장음표시 사용
281쪽
lis methodis usitatis, & admodum expeditis tam per constru Ri nem graphicam , quam per calculum trigonometricum . Circulus
APBP' fig. s), cujus centrum C reserat Meridianum caelestem , in quo sit P polus berealis, P' australis, AB intersectici plani h rizontis cum ipsius plano, in quo A cardo australis, B borealis, DE intersectio plani aequatoris cum eodem plano Meridiani , cuius punctum D supra horizontem , E infra , FG intersectio plani paralleli cujusvis cum eodem , quae erit parallela ipsi DE, & abscindet arcus DF, EG aequales declinationi solis figura exhibet declinationem borealem , quae inserviet pro declinatione respondente illis horis is) ac occurret axi PP' in H, quod punctum erit centrum ipsius paralleli, ae horizonti AB in I. 78. Habita altitudine poli BP , poterit assumi is arcus, in circulo descripto, duci per centrum C hori Eon BA , per polum P, R axis PP', tum diameter aequatoris DE ipsi perpendiculariS, RS- sumi arcus DF aequalis declinationi , duci diameter FG parallela DE : habebitur ejus concursus cum axe in H , & cum horizonte in I. Centro H intervallo HF fiat semicirculus Occurrens axi proinducto in K, qui reseret dimidium circulum parallelum ejus declinationis habentem reipsa planum perpendiculare plano Meridiani, Sed hic applicatum ad ipsum motu facto circa ejus diametrum FG. Ducatur ejus ordinata IL parallela axi P'P: ea abscindet arcum semidiurnum FL , qui conversus in tempus, tribuendo de more singulis Is gradibus totidem horas , Is minutix totidem minuta 8cc., exhibebit intervallum temporis inter occasum solis , & meridiem : id ablatum ab horis 13 2 exhibebit horam Italicam respondentem meridiei, nimirum horae communi I , ex quae rei fone habetur deinde relatio omnium horarum communium , quae respondent singulis horis Italicis, & viceversa Pro tropicis nun quidem declinatio est m 23'. 28': hinc data adhuc altitudine poli,
habetur ea relatio totae horarum correspondentium ἀγρ Arcus KL erit excessus arcus semidiurni FL supra quadra
tem respondentem sex horis pro declinatione boreali , uti debet esse aequalis, defectus pro australi ipsi aequali : HI est sinus ejus arcua ad radium FH ; sunt autem eaedem rectae H F, & HI tan
282쪽
gentes angulorum FCH, HCI ad radium communem CH, quorum angulorum prior est complementum declinationis DCF, p sterior est ipsa altitudo poli BCP . Hinc habetur hujusmodi the rema , colangens desinationis solis est ad tangentem altitudinis poli , ut radius ad differentiam arcus semidiurni a quadrante. Si declinatio dicatur d, altitudo poli a , ea differentia x , erit sin.π
8o. Per eam constructionem, aut eum calculum trigonometricum, vel eam formulam, dat1 altitudine poli , R declinatione solis, habebitur differentia arcus semidiurni a quadrante , quae converia in tempus exhibebit , quid addendum sit horis sex ab aequinoctio verno ad autumnale , vel demendum ab hoc ad illud , ut habeatur hora communis pro occasu solis , aut demendum ab horis I 7 et , vel addendum ad habendam horam Italicam pro meridie ς cum nimirum in aequinoctiis occasus factus hora prioris generis sexta respondeat occasui horae posterioris 23 τ .8 I. E contrario per theorema, & formulam numeri 79 invenietur declinatio, quae respondet datae cuivis differentiae arcus semidiurni a quadrante . Dabitur sinus ejus differentiae x , & invenietur declinatio d ipsi respondens per valorem tan.d nimirum tangens declinationis quaesitae dividendo tangentem altitudinis poli per sinum differentiae propositae . Sic habebitur declinatio adhibenda in solutione hujus problematis pro constructione novae hyperbolae respondentis morae solis supra horizontem per horas is : hujus morae dimidium horarum 7 et habet excessum II Supra horas sex respondentes quadranti , cui respondet arcus π 22'. 3o'. Per ipsum , 3c altitudinem poli a invenietur declinatio d, cui debent fieri aequales anguli ET'A , ET'A' figurae in ad habendum axem transversum AA' hyperbolae quaesitae, & semiaxem conjugatum Β'G medium geometrice proportionalem inter perpendicula AB , A'B'.
in altitudo styli, facile ope numerorum , qui eruantur e tabula
283쪽
sinuum , fiet constructio utriusque horologii in charta separata , ex qua traducatur ad planum , in quo stylus est erectus, 3c determinata directio lineae meridianae . Ducatur fig. 3 in recta linea, in qua destinato puncto S pro pede styli , & aperto circino proportionis ita , ut bina puncta crurum habentia numerum Ioo habeant a se invicem distantiam aequalem altitudini styli: capiantur intervalla SP , SE , quae respondeant in eodem circino colangenti , & tangenti altitudinis poli assumptis ad radium Iooo, quorum numerorum postrema nota exprimet partes decimas partium exhibitarum ab ea scala , quae assumentur per aestimationem ultra
notas praecedentes exhibitas a punctis impressis in ipso circino rassumatur ex eodem circino intervallum respondens secanti ipsius altitudinis poli : ea secans respondebit rectae ET' ejus figurae, sive radio ET' circuli, quarum linearum in ea charta nullum erit opus , sed id intervallum aptandum erit inter puncta Ioo binorum crurum circini proportionis magis aperti , ut gerat vices radii : ducatur per E recta AB perpendicularis rectae PE , quae erit linea aequinoctialis , & in ea assumantur Versus A intervalla, quae respondeant tangentibus graduum Is ,3O,ψ3, 6O, 3 pro puncto horarum communium I, II, III, IU, V, sunt autem ad radium 1 oo numeri sequentes 26, 8 : 37, 7: IOO: 173, 373,2 ,
Sc eadem intervalla versus B pro punctis horarum XI , X , IX , VIII, VII : ducantur per ea puncta lineae horariae : addatur pro hora VI recta parallela rectae AB : ducantur per ipsum P rectar ad partes oppositas punctis lineae aequinoctialis VII, VIII, V, IV, pro
iisdem horis vespertinis ex parte A, & matutinis ex parte B, ac habebitur horologium commune indefinitum. 83. Pro constructione binorum ramorum hyperbolae pertinentis ad tropicos, dempto ab altitudine poli ST' E fg. )angulo m 23'. 28'& ipsi addito , habebuntur anguli ST'A , ST'A'. Horum tangenis Ies assumptae ope circini proportionis aperti ad radium ST'mioo, exhibebunt intervalla SA , SA' pro axe transverso AA', qui erit secandus bifariam in C : addita iis tangentibus colangente SP altitudinis poli, habebuntur PA, PA': capiatur semisumma togarith-
morum eorum numerorum , cui addatur togarithmus sinus altitudinis
284쪽
opus CULUM XIII. 273dinis poli Spr: numerus respondens logarithmo ita invento exhibebit binas A'H , A'H' pro asymptotis CH , Cri'. Nam erit AB in P A Xmj.SPT', Α' Β' m PA'XDω.SPT', horum productum PAX PA'κ sin . SPT', quod cum sit aequale quadrato semiaxis conjugati m A si num. 683, erit IN.A'H Iog.PA - g. PA')-- log. sin PT'. Iis habitis delineabuntur methodo ejus numeri bini rami hyperbolae , qui terminent horologium Solare commune. 8 . Pro horologio Italico assumentur in fig. 3 ab E versus A, & B intervalla respondentia angulis γ'. 3o' : 22'. 3o' : 37'. 3 es: sa'. 3o' : 67'. 3o' : 82'. 3o', quae sunt I3,2 : ψI, : γο, γ zλ3O, 3 : a I, ψ z 739,6: eae exhibebunt puncta aequinoctialia . Pro hyperbola nova respondente horis Is morae solis supra horizontem invenietur in fig. 4 declinatio ET'A ET'A' per numer. SI : ejus differentia ab altitudine poli STE , Sc Summa, ex
hibebit angulos ST' A , ST'A', ut prius, & habebuntur omnia pro
constructione hujus novae hyperbolae, ut numero praecedente pro hyperbola pertinente ad tropicos. Reliqua omnia fient, ut in so
8s. Facta delineatione in ea charta separata, notabuntur in eis
Hre postrema tangens evadit nimis longa, nec lineae ΕΑ , EB poterunt satis produci in ea charta, in .qua fit reliqua delineatio, quod accidet aliquibus etiam e tangentibus horologii communis, & e praecedentibus huius It: li. et , ςi stylus sit longus. Habentur modi determinandi directiones lini arum , quae a punctis propioribus deberent duci versus ea puncta ita remota , etiam tantummodo mente e ncepta , vel ad partes oppositas, ad quem usum solum ea adhibenda sunt, ubi tam longe distant. Si ejusmodi punctum est ipsum Ρ; poterit assumi ab ipso versus K dimidium rectae PE , vel ejus triens, aut quadrans, d. duci ex ejus sine recta parallela rectae AB in eadem ratione minor tangente propoSita, tum e puncto P rccta versus punctum extremum hujus, vel versus pirium oppositam. si punctum illud propius ust aliud punctum ; ducenda crit ex eo recta perpendicularis rectae AB , & ipsius distantia a puncto E assumpta ex eadem scala addenda erit ei tangenti, vel demenda ab illa, prout ea perpendicularis jacebit ad partem oppositam rectae PE , vel ad eandem , ut habeatur in numeris distantia ejusdem lineae Perpendicularis ab illo puncto remoto : imminuto numero hujus distantiae , ct ipsa perpendiculari in eadem ratione . invenietur eodem pacto punctum , per quod, vel ad cujus partem oppositam ducatur linea quaesita . ε
285쪽
TO Mus IV. ius recta P E figurae 3 duo puncta centro T' intervallo quovis,
quod erit notatum alicubi in eadem charta , & alia duo puncta in distantia a puncto S aequali eorum distantiae notabuntur hinc ,& inde in directione ad sensum perpendiculari ad directionem PE :perforata ea charta in S, inseretur stylus in aperturam, & cha ta ipsa applicata ad planum horologii conservandi ita , ut recta PE habeat directionem lineae meridianae determinatae , ac tracta in
latus prius secundum directionem rectae PE , tum secundum ipsi perpendicularem , vertex styli distet a punctis notatis per intervallum illud notatum, transserentur per impressionem cuspidis cujuspiam in planum subjectum puncta extrema linearum horariarum cum binis punctis determinantibus lineam aequinoctialem ,& aliis pluribus determinantibus ramos hyperbolae pertinentis ad tropicos, si libeat habere & ipsos, ad videndam congruentiam viae verticis umbrae in solstitiis cum perimetro ejus hyperbolae, non vero ramos hyperbolae novae, quae nullius jam erunt usus. Detracta charta , quae fuerat adhibita pro delineatione, delineabuntur in plano subjecto lineae horariae cum linea aequinoctiali, & ramis hyperbolicis tropicorum, ac habebitur horologium solare liberum a lineis inutilibus. 86. Problema ρ. Determinare, quae pertinent ad delineati nem foro eii solaris in plano quovis verticali.
87. Reserat jam figura o planum verticale , in quo puncta R, S,T', E , Q. sint eadem , ac in fig. et . Ducatur per E, ut prius, recta AEB ') perpendicularis rectae PE occurrens rectae verticali
Si murus habeat superficiem spectantem meridiem , ut ut stylus ipsi perpendicularis non dirigatur accurate ad eardinem australem , sed deflectat versus ortum , vel occasum s oriens remanebit ad dexteram spectantis murum , & Οceidens ad sinistram : hinc cum punctum S in hae figura jaceat ad dexteram respectu puncti meridiani R , stylus dirigitur in ea positione ad partem hori-2ontis oecidentalem respectu eardinis australis respondentis puncto R ipsi opposito . In utramvis plagam deflectat murus , semper orienet iacebit ad dexteram spectantis ipsum , & occidens ad sinistram: hine e contrario jacebunt hic puncta A , di D respondentia horis vespertinis ad dexteram B, D , ad siniis stram respectu puncti Κ, ae F, itidem ad dexteram respectu puncti O, cum omnibus numeris vespertinis I. a ,3 Re. , I , II , III &e.: puncta vero B, D', eum horis vespertinis e contrario ad sinistram.
286쪽
centro T', intervallo eodem T'E, describantur bini quas rantes cim culi ED, Eu, posito D ex parte orientali, quae hic jacebit ad dexteram respectu aspicientis directione π'E, dum in fig. 3 jacebat ad Sinistram : nam ibi concipiebatur facies obversa austro, dum hic Spectator habens faciem obversam muro habet austrum a tergo. Recta T''G occurrat ei arcui in Ο, & ea erit directio radii meridiani in plano aequatoris applicati ad planum muri, qui radius in eo progrediens denotabit meridiem per appulsum verticis umbrae ad G adeoque punctum o hic respondebit meridiei, & pum loG adscribendus erit numerus XII. Divisiones arcus ejus circuli in cipient a puncto O pro horis matutinis versus partem occidenta Iem oppositam soli , & pro vespertinis versus orientalem . Hinc
inveniendum erit in eo circulo punctum F versus D, facto centro non in E , sed in O , & intervallo O . Dividatur arcus OF, in partes quatuor, appositis numeris I , a , 3 , ψ , & assum ptis , si nondum fuerit deventum ad D numeris s, o &c , & ex parte opposita assumantur ad easdem distantias numeri II, IO, 9&c. Ea puncta assumenda erunt ad id intervallum per solum semicirculum DED', non ultra ipsum ; nam soli radii , qui vel adveniant ad V, sole existente supra hori Zontem , vel concipiantur advenire sole depresso infra ipsum , directione tendente ad puncta jacentia intra eum semicirculum, producti incurrent in rectam AEB, & ii etiam, qui concipiantur advenire a sole depresso insta horizontem, producti incurrent omnes: ad puncta eorum incursuum radii utique non advenient, impediente incursum terra interjem, adeoque ea puncta non inservient immediate ad dete minandam horam per umbrae verticem, sed erunt usui ad de te minandas lineas horarias, quarum eae partes, quae remanebunt in fra continuationem HL rectar RS horizontalis, & jacentis in plano horizontali transeunte per verticem T' styli ST', vel ST' redditi suae positioni horizontali perpendiculari plano muri, adeoque R rectis PE , HL existentibus in ipso muro, pertinebunt ad pinsitionem solis elevati supra horizontem, hinc eae erunt conservan dae post delineationem horologii in charta , & transserendae in
287쪽
murum, deletis, ut jam inutilibus, iis, quae extabunt supra ipsam hori Zontalem H L. 88. Applicata regula ad T', & ad omnia puncta semicirculi no lata numeris Arabicis I, 2, 3 invenienda erunt in recta AB puncta ipsis respondentia, quae erunt notanda Romanis I, II, III 3cc. ac pertinebunt ad lineas horarias horologii communis ducendas per polum P, & per puncta notata iis numeris, ac habebitur horologium commune indefinitum . Ducendi erunt bini rami hyperbolae pertinentis ad tropicos , qui definientur , ut num. 68 perangulos fig. EVA, ET'A' graduum 23 , minutorum 3 o demptos, & additos angulo SVE invento num. 38), qui non erit aqualis altitudini poli ejus loci , in quo fit horologium , sed alterius habentis horizontem parallelum plano muri . Pro horologio Italico determinanda erunt in fig. 6 puncta horarum in recta
&c . Ducendi rami hyperbolae novae pertinentis ad declinationem, quae exhibet horas is morae solis supra horizontem, per constructionem propositam pro horologio horizontali , adhibito in fig. angulo ET'A , ET'A' aequali ei declinationi , qui rami in lineis
horariis communibus determinabunt puncta horariarum Italicarum, ac per illa aequinoctialia , & haec determinata ab hisce ramis ducentur , prorsus ut in horologio horizontali, lineae horariae Italicae in verticali proposito. 89. Scholium I. Possunt hic etiam applicari numeri assumpti etabulis sinuum , qui reddant constructionem & simpliciorem , S: accuratiorem. Assumpta longitudine styli ST' fig. ) pro radio m Ioo , erit SP co tangens anguli SPT' inventi num. 38), SE ejus tangens, cum nimirum sit tangens anguli ST' E aequalis ipsi, ac ET' secans ejusdem accipienda pro radio relate ad tangentes assumendas pro distantiis punctorum , quae respondent horis, Vel semihoris in linea aequinoctiali AB . Discrimen consistit in eo,
quod ibi in fig. 6 idem punctum E erat initium tam pro horis a meridie , quam pro tangentibus arcuum circuli DED'; dum hic initium pro horis a meridie est O , & pro tangentibus E.
288쪽
opus CULUM XIII. 27 po. Hinc oportet prius invenire arcum Eo, qui metitur angulum ET 'G : assumenda enim erit summa arcus cujusque horarii, R ejus arcus, vel disterentia, prout punictum horae jacuerit res p ctu puncti O ad partem oppositam puncto E , vel ad eandem , pro habendo arcu intercepto inter punctum respondens horae cuilibet , & punctum E , cujus arcus sumenda est tangens . Porro angulus ET''G, quem metitur arcus Eo , invenitur admodum facile , inventis in figura a rectis P R , RS , PE , ET'. Est enim in fig. 6. PR : RS :: PE : EG m , & tangens anguli' FG Rς PEquaesiti ET 'G α . pertinet ad ramos tam hyperbolae tropicorum pro terminando horologio quovis, quam novae hyperbolae respondentis arcui diurno horarum Is pro inveniendo secundo puncto horarum Italicarum , absolvitur eodem mmdo , advocato in subsidium calculo numerico , quo pro horologiis horizontalibus. 9 I. Scholium a. Multo accuratius obtinentur omnia, & constructione multo faciliore , saltem pro horis solstitialibus, si adhibeatur in subsidium Trigonometria sphaerica ; licet accedat labor non sane exiguus resolvendi pro singulis horarum punctis singula triangula sphaerica , quae pro horis aequinoctiorum possunt reduci ad rectangula , sed pro solstitialibus sunt obliquangula, adeoque resolutionis magis operosae . Ea methodus est multo magis utilis pro horologiis verticalibus, pro quibus methodus, quam propo fuimus in hoc opusculo , est magis complicata , quam pro horizontalibus . Singula triangula sphaerica debent determinare pro horis singulis aZimuthum solis, & ejus distantiam a Zen illi , quibus inventis, admodum facile invenitur punctum horae quaesitum. ς 2. Sit in fig. AOBD horizon , in quo A cardo australis, o orientalis , B borealis , D occidentalis, Z Zenith, P polus in semicirculo ALB Meridiani, S Iocus solis , LSC circulus verticalis , qui determinat arcum aEimuthalem AC computatum a cardine australi, & in quo habetur altitudo solis CS supra horizon. tem . Habebitur pro quovis die arcus PS , qui est quadrans in
289쪽
aequinoctiis, & complementum declinationis quovis alio temnore, nimirum summa quadrantis m ρo', & declinationis , si ea est australis, differentia , si borealis . Quare is arcus in solstitio aestivo est α ρω - 23'. 28' m 66'. 32', & in solstitio hyem alim 9y- - 23'. et 8'm ii 3'. 28': latus alterum trianguli sphaerici est PT complementum altitudinis poli , sive latitudinis loci. Quare ea latera sunt cognita, & constant eadem toto eo die , intra quem habetur quidem mutatio declinationis , sed ea in solstitiis mi prorsus insensibilis , in aequinomo exigua, & prorsus negligenda, ubi agitur de horologiis solaribus. Remanet variabilis angulus in P , qui pro aliis horis est alius , pro quaVis Suus. 93. Pro horologiis Europae communibus ordo resolutionis triangulorum , est facilior , & calculus brevior , quam pro Italicis . Incipiendum est ab angulo ZPS m Is', tum progrediendo per 3Oqs Rc. addendo semper ista invenietur angulus ad Z, cujus notandum erit pro quavis hora supplementum pro aZimutho computato a cardine australi, & distantia ZS a Zenith : calculus continuandus erit, donec angulus ad P evaserit per continuam additionem minor eo , qui respondet arcui semidiurno pro illa altitudine poli , & declinatione respondente tropicis , vel ei aequalis . Pro aequinoctiis hora occasus est sexta , cui respondet angulus m yo . hinc non habentur nisi s triangula, nimirum usque ad angulum m 7s' : pro tropicis invenitur angulus semidiurnus pernum. 77 . Etiam distantia a Zenith docet, quousque progrediendum sit : nam ubi ea nimis accesserit ad quadrantem , qui habetur in occasu, constabit, triangulum sequens lare inutile : habebitur autem idem azimuthus, & eadem distantia a Zenith pro hora quavis matutina , & vespertina aeque distante a meridie. ρ4. Pro horologiis Italicis angulus Zm in occasu tempore aequi- noctiali erit itidem α ρω, a quo numero oportebit demere 7'. 3o pro hora 23 , tum Is ' pro singulis sequentibus, donec relinquatur
minus Is gradibus, aeti mutilo tendente usque ad eum limitem versus occasum : ultimum residuum, quod erit 7'. 3o', relinquet 7'. 3Opro hora II versus orientem, & additis Is gradibus pro singulis horis prae cedentibus , habebitur angulus P pro ipsis usque ad ho
290쪽
ram Ia , quae relinquet 7'. 3o': hora II sol nondum est ortus . Pro solstitiis invento arcu semidiurno , oportebit itidem demere gradus γ'. 3o' pro hora a 3 , tum pro singulis horis praecedentibus demendi erunt gradus is, donec habeatur resid vim minus eo numero graduum , azim ut his jacentibus usque ad eum limitem verissus occidentem : tum, subtracto residuo ipso a Is', succedent horae matutinae cum azim ut ho jacente versus orientem , & subtractioni graduum Is succedet additio, donec deveniatur ad angulum majorem Semidiurno , qui jam erit inutilis. 93. Habitis azim ut his , & distantiis a Zenith , facile determinabuntur puncta horarum singularum pro plano horizontali , focto centro in puncto, quod debet respondere pedi styli , quovis intervallo, describatur circulus, & ducatur ejus radius , qui poterit appellari primus , ac debet dirigi versus cardinem borealem horizontis, versus quem debet abire umbra in meridie tendens ad partem oppositam soli jacenti tum Versus austrum : assumatur in eo circulo arcus aequalis arcui invento aZim ut hali ad plagam orientalem , vel occidentalem , prout is suerit e contrario occident iis , vel orientalis, ac ducatur radius ad ejus finem , in quo invenietur puniatum extremum umbrae , capto intervallo aequali tam genti distantiae a Zenith assumptae ad radium aequalem altitudini styli captae in circino proportionis , ad cujus numeros Ioo applicata fuerit ipsa styli altitudo. Facile concipitur, cur capienda sit ea tangens pro longitudine umbrae : si enim concipiatur stylus productus usque ad superficiem sphaerae caelestis ; is abibit ad Eenith, ac angulus, quem continebit cum radio solis adveniente ad verticem styli, erit distantia a Zenith solis ipsius , cui est aequalis angulus contentus a stylo , 3c radio progrediente ad puniatum extremum umbrae : is autem radius est hypothenusa trianguli rectanguli habentis pro binis lateribus altitudinem styli , & longitud,
nem umbrae oppositam angulo sito in vertice styli ipsius . 96. Inventis pumilis pro horis singulis duci poterunt facile mmnes lineae horariae etiam Italicae sine ulla necessitate hyperbolae illius novae respondentis morae solis supra horizontem per horas Is . Invenietur autem polus horologii assumpto in produati