장음표시 사용
251쪽
tam ipsi agglutinatam per pressionem cuspidis alterius puncti circini .
. Remanet molesta expectatio reditus verticis umbrae ad circulum eundem . Ego quidem ad eam evitandam soleo ante meridiem accedere per exigua intervalla temporis, & in ea charta notare plura puncta umbrae , tum intervallo proxime aequali redire post meridiem , & notare plura alia parum a se invicem distantia: per utramque punctorum seriem duco levi manu lineam, quae denotat viam Verticis umbrae : assumo circino distantiam verticis styli. ab uno e punctis lineae matutinae , & eodem circino translato ad lineam vespertinam, ac altera ejus cuspide delata per eam lineam altera directa versus verticem styli ejusdem, quaero in ipsa piinctum , quod aeque distet ab eo vertice: per ea duo puncta ita inventa duco rectam , quam seco bifariam, & per illud punctum medium duco aliam perpendicularem eidem rectae , vel potius facto centro in utroque ex iis punctis, assumo binas aequalium circulorum intersectiones, per quas duco rediam, quae erit utique linea meridiana, tanquam si esset definita per appulsus cuspidis umbra ad circulum habentem centrum in pede gnomonis: ductus autem linearum viae umbrae exhibet commodum seligendi plura punctorum binaria, quae exhibeant plures determinationes, ut illi plures circuli concentrici. s. Patet utique, bina puncta ita inventa jacere in eodem aliquo ex ejusmodi circulis mente conceptis : si enim concipiatur recta perpendicularis ducta e vertice styli in planum ipsum , quae ibi determinat verum gnomonis pedem , utcumque etiam stylusti di non nihil obliquus , vel etiam intortus; habebitur pro utrovispuncto triangulum rectangulum , cujus unum latus erit ipsa recta perpendicularis mente concepta , quae erit altitudo gnomonis , alterum recta itidem concipienda, quae tendit a pede ipso ad id punctum , hypothenusa autem radius , qui a vertice styli tendit sid idem punctum . Cum circino deprehensa sit aequalitas inter binas hasce hypothenusas, & latus illud primum , quod est altitudo styli , sit commune binis triangulis rectangulis pertinentibus ad ea bipa puncta ; erunt aequalia etiam latera ipsorum , quae ad
252쪽
opus CULUM XIII. 24rea tendunt ab ipso styli pede : adeoque ea puncta jacent in peripheria circuli habentis centrum in eodem pede . 6. Cum vellem evitare tam expectationem molestam momenti
reditus ad eundem circulum , quam binas series punctorum , per quae ducendae erant binae viae cuspidis umbrae ; quaesivi constructionem , quae mihi exhiberet lineam meridianam per tria puncta ejus cuspidis quaecumque , ac inveni admodum elegantem , & expeditam , quae commodissime adhiberi potest ad hunc usum . Eadem constructio paucissimis lineis adjectis exhibuit mihi intersectionem plani aequatoris cum plano hori Zontali dato , ex qua fluit determinatio altitudinis poli, occursus axis aequatoris cum plano dato , & determinatio declinationis solis, quae facillime obtinentur per continuationem constructionis ejusdem . Haec postrema usum non habet, nisi pro geometrica contemplatione , Sed priores tres inserviunt delineationi horologii solaris, quanquam , quod pertinet ad hunc etiam usum , altitudo poli pro loco , pro quo ejusmodi horologium delineari debet, potius supponi potest cognita , & quidem accuratius, ex ipSis mappis geographicis , equibus eruitur ejus loci latitudo aequalis ipsi altitudini poli, & ex hac potius deducitur constructio pro intersectione plani aequatoris cum plano horologii delineandi, & occursus axis cum eodem plano , quae duo dicuntur aequator, & polus horologii ipsius : ea potius deducenda sunt ex altitudine poli , quam haec ex ipsis. Adhuc tamen eorum omnium determinatio per constructionem geometricam simplicem , & commodam meritum habet suum saltem pro geometrica contemplatione, & exercitatione graphica. 7. Eam ob causam censui, fore Operae pretium , si hasce methodos hic insererem , atque id eo magis , quod constructio an aloga adhibens tria puncta cuspidis umbrae notata in quovis plano verticali , dum determinat eadem Omnia respectu loci alterius, qui habeat horizontem parallelum plano dato , exhibet determinationem itidem admodum simplicem pro ducenda in eodem plano linea meridiana ipsius loci , in quo ea puneta notata Sunt, cum
linea aequinoctiali , & polo horologii delineandi in eo ipso plano, ac determinat declinationem plani ipsius a plano Meridiani , &Tom. IV. Η h lineas Diqiti Cooste
253쪽
α α T O M V s IV. lineas horarias , quae pro horis Europae communibus incipientibus
numerationem a meridie , & media nocte ducuntur admodum facile in plano hori Eontali post determinatum polum horologii, &aequatorem , minus iacile in plano verticali communibus methodis rducuntur tamen admodum facile etiam ipsae per continuationem constructionis ejusdem . Haec omnia exponam in hoc opusculo ,& adjiciam occasione arrepta methodum pro delineandis etiam tr picis , qui horologium terminent ,. & indicabo methodum expeditam determinandi per constructionem etiam lineas horarias horologii Italici . . '8. In demonstratione constructionum, quas proponam, considerabo, uti fit in Gnomonica, terram immotam, circa quam revolVatur sphaera caelestis habens pro centro ipsam , quin immo Verticem
styli, habita semidiametro terrae pro unico puncto respectu Semidiametri ejus sphaerae: considerabo motum solis diurnum, ut factum in circulo parallelo aequatori, nimirum neglecta, uti fit, mutatione declinationis exigua intra unum diem , & refractione, quae duo pariunt effectus nimis exiguos respectu usus civilis, cui haec horologia sunt destinata. Suppositio motus diurni facti in eo circulo parallelo aequatori , qui habet centrum in hujus axe, essicit ut radius digressus a centro solis , & appellens ad verticem stylidescribat in utroque aequinoctio planum perpendiculare axi aequatoris ducto per eum ipsum verticem , cujus intersectio cum plano horologii solaris est recta linea, quae dicitur ipsius aequator . Reliquis anni diebus is radius describit superficiem coni recti habentis pro basi circulum motus diurni solis, pro axe illum i -
pSum axem aequatoris , pro vertice verticem styli, & continuatio ejus radii ultra hunc verticem describit conum inversum haben tem eundem axem, & verticem : coni sectio quaecumque perpen dicularis axi est circulus habens centrum in ipso axe, & abscindensa vertice styli, qui est vertex communis coni utriusque, latera inter se aequalia: ejus circuli planum est parallelum plano aequatoris, cum utrumque sit perpendiculare eidem axi, adeoque ejus intersectio
cum plano horologii solaris est parallela lineae aequinoctiali, & utra que in plano horizontali perpendicularis lineae meridianae, quae est
254쪽
ΟPUsCULUM XIII. 2 3 intersectio plani Meridiani cum eodem plano. Utramque superficiem conorum ad verticem oppositorum secat planum horizontale,& verticale quodvis intra Zonas temperatas, & intersectio est duplex ramus hyperbolae I eae, quae pertinent ad duos tropicos, sunt
bini rami hyperbolae oppositi, qui appellantur tropici ipsius horologii , quod ii terminant ias. Pro vertice umbrae accipiam, uti pariter fit in Gnomonica, id punctum plani dati, ad quod terminatur radius transiens perverticem styli. Magnitudo disci apparentis solis generat eam , quae dicitur penumbra : ea arctat umbram, & minuit; sed ea itidemhla negligitur & consideratur sol totus , tanquam unicum pun ctum radians . Ubi stylus est longior, effectus penumbrae eSt ma gis sensibilis , ac ad ipsum minuendum in vertice styli ipsius additur globulus pro cuspide, & consideratur pro vertice umbrae styli medium umbrae globuli ipsius, quae circumquaque restringitur a penumbra , quanquam ipsum medium ejus umbrae, quae induit formam ovalem non respondet accurate illi radio digresso e centro disci solaris, & transeunti per centrum ejus globuli : sed ea omnia negligi solent in Gnomonica , ubi ad usus civiles satis est considerare verticem umbrae tanquam determinatum a solo radio centrali. In eo sensu hla accipimus nomen verticis umbra, dum proponimus determinandam lineam meridianam per tria puncta extrema umbra appellando ipsa etiam vertices umbrae : vertex ita acceptus percurrit in aequinoctiis illum horologii solaris aequat rem rectilineum , & in solstitiis illos hyperbolicos tropicos: porro intelligam hunc ipsum verticem , ubi nominavero simpliciter punctum umbrae . Io- Iis praemissis progrediar ad determinationes propositas , incipiendo a constructione pro linea meridiana determinanda in plano horizontali per tres umbrae vertices. II. Problema I. Dato soli vertice , ct tribus punctis umbraenotatis in plano horizontali, ducere in eodem plano lineam meridianam .
I a. Sit trib. VIII. fig. i) T vertex styli positus in sublimi,& A, A', A' sint tria puncta umbrae notata in plano horizont
255쪽
li , in quo jacet etiam punctum S , cui perpendiculariter imminet pun tum T : id impeditur a crassitudine pedis styli jam erecti juxta num. 3 : sed eo hic non indigebimus pro constructione problematis : adhibebitur pro demonstratione , pro qua satis est ipsum mente concipere. Unum ex iis tribus punctis habebit distantiam a vertice styli minorem, quam reliqua duo, sive ea habeant distantias aequales , quo casu obtinetur linea meridiana methodo exposita numero a sine ope puncti tertii , sive inaequales, pro quo casu adhibetur haec alia methodus , quae exhibebit solutionem hujus problematis pro casu , in quo Omnes tres eorum punctorum distantiae sint inaequales . Seligantur ea duo, quorum alterum habet distantiam maximam , & alterum minimam , quae sint A , & A', tertio A' habente intermediam . Possent seligiduo quaecumque , sed quaedam intersectionum puncta possent ita longe recedere , ut ad ea deveniri non posset.
13. Factis centris in A , R A', & aperto circino prius ad distantiam AT , tum ad AT , inveniatur in plano horizontali
intersectio duorum arcuum circularium in t: ducantur rectae tA,tA', AA', & hae binae postremae producantur indefinite: aperto circino ad intervallum TA' & applicata altera ejus cuspide ad tinveniantur cuspide altera in recta tA , & in i A' producta puncta b,b': ducatur recta bb', quae rectar AA' necessario occurret in aliquo puncto C : ducatur per A'', & C recta linea, quam dico primo debere esse perpendicularem lineae meridianae qua sitae . Inveniantur in hac linea ope circini applicati ad T , & aperti ad distantiam arbitrariam majorem ea , quam id punctum habet ab ea ipsa linea, duo puncta F, : facto centro in F , & F' inveniatur intervallo arbitrario aliquanto minore una intersectio binorum arcuum circularium inter stylum , R eam lineam in M , &alia aliquanto majore altera in M' ad partem oppositam : ducatur recta MM', quam dico secundo fore lineam meridianam quaesitam. I 4. Nam
Rectae litiuae, quae sunt in plano hori Eontali dato, ducuntur hie tractu continuo , quae autem extra id planum per puncta , quo facilius distinguantur ab
illis, ut ST, ct tres TA , TA', ΥΑΡ, quarum secunda producta.
256쪽
opus CULUM XIII. 24sr . Nam in primis Uctae TA, TA', TA' sunt tres positiones
radii transeuntis per verticem styli describentis planum arquatoris in aequinoctiis, & superficiem coni recti extra ea tempora , cui casui generali aptata est figura. Si concipiatur, totum planum tria
guli AiA' converti circa rectam AA' immotam ; punctum t abi-hit in T ob latera tA,tA' aequalia lateribus TA, TA' per con- Structionem , 8c puncta b, b quae erant in recta tA , & in i A'
producta , abibunt in rectam I A in B R in TA' productam in
B', punctum autem C manebit in recta A A' immota. Hinc puncta A, B, B' posita in lateribus superficiei coni descriptae a radiis ad distantias aequales a vertice coni T jacebunt in circulo quodam, cujus planum erit perpendiculare axi ipsius coni , & is circulus vel erit aequator ipse , vel in casu generali habebit planum paralleluin ejus plano . Cum in eo plano sint puncta B , K, erit in ipso recta tota BB', adeoque & ejus intersectio C cum recta AA': cum ea intersectio sit etiam in plano horizontali , & punctum M sit itidem tam in plano ejus circuli, quam in plano horizontis recta A'C erit intersectio ejus plani cum horizonte rea intersectio debet esse perpendicularis plano Meridiani , cum huic plano sit perpendiculare tam planum horizontale , quam planum ejus circuli , quod nimirum est perpendiculare axi aequatoris jacenti in eodem plano Meridiani , in quo est Sc vertex styli ,
qui concipitur , ut centrum sphaerae caelestis , & polus aequatoris sphaerae ejusdem . Debet igitur ea intersectio esse perpendicularis etiam lineae meridianae quaesitae jacenti in eodem Meridiani
Is. Porro satis patet, rectam FV debere secari hisariam in I a recta MM' ducta per illas binas intersectiones M, M'. Si autem
concipiantur mente recta: FT, F'T, FS, F S, T I, quae non ducuntur, ne confundatur figura plus aequo patebit , in triangulis rectangulis TS F, TSV habentibus latus S Γ commune, Sc hypothenusas TF, TF'aequales aequalia scire etiam latera SF, SF', adeoque triangulum FSF' erit isosceles : cum recta SΙ secet bifariam hujus basim FF'; secabit ipsam etiam ad angulos rectos, adeoque congruet cum recta MM', quae itidem transit per I, & est
257쪽
perpendicularis eidem FF', ut vidimus. Eadem FV est etiam perpendicularis rectae TI, quae secat itidem in I bifariam eandem basim trianguli FTF' isoscelii ἔ adeoque , ea recta est perpendicularis plano STI , in quo jacent eae duae rectae a cum ipsa FUdebeat esse perpendicularis plano Meridiani transeunti itidem perrectam ST; planum illud ipsum erit planum Meridiani, & rectχSMM', ejus intersectio cum plano horizontali erit lineae meridiana quaesita , quod erat alterum propositum ia16. Scholium I. Si distantia A'T, quam supposuimus mediam inter duas reliquas AT, A'T, esset aequalis alteri earum; casus recideret in illum simplicem duorum punctorum aeque distantium a vertice styli, quam exhiberet haec ipsa constructio , & simul ostenderet , tertium punctum evadere inutile .. Si essent aequales TA',
Ο recta TB evaderet aequalis rectae TA , & punctum C abiret in A cum puncto B, adeoque recta A'C evaderet ipsa A'A ,
quae secanda esset bifariam per illas duas intersectiones M, &M'ad inveniendam lineam meridianam MM': si autem essent aequales TA', TA'; puncta B', C abirent in A', & recta MA' praestaret idem ossicium . Patet autem , eo minus sere periculum errandi , quo discrimen distantiarum. maximae , & minimae suerit minus, punctis A, A' existentibus parum remotis a se invicem , dummodo tertium punctum M sit satis remotum ab ipsis : nam
intervallum AA', intra quod debet cadere punctum C , eo erithrevius, & distantia major puncti A' ab ipso C reddet minus erroneam directionem rectae A'C, determinatam per puncta A', &C non penitus accurata .. Hinc ad hunc usum praestabit assumere bina puncta ante meridiem , & ad intervallum exiguum , tertium autem post ad intervallum a meridie medium inter intervalla praecedentium ab eodem , vel viceversa Verum res adhuc bene procedet , utcumque intervallum inter puncta distantiae maximae , ω minimae non sit exiguum; dummodo punctum distantiae interm diae assumptum sit satis remotum ab ipsis ia17. Si pro punctis distantiarum extremarum assumeretur unum ex
iis punctis, & alterum distantiae mediae ; recta bb' non seearet basim Αλ' nisii productam , & si distantia reliqua differret parum ab al
258쪽
UpusCULUM XIII. IUtera praecedentium ' intersectio C abiret longissime, quod facile demonstrari potest : quamobrem seligenda erant puncta distantiarum maximae , 3c minimae , uti est Praestitum , quod cavendum
18. Scholium 2. Si haberetur punctum S; determinatio esset simplicior : satis esset ducere per id punctum rectam SM perpendicuJarem rectae A C, quae esset Meridiana quaesita : id punctum non erat necessarium pro solutione hujus problematis, ut nec erit pro solutione sequentis : sed id requiretur pro tertio cum ipsa magnitudine rectae perpendicularis ST, quam appellabimus altitudinem si ii , & punctum S ipsius pedem, utcumque ipse stylus sit forte inclinatus , vel etiam intortus. Poterit tamen id punctum haberi in eadem charta cum punctis imbrae , M omnibus lineis, quae habentur in hac figura, si adhibeatur charta illa perforata per foramen quadratum, de qua mentio est facta numero 3 . Nam in ipsa ante sectionem per illa tria latera quadrati , loco integrorum ci culorum habentium centrum in eo puncto, quod per operationem ibi indicatam debet adduci ad locum, in quo ipsi perpendiculariter immineat vertex styli, possunt duci sola circini cuspide sine , tramento binae rectae sibi invicem perpendiculares ad sensum , Scin iis assumi quatuor segmenta inter se aequalia, notatis in e rum fine quatuor punctis: facta sectione , 3c plicato quadrato ci ca latus non sectum , inseretur stylus intra aperturam , & cha ta adducta ad planum poterit moveri in latus, donec circino ainplicato inveniatur aequalitas illorum quatuor punctorum a vertice styli: constabit utique, locum intersectionis binarum rectarum respondere pedi styli S. Affixa ipsa charta plano dato ope cerae, ut possit avelli, cum libet , notabuntur in marginibus ipsius oppositis quatuor lineolae exeurrentes ultra ipsos supra plani ipsius superficiem , quarum ope charta ipsa inde detracta poterit, cum libuerit, reponi in locum priorem. In ea ita collocata poterunt
excipi puncta umbrae , & inveniri punctum x, duci latera tA,iA', & in iis inveniri puncta b, δ' centro i intervallo TA', & ducta bb quae determinet punctum C, duci recta A''C : tum detracta charta ipsa, & reducto illo quadrato ad locum priorem ha-
259쪽
1 s T O M V s IV. bebitur in charta eadem etiam punctum S in illa intersectione hinarum rectarum , in quibus notata suerant illa quatuor puncta. Per id punctum poterit duci recta linea perpendicularis rectae A C,
vel ope normae , Vel per methodos notas, quae habentur in Geometria pro ducenda per punctum datum recta perpendiculari rectae datae. Eadem charta poterit adhiberi pro constructione eo rum e sequentibus problematis, quae requirent ipsum punctum S, vel ejus ope poterunt transferri in aliam chartam ipsi suppositam ea puncta figurae in ea delineatae , quae necessaria erunt ad coninstructiones ipsas, & ad earum continuationes pro aliis operationibus , quae non requirent nisi partem praecedentium determinationum , omissis lineis, quae ductae fuerant pro obtinendis determinationibus ipsis, ne multitudo linearum , quae nullius sint ulterioris usus , figuram confundat. Iq. Problema 2. Ex iisdem datis inυenire intersectionem plani aeqvatoris cum eodem plano horizontali.2o. Per punctum t ducatur recta parallela rectae bb', quae occurrat in D rectae AA' productae , quantum oportet, tum e puncto D recta parallela rectae A''C , quae occurrat lineae meridianae in E : ea erit intersectio quaesita. 11. Si enim planum trianguli At A' convertatur , ut prius, circa rectam AA', donec punctum t abeat in T ; recta iD abibit in TD , R erit parallela rectae BB', in quam debet abire rectabo'. Si autem concipiatur planum aequatoris transiens per verticem styli T, id erit parallelum plano illius circuli transeuntis per puncta A', B, B', adeoque ejus intersectio cum plano ATA', quae debet transire per punctum T , debet esse parallela intersectioni BB' plani ejusdem circuli cum plano ejus trianguli: hinc ea debet congruere cum recta TD, & proinde punctum ipsum D, quod est itidem in plano horizontali, erit simul in hoc, & in plano aequatoris, & idcirco debet pertinere ad intersectionem eorum planorum . Intersectio autem eadem plani aequatoris cum plano
horizontali debet esse parallela intersectioni A C plani illius cireuli transeuntis per puncta A', B , B', cum planum aequatoris,& planum ejus circuli sint parallela . Quare intersectio quaesita estilla
260쪽
ῖla ipsa recta DE , quae ducta est per punctum D parallela ipsi
A C , ut oportebat. 22. Scholium. Pro hac operatione puncta A, A non debent es se nimis proxima , ne brevitas rectae bb cui debet duci parallelae recta tD, augeat errorem , qui committi potest in ejus directione. Quare proximitas eorum punctorum , quae prodest accurationi lineae meridianae, nocet accurationi lineae aequinoctialis. Hine vel Seligenda sunt tria puncta umbrae , quae omnia habeant distantias inter se satis ingentes, ad habendam per idem ternarium punctorum umbrae utranque determinationem minus erroneam , vel feligenda bina ternaria diversa , pro utrovis suum ipsi magis oppo
23. Problema g. Iuvenire occursum axis aequatoris cum plano so.
rizontali , nimirum potam sorologii solaris , ct altitudinem poti . et . Sint in fig. a puncta S, E eadem, ac in fig. I : ducatur e puncto S recta perpendicularis rectae ES , in qua inveniatur punctum V centro E , & intervallo aequali rectae ET figurae I: ducatur recta ET', & ipsi perpendicularis per T' recta occurrens rectae ES in P. Erit P polus quaesitus, & angulus SPT' quaesita
as. Si enim in fig. r concipiatur in plano Meridiani EST recta ducta per T perpendicularis rectae ET , quae occurrat Meridianae M'EMS productae in P ; erit PT ibi axis aequatoris, qui debet jacere in plano Meridiani , & esse perpendicularis plano aequatoris, adeoque etiam rectae TE : nam haec jacet in ipso aequatoris plano, cum id planum transeat per T , & occurrat plano horizontali in recta DE : elevatio autem ipsius axis supra planum horizontale, in quo jacet recta PSE , est angulus SPT , quae idcirco est elevatio poli. Porro comparando figuram I, & x, in triangulo rectangulo EST illius, & EST' hujus latus ES est idem utrobique, & hypothenusa ET' hujus aequalis hypothenusae ET iblius per constructionem , adeoque & ST' hujus est aequalis ST ibi ius , & antulus SET' hujus angulo SET illius. Hinc etiam triangulum ET'P hujus aequale triangulo ETP illius ob angulos ad E aequales, angulos Ea P, ETP rectos itidem aequales, & latus ET Tom. IV. I i h Disiligod by Corale