장음표시 사용
211쪽
habendus est, ut negativus . Ibi fixa evadit orientalior Meridiano post appulsum ad ipsum , non ante, ut in reliquo omni arcu PA Meridiani ipsius. 31. Si instrumentum sit fixum in quopiam Observatorio ' poterit computari tabula errorum pro diversis distantiis c a polo, quae adhibeatur pro corrigendis omnibus ob*ervationibus, quae eodem instrumento ibi manente instituantur. Si autem id instrumentum sit uortatile ; haec formula potest esse admodum utilis pro de temminanda longitudine loci incogniti, ad quem navis appellat. Educto ipso instrumento extra navim, fieri potest, ut vel locus ipse , Vel tempus, non permittat correctionem ullam adhibendam positioni sulcrorum , vel axi conversionis . Si collocato instrumento per cra, sam aestimationem , assumantur eadem nocte altitudines correspondentes pro tribus fixis appellentibus ad tria puncta Meridiani satis distantia inter se , ex quibus deducantur momenta appulsuum ad Meridianum , observentur autem appulsus earlIndem ad axem teles copii; habebuntur tres errores e, P, g. Si autem eadem nocte observetur etiam appulsus limbi lunaris ad filum ejusdem telescopii perpendiculare filo horizontali , habebitur etiam appulsus centri lunae ad idem filum ob cognitam ejus semidiametrum . Innotescet utique valor c ei positioni respondens saltem parum abludens a vero, adeoque innotescet momentum appulsus
centri ipsius ad Meridianum, qui collatus cum loco lunae computato pro ephemeridibus, Vel cum tempore transitus ipsius per Meridianum observati in aliquo alio loco cognito , habita ratione motus proprii lunae , exhibebit per operationes notas Astronomis longitudinem ejus loci in primo casu nocte eadem ad dirigendum reliquum cursum , & in secundo post ejus observationis notitiam , multo accuratius , quam per distantiam lunae ipsius ab aliqua fixa assumptam per Octantem reflexionis. 32. Secundum systema sormularum numeri as opusculi III eruitur in fig. Tabulae II sine ullo subsidio sormularum disterentialium concipiendo arcus ES , ES', ES' productos usque ad Meridianum in M , M', M', & ex puncto O arcus ΟΙ, ΟΙ', ΟΙ' perpendiculares iisdem tribus arcubus. Obvenit prima formula ejus
212쪽
o PusCULUM XI. systematis pro valore det primi error ῆ simplex, & elegans , ex qua fluunt reliquae duae pro reliquis binis erroribus. Eadem obvenit hie mihi e figura non nihil immutata , cujus consensus cum priore confirmat utramque. Sunt hic Tab. VII fg. 3 ) puncta A ,
nimirum eadem etiam ac in fig. 2 ipsius, qua usi sumus in determinatione pra cedente, sed puncta M , M', M' sunt occursus arcuum OS, OS', OS' cum Meridiano AZB, & I, I', I ' sunt puncta , in quibus occurrunt iis arcubus arcus habentes polos in S,S', S', & transeuntes per E, qui poterunt assumi pro lineis rectis perpendicularibus ipsis , ut Sc omnes reliqui arcus figurae EDOIIT' haberi poterunt itidem pro rectis lineis . Erunt autem OI , OI', Ol' exeessus arcuum OS, OS', OS' supra arcus aequales ES, ES', ES', figura OII'l'E erit inscripta circulo habenti diametrum OE ob angulos rectos ad I, II I', & arcus M M MM', M'M' erunt hic accurate mensura angulorum MOM' , MOM', M'OM', sive IOI', IOI', I OI', quorum chordae Il', II', I'I' erunt ad diametrum OE , ut sinus eorundem angulorum ad
Φ) Adhibuimus hoe theorema etiam in opusculo III sine demonstratione , quae quidem est tacitis. In circulo Meridiano, cujus polus est O , mensura anguli1OI est totus areus M M' II e - e , at in eireulo, cuius diameter est ΟΕ, mensura ejusdem anguli terminati ad eius peripheriam in C , est dimidium arcus subtensi a chorda II', cujus dimidii sinus ad suum radium zz - ΟΕest dimidium ejusdem chordae , adeoque est sinus dimidii areus subtensi ab ea chorda Mn. ο - e' ad radium se i , ut i II' ad - OE, nimirum ut II 3 ad OE. Hine valor chorde Il' est OExon. e - e ) α Din. e - e' , R eadem est ratio pro valoribus chordarum II , I IV hie adhibitis. In figura 4 Tab. II habebantur eaedem expressiones , quia ibi etiam ob viciniam punctorum Ε, Ο,& viciniam punctorum M pertinentium ad productiones a reuum Es cum punctis iisdem pertinentibus ad productiones areuum CS adhibitas hic in figura 3 Tabulae VII, ille angulus IEI', sive MEM' potest haberi pro ae quali huic angulo IOI', sive MCM e - e .
213쪽
ac demum pro is , prorsus ut in opusculo III num. 27 pro det, obtinetur
Arcus SM potest considerari, ut arciis paralleli habentis polum in P , ut arcus circuli maximi transeuntis per E, & S , ct ut areus itidem circuli maximi transeuntis per O, & S. In quovis ex hisce tribus modis assumatur, eius magnitudo linearis haberi poterit pro eadem exigua recta perpendiculari ad arcum Meridiani ob viciniam puncti M respectu hu us : is arcus assumptus
primo modo exhibet numerum secundorum sui paralleli Isu, qui est error angularis , & hὶc appellature: is evadit I sntin.e cum reducitur ad numerum Secundorum circuli maximi: sed inserius in alia methodo proponenda appellabimus eipsum valorem I snsin.c esin. e tacilioris scriptionis causat verum dum hὶ evalor e habet ubique signum idem ac n, ibi ejus signum pendebit etiam a signo valoris e , adeoque in punctis arcus P Α erit idem , ac signum valoris v , R o, in punctis autem arcus PB erit ipsi contrarium ob valorem e positivum in primo casu , negativum in secundo. Consideratur autem ut productio arcus ES in figuris a , 3, 4 Tabulae II, & arcus OS in fig. 3 Tabulae VII.
214쪽
OPUSCULUM XI. 2o33s. Invento hoc valore primi erroris fit progressus in num. et opusculi ipsius ad determinationem reliquorum binorum OD, ED, determinando primum distantiam Eo poli conversionis a cardine Orientali. Ea obtinetur per resolutionem trianguli IOI', in quo habetur angulus IOI', cujus mensura est arcus Min m c - Γ,& invento valore 6 , habebuntur latera OI esin.c , R OI' Vsin. Γ, quae appellantur ibidem unde innotescit angulus II'om: IEo, cujus sinus cum sit ad radium ut OI valor jam cognitus ad Eo , haec innotescit: eruitur Valor analyticus ejus rectae m t expressus in formulis secundi Systematis numeri 26 ejusdem opusculi III , congruens cum invento methodo priore, & expresso in formulis systematis primi . Ulteriore progressu invenitur sormula pro valore anguli EOD , qui fit r , unde fuit secundus error OD m icos.r , & tertius ED m
36. Uerum h)c is angulus invenietur multo facilius. Nam innotescit angulus AOM , altitudo supra hori Zontem primae e tribus fixis in ejus appulsu ad Meridianum , quam quidem satis est habere verae proximam , Sc angulus IOE complementum inventi ΙΕΟ, sive II O, quorum summae supplementum est ipse angulus EOD O r. . 37. Methodus solvendi problema per tres aequationes differentiales exhibuit numero go valorem erroris e pro quavis alia distantia c a polo et potest idem inveniri admodum facile etiam per hanc Secundam solutionem pro quovis alio dato puncto Meridiani , ut novo M : habebitur ejus distantia o a polo , R elevatio AM supra horigontem , adeoque angulus AOM , qui ablatus ab angulo AOE jam invento relinquet angulum EOI, adeoque habebitur OΙ α OEXιοι. EOI, qui valor cum sit siu.c , erit e m -- lst valor jam cornitus, Sc simplicior illo invento
per sermulam indicatam erutam ex iis aequationibuς differentialibus methodi primae 38. In eodem opusculo III habetur a num. 19 ratio inveniendi sacilius errorem secundum , & tertium , ubi jam innotescat pri
215쪽
mus ; quae respondet primae methodo solvendi hoc problema. Id ipsum admodum facile praestari potest ope hujus secundae methodi solventis idem problema independenter a sormulis differentialibus: utrobique autem tum sufficiunt binae observationes tantummodo. Sint eae S, & S': habito primo errore 6 , habebuntur valores OI m o - esin.c, & OI' o - Hsin. P . cum angulo IOI c - es. Quare invenietur, ut prius, angulus Ir'O m IEO, R OE m-: tum angulus AOE m AOM -- IOE , per
cujus cosinum , & sinum multiplicando OE Obtinentur quaesiti errores OD, ED. Porro ea methodus erit admodum utilis pro usu hujusmodi instrumenti portatilis. Nam in translatione instrumenti ipsius positio axis telescopii respectu axis conversionis nequaquam mutatur, adeoque eo errore semel invento, & vel correcto, vel etiam adnotato tantummodo , ut adhiberi possit ad inveniendos valores ΟΙ , ΟΙ', habebitur per solas observationes duarum fixarum quidquid requiritur ad inveniendum errorem pro alio quovis
puncto Meridiani , ut pro eo , ad quod appellit luna. 39. Agendo de hoc ipso argumento in alio quodam opusculo incidi adhuc in aliam methodum solvendi idem problema, quam hic adjiciam : adhibebo autem ad hunc usum figuram 3 Tabulae a,
quam adhibui in opusculo III numero ro ad inveniendos errores Srcundum , ac tertium , invento primo . In ea FNG est circulus maximus habens polum in E , qui polus est etiam communis circulo transeunti per puncta S , quorum duo habentur in eadem figura S, & S', facile autem potest mente suppleri tertium intermedium S', quod quidem non est necessarium, nec vero ipsum tertium S' ad comprehendendam vim methodi . Is circulus Occurrit hori Zonti in F, & G , Meridiano in N, cuivis arcui ES in
se erit autem hic etiam SM estu.c, quem valorem scriptio nis brevioris causa hic appellabimus e juxta adnot. ad num. 33 , R Ss excessus quadrantis Es supra arcum ES , nimirum error a
Tium primus, quem hic appellabimus x pro dα , vel pro dx , tum b , & α arcus ZM, LN positivos, si jaceant Versus austrum, S 3 angulum ANE positivum , si jaceat versus Orientem.
216쪽
tres valores incognitos κ,3 , et , cum sex cognitis b, b b' e,ae,e'. Iis aequationibus rite evolutis innotescent eae ipsae incognitae , Scope ipsarum singuli errores axium quaesiti, ac error momenti appulsus pro quovis alio puncto Meridiani. En aequationes imas.
42. Pro evolutione earum aequationum in primis subtrahendo secundam, & tertiam a prima, orientur aliae duae: IV. 3sin. b- κ)- 3sin. b' - α) e - e : V. ysin. b - α) - Fsin. θ' - κ)- e - e'. Ex iis aequationibus oritur proportio nu. b - αὶ sin.ί θ' - κ): sin. b - Σ) - sin. θ' - α) :: e - P: e - μ. Ex ipsa pluribus methodis potest erui valor α , quo invento habetur F in aequatione IV, tum ae in I. 43. Proponemus tres methodos pro eruendo valore Σ . Prima adhibet constructionem geometricam simplicem, & elegantem. In circulo quovis fg. ) capiantur arcus ZS, ZS', LS' similes iis amcubus datis in fig. et Tabulae II : ducatur chorda SS', producatu
que in M , capta SM m --X M , quae debet assumi ab S
versus S', vel versus partem oppositam , prout Valor Iue
rit positivus, vel negativus: ducatur S 'M , tum radius C N ipsi parallellus directione eadem . Is determinabit arcum LN m T . Si enim ducantur SH,S'H', S'H' perpendicula in NC-MS'
217쪽
- . Secunda methodus utetur calculo trigonometrico . Ducta SUhabebuntur in triangulo SUM bina latera SS', SM cum angulo ad S . Latus Sς est chorda distantiae punctorum Meridiani, ad quae dirigitur telescopium in prima , Sc tertia observatione , quae chorda est dupla sinus dimidiae ejus distantiae . Eodem pacto invenitur chorda SS', quae est dupla sinus dimidiae distantiae punctorum observatorum in prima, Sc secunda observatione . Per i-
psam invenietur SM , quae ex num. praecedenti est NSS': anguli autem S'SM mensura est dimidius arcus S'S', sive dimidia distantia tertii puncti observati a secundo . Resoluto eo triangulo, habebitur angulus SS'M, adeoque ejus supplementum SS'L'. Si concipiatur MS' producta , donec iterum occurrat peripheriae circuli in P : arcus PS erit duplus mensurae ejus anguli , cum is ipsi insistat ad peripheriam : quamobrem is etiam dabitur, adeoque Sc totus PS' PS - - SS', Sc S'N , qui debet esse complementum dimidii PS': nam completa diametro NCR , erit PS' supplementum PR - - S'N, qui arcus debent esse aequales ob PS', RN parallelas , adeoque singuli ii arcus erunt residui arcus P PS ad quadrantem. Dempto eo complemento arcuS PS' ab arcu cognito Zς relinquetur quaesitus LN
218쪽
rigitur in tribus observationibus , quos valores diximus b, θ', b'. Assumemus autem b pro puncto maxime australi, b' pro maxime boreali , quamvis possent assumi ordine quovis r facile invenientur etiam o,e', ', qui sunt num. 39) numeri u secundorum temporis pertinentium ad singulos errores ducti in Is , & in sinum distantiae a polo punctorum observatorum . Ea habetur pro singulis addendo distantiae poli a Zenith, quae est complementum
latitudinis loci, distantiam a zen illi puncti Meridiani, ad quod telescopium dirigitur , si id jacet ad austrum, demendo, si jacet ad
Boream : in hoc secundo casu si ea distantia a Zenith fuerit m jor , quam distantia ipsius Zenith a polo οῦ residuum ex subtractione erit negativum , & existente numero n positivo in appulsu ad axem telescopii priore appulsu ad Meridianum, valor e adhibendus in hisce formulis erit negativus, juxta adnotationem adnumerum 33 . Is enim est Isnsis.c , Sc existente numero npositivo , ubi appulsus ad instrumentum praecedit appulsum ad Meridianum, ac arcu c negativo, in eo casu evadit negativus va-Ior Isnsis. c. Id accidit, punctis Meridiani positis ex parte bore ii infra polum, in quibus directio motus diurni est contraria directioni ejusdem pertinentis ad omnia reliqua puncta Meridiani extantia supra polum. 7. Ut unico intuitu pateat, quid agendum sit, proponemus hic primo loco denominationes valorum , qui adhibendi erunt, tum formulas, & regulas pro omnibus tribus methodis propositis.
219쪽
zog TOMUs IV. Numeri secundorum temporis inventi in tribus erroribus , positivi , si appulsus ad axem telescopii Subsequatur appulsum ad Meridianum . . . .
Distantiae a Zenith punctorum Meridiani positiva: ver- isus plagam meridionalem incipiendo a maxima . . . b, θ', b Distantiae earundem a polo positivae versus eandem plagam c, c', HValores Isnsimc C, P, HArcus ZN positivus versus austrum πAngulus ANF positivus versus orientem F S. Prima methodus pro inυruiendo α.
vam, vel dexteram, prout fuerint positivi, vel negativi. Aptata in circino proportionis SS' ad numerum c - e , capi tur linea respondens numero e - & fiat ipsi aequalis SV in Sς producta versus M, vel S, prout e - e', e - fuerint ejusdem signi, vel signorum oppoSitorum.
Ducatur S'M , R ipsi parallelus radius CN in directione eadem. Ualor Σ erit arcus ZN positivus , vel negativus G prout jacu rit ad sinistram , vel ad dexteram. q. Secunda methodus pro inUeniendo α. Inveniantur valores chordarum S&,SS' dupli sinus dimidiorum arcuum b - b b - b'.
Inveniatur angulus MS S in triangulo , cujus latera SS', SMinventa, & mensura anguli intercepti ad S m pS'ς--- b'ὶ.SP mensura dupli ejus supplementi addatur arcui SS' m b - θ' Sc capiatur complementum ejus dimidii, quod erit S''N . Valor ZS'' - ς' N α b'- S''N , erit valor ae quaesitus. so. In prima harum solutionum Geometria ipsa exhibebit in casibus omnibus directiones rectarum, & per ipsas positionem pun- Eli N respectu Z . In secunda haberi poterunt mutationes angulorum in eorum supplementa, & summarum in differentias , ac viceversa , quae determinandae Sunt per leges generales transso
220쪽
mationis locorum geometricorum . Infinitum esset persequi singillatim casus omnes diversos. Satius est delineare cum aliqua accuratione schema consorme solutioni primae , quod dirigat calculum numeri cum . Trigonometria adhiberi poterit ad majorem accurationem : quanquam ipsa constructio abunde hic erit , ubi ipse valor ZN determinatur per quantitates e, H, H nimis exiguas, ut idcirco non possit obvenire accuratus, quae tamen accuratio nec est necessaria , cum debeat adhiberi ad determinandos ves reS , κ,3 , admodum exiguos .s I. Tertia methodus pro inveniendo E. Haec methodus consistit in ordine calculi numerici pro evolutione formulae numeri 4s exhibentis valorem tan et . Inventis valoribus e , P, Γ, obtinebuntur per subtractionem coefficientes e - P, 3c e - e': sinus, 3c cosinus arcuum b ,ν,b' assumentur e tabulis naturales , non logarithmici: inde obtinebuntur per subtracti
adscribendi sunt ipsorum logarithmi: logarithmus idem coeffcientis e - e' additus utrique seorsum exhibebit togarithmum primi termini tam numeratoris, quam denominatoris, quorum numeri invenientur in tabulis . Eodem modo invenientur togarithmi primorum coemcientium secundi termini tam numeratoris , quam denominatoris , quibus addetur togarithmus coemcientis secundi e- Γ, dc habebuntur togarithmi utriusque secundi termini cum eorum numeris, ex quibus habebitur in numeris tam numerator , quam denominator , & per horum logarithmos Iogarithmus fractionis totius , qui cum sit togarithmus tangentis arcus et, invenietur a cus ipse. Sinus, & cosinus assumi poterunt ad radium Ioooo , ad evitandam necessitatem partium proportionalium in assumendis logarithmis coessicientium : obveniet eo pacto valor R non quidem accuratus, sed tamen satis proximus pro inveniendis cum sufficienti accuratione exiguis erroribus, pro quorum determinati ne is arcus est ultimo adhibendus.set. Invento arcu κ habebuntur in aequatione IV numeri a a cus b - Σ, Γ - α, adeoque & eorum sinus, quos itidem satis est