장음표시 사용
181쪽
eorum sinuum erit b c - - se .
8. Haec disterentia ducenda suisset in C M cosinum anguli DCMad habendam differentiam quaesitam angulorum DCH , DIH. Ualor CM habetur e proportione DH m b : DM m b - - -b3 t: CD
m i : CM m 1 - Lb . Si multiplicetur disterentia sinuum inventa byc - bc per hunc valorem , remanet disterentia eadem , cum novis binis terminis, in quibus dimensiones quantitatum exiguarum evadunt quinque, qui idcirco respuendi sunt , remanente ipsa disterentia sinuum sola pro disserentia angulorum , uti notavimus in fine numeri 6.9. Haec disterentia constat binis terminis altero positivo b c , altero negativo - : bo , qui habent productum commune be ductum in coenicientem communem b--:c . Hic est ad illum ute ad 2b. Hinc facta multiplicatione b per c , assumetur valor b- 'IC, per quem multiplicabitur ipsum productum. Id exhibebit differentiam arcuum metientium eos angulos , nimirum errorem quaesitum , in partibus radii : ut eae reducantur ad secunda , SDtis
Priores tres termini remanent soli ex divisione δ' per r - - ais, S quaristus solus ex divisione - 'e' per eundem divisorem .c Nam hic valor est ' ι i --- . be - qui facto M - - - , H- ω - - e , evadit b I - - Q, R ejus quadratum ' b' r Φau Hubi eum M habeat duas dimensiones δ', be, e , Rssurgit byia' ad sex, quo termino contempto, remanet b' a 4. au -- ,' φ , nimirum valor, cuius radix fuerat assumenda.
182쪽
ΟPUsCULUM X. III tis est multiplicare numerum inventum per 6o , 8c dividere pero, O29I , qui est valor arcus unius minuti, sive secundorum 6o
in partibus ipsius radii. Io. Si deviatio CDI fieret in partem contrariam, puncto E abeunte versus G; recta DE m e evaderet negativa, adeoque manente DH m b , ut prius, mutaret signum solus primus terminus b c , qui habet unicam dimensionem valoris c variati, & sormula evaderet - b c - bc . Hinc haec ipsa exprimet in casu
figurie disterentiam anguli DIG ab angulo DCG : unde proveniunt
II. In primis error corrigendus, pari distantia puncti limbi a
medio , Semper est minor in ea ejus parte, versus quam radius DIanclinatur, quam in opposita : nam in priore is error componitur ex summa , in posteriore e disterentia binorum terminorum
.'c , bc'. Deinde in parte posteriore semper is valor erit negativus , in priore autem erit negativus, nullus, vel positivus, prout valor b fuerit minor, quam Ze, ipsi aequalis, vel major. Initio, existente DH m o, puncto nimirum H cadente in ipsum initium numerationis m o, erit nullus, ut patet. Discedente Ha medio D, erit negativus initio, & crescet, tum decrescet, cum evadente θ - Te debeat evanescere , ac deinde fiet positivus ,& manebit positivus semper. Donec is valor fuerit negativus, angulus DCH indicatus a limbo erit major debito , minor vero quando is valor erit positivus : patet enim saltem abeunte H ultra E , ut figura exhibet, in quo casu valor formuta jam est positivus, fore angulum DΗC minorem angulo DF I , adeoque & sinum DM minorem sinu DN ; ac proinde angulum quoque DCH indicatum a divisionibus limbi sore minorem angulo DIH : sunt enim DM, DN sinus angulorum DHC, DHI ad radium communem DFi , & angulorum DCH, DI H ad radios DC, DI aequales. Angulus autem DIG, qui habet formulam semper negativam , erit Femper minor angulo DCG , quod patet etiam , quia ob angulum DGI minorem angulo C perpendiculum ductum ex D in rectam GI erit semper minus perpendiculo inde ducto in rectam GC . Quamobrem ex ea parte divisiones limbi exhibebunt plus ae-Y 1 quo: Disiligod by COOste
183쪽
quo : unde fluet haec regula . Vesor formulae pro eorrigendo amgulo exhibito a divisionibus limbi applicandus erit ei ipsi angm Io cum suo signo, subtrahendus, quando fueris negativus , ct a dendus , quando invenietur positivus.12. Quoniam is error in discessu puncti H a D versus E in tio nullus incipit esse negativus , 3c crescit, tum decrescit usque ad evanescentiam ς debet alicubi evadere maximus. Locus maximi erroris facile determinatur considerando valorem c constantem, .& b variabilem : fiet aiadb - -c db o , adeoque b m et ibi ejus valor evadit m ac3 - τοδ α - ἱc . Hinc correctio nulla in D, ubi etiam angulus determinatus a limbo est nullus, incipit in recessu puncti H a D versus B esse negativa, & crescit, donec id punctum deveniat ad distantiam DE, ubi evadit - - cy, tum decrescit usque ad punctum medium inter D , 3c E, ubi evanescit, ac deinde evadit positiva, & perpetuo crescensa' parte autem opposita , abeunte H a puncto D versus A , Titur negativa, Sc semper crescit. Nimirum angulus DCG semper est major angulo DIG excessu semper crescente in progressu puncti H abeuntis in G a puncto D versus A , & in regressu defectu ipso semper decrescente, donec in appulsu ejus puncti ad DLVanescat ipse excessus cum angulo utroque: in discessu puncti ejusdem a D versus B adhuc habetur excessus anguli DCH supra DIΗ, qui semper crescit usque ad quadrantem rectae DE, ubi evadit ma--ximus, tum decrescit, 3c evanescit in medio rectae ejusdem: deinde evadit angulus prior minor posteriore desectu semper crescente. Ig. Incrementum correctionis, quod diximus perpetuum in progressu puncti H a nihilo, quod habetur in D, versus A, & ab altero nihilo in media recta DE versus B non durat, nisi donec durat conditio assumpta distantia: DH b exiguae respectu radii DC ; nam abeunte puncto H utravis e parte in infinitum, uterque angulus evadit rectus, differentia evadente ποῦ O . Quamo, rem habetur utraque e parte iterum aliquod maximum , quod formula mon indicat, quia ipsa est eruta ex ea suppositione , vicujus neglecti sunt omnes termini habentes summam dimensionum majorem numero 4 . Si distantia Dri fiat x, Sc concipiatur recta s
184쪽
ΟPusCULUM X. Perpendicularis rectae AB aequalis valori b c - θbo' ; habebitur
aquatio F - cyx m o, quae est ad parabolam transeun
tem bis per rectam AB in puncto D , & in medio inter D, &
E, in quibus punctis evanescit vallar F : axis ejus parabolae tra dit per punctum distans a puncto D versus B per H DE . Recessus ejus curvae a recta AB cum accessu , & transitu per ipsam in iis duobus punctis exhiberet ipsis oculis omnia illa incrementa , &decrementa correctionis, & transitum duplicem per nihilum cum mutatione ab excessu anguli alterius respectu alterius in desectum, & Vice versa : verum ea curva simplex non satisfaceret Rc curate problemati, sed tantum proxime, & id , donec duraret conditio distantiae DH exiguae respectu radii DC m I : nam curva, cujus distantia a recta AB exhiberet accurate differentiam eorum angulorum, esset multo sublimior, nec est operae pretium ipsam investigare e sola simplicitas formulae , 8c curvae me induxit ad persequendas haesce omnes variationes, Oblata Occasione exercendae Geometriae, & contemplandae ejus indolis , ac analogiae cum cal-
mus eiusmodi considerationum non sistit in sola eontemplatione jucunda nexus mirabilis, qui habetur inter Geometriam linearem , quae sola reipSa est Vere Geomereia, ct calculum algebraicum eius sormae, quam Cartesius adhibuit in hujus applicatione ad illam , quo nexu fit, ut formulae erutae e figura aptata uni casui transferri possint ad omnes alios, analysi admonente Analysiam ejus idiomatis peritum etiam de veritatibus, de quibus is sine ejusmodi monitu nequaquam cogitasset: sed praeterea eae considerationes amovent periculum incidendi in errores, in quos minus cautus Analysia incurreret. Unum
ex iis perieulis haberetur hie, ubi etiam prima fronte appareret absurdum quoddam , & contradictio. Immotis punctis A, B, C, D, I, E, consideretur filum prodiens e puncto I, di occurrens rectae AB in F , translatum a positione , quam figura exhibet, in qua nimirum respectu puncti B id jaeet citra E, motu continuo versus D, .ct habeatur prae oeulis mutatio continua angulorum DCH , DI H , & valoris formulae ιυ - - be', quae in positione figurae ipsius est valoris positivi, Sindicat excessum anguli posterioris supra priorem , adeoque correctionem ad dondam valori pudicti H aestimato a distantia DH puncti ipsius ab initio divi sionum D assumpta pro tangente ejus anguli ad radium DC α DI IT 1 , ut .haisatur vatur anguli DIH.
185쪽
14. Si rectis DH, DG existentibus aequalibus angulus DCH α- qualis angulo DCG dicatur r , erit angulus D IΗ m ν φ b c a be , 3c DIG m r - bY - I bc . Quare eorum differentia erit abla , qua prior deficiet a posteriore. Angulus autem G IH ,
qui erit eorum summa, erit m ar - dum angulus GCH erit m ar . Quare ille prior erit major hoc posteriore per bo . At differentia angulorum DI H, DIG erit m 2b'c , qui erit excessus prioris supra posteriorem. I s. Facilis est transitus ab angulis DI H, DIG pertinentibus ad limbum rectilineum ad angulos DIH', DIG' pertinentes ad circulo rem . A priore demendus est angulus HIH', posteriori addendus GIG'. Porro ob angulos exiguos proportionales suis sinubus, &
Dum punctum H procedit orsus D; valor ipsius formulae minuitur, Sed remanet positivus, ct indicat, angulum DIH esse majorem angulo DIC, utut e cessu semper imminuto, donec deveniat H ad punctum medium inter D , RE : ibi facta DΗ , sive b e , valor sormulae evanescit, termino priore P sitivo iacto aequali posteriori negativo, quod indicat, ibi eos angulos evadere
aequales. Ultra eum Iocum valor sormulae evadit negativus, praevalente secuna
do termino supra primum , & angulus III H evadit minor angulo DCH desectu creseente , donec fiat maximus, puncto H appellente ad distantiam a pui cto D aequalem quadranti ipsius DE: minuitur deinde ea disterentia negativa, donec punctum H appellat ad D, ubi ipsa iterum evanescit , evanescente ibi valore b, cum quo tamen non evanescit sola disterentia, sed simul cum ea evanescunt ipsi anguli, qui idcirco ibi non fiunt vere aequales , sed jam sunt nulli.
Abeunte puncto H ultra D, succedit ipsi punctum G, & angulis DCH , DI Hsuccedunt anguli DCG , DIG : formula autem , facto valore DH α ι jam negativo, e adit tota positiva, facto positivo secundo termino be' . Videtur
prima fronte angulus DIG debere iterum evadere major angulo DCG . cum tamen , ut supra deduximus, is ex ea parte sit semper minor desectu composito e Summa valorum eorundem terminorum assumptorum , uti sunt in se ipsis. Solutio ejus aenigmatis oritur e mutatione angulorum ipsorum in transitu Puncti H per D e positivis in negati vos. Cum valores negativi considerandi sint, ut minores nihilo; is , qui in se ipso est minor, in consideratione analytica est major. Differentia ' DIG - G exhibita a formula evadit positiva e ipso, quod angulus DIG, negativus in expressione analytica, minor est in seipso, quam DCG.
186쪽
In hoc valore perquam exiguo potest poni CH m i pro Ibi', 8c CDI m a pro Η'HΙ, sive CHI, qui duo valores parum differunt a substitutis: id quidem patet de priore ob rectam Co minorem CΙ exigua respectu CD , sive CH', & de posteriore ob Io parum discrepantem ab IL , & IH a CH . Si angulus CDI a sit graduum duorum , & DCH angulus DCI ad basim trianguli isoscelii DCI erit minor recto per gradum unum , a quo demendo adhuc DCH m 4, deficiet ΗCIa recto per gradus s , adeoque IL, Io erunt ad se invicem ut
Sin. 89 o,9ς98 ad sin. 8s' m o,ρρsa, qui vatores differunt a Se invicem minus quam per o,oo totius: at CF sec. DCH
adeoque IH adhuc minor eadem CH differt ab ipso adhuc minus: hinc ista duplex substitutio inducit in angulos CDI, CHI differentiam minorem centesima parte totius valoris tam exigui. Facta autem ejusmodi substitutione, evadit angulus Η'IH a XH'H, sive, posito pro CDI m a suo sinu IL DE m e , fit me X H'H. Porro est ΗΗ' αDH
mutato per radium DI abeuntem in angulum oppositum ADC , quod mutat valorem DE m e in negativum , & indicat excessum
anguli DIG' supra DIG pro desectu DIH' a DIH. I 6. Quare angulus DIH' ex parte, in quam inclinatur radius DI,
erit m ν -- et bY - bc , & ex parte opposita angulus D Ism r -τb c - Ibc . Hic posterior erit semper minor angulor exhibito ab arcu DH', correctione existente - Ibye - p bc
Semper itidem negativa . In appulsu puncti G'ad D , uterque DCG', DIG' evanescit: puncto G' transgresso D , 8c abeunte versus Bin Η' angulus DIH', erit initio adhuc minor angulo DCH' per differentiam 'bye - et be negativam crescentem, donec fiat bcdb - db - o , sive b e , tum decrescentem donec fiat b c, ubi Diqiligo: by Cooste
187쪽
ubi disserentia iterum evanescet in appulsu puncti H ad E. In re cessu ulteriore puncti H differentia evadet positiva , angulo D IH
semper deinde excedente angulum DCH', quae omnia habebuntur proxime non accurate , & donec recta Did erit exigua respectu
radii DC : differentia autem , 8c correctio in limbo circulari erit semper minor , quam in rectilineo per et bye . 17. Hὶc jam possunt applicari numeri, ut innotescat, quid abriu modi quantitatibus exiguis timeri possit in usu ejusmodi instrumentortim : aSSumemus autem pro instituendo calculo numerico devinionem CDI a graduum duorum majorem ea , quae timeri potest, & angulum DCH graduum 4 majorem itidem eo, qui adhiberi solet in mensura graduum Meridiani, vel in determinanda distantia fixae cujuslibet a Zenith , ad obtinendam deviati nem axis telescopii per inversionem instrumenti , cujus ope determinetur correctio primi puncti verticalis in positione quadrantis muralis , qui converti non potest, vel f ὶ ad alios usus astronomicos, pro quibus susticit adhuc minor distantia a Zenith . Facile inde eruentur valores pro quavis minorα deviatione , &distantia angulari a radio DC, quae in valore sermularum exhibemtium errores, 3c correctiones accipi possunt, ut proportionales sinu i DE m e , & tangenti m DH m b . 18. Erit DE c sin. 2' o, o 3 9 , qui valor non disisertc γ Habebat Liesganigius in Viennensi spe eula Collegii Ieguitiei duos ingentes
quadrantes murales, australem alterum , & alterum borealem e construxit, matbi praesente , sectorem egregium ad formam ejus, quem ego adhibueram pro mensura graduum Meridiani, ad obtinendam correctionem puncti limbi dete minantis positionem verticalem per conversionem ipsius vectoris, tum eodem est usus ad determinandam latitudinem tui observatorii per distantias plurium fixarum a Zenith , quas comparavit cum earum positionibus erutis e Catilianis Fundamentis Astronomiae, de cum observationibus contemporaneis fixarum earundem institutis ad eam rem ab ipso Catilio. Ea occasione hane perquisitionem tum institui, schedias male conscripto, adhibens eandem hane methodum , & inventis his ipsis formulis r sed ea hic Profero meliore ordine digesta, & ealculis multo simpliciore ratione institutis, eum additionibus plurimis, quae ad uberiorem evolutionem requirebantur. Inventum est, eum sectorem earere hoc vitio : eci autem ipse deinde usus est etiam selicissime ad
dimetiendos Meridiani gradus tam in Austria , quam in Hungaria.
188쪽
OPUSCULUM X. I77sert a tangente, nisi per fractiones minores, DH b eo. 'm o,o699, qui jam differt a suo sinu per o, Coo I 7. Praeter substitutionem eorum numerorum pro b, & c, quae exhibebit valores quaesitos in partibus radii , adhibenda est num. S) multipli-
catio per ad habendos eosdem redactos
ad secunda; unde pro primo termino b c proveniet 33', a , Sc8', 8 pro secundo Ibo'. Hinc correctio pro puncto H erit 3s', a - 8', 8 m 26', 4, & pro puncto G - 35', 2 - 8', 8 π - Α Ρ, O.
I9. Pro methodo numeri s assumendae sunt plures notae deci- males, ad habendum accuratum numerum secundorum: fient e m in. 2' o,o34899s , b tan. ' -- o,o699268, adeoque E H- b - c - o,o33 273 , EG b - - c o, Io 8263 . Hae ad radium m I sunt tangentes angulorum 2'. Q 2I', 9 722I', 9,& s'. sy'. Is'', aisso'', , qui valores multiplicati per o,ooos 1 excessum secantis anguli DE supra radium I exhibent correctiunculas 4', , Sc I3'', I addendas valoribus inVentis, qui evadunt 2'. o'. 26',3 , & 3'. 59'. 3',3 pro angulis EI H, EI G : addendo priori angulum DIE et . 3c ipsum auferendo a posteriore, habentur pro angulis DI H, DIG V. o'. 26',3 , 3c 3'. s9'. Io', , cum excessu 26', a prioris supra DCH ', Sc desectu a', sposterioris a DIG itidem
eto. Eaedem notae requiruntur etiam pro methodo numeri 4 . Summa laterum DI,DH m I - - b est I, osρ9268, differentiam I h o, 93oo732 , Semi-summa angulorum ad basim l H -ADI m 46', unde eruitur semi-dimerentia gl'. 39'. 33',6, quae dempta a semi-summa 6' relinquit angulum D IH ας. o'. 25',4 majorem angulo DCH per 26', : in triangulo DII summa, Jc differentia laterum sunt eaedem, Semi-Summa vero angulorum ad basim IG - - BDI unde eruitur semi-dimerentia ψo . o'. μ', o , quae ablata a Semi-summa ' relinquitDIG m 3 .sρ'. Io', o minorem angulo DCG ' per ', o. 2I. Haec Istrema methodus est accurata , sed requirit numeros majores, adeoque est operosior, ut Sc praecedens, dum sommula pauciores notas daci malium exigens est omnium expeditis- Tom. IV. Z sima.
189쪽
sima . Porro omnes tres methodi exhibent valores a se invicem discrepantes solum per paucas unius secundi partes decimas, ut videre est in tabella sequente , & quidem formula in altero e voloribus non disteri a valore exacto, nisi per unam decimam partem secundi, & sortasse etiam minus; nam fractiones minores in iis calculis sunt neglectae. Correctiones
22. Is consensus formula: cum valore accurato ostendit, methodum , qua ipsa est eruta , non esse erroneam, & jure contemptos esse pro ipsa eruenda terminos, qui habebant summam dimen&ionum majorem numero ψ . Porro non solum calculus numericus ipsis formulis applicatus est facilior, sed inventis semel binis valoribus exhibitis pro correctione respondente illi deviationi suppositae radii DI, admodum facile ejus ope inveniuntur correctiones respondentes aliis deviationibus , & aliis distantiis punctorum limbi H , & G ab initio divisionum D . Terminus secundus Semper negativus - bes variatur in ratione composita e simplici voloris b, 3c duplicata valoris c : primus autem b c ex parte altera positivus, & ex altera negativus in ratione composita e duplicata valoris b, & simplici valoris e . Positis autem valoribus, quos adhibuimus pro deviatione radii DI graduum duorum , & distantia angulari punctorum H, & G a puncto D m ' obvenit num. I 8 valor primi illius termini as', et , secundi - 8', 8 . Si deviatio sit tantummodo uniuῖ, vel dimidii gradus , maneat autem distantia puncti H , vel G ab initio D , evadet secundus valor tantummOdo 2',a , Vel o'',s sere contemnendus.etiam pro distantia illa angulari graduum 4: primus remanebit adhuc ingens, secundorum nimirum i 8',6, vel 9', 3 . Sed si punctum H, vel G sit adhuc propius puncto D, distans nimirum per duos gradus, vel per unicum , deviatio autem sit gradus dimidii , valor secundus evadeto', as vel es, Ia , primus autem 2', , vel es,s . Distantiae angulais
190쪽
OPUS C Ua U AI X. 179gulares puncti limbi duorum , vel trium graduum possunt utique obvenire e curandum est autem , ut in ipsa con Structione instrumenti evitetur, quam diligentissime fieri potest, deviatio ipsa , vel determinetur ejus magnitudo absoluta potissimum , ubi sector adhibetur pro mensura graduum Meridiani, in qua error singulorum secundorum , ubi agitur de unico gradu , trahit Secum errorem ris hexapedarum .
23. Videndum tamen , quid accidat, ubi distantia a Zenith assumitur non per unicam inclinationem, filo penduli cadente in alteram tantum e partibus limbi DA, DB , sed per inclinationem utramque, quae adhiberi solet ad eum usum, facta instrumenti con- Versione , quae quidem etiam adhibetur semper ad habendam aberrationem direetionis, quam habet axis telescopii respectu radii DI terminati ad initium divisionum . Sit axis telescopii parallelus radio DI habenti deviationem versus B , ut in fig. s , & fixa distet a renitii gradibus r, figura autem o exprimat positionem sectoris cum limbo obverso ad orientem , & figura ad occidentem : filum penduli I P cum radio DI continebit in utraque positione angulum m r . Si nulla haberetur deviatio ; id filum occurreret rectae AB in punctis H,& G ad distantias a puncto D, in priore fg. DH, in posteriore DG, accurate aequales, quarum singulae exhiberent accurate gradus per tangentes D H, DG attributas radio DC DI. Sed ob illam aberrationem habebitur in priore figura DH minor exhibens arcum minorem angulo r per aberrationem - b c - - :bo , & DG in posteriore arcum majorem per aberrationem bY - - bc , mutatis signis, cum ii, qui in fig. serant excessu v, vel deseElus angulorum pertinentium ad punctum I respectu pertinentium ad punctum C habentium eas rectas pro tangentibus, sint desectus, vel excessus horum respectu illorum. 2 . Si deviatio esset Σ', & distantia a Zenith primus error limbi esset - 25'', , & secundus - - ', o , & si distantia fixae a et ea illi esset r paullo major, vel paullo minor
Dradibus 4 , error uterque esset parum diversus. Assumeretur pro distantia a renitti semi-summa angulorum r - 26', - , r ψ - ', o - γ' - - 8', 8 , cum errore 8', 8 in ejus distantia a Zu-