibet immediate disterentias angulorum interceptorum in centro motus,
sine reductione differentiae chordarum , 3c radiorum ad differentiam arcuum.
28. Methodus reddendi utiles omnes observationes jam institutas eo instrumento , Sc instituendas in posterum , independens ab omnibus perquisitionibus, quas hic fuse persecuti sumus, Sc omnium expeditissima esset illa , in qua supposito jam catalogo magni numeri fixarum ordinato , Sc veris cato in aliis observatoriis per instrumenta majora , ac methodos idoneas, ut eas , quae hὶc habentur in praecedentibus opusculis , fiat comparatio distantiarum a Zenith magni numeri fixarum , quae obtinentur ope ejus instrumenti , cum iis, quae eruuntur e declinationibus earundem fixarum erutis ex ipsis catalogis, habita ratione reductionum, quae respondent motibus fixarum ipsarum , & refractionibus . Assumpto satis magno numero fixarum , ut habeantur errores divisionum , 3c positionis ejus circuli , fieri potest per interpolationem catalogus ipsorum errorum saltem pro singulis gradibus dimidii ejus
172쪽
ΟPusCULUM IX. 16seirculi respondentis semicirculo meridiani extanti supra horizontem, adhibendus ad corrigendas observationes jam institutas, Scinstituendas in posterum. 29. Verum si ejusmodi circulus aptandus sit instrumento transituum , consilium omnium optimum erit , ut ante applicationem instituatur verificatio tam formae circularis , quam aequalitatis divisionum , ut si qui errores in eo genere deprehendantur , possit eorum haberi ratio: tum post ejus collocationem determinetur per methodos liti propositas magnitudo, & directio excentricitatis, ex quibus deducuntur correctiones errorum ab ipsa inductorum in angulos ab indice denotatos in divisionibus , quae supponunt congruentiam centri circuli cum centro conversionis.
Applicatio solutionis anablicae problematis propositi numero sad alium Astronomiae usum.
16. C otis τΑT nunc quidem post felices Repleri combina
tiones motuum observatorum, & immensam numericorum calculorum sarraginem, ac multo magis post Sublimem caelestis mechanicae theoriam a Newtono detectam , & evolutam , ac miro omnium observationum consensu , planetarum orbitas esse ellipticas , sole existente in altero cujusvis ellimeos seco, 3c areis, quas verrit radius vector, proportionalibus tempori, Si demantur exiguae perturbationes , quas inducit mutua planetarum Omnium gravitas generalis. Uerum ante ea egregia comperta diu eae orbitae fuerunt habitae pro circularibus. Accessit excentricitas, ut nimirum motus quidem esset aequabilis circa centrum circuli, sed sol esset in quadam distantia ab eo centro : tum excentricitate secta bifariam, substitutus est etiam motus in circulo, sed non aequabilis: considerata sunt in singularum orbitarum diametro bina puncta aeque di- Tom. IV. X stan-
173쪽
stantia a centro, in quorum altero esset sol, & circa alterum haberetur motus angularis aequabilis. Ea puncta mutata sunt in binos focos ellipseos, compressa ipsa etiam circulari forma, sed retento motu angulari aequabili circa eum socum superiorem , quae vocatur hypothesis elliptica simzlex , donec tandem deventum est adaequabilem arearum descriptionem circa solem positum in foco inferiore , quam & observationes , & theoria ita confirmarunt, ut nullum jam de ea dubium supersit , ac ea est non jam hypothesis , sed theoria elliptica cognita vera. 3I. Hinc praecedentes hypotheses nullum jam habent usum pro praesenti Astronomia, sed cum pertineant ad ipsius Astronomiae partem historicam, & ad cognoscendam ipsam humanarum cognitionum seriem , solent in Elementis Astronomiae tractari illa etiam , quae pertinent ad earum hypothesium theorias . Problema pertinens ad motum aequabilem in circulo circa punctum positum extra ejus centrum reducitur ad illud ipsum , quod in hoc opusculo est propositum , de determinanda magnitudine , Sc directi ne excentricitatis in circulo , qui habeat divisionem aequabilem,
sed in quo praeter angulos, quos ea aequabilitas metitur contentos a radiis tendentibus ad id ipsum centrum, habeatur motus aequabilis indicis circa alterum ipsius excentricitatis extremum. Formulae h)c inventae applicari possunt ad illius hypotheseos theoriam, quam applicationem idcirco proponam in hac Appendice, adjecta
etiam applicatione ad motum in ellipsi circa focum inseriorem occupatum a sole, cum aequabilitate motus angularis circa superiorem , atque id eo magis, quod in ellipsibus parum excentricis, cujusmodi est orbita Veneris, & vero etiam orbita terrestris, aequabilitas arearum circa secum inferiorem secum trahit motum angularem circa secum superiorem parum abludentem ab aequabili. 32. In hypotnesi circulari C est centrum circuli descripti motu aequabili, adeoque centrum motus medii aequabilis, D est centrum motus veri inaequalis, in quo est ipse sol. Eruuntur autem methodo satis cognita , quam tamen hic exponam , anguli ACB , ACB' e tempore elapso a prima e tribus observationibus usque ad secundam , & tertiam , & ex observationibus ipsis eruuntur anguli
174쪽
guli ADB ADB': in hypothesi autem elliptica simplici pune in
D est itidem Iocus solis , circa quem fit motus verus , sed is non fit in circulo ABB', adeoque motus veri non sunt anguli
ADB, ADB': motus medius aequabilis fit circa punctum C, sed
id est secus superior, non centrum orbitae planetariae r est tamen centrum motus medii aequabilis , cujus mensura sunt arcus
circuli ABB' habentis ipsum punctum C pro centro : radius ejus circuli est aequalis toti axi transverso ellipseos : puncta a, b, b Setini loca planetae in sua orbita elliptica, Sc puncta A, B, B'Sunt concursus rectarum Cis , Cb , Cb' cum eo circulo; unde fit, ut rectar Da , Db , Db' sint aequales rectis a A , bB , b'B', cum nimirum summa rectarum Ca , Da , quae a binis focis C, D ducuntur ad idem punctum perimetri a , aequetur axi transverso ellipseos , adeoque radio CA , unde ablata communi recta Ca, reaidua Da , a A debent esse aequalia: eadem autem est demonstratio aequalitatis rectarum Db , bB ob summam Cb - - Db aequalem
- αb m Cm - - CbD. Quare cum haec posterior summa sit dupla illius prioris, differentia posterior angulorum aDb , aCb est dupla differentiae prioris angulorum ADB, ACB , adeoque si detur illa , dabitur & haec ipsius dimidia . Illa autem dabitur cum aDb detur ex observationibus , ut jam videbimus , Sc ACB ex motu aequabili, & tempore elapso inter Observationem primam, ac duas reliquas. Eodem autem pacto disserentia angulorum aDb',aCb' est dupla disserentiae angulorum ADB', ACB'. 34. Porro angulus ADB in primo casu, Sc aDb in secundo habetur ex summa, vel disserentia longitudinum heliocentricarum . Si agatur de orbita terrae , eae longitudines sunt eaedem, ac longitudines geocentricae solis observatae, additis, vel ablatis sex signis, adeoque ad habendum eum angulum sufficiunt tres observationes
175쪽
determinantes longitudinem solis observatam e terra tribus momentis quibuscumque : pro reliquis planetis requiruntur observationes factae in oppositione cum sole, vel in conjuninione . In oppositione , & conjunctione superiore , locus heliocentricus planetae est idem , ac geocentricus immediate observatus , 8c in conjunctione inferiore est ipsi oppositus , sive idem auctus , vel imminutus per sex signa. Oppositiones non habentur, nisi in veteribus tribus planetis superioribus, quibus accessit nuper quartus tanto adhuc superior detectus ab Herchelio . Uenus, & Mercurius habent binas conjunctiones, alteram inferiorem,& alteram superiorem. Oppositiones facile observantur, & observari solent ab Astronomis: conjunctiones inferiores Veneris, & quidem etiam Mercurii , eruuntur ex Observationibus parum remotis anterioribus , & posterioribus , videri autem quandoque possunt ii planetae in ipsis conjunctionibus per telescopia; adeoque haberi possunt loca heliocentrica idonea ad rem praesentem. 3s. Angulus ACB in utroque casu habetur eodem modo . Ecombinatione observationum remotissimarum habebant Astronomi etiam ante haec ultima comperta tempus periodicum pro quoVis
planeta , & factis ut hoc tempus periodicum ad tempus inter binas observationes A, vel a , 3c B, vel b , ita gradus 36o ad quartum , is pro tempore minore dimidio tempore periodico erit ipse angulus ACB in primo casu , & aCb in secundo, & idem habetur pro angulo ACB', vel aCb'. Si tempus est majus dimidio tempore periodico ' angulus fiet ad partes oppositas arcus percursi, R erit residuum ad gradus 36o illius quarti termini inventi. Si id
tempus excedat tempus periodicum , demetur hoc quotiescumque licuerit , & si adhuc remaneat plus dimidio , assumetur excessus temporis periodici supra id ipsum residuum , ac obtinebitur an
gulus ACB , vel aCb ; eodem pacto habebitur angulus ACB', && αb'. Figura est aptata casui, in quo tempus utrumque integrum , vel excessus supra integras conversiones non pertingit ad dimidium temporis periodici, in quo casu uterque angulus respicit arcum descriptum. Praeterea in casu, quem figura exprimit, utraque e directionibus loci veri DB , DB', vel Db , Db', cum dire
176쪽
OPUSCULUM IX. Issctione DA , vel Da continet angulum obversum eidem arcui, acis angulus est aDb, vel aDb' major angulo ACB , vel ACB', &punctum D cadit tam intra angulum ACB , quam intra angulum
ACB'. Solutio problematis aptata figuris, quae respondent uni casui , cum sermulis inde erutis, transfertur deinde, ut monui, ad omnes alios casus, per regulas generales transformationis locorum geometricorum , habita ratione signorum positivorum , & negat, vorum in datis, & inventis rite aptatorum. Porro in casu expresso a figura redeunt huc omnes se mulae , quas invenimus in solutione analytica problematis numeri s . Dicatur n excessus anguli ADB' inventi in hypothesi circuli excentrici supra ACB , R in hypothesi elliptica simplici dimidium excessus anguli aDb , supra ACB , ac eodem pacto fiat n' pro prima hypothesi ADB' - ACB', & pro secunda s.1Db' - αθ'): dicatur x angulus ADE , u angulus C AD, α excentricitas CD in partibus radii CA assumpti pro unitate , qui in priore hypothesi est ipse radius circuli descripti, & in po-
Steriore totus axis ellipseos duplus distantiae mediae . Habebitur pro x , & u formula numeri ρ , vel simpIicior altera numeri 1o: tum pro u utraque formula numeri II , & pro excentricitate CDα κ valor qui habetur eodem numero II.
37. Haec formularum congruentia me impulit ad addendam hane Appendicem. Per hujusmodi sormulas etiam post detectas Kepleri leges potuisset inveniri per tres observationes ellipsis non multum distans a vera , nimirum eruta ex hypothesi parum abludente a vera , qua inventa facile deinde potuisset fieri transitus ad veram per regulas salsae positionis methodo analoga ei, quae est adhibita
177쪽
DE QUADAM CORRECTIUNCULA SECTORUM
Ro observationibus fixarum parum distantium a Ze-nith adhiberi solent in Astronomia sectores habentes radium ingentem , & numerum graduum exiguum in limbo circulari hinc , & inde a telescopio respondente radio tendenti ad medium arcum . Ejusmodi instrumento detectae sunt leges aberrationis annuae fixarum , & id est adhibitum ab iis , qui recentioribus methodis dimensi sunt gradus Meridiani pro determinanda figura, & magnitudine terrae . Ii admodum facile & suspenduntur, & convertuntur, quod multo difficilius praestaretur, si adhiberentur integri quadrantes, vel etiam sextantes habentes radium longitudinis ejusdem . Ego pro mensura graduum Meridiani in ditione Pontificia substitui arcui circulari rectam lineam, expediendorem per tangentes angulorum , quae serma mihi evasit admodum
commoda , & plures alii sectores ingentis radii constructi sunt postea ad ejus imitationem , ut exposui in opusculo III Tomi II , cujus formam videre est in tabula VII Tomi ejusdem fig. 3.1. Exprimit hla figura s Tabulae UΙ recta CD radium ejus instrumenti , GDH rectam substitutam in limbo arcui P Da ei
culari, perpendicularem eidem radio, quae concipitur utrinque producta indefinite in A, & B : ejus segmenta DG, DH sunt tangen-tςs angulorum DCH , DCG. Porro ubi determinandum est punctum brevis rectae lineae , in quod cadit perpendiculum ductum epuncto satis remoto , admodum facile erratur nonnihil in ea determinatione . Si enim adhibeantur binae cuspides affixae longiori Virgae , vel tubo , quarum altera defigatur in centro C, altera occurrat ei rectae in binis punctis Η , G ; arcus circularis, qui concipiatur descriptus ah hac posteriore cuspide , ita parum pro
178쪽
OPUsCULUM X. 167greditur ultra eam rectam, ubi ea sit brevis, Sc habet positi nem ita obliquam respectu ejusdem rectae, ut admodum dissiculter determinentur ipsa puncta intersectionum G , & H , inter quas
assumendum est punctum D in ipso medio , ut dubium supersit de accurata ejus positione . Ubi agitur de mensura graduum Meridiani , adhibendae sunt fixae parum distantes a Zentili , in quibus & refractionum effectus est multo minor, & distantia exigua multo accuratius determinatur. Hinc pro ejusmodi sectore abunde sunt gradus quatuor hinc, & inde a medio: porro is arcus procurrit ultra tangentem minus quam per partes radii ipsius, cum Secans graduum 4 ad radium I non sit nisi I, oo24 . Hinc admodum facile fieri posset, ut pro radio CD accurate perpendiculari ad rectam PQ haberetur radius DI nonnihil inclinatus. 3. Eam ob cissam censui inquirendum in effectum positionis radii aberrantis a perpendicularitate requisita . In eo casu pro
angulis DCH, DCG determinatis a numero particularum radii CD assumpti pro unitate in rectis DH , DG assumpto pro eorum angulorum tangente , haberentur anguli DIH , DIG : determinanda est horum differentia ab illis . Data deviatione CDI, id quidem fieri potest pluribus methodis. Res iacile expeditur per calculum trigonometricum , sed analysis algebraica exhibebit sermulam generalem , & ejus ope indolem, ac variationes aberrationis ipsius: accedit, quod ope sermulae ejusdem inquiri potest in id ipsum , an in dato sectore habeatur ejusmodi aberratio, & quanta ea sit. Quoniam autem determinatio ipsius pro arcu circulari A'DB', est analoga ei, quae habetur pro limbo rectilineo ADB , addam etiam mutationem , quam inducit in ejus sormulam transitus ab ea linea recta ad eum arcum , ut habeatur illa , quae exhibeat differentiam angulorum DCH', DIH', & DCG', DIG'determinat rum ab iisdem rectis IH, IG incurrentibus in eum arcum in H', R G'. Punctum K est occursus recta: HC productae cum eodem
circulo, & DM , DN , IE , IL , IO sunt perpendicula ducta in rectas HC , HI, DH , DC , I C.
q. Calculus trigonometricus est admodum expeditus pro limbo recti-
179쪽
rectilineo AB . Assumpto pro unitate radio CD m ID , rectae DFI,DG redactae ad partes ejus radii adhibent immediate per tabulas sinuum angulos DCH , DCG , quorum eae sunt tangentes. In triangulo autem IDH, vel IDG praeter latera ID, DH, vel ID, DG , habita deviatione CDI a perpendiculo DC , habetur angulus IDH, vel I dempta ipsa deviatione ab angulo recto pro angulo IDH , & addita ipsi pro I DG in casu figurae, in quo deviatio ipsa fit versus D H , remanente DI in angulo CDH. Hinc habebitur angulus D IH comparandus cum DCH , vel DIG cum
DCG ad habendam eorum differentiam , quae erit aberratio quaesita anguli determinati per numerum particularum radii DC , vel DI assumpti pro unitate contentum in intervallo DH , vel DG,& assumptum pro tangente ejus anguli. Si angulus deviationis CDI fiat a ; angulus GDΙ erit m ρo' - - a, Sc angulus ΙDHm 9o' - .et, ac ille erit aequalis summae angulorum trianguli IDHad basim I H, hic summae angulorum ad basim ΙG trianguli IDG. Hinc si fiat DH b, Sc semi-differentia angulorum ad basim dicatur x, erit pro primo triangulo I - - b : I -b r: tau. 3:tan. x, quo angulo invento habebitur angulus DIH m 4s - - κ, & pariter facto DG b, & invento angulo κ', cujus tan
- x'. Erit enim x, vel α' semi-differentia angulorum ad basim, quae dempta a Semi-Summa exhibet angulum minorem , nimirum
illum , qui opponitur lateri Did , vel DG minori, ob DH, DG
minorem radio DC DI. s. Potest facilius obtineri uterque angulus Di H, DIG hoc alio pacto . A valore DH redacto ad partes radii DC M DI dematurvator DE IL siu. CDI siu .a, qui dicatur c vel addatur valori DG , Sc habebitur EH, vel GE : inveniantur anguli respondentes iis tangentibus ad radium m i , tum iidem multiplicentur per excessum Secantis anguli a supra radium , & productum addatur ipsis , ac habebuntur , ut mox demonstrabitur,
anguli EIH , E lG : addatur priori angulus DIE m CDI m a, Scdematur a po teriore , ac habebuntur anguli quaesiti DI H, DIG.
180쪽
OsusCULUM X. 16ρ Sunt enim EH , EG tangentes angulorum EIH, EIG ad radium
IE, qui cum sit paullo minor radio DC m I, tangentes EH, EG debent augeri in ratione EΙ ad DC DI , ut reducantur ad
partes , quin conveniunt tangentibus eorum angulorum respondentibus illi radio majori. Cum ii anguli sint exigui, & tangentes
angulorum exiguorum sint proxime proportionales suis angulis; satis erit augere ipsos angulos in ea ratione : porro EI est ad DI DC in ratione radii ad secantem anguli EID a, ac proinde satis est addere angulis ipsis correctiunculam exiguam , quae oritur a multiplicatione exigui excessus illius secantis suprandium , qui quidem excessus cum in exigua deviatione sit perinquam exiguus, ea multiplicatio est expeditissima. 6. Ii calculi renovandi sunt pro quavis tangente DH, vel DG, quam exhibeat filum penduli suspensi ex I in usu ejus instrume ti inclinati , quem usum exponendum inserius exhibet figura o , R T. Verum potest erui formula, quae per valorem cconstantem , & DH m DG - b variabilem exprimat aberrati nem quaesitam: DM, DN sunt sinus angulorum DCH, DI H ad radium DC m DI m I. Hinc inventa differentia eorum sinuum invenietur differentia angulorum e theoremate notissimo , quo alibi etiam usi sumus , facile autem demonstratur, esse differentiam sinus ad differentiam anguli variati variatione exigua , ut est cO- sinus ejusdem anguli ad radium e sed illa , ubi angulus ipse est exiguus, potest assumi pro ipso cosinu radius m I, adeoque ipsa differentia sinuum assumi poterit pro disserentia angulorum.
α by : DM' α --, qui valor , neglectis superioribus po-
tentiis valoris b exigui respectu radii m I i ), evadit b - b ,& hujus radix DM cum simili neglectu evadit b - b . Est au-
In hisee ealeulis tuto negligi poterunt termini, in quibus summa dimensionum quantitatum exiguarum ι , & e assurgit ultra numerum 4. Is neglectus non inducit in valores finales nisi neglectum quantitatum ordinis inferioris respectu earum , quae in iis remanent .