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ΟPusCULUM XV. 3 Inus de l'angle ACB, qui ia' est ni petit, ni approchant de de uxdroiis, & par consequent n' a pas un petit sinus; la me me base AC aura uia sinus tr)s- petit par rappori au sinus du me me cote .AB : ainsi cet te base doli et re ou heaucoup plus petite que tui, ou beau cou p. plus approchante de de ux droiis. Dans ce secondcas te cote BC en seroit plus petit, & par consequent l' angle BAC , qui tui est oppose, seroit plus petit que l'angle ABC oin pose a la me me base AC , ce qui est contraire a la suppositiond' uir seul angle petit. Donc cet te has e doli et re beaucoup plus petite que te cotec BC ; & comme on pou volt prendre egalement
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les cotes BA , BC considetas comme egaux seront plus petits ouplus grands qu' un quart de cercle. s s. on aura at sement une expression simple de la valeur de
nous en tire rons encore un the orhme , doni nous aurons besoinici, qui a une grande utilite: getnerale ectant esse menta ire, Sc appa
tient a tous tes trian gles spheriques independam ment de la peti- tesse de l'angle B: c' est que I'angle externe est plus petit, quela somme des deux internes 3c opposεs,& les trois internes prisensemble plus grands que de ux droiis, tandis que dans les trian- gles rectilignes ii y a l' egalite tant de l' angle externe par rap-pori aux deux internes & opposes, que des trois internes prisensemble aux de ux droiis. 67. Pour te cas de Ia peti tesse de l'angle B , qui nous a domne cet te expreSsion, On fait voir at sement la veritε de ce theorε-
internes & opposes. Si ce pol ni tomboiten B; l' externe deviendroit eges a ce me me interne , & oppose , & par consequent ilseroit plus petit, que les de ux internes, & opposes pris ensemble: mais en re dans te cas exprime par la figure, ou te mini F tombe fur lyare BA , t 'exchs de l' angle ABC sur l' angle BCF sait, que t ' angle externe A'CB, doni la partie A'CF est e ale a I' interne BAC, & i' autre partie BCF est plus petite que l' autre interne ABC , soli plus petit , que ces deux pris ensemble, ce qui est la premthre partie de ce theorEme : la seconde se tire aisEmentde Diqitiam by Corale
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de cetae premiὶre , parceque ces deux internes avec Ie troisi Eme BCA feroni une somme plus grande que les deux ABC , BAC, qui pris ensemble soni Gaux a de ux disits. 68. Mais sans la supposition de la peti tesse de l' angle B , &de Ia sermule , que nous en avons tiret, it sussit de consideser lacontinuation de l' a re FC jusqu' a la rencontre en F' avec te demi-cercle AB'A'. Dans te cas, oti te potnt F tombe fur l' am AB ,
ou en B, Ia demonstration de l'exchs de deux angies internes surrexterne est la meme. Dans te cas exprime par la figure, ou lepoint B tombe fur rare AF, on aura la meme demonstration, si on de montre , que toujours l' angle BCF est plus petit que l'angle ABC : mais c' est tiss-aise a demontrer . L' arc CF ectantegat a l'arc AF, leura supplements CV, AF' seront .egaux: ainsi
C' est la demonstration de ce thecorEme elementatre, qui manque a ma Trigonometrie spherique.
consequent cette disserence doli e tre petite. o. Mais cette expression de cet angle en donne une aut repour
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pour P ex chs de tous les trois internes sur les deux droiis , qui sera d' une utilite bien plus grande . Elle nous sera voir d'abord, qu' au molns en negligeant des petites quantites , cet ex chs dans cet te es p ce de triangles spheriques donne la mesure de leur ai-re , qui est egese m produit de l' arc du grand cercle de la sphhre, qui te mes ure , & de son myon , ce qui nous amenera a re
la disterence des de ux angies ABC, BCF, selon que te pol ni F
ference BAB': par une aut re de ces decouVertes cet te sursace est aia surisce du segment de la sphhre produite par la re Volution du
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comme quatre angies drotis a , qui repondent a la re volution enti re , soni a l' angle ABC : ainsi l' expression de cet teaire sera ABCXtiv. s. BC , la me me que celle de l' exces destrois an gles de ce triangle fur de ux droiis. Comme la difference
AE des de ux cotes AB, BC est petite, i 'aire du triangle AEC
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litet soli exacte , comme je l' ai demon trε dans ma DissertationDe natura, o usu infinitorum, o infinite pareorum imprimctran r7 o, & beaucoup plus clatrement dans te premier Uolume demes Elements. Gest tout te fondement de l' exactitude des resul-
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7s. Ainsi on a une demonstration hien simple , & mut-Liait essementatre de ce beau theorEme , doni on ne trouve pas la demonstrat ton dans les siemenis ordinat res . Ie te demontre avecta meme facilitε dans un aut re opuscule, qui contient des d&monstrations beaucoup plus simples , que les communement e ploycts de plus leurs theorhmes eclementatres de Trigonometri e , qui sera te dernier dc dernier Uolume de cette Collection . 75. En revenant au triangle , qui a un angle petit, & les deux