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core , que la difference de l' hypothenuse 1 r aut re cote sera d'
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que te petit angle etant A, elle emit : ce sinus de-
considerant, que te sinus verae est la disserence du rayon au co-
sinus , & qu' il est eges au quarta de la corde divise par te dia-
IOL Pour Ie num. 87. Ie complecment de Pautre angle adjacenta l' hypothenuse devient te meme premier petit, & P exchs de lasomme des trois angies sur deux droiis devient Zem, ce qui vient imme dialement de Pegalite de trois angies a deux droiis. I . in passe au num. 88 a un triangle, qui a deux angies petits : quand ii devient rectiligne, it reste aussi divise en deux re Sangles par la perpendiculaire tirct fur la base du sommet de Pangle opposε, la base etant Ie cotε compris entre ies de ux petits angies. On y a I'. que P angle externe oppose a la base y est aussi petit, que P interne P approche de deux droiis , 3c que Pexterne est egal 1 la somme des deux petits intemes , qui sonisur la base. 2'. La mesure de son aire , qui n' a rien de commvn avec celle du triangle spherique , est te produit de Ia moiti et de la base par la hau leur , qui est e ale a un des deux cotesquekonques multipli et par te sinus de son angle adjacent, parcequee' est la mesure de l' aire des deux petits triangles rectangi es. 3'. La somme des deux cotela exceHera la base par une quantitε de second ord re , qui sera la demi-somme de deux produlis de chaque cote: multipliet par te quarre: du sinus de son angle adjacent . 4'. Les angies seront enlr' eux comme les cotest opposes. Tom. IV. Z 2 sq. Si Dissiliroes by Cooste
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s'. Si Ies deuet an gles soni egaux , chaque cote ne disterera de Iam illec de la base , que par la moltie: du produit. de lui- mememultipliύ par te quarre: du sinus d ' un des an gles fur la base . Uils soni inegaux , les cotes le seront aussi : tandis qu' iis seront
eelui-la sera petit : tOut cela revient aux cra , que nous avons dej1 examine s.f. XIV.
Maniore de transformer les quatro premi fres equations ge e
en mettant z pour te cote qui reste , Sc les vale urs des angi es correlativement aux cotes opposeis : ayant fati cet te substitution, les equations paroltroni fous une aut re serme. Si l'on fait repon-dre
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quations nou velles, qui dans la re alite ne donneront rien de nouueau, mais qui auroni une apparence disterente , qui quelque is ren-dra plus facile l' 2pplication a des cas particuli ers, & qu' on pOurra employer pour tirer des nouvelles equations par la me thode, que nous des elopperons ci-aprbs . Par exemple si l' on fati cet te substitution dans la seconde du num. Is , & qu' on ordon ne testermes selon l' Ordre des vale uta x, F, κ, p, q, r, elle de Vi ea
peuvent Etre utiles dans certains cas , en Substituant pour quel que Sinus, cO-sinus , c. tangente de quelque coefficient sa vale urti ree des proprietes des triangles, comme de la proportion entre les sinus des an gles , & des cotes oppose s , ou des 1brinules du num. 3o , ou d' aut res, qu' on pe ut en tirer en substituant les Z et a Sinus,
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Sinus, cO- sinus , co- tangentes des coleis a ceux des an gles , 8c viceversa , 8c en changeant les signes des co-sinus, Sc co- tangentes comme je l' at de j1 fait au num. χρ . Il faut changer absolument les signes non des sevis co-sinus, mais a si des tangentes, Sc c tangentes, quand on passe d'un supple ment a l'autre, muravoir la genetrali te: dans les expressions de tan. - , Sc cocm - Sc falsant par definition arbitraire positi se les sinus,
avec. te co-sinus , les tangentes, Sc les co- tangentes des an gles ai,
gus, it faut retenir te signe dans les obtus pour te premier, &la Dire negatis pour les trois aut res , si l' on ueut profiter dei'analogie admirabie , qui a te calces avec la Geometrie line alae,
dc Dire la substitution des expressions equivalentes getne resement meme Sans savoir, si les arcs, Sc les angies, qu'On employe, Soni
plus grands , ou plus petiis, que ceux de ρῆ ou sans y songer. Si l 'on prend toujours la meme origine des arcs , Sc qa' on tire de l' autre extremitec les sinus toujours au diamEtre, qui passe par cet te origine , Ies co-sinus a l' aut re, qui tui est perpendic laire, Se qu' on appelle tangente cella, qui muche l'arc dans sonorigine , Sc va j qae a la production du rayon tire par son au-tre bo ut, cin tangente celle , qui touche sa differende a ρo' tou-jours dans te me me potat du second dia vitre ; on verra bim , que quand en changeant la grandeor de l' arc par me continua tion d' augmentation on arrive a ρο le sinus devient eges au ra-yon , te co-sinus, & la co- tangente s' ecva nouissent, Ia tangenteva a l' infini , 8c aprEs ce terme te premier diminue restant avecta meme direction, te corii nus, Sc la cΟ- tangente reparoissant MVec la direction changee e la tangente revient de l' infini aussi vec la direction contraire. Cette armonis admiratae entre te chan- gement des directions en Gelamectrie, Si des signes en Alghbre estia fource de to les avantages inappreci abies, que les Mathematiques Ont tires par-tout de l' application , que Des-Cartes a fait de l' Algebre a la Geometrie: par-la Ies trai tela entiem, qui n' a rivolent pas a epulso tous les differenis cas d' un probleme, com
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OPUSCULUM XV. 36s me en optique,& dans la determination de la nature des courbes , soni compris tous a-la-sois dans une demi-ligne d' une lar-mule alges rique . II 3. On peut aussi trou ver des ecquations nou velles par la comparat son de plusteum equations deja trouvetes : en falsant disparol tre des termes, qui dans deux de ces ecquations ont la me me difference. On peut tro uver la valeur de dae dans toutes les quatre equations , R en egalisant de ux de ces quatre vale urs quei conques , on aura si x equations nou velles, puisqu' une combinaison de quatre contient si x binai res : plusi eurs de ces nou velles equations auroni cinq differences : mais on pourra en estacer une parte moyen de de ux des nou velles equations , dans tesquelles elle se trou vera , ce qui donnera une aut re equation potir les quatre au- tres. Ces equations auroni des coem cients beaucoup plus compo-Ses , que ceux de nos quatre premὰ res, qui soni si simples: mais la methode proposee seri pOur sentir l' immense secondite ducalcul , quand il est emplayec a propos.f. XU.
toute la grande multitude des combinaisons particuliares.
termes d' un triangle particulier , c' est-1-dire trois cotes, & troisangles , ii y a 9o combinai sons dans te cas de deux termes constants: co dans te cas d' un seul constant, & aussi, quand tout est variable . Le nombre des problemes , qui cherchent la valeurd'une difference par d'autres, est encore beaucoup plus grand. Dans Ie cas de de ux constants, on cherche dans cliaque combinaison de de ux une difference par i' autre, ce qui en doublant te nombre de ρο, fait monter te nombre des problemes 1 I8o: dans te casd' un seul constant on cherche dans chaque combinaison de troistermes une des trois diffErences par les deux aut res , ce qui en
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mes a 18o: dans te cas, oti tout est Variabie, on cherche chac ne des quatre differences par les trias aut res , ce qui rend quatre Dis plus grand te nombre de clo pour avoir celui des problemes, qui devient et o . Ainsi ii y a soo problemes deserenis , quandit s' agit d'un triangle particulier. Pourtant nous avons dit , qu on pe ut a voir la solution de toute cette multitude de problemes par la se ule differente mani re d' appliquer aux cas particuli ers tesqua ire e quations generales du num. Is . Volci la mani re trEs- simple de satre cet te application: mais it faut se s venir , quequand on a applique: selon l' exige nce des cas deux des let tres x , F , et a deux cote:s d' un triangle, Ie reste est determine: latroisi Eme va au troisieme cotet, & les let tres p , ρ , r aux trois
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iIρ. Dans te cas de la quatrihme combinaison on appellera αle cote qui y enire , & les deux aut res F, et comme On Ueut. La qua tritine equation donnera la liaison des di fierences , , , dr. Iro. S' il n'y a aucua terme constant, l' equation contiendra quatre disserences : on aura at se ment la valeur de cepe qu' Onveut, par la transposition des termes a l' ordinatre, en laissant celle seu te dans te premier membre, & en ta desiurant de soncoessicient , s' it y en a : ainst on peut avoir la solution de to ustes quatre problemes , qui y appartiennent. De la me me mani)re it y aura la solution de trois problemes par l' equation a troistermes , quand ii y a un terme du triangle constant , & de deux, quailla les deux constants rela uisent lyequation a deux termes. I 2I. Ce que nous avons dit suffit pour pouvoir empi er Iesquatre Equations genetrales 1 la resolution de tous les problemes, sans chercher les equations particuliEres pour te cas d' un, ou de deux termes constants, & multiplier te nombre des formules,ce qui embarrasse beaucoup plus te calculate ur , qu' il ne l' aide. Mais mur faire mi eux sentir l' utilite de l' application immelaia. te des equations gecne rates , nous dEvelopperons dans les deux pDragraphes fulvanis to ut ce qui appartient aux differenis cas de
de ux termes constants, & d'un seul constant.
DAeloppoment des cas de destae termes constants .
de de ux termes constants se re duisent a quatre , que nous y a-Fons exprimees, en y ajoutant , qu' a la place de a 4 , qu' ildevroit y en avoir pour Ies binai res des quatre termes variabies restants aprhs chaque bina ire de constants, it n'y en a, que rode recellement differentes. Nous repeterons ici ces quatre binai res de constants , & nous y ajouterons pour chacund'eux quatre de
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cas variabies , qui y restent: on verra , que ces quatre contiennent tout ce qae On peut y chercher : l' expression independante de la figure , & la denomination des valeuri algebriques appli-quees a propos fur la figure meme correlativement 1 cette expression , soni ici aussi la base de la reduction des ςo combinai-SOns , que nous AEUOns expos&s dans ce numelao, 1 16 . Volci