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3io ToM Us IV. stratur , tertium latus differre a mensura anguli sibi oppositi per quantitatem ordinis inferioris relate ad mutationes ipsas laterum,& angulorum , ut idcirco valor ejusmodi lateris haberi possit pro valore anguli oppositi , & viceversa. Inter haec complementa habentur suae relationes , quae differunt ab iis , quas proposuimu
num. 17 , quae , ut ibidem monui, non sunt accuratae, ubi acceditur ad quadrantem . Has innui num. 22 : proponam autem hic easdem sine demonstrationibus cum applicatione ad hoc argumentum , ut appareat egregius earum usus sq. Continentur binis aequationibus, in quarum altera combi, nantur bina latera cum angulo altero , in altera bini anguli cum altero latere . Denominationes laterum , Sc angulorum erunt eaedem , quae num. 17 , sed π , F , p , ρ erunt omnes m 9es: Σerit valoris cujusvis, cui erit aequalis Vesor ν : ut tamen hae se mulae locum habeant, is nec .debet esse nimis exiguus, nec nimis
accedens ad I 8o': dx , O , o , dg erunt differentiae priorum a quadrante, nimirum complementa, quae possunt haberi pro positivis , ubi habetur desectus a so quo casu erunt negativae, ubi habetur excessus, vel viceversa pro positivis in secundo casu, n gativis in primo, dummodo semper conservetur idem e binis comcipiendi modis. Habebimus hic complementa pro positivis , ubi deficitur a so ut applicatio ad schema fiat per valores posit,
Ualores laterum cum angulis oppositis . . . . COMBINATIONES , ET QUATIONESI. Bina latera cum altero angulo ... δε - θcos. - sin. Z oII. Bini anguli cum altero latere . . . risin.χ - θ - cos. α - Oclo. Pro
Ut appareat, has formulas congruere cum illis, apponentur hie denominati nes, ct aequationes in prima e sequentibus binis lineis, quae habebantur ibi in seeunda quae hie : si litte is lineae primae substituantur litterae lineae secundae , aequationes illius migrabunt in aequationes huius, ubi transpositis tantummodo terminis ipsius seeundae, haec , quae hic obvenit, est eadem , ae secunda in
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ΟPusCULUM XIV. 3II . Pro application consideretur triangulum AV'D sfig. 4); in quo latus AU'deficit a quadrante PV'per V'M' m Pae, DA, per
PL, qui valores habentur num. o, & Σ, ac eorum primus dictus eSt m, secundus fieri potest m m'. Inde per primam combinationem poterit haberi differentia a recto utriusvis anguli PDU'PU'D . In utroque casu distantia a polo DU', & angulus ipsi oppositus in A possunt assumi pro πα α , qui erit valor complementi declinationis .. Porro etiam inde constat, distantiam a polos Sive declinationem, bene determinari a circulo declinationis pro Miris non nimis proximis ipsi polo, nihil obstante errore exiguo inclinationis secundi axis ad primum juxta num. 43. Sed pro an gulo ad D erit AU x, ut ADU' sit m p, Sc pro angulo ad VI erit AD m ω: hinc in primo casu m , o - m , in Se cundo m', o m. Porro ex combinatione I est ocos.Σ
6 I. Ope primae formulae conficietur multo facilius tabula pro correctione ascensionis rectae , de qua num. 3. Valor formulae inaequatore, in quo declinatio evanescit, adeoque ejus cosinus m I, . HuS tam ' o , evadit m m , differentia hujus a valore generali , erit error ascensionis rectae pro quavis alia declinatione , adhibendus in efformanda ea tabula , nimirum. m -
62. Ope secundae formulae invenitur angulus , quem continebit in quavis declinatione diameter major rhombi cum horario unde facile fluet constructio, ejus tabulae , de qua num. 47. Valor ser- mulae in aequatore erit pariter m', pro qua positione telescopii si aptetur rhombus ita, ut diameter major congruat cum horario
ejus deviatio pro quavis alia declinatione erit ἡ -
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3 ia To Mus IV. 63. Computata hujus anguli tabula, facile admodum e solis appulsibus ad latera rhombi invenietur appulsus ad horarium transeuntem per verticem propiorem , ubi deviatio sit exigua, ut erit, nisi collocatio axis secundi sit nimis erronea. Si enim tempus totale intra rhombum sit itidem t, sinus ejus anguli m s, correctiuncula exhibens intervallum temporis inter momentum intermedium ipsius t , & appulsum ad diametrum majorem , erit, ut ego quidem invenio, si , inter eum appulsum , & horarium transeuntem per verticem m si in partem Oppositam, adeoque intervallum inter momentum intermedium temporis 3, & appulsum ad horarium st: distantia autem a vertice rhombi erit adhuc quamproxime aequalis arcui paralleli respondenti illi tempori , nimirum si x exprimat secunda temporis siderei pro fixis, vel pro quovis alio astro secunda temporis rite redacti ad ejus motum diurnum, Istros. cI. Sed haec itidem pertinent ad tractatum de microinetris ). ope aequationis I numeri sy solvi potest etiam problema paragraphi VI, in quo ex angulis UDU', UDU' datis quaerunture contrario valores Pa m, & PL m m', qui determinant e iam angulum ADL r is potest appellari Q. Fiant errores dati ascensionis rectae UDU' e, UDU' m G tum D U m e , DCm H, DU' e'. Desectus anguli ADU a recto est ADP m m anguli ADU' est ADP - UDU' α - - e , anguli ADU' est pariter m' - P. Inde in aequatione I ώ - ocos.Σ. - sin.ri o positis hisce tribus valoribus pro θ, semper autem m pro , pro O , tum e , H, H pro n habebuntur sequentes aem
6s. Ex iis tribus aequationibus eruuntur valores m, ἡ, m' quorum secundus, & tertius cum exhibeant DA complementum
Patebunt nimirum per ea, quae habebuntur hic in opusculo XVI.
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OPusCULUM XIV. 3r3ximum quadranti , exhibent triangulum rectangulum PLA , adeoque tam magnitudinem arcus PA , quam ejus directionem. Haud difficulter eadem aequatio aptari posset problemati pertinenti ad paragraphos III, IU, V , pro casu fixae aequatori proximae , ut innuimus num. 22. Quaeruntur ibi duo valores s fig. 2) Pa ram, AVP u, ex quibus eruuntur reliqua. Considerentur prius triangula PVVI AVV', in quorum singulis dantur analytice complementa laterum cum angulo horario ad P , qui est proxime idem , ac ad A . Ii anguli possunt appellari Σ , χ': complementum VP dabitur, cum detur exigua declinatio fixae, & arcus VS: id potest dici ai; & si etiam fiat e VS - U'S', & P US- U'S'; erit complementum U'Ρ a - e , complementum V P a - e. Complementum autem AV erit a - - na, cum is a
cus deficiat ab arcu PU per Pa m m , quod ipsum erit complementum etiam M', μ' aequalium ipsi AV. 56. Habitis iis jam habentur omnia necessaria ad applicationem formula: o st num. 6o . Is valor exhibebit
complementum anguli AUU', si fiant δε , o aequales complementis A U', AU, nimirum a - - m ; & anguli PUU', si fiant iidem valores aequales complementis PU', PV , nimirum m a se e , a. Excessus secundae formulae supra primam exhibebit angulum PUA . Idem exhibebitur a simili excessu posito tantum GH pro e , c , adeoque habebitur aequatio exhibens quae- bitum Valorem m, ex quo emerget & valor u anguli PUA aequalis utrique excessui habito per m.
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m P. Quare formula evadit - , prorsus ut num. 2s. Sed ibi idem valor obvenerat via multo breviore ope quadrilinei illius, inscripti circulo, quod extenditur ad fixas utcumque vel aequatori proximas, vel ab ipso remotas. Idem quadrilineum exhibuit etiam in h. VI. solutionem simpliciorem, quam habeatur hic num. 5 . Adhuc tamen non erunt inutiles hae solutiones, quae exhibent usum,& vim harum adeo simplicium aequationum pertinentium ad exigua complementa , potissimum in Astronomia. OP Duilirso by CO Ie
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DE FORMULIS DIFFERENTIALIBUS TRIGONOMETRI E. UATUOR ego opuscula de hoc argumento Latine conscripseram , in quibus diversae methodi exponebantur, quarum singulae me deduxerant ad easdem quatuor aequationes generales, quae inter se connectunt omnes exiguas Variationes , quae possunt accidere lateribus , & angulis triangulorum Sphaericorum, pendentes a se invicem, quas etiam ad triangula' plana transtuleram . Eorum opusculorum unum transmiseram ex
Italia ad Regiam Parisiensem Scientiarum Academiam ante hos ci citer quindecim annos, quod ipsa destinaverat typis . Ubi post meum adventum in Galliam repetenda censui ob rationes in praecedentibus Tomis expositas quaecunque nondum suerant impressa, quae omnia habentur in hac opusculorum collectione , & sere omnia plurimum aucta, ac alio ordine digesta ; illud ipsum opusculum suppressi , transferendo in hoc , quod Gallico idiomate conscriptum hic exhibeo, quae in praecedentibus illis mihi visa sunt maxime idonea , adjectis aliis quam plurimis ita , ut nihil, quod ad id argumentum pertinet, ulterius desiderari posse videatur. Adhibueram ego quidem in praecedentibus opusculis plures ex iis
formulis cum successu et ipsas quatuor aequationes generales enunciaveram in postremo , quod huic est proximum , quod , ut expressi sub ipsum Gallici hujus opusculi initium, me impulit ad exhibendam hic demum omnem eam theoriam ; sed adhuc in hoc ipso opusculo applicavi sormulas easdem ad plures alios astronomicos usus unde satis facile colligitur , quantae utilitatis in universa potissimum Astronomia esse debeant formulae generales hic inventae. Sed aggrediamur rem ipsam.
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DES FORMULES DIFFERENTIEM ES DE TRIGONOMETRI E.
petits changemenis de si x termes d 'un triangle quelconque, c' est-a-dire de trois cotes, & de trois an gles . Trois de ces Six te mes de terminent les aut res trois , a l' exception d' un seul casde la Trigonome trie plane , dans tequel les trois cotes ne sontpas de termines par les trois angi es, parceque leur somme y etant toujours egale a deux angies droiis, la determination des trois an- gles ne donne rien de plus, que la dectermination de deux sevis, par tesqueis te troisthme est imme dialement determine . Le casdes deux cstes donnes avec un angle oppose a un d'eux , ou de de ux angies sphεriques avec un cote oppose a un de ces deux, contient un probleme dόtermine , quoiqu'il pe ut a voir de ux solutions. a. Il s' ensuit, que quand ii y a un petit changement d' unde ces si x termes , au molns trois des cinq au tres dolvent avoirausSi un petit changement: ce changement peut arri ver a quatreau tres & me me a tous les cinq . I' appelle disserences des cotes, ou des an es ces petits changements. It y a entre ces differen-ces une liaison mutuelle , par laqueste les unes peuvent e tre determinees dependam ment des aut res . Cette liaison est exprimee par des equations, ou des analogies , qu'on en tire . Ie donnerat ici Ies formules , qui contiennent ces equations gelaecrates , &Ia manthre de s' en servir dans des cas particultera avec quelques exemples de leur application a des problemes d'Astronomie. 3. C' est Cotes, qui a commencet te premier a examiner cet ob-jer dans son opuscule de erroribus in mixta mathesi. L' Abbe: deia Caille dans ses eclements a donne un grand nombre de formules apparienantes au rappori, qu' ii y a entre ces differences sans les demon trer , & M. de La-Lande dans son Astronomie a donne: et
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pe ut Supposer les de ux termes constants : pour chaque binai re de constants il en reste quatre variabies, qui donnent si x hinai res de disterences a comparer: ainst on auroit 9o combinai sons di flerentes: mais cette di flerence n' est qu' apparente : on reduit les Is bina i- res de termes constants a 4, que nous deiselopperons ici, ce qui reduiroit les combinai sons a 2 : mais de la me me manthre, ces a Ke reduisent par des expressions generales a Pis, qui oni reellement des equations disterentes. Nous donnerons dans la sui te tou- te cette reduction avec les Is equations: voici en attendant les
q. Quand ii y a un sevi terme constant , ii y en reste s de
Variabies . On pe ut avoir dans un triangle particulier pour constant un de ces si x termes quelconque , te qui fait deja si x caspour te constant: dans cinq termes variabies on a Io conbinai sons de trois,& la difference d 'un de ces trois dans ce cas pe ut et re de termine: par celles des de ux aut res. Cela porteroit clo combinai Sens: mais On petit redui re par des expressions genetrales independantes de la figure les si x premi era a deux , r. un cote constant , 2. unangle . Pour chacun de ces deux eas on n' a que 5 seules combi nai sons reellement disterentes , ce qui reduit te totai a ia: noustes donnerons ci-aprhs ea de tall.
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ces quatre Seules equations , Sc tous les problem es , qu' 'on peut proposer, quand ii n'y a rien de constant, quand on a un ter- me Seut constant, quand ii y en a deux , trouvent une solutioni rhs-facile dans la seule application des memes equations 1 la figure du triangle, soli spherique , soli plan , doni ii est questiondans des cas particultera. Pour ce , qui est des termes constants, ii sumi de satre leur ditarence m O. 6. On volt pa la te grand avantage de ces ψ equations genetrales, qui soni te germe de toutes les particuli bres , en comprenant tant de cas di flerenis, & en donnant la solution de tou- te cette multitude de problemes par la seule disterente mani Ere deles y appliquer. Ie les ai trouvees pour te triangle spherique,&je les applique aux plans en falsant alter te rayon de la sphhre 1l' infini. Ie les at cherchees en allant par des routes differentes,
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ΟPusCULUM XV. 3Iyne a des solutions , & des demonstrations beaucoup plus simplesque celles, qui soni seu mi es parte demur de long s calculs.
Newton s' en est servi Si fouvent avec tant de succδs Sumtout
dans son immortet ouvrage des Principes. Pour la troisthme j'employerat les formules les plux elementa ires, & trhs-connues ducalcul differentiet, que potatant je demon tremi pour ceux , quin'y soni pas inities. Elles soni si simples, & leur application 1 cecas si facile , & couri, que je me suis determinet a les employerici par preserence . Pour la quatrihme je me servirai du heautheo rhme de Trigonometrie spherique , par tequel si un trian. gle a pour cotes le supplements des angies d' un au tre , it apour angies opposes les supplementa de ses cotεs: ce theorhmedon ne Ia manthre la plus cour te, & la plus simple, qu' on puisse imaginer de tirer la quatrihme de la premi Ere. 8. Les expressions du calcul disserenti et appliquees a des formules de la Trigonome trie finie donnent aussi les deux premih- res equations: mais On y trouve d' abord des coessicients t rhs-compliques en apparence, & ii faut employer un Iong detour de calcul , po ur les amener a Ia simplicite de ceux que ly on trouve imm talement par i' autre methode . Ie donnerat aprhs dans uaparagraphe a pari cet te destermination aussi de ces de ux Duationspour satre mi eux sentir la difference, & te prix de la Gεomestrie lineat re, qui aujourd' hui est trop negligee, & me me me misee par ceu X , qui aiment mi eux rem plir les pages enithres d' un calcul laborieux , que peu de gens lisent, & que person ne pe ut et rene se donne jamais la pei ne d' examiner en eniter . 9. On trouveroit encore plus at sement des equations pour Iesmemes combinai sons des termes de la Trigonometri e plane : mais comme ii y a une manthre t rhs-simple pour les tirer des aut res apparte nantes a la Trigonometrie spherique , je don nerui cet te reduction . II suffit de concevoir le myon de la sph Ere infini , mur faire que les coleis circulaires de celle-ci solent changes en cotes rectit ignes de celle-la : celle-l1 est comme un cas particulier de celle-ci. Io. Quand ii y a des cotes, ou des angies, qui S' approclient tropDiuiliaco by Coos e