장음표시 사용
301쪽
2ρo T o M u s IU. gulo BU'B' composito ex inventis PU'B, PU'B'. Invenientur in eo anguli V'BB', U'B'B cum eorum complementis ABN, AB'B ,& basis BR', quae cum sit etiam basis trianguli BAB', habebitur in hoc latus AB . Inde in triangulo ABU rectangulo ad B habebuntur latera AB, UB αξ-VU', adeoque & AU , & angulus A UB , qui ablatus ab angulo PUU' invento relinquet PUA : ex hoc, & lateribus VP, VA, innotescet, ut prius, PA cum angulo UPA , quae duo exhibent positionem quaesitam.
I 4. Haec Solutio est accurata , sed molesta ob resolutionem tot triangulorum . Hinc proseremus aliam , quae rem perficiat methindo paullo breviore.=. IV. Determinatio eadem ex iisdem datis per formulas trigonometricas differentiatis.1 s. Suppo i debet hic, ut & in superioribus, machina ita proxime collocata in positione debita, ut arcus AP sit exiguus : aliter enim in conversione telescopii fixa eadem non subiret ubique ipsius campum . Hinc adhiberi potest ad solvendum idem problema methodus differentialis Trigonometriae, quae rem perficiet cum
I s. Habeo ego ejusmodi formulas differentiales ) cum suis demonstrationibus sera transmisi ad Academiam Parisiensem), in
tore. Ii areus etiam in casu , in quo assumantur fixae distantes ab ipso aequatore plurimum , non pertinent ad circulum descriptum a puncto U , qui est circulus minor distans plurimum a circulo maximo , sed Bunt arcus circulorum maximorum, uti sunt ii omnes, qui adhibentur in Trigonometria prolateribus triangulorum sphaericorum . Hinc it areus continent in V angulum sphaeri eum , atque is est idem ac angulus trianguli BV 'B , cujus basis BB non confunditur cum lateribus Bu', B'U', sed est minor, quam eorum summa , & continet eum ipsis angulos U'BB', V B B, qui ob angulos V 'BA, U B Arectos habent pro complementis angulos ABB', AB'B. - Hae formulae sunt ex iis, quas indicavi in praelatione huius opusculit eas hic proposueram ; sed omissis reliquis, ut ibi indicavi , retinebo in numero sequenti eam solam , cujus usus hic occurrit.
302쪽
ΟPusCULUM XIV. 29I quibus si mutentur etiam omnia latera , & omnes anguli in qu
vis triangulo sive Sphaerico, sive plano, continetur nexus mutationis unius cujusvis ex iis sex cum mutationibus trium aliorum quorumvis. Ea omnia reducuntur ad quatuor combinationes, quarum singulae continentur singulis e quatuor aequationibus continentibus quaternos terminos. Si unum , vel duo e tribus , quae determinant mutationem quarti, maneant sine mutatione ς ejus, Vel eorum mutatio fit m o,& in hoc secundo casu eae ipsae aequationes exhibent illa theoremata, quae primus coepit considerare Co-teSius , quae singillatim proposuit Caillius, ac suse demonstravit La-Landius. Verum hae generales multo ampliorem habent uSum, ut patebit in hujus problematis solutione, quam hic subjiciam.
II. Interea en hic denominationes, combinationes, aequationes Latera cum angulis Oppositis q, r.
COMBINATIONES.I. Omnia latera cum uno angulo π,F, π,pII. Bina latera cum binis angulis, quorum alter oppositus, alter interceptus η,y, p,r III. Bina latera cum angulis oppositis IU. Unum latus cum omnibus angulis
I8. Prima ex hisce aequationibus rem perficiet ; sed ad applicationem ipsius haec prius notanda sunt. Si poli A, P congruerent; arcus US, U'S', U'S' essent aequales . Si inveniantur inaequales fiat error VS - U'S' α e,VS - WS' m P. Pol is V, W, U
concipiantur arcus transeuntes per A , qui occurrant arcubus P V, PU', PU', in a, P, Q, R fiat Pa m, PUA m n ; qui valores si inveniantur , solvetur problema . Cum enim innoteScat
PV m PS - VS , ut in praecedentibus methodis , inventa P
303쪽
innotescet & Ua UA , adeoque invento etiam angulo AUP n , inVenietur, ut prius , in triangulo VAP magnitudo , &directio arcus PA . Erit autem Pa - - aV - - VS m PS ra in m Pa' - - a'U' - - V'S'. Hinc demptis aU, PU', quae aequantur aequalibus AU, AU', erit Pa - - US m Pa' - - U'S', adeoque Pa'm Pa - - US U'S' m m - - e , & pariter Pa' m m -- P. I9. Consideretur jam triangulum VPU', quod abeat in UAU', factis mutationibus exiguis omnium praeter latus UU', quod manet , tum VPU', quod similiter abeat in VAU'. Mutatio in priore lateris VP abeuntis in UA est Pa - - m : mutatio U'Pabeuntis in V A est Pa' m - m - - ej. Ex mutationibus horum laterum, & mutatione lateris UV' m o, ac mutatione anguli PUU' α - PUA α - n habebitur una aequatio : altera aequatio eruetur similiter ex mutatione trianguli UPU' abeuntis in VAU', in qua satis erit ponere P pro e , ac UU' pro UV' Combinantur hic tria latera cum angulo ad U . Quare is debet appellari p in combinatione I exhibente theorema I , adeoque latus P U' ipsi oppositum erit x, latera adjacentia UU', VP erunt
alterum F , alterum R. 2O. Quare habebuntur sequentes denominationes, & aequationes
a I. In iis aequationibus habentur e , P, Σ, Σ', ρ , ρ', & quaeritur valor m Pa, Sc valor n m PUA , qui earum ope facile in-Veniuntur , ut patet, & iis inventis reliqua peraguntur, ut in 3. I, ob datum P, V, & inventum AV m aU PU - Pa.
22. Haec solutio , ut 3c praecedentes , supponit notam declinationem fixae , requirit autem longiorem numeri cum calculum pro Solutione aequationum . Praeterra haec methodus requirit fixas non ita proximas aequatori; nam formulae disserentiales in arcubus quadranti proximis sunt ita erroneae, ut usui esse non possint. Η beo ego alias , quae pertinent ad triangula etiam habentia ejusmodi Disit iroo by Cooste
304쪽
ΟPUsCULUM XIV. 293 modi arcus , ' angulos, quas lito adhibere possem , Sc adhibui
alibi agens de cognoscendis erroribus collocationis quadrantis muralis ) : eas proponam in fine totius hujusce dissertationis pro complemento quodam : hic potius subjiciam aliam methodum, quae fere congruit cum quadam pariter ibidem adhibita ; est autem hic multo simplicior, aptari potest fixis quibusvis ubivis positis,& indiget solo tempore trium observationum fixae cujusvis utcumque ignotae.
Determinatio eadem simplicior. 23. FACTIs iisdem tribus observationibus paragraphorum prae cedentium , dicantur itidem e ,e' excessus primae US supra reliquas US', U'S'. Ii soli cum intervallis horariis rem Omnem perficient , si distantia PA fuerit exigua, ut in paragrapho Superi re . Nam arcus circulorum Aa, AP, AP haberi poterunt pro rectis, una cum arcubus Pa, Pa', Pa', PA, aa', aer, M'. ob angulos PaA rectos erunt puncta a ad circulum, cujus diameter PA , &haec ad chordas aa , PH, az subtendentes angulos GP,a'Pa',aPPerit, ut radius ad sinus eorum angulorum , quae est proprietas nOta chordarum circuli subtendentium angulos ad peripheriam .a . Cum ii anguli sint intervalla horaria redacta ad partes circuli ; innotescent eorum sinus, qui dicantur, c, P, es; fiat autem PA Σ, P a m m . Cum sit PS M PS', & aU AVm AU' - a'U', erit Pa - US m Pa' φ VS', adeoque P.Pi Pa - - US - U'S' m m - - e, ut in par rapho superiore ,& eodem pacto Pae' ra m - - r. Praeterea erunt aa', PH, a cae, Hχ,c'et ex natura chordarum indicata.
Id opusculum conserimum aliquanto ante , paucis admodum mutatis , prodit in hoc eodem Tomo, ubi est tertium et habentur methodi analogat etiam in Gpusculo XI. , quod agit de Instrumento transituum t est autem his omnibus analogum etiam opuseulum XII, quod agit de erroribus lineae meridianae. In iis omnibus habentur methodi similes , sed ubique adsunt sua etiam dis- erimina .
305쪽
26. Invento eo valore habetur Pa m m , & Pa' m - - e , adeoque ob datum etiam angulum aPa', invenietur angulus a,Pm aAP , cujus complementum a PA exhibet directionem arcus PArespectu horarii dati PV , & valor PA m m divisus per ejus sinum exhibet ipsum arcum PA. 27. Si secunda observatio fiat in appulsu ad meridianum ; ipse valor Pa m e erit aberratio verticalis exhibens mutationem inducendam in elevatione axis supra horizontem : erit autem AP Pa' X ran. APa', qui angulus est differentia horarii SPS' dati, &
s ), qui valor datur ob datum Za LP - Pa', & exprimit
aberrationem horizontalem, cum motu inducendo ad eam tollendam. 28. Ne error observationis nimis excrescat, oportet divisor c- H - es non sit nimis exiguus . Is est excessus Summae Sinuum hinorum angulorum horariorum partialium SPS', S'PS' supra sinum totalis SPS'. Ne is excessus sit exiguus, oportet, ipse ille totalis angulus non sit exiguus; nam aliter erunt multo magis exiguae ejus partes cum si nubus, & sinuum summa, ac multo minor excessus ejus summae supra sinum totius . Quare plurium horarum intervallum requiritur inter observationes. 29. Excessus autem summae sinuum partium supra sinum totius dati evadit maximus, ubi partes sint aequales inter se , quod admodum facile demonstratur. Si enim fg. g) sint AD , DB partes arcus AB,& ducantur AE, BF perpendicula in radium DC , qui chordae AB occurrat in I ; sinus erunt AE, BF, qui erunt
sem- Eum esse errorem horizontalem patet ex eo, quod PZA est angulus, quem continet in zenith circulus verticalis tendens ad polum erroneum A cum Meridiano tendente ad polum verum P.
306쪽
ΟPusCULUM XIV. 29ssemper minores hypothenusis AI, BI, adeoque eorum summa semper minor, quam chorda AB, cui fit aequalis summa ipsa , ubi factis AD, BD aequalibus, ipse radius CD secat bisariam, & ad angulos rectos eandem chordam, ac puncta EFI abeunt in medium chordae AB. Quare erit optimum factu , si observationes fiant ad
intervalla temporum aequalia. Eo casu evadit c c, & formulago. Eo major est excessus summae binorum sinuum aequalium supra Sinum totius , quo arcus totus est major . Si enim compleatur diameter ACG , & ducatur chorda BG cum perpendiculo B H, quod erit sinus arcus AB; erit AG :GB:: AB. BH , adeoque AG:
AG - GB:: AB: AB - ΒΗ . Primus terminus manet utcumque mutato arcu AB: secundus, 3c tertius eo creScente crescit , cum crescat ejus chorda , decrescat autem GB , ut patet, adeoque crescit excessus constantis AG supra ipsam . Hinc quo intervallum
temporis magis accedet ad horas Ia, quae exhibent sfig. a) mensuram anguli totalis SPS' graduum I 8o ; eo melius res procedet. Et quidem donec ille excessus fuerit minor radio I , denominator ac - Γ augebit errorem numeratoris; ubi is suerit major, ipsum minuet. Id jam accidit in arcu m I 27'. 2 ρ', cujus dimidium 63'. 4'. go'' habet sinum m o, 8968I , & duplum sinum m I, 79362 , dum ipse arcus totus habet pro sinu o,793ss,
quo ablato ab illo duplo jam habetur I, oor paullo plus quam I. Is limes invenitur directe per aequationem gradus . Si enim fiat AC m 1, AB ra x ; ex conditione AB - BH I , obtinetur
3 i. Si arcus totus fuerit i8o; evanescet ejus sinus PI & sinus P dimidii m ςo' evadit m I. Hinc formula evadit - - α - Ze valor simplicissimus . Eo casu evadit Pa - - TH, P, m e- I e. Porro in eodem casu evadit rectus etiam angulus aPa, adeoque Aa Pa m. - ze', qui valor divisus per sinum Za exhibet immediate, & ignoto etiam e aberrationem horizontalem AZa': sinus autem Za' proximus sinui ZP assumptus pro ipso nihil ad Diuili od by Cooste
307쪽
ad sensum turbabit valorem ejus aberrationis exiguum . Quare habebitur hujusmodi regula. Observetur quaevis fixa sex horis aute, T sex horis post ejus appulsum ad Meridianum: dimidium dif-rentiae distantiarum a vertice rhombi dividatur per cosinum ei vationis poli , ct habebitur aberratio horiae ontatis e pro υerticali observetur eadem fixa etiam tu appulsu ad Meridianum o excessus distantiae a vertice rhombi in observatione secunda, o tertia dicantur error primus , ct seeundus e ab errore primo dematur dimidium secundi , ct residuum erit quaesita aberratio verticatis. 32. Sunt, qui pro aberratione hori Zontali assumant illud dimidium secundi erroris,& praecipiant, ut illud corrigatur, tum iterum fiat observatio , & corrigatur dimidium novi erroris , atque ita porro, donec elidatur totus error Sensibilis. Ii praecipiunt, ut fiat per longam seriem id , quod ex prima sola observatione haberi potest dividendo errorem inventum per cosinum elevationis poli. 33. Quoniam haec methodus est omnium propositarum simplicissima , & expeditissima , ejus unius exemplum proseremus inparagrapho sequenti. f. UI. Exemplum cum observationibus pro postrema metbodo. 3 . Ι Nirio Ianuarii anni 1772 habitae sunt sequentes observationes, quarum secunda quam proxime in Meridiano.
Errores Anguli horarii Sinus ipsorum Producta
308쪽
m 178' m Σ'. s8' ).3s. Habetur igitur aberratio horiZontalis 2'. 38', verticalism 7'. 2 '', quarum prima est in occidentem, secunda sursum. Adductum est telescopium ad positionem Meridiano proximam, in quo habebatur objectum remotum , cujus capta est menSura ope micrometri sextantis, & aestimatione in eo assumptae ad latus dextrorsum , & sursum partes respondentes in Iaentis erroribus , ac immoto telescopio respectu machinae datus est ipsius pedibus per cochleas motus ejusmodi , ut intersectio axium rhombi percurreret eas ipsas partes dextrorsum, & sursum . Sic axe telescopii abeunte in occidentem , & ascendente , polus ex parte opposita debuit abire in orientem , R descendere. 35. Facta ejusmodi correctione captae sunt iterum distantiae VS alio die , & inventus est error et secundorum , qui non pertingit ad 1' in observatione longitudinis chordarum in rhombo facta per tempus e is ortus est ex errorculis tot observationum auctis a divisore o, I et , & errorculo illius aestimationis partium objecti, qui error facile correctus exhibuit positionem accuratam . Divisor obvenit minor unitate, quia assumptus est angulus totalis qo' minor illo I 27'. 29', qui unitatem exhibet pro excessu dupli sinus supra sinum arcus dupli. Id autem assumptum est ita , cum Iucrum majoris divisoris sit exiguum , & incommodum longioris
morae nocturnae multo gravius.
37. Quae huc usque sunt proposita, pertinent ad axem pri- Tom. IV. P p mum :
PZ est distantia poli a Zenith observatorii Mediolanensis, complementum aliatitudinis poli, quae ibi, neglectis secundis, est z2 4 3'. 23', adeoque PZ - 44'. 31', unde ablato Pa habetur a'Z V. as . Hinc est a ZA -- I 8 a . 58 . Porro haec est deviatio horizontalis
iuxta adnotationem ad num. 27. cum nimirum angulus a'ZA sit idem, ae anis gulus PM . Arcus autem a P '. ΣΟΡ est error verticalis ; cum sit dist rentia distantiae Za' a Eenith , quam habet polus erroneus A, a distantia Z P, quam habet polus verus P ob arcum Z aequi pollenter aequalem arcui ZP.
309쪽
mum et quae pertinent ad reliquos duos, congruunt sere prorsus cum iis, quae jam alibi proposui pro telescopio meridiano, Sc quadrante murali, ac ad Academiam Parisiensem transmisi s ). Remhla perficiam methodo paragraphi IV. applicata ad casum ipsius machinae parallaticae.
Determinatio erroris in positione reliquorum binorum axium.
38. Si NT D, D' sfig. ) bini poli aequatoris s litteram P re-
Servamus pro polo secundi axis , ad servandam analogiam hujus solutionis cum praecedenti), &dum immoto axe primo in positione quavis convertitur telescopium circa secundum, sint V, V', V' tria loca verticis rhombi in appulsu trium fixarum ad horarios
transeuntes per ipsum : innotescant autem ipsarum declinationes,& observentur distantiae ab ipso vertice , ac notentur tempora ap
pulsuum ipsorum. Sit DV horarius primae positionis, DU', DV
Primum ex iis binis est in hoc Tomo opusculum III, vix quidquam mut tum , sed mutatum non nihil, & suppressa applicatione numerorum ad observationes , quam hic retinui, cum nihil in reliquo textu mutaverim: secundum est hIe opusculum XI , in quo retinui ea , quae habebantur in opusculo trans misso , sed melius digesta, & additamentis quam plurimis amplificata. Porro methodus hic proponenda in I. sequenti congruit penitus , vel sere penitus cum una e methodis adhibitis pro quadrante murali , ct pro instrumento transituum , & quae hie habebuntur in I. VIII. congruunt cum alia; sed possunt sacile huc transferri omnes reliquae methodi ibidem propositae, quae sunt plures, potissimum in opusculo XI pertinente ad instrumentum transituum , tam pro determinanda magnitudine singulorum errorum, quam pro iis eorrigendis , vel efformanda tabula eorum , qui occurrent in reliquis punctis , ut sine correctione machinae haberi possit eorum ratio, vel pro obtinenda foris muta , quae adhibeatur ad determinandos eosdem , ubi machina portatilis redis dat tabulam computatam pro una collocatione inutilem pro alia. Considerationes autem propositae in par grapho V pertinentes ad divisorem e Φ e' - e', possunt applicari etiam ad eas binas machinas, & convenire instrumento transituum, in quo habetur divisor huic respondens, di arcus, ad quos pertinent hi valores e, sunt autem sinus arcuum qui ibi dicuntur e , & possunt esse ibi magnitudinis cujusvis, dum in quadrante murali vix possunt abire non nihil ultra gradus po . Non omnia simul, quae utilia esse possunt , scribenti occurrunt.
310쪽
ΟPUsCULUM XIV. 299 sint arcus horariorum secundae , & tertiae, qui congruerent cum illo primo, si machina esset rite constructa , & primus axis rite collocatus. Sit autem DPD' horarius perpendicularis ipsi DUD', in cujus medio P polus hujus ipsius : tum A sit polus circuli transeuntis per puncta V, V', V', quem in motu circa secundum axem describit punictum V, qui esset maximus, si axi secundo es-Set perpendicularis linea fiduciae transiens per verticem rhombi : ecus erit parallelus cuidam maximo EFE', qui occurreret horario
39. Quoniam machina supponitur non nimis aberrans a debitaeonStructione ; arcus V , V'u', erunt exigui , & proinde assumi possunt pro arcubus circulorum parallelorum habentium polum in D , cum nimirum ob arcum AP exiguum anguli Du'A, Du Asint proxime aequales rectis Du'P, Du'P , & proinde ipsi ti'U',u'U' perpendiculares arcui Du'ti . Erunt itidem ad sensum recti arcus pertinentes ad figuram Paa'Aa': quae idcirco etiam hic ha- beri poterit pro inscripta circulo , cujus diameter AP , ut β. IV. Cum autem innotescant declinationes fixarum, adeoque ipsarum di- 1 tantiae a polo , ac observatio exhibeat ipsarum distantias a veristice rhombi, innotescent distantiae DU, DU, DV' ipsius verticis a polo . Innotescunt & arcus V , VN' ab hora appulsus ad V', U'. Nam ex differentia ascensionis rectae earundem fixarum innotescit tempus, quo secunda, & tertia appellit in ., Q ad horarium primae , adeoque innotescunt differentiae temporis inter appulsum ad U', & U', ac appulsum ad u', & ti', quae multiplicatae per Is, & per sinus arcuum DU', DU' cognitorum exhibebunt ipsos arcus M, V'u' in partibus circuli maximi, qui cum sint errores machinae , possunt appellari e , c. M. Porro cum sit Pa - - aU PU m Pu Pa' - - δύς addito VU, erit Pa - - aV - - VV m Pa' - - au φ u'U' m