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est driat, sera lai son complement par excὶs, 3c complement par desaut de l' aut re interne sur la base , qui forme avec tui de uxangles e gaux a deux droiis : cette difference, en metiant B po uri 'angle ABC dans l' expression generale du num. 6s sera BKcos. BC : rex chs des trois angi es fur de ux droiis sera de meme au num. TIB X sis. vers. BC , Sc ce sera la mesure de son aire snum. 72 .f. XII.
Les de ux angIes seront, comme les sinus des cotes opposes, parcequ' a cause de leur peti tesse iis seront proportionneis a leurs sinus , qui soni proportionneis aux sinus de ces cotes . s'. Si les deux an- gles soni egaux ; cliaque cote ne disterera de la molliet de la base que
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si me , qui doli et re plus petit que leur somme ne cesIairement petite , sera petit lui aussi : de me me on pe ut en avoir un , qui sera suppletaentatre de celui-la , & aura un se ut angle approchant de I 8o', ou tous les trois, mais non pas deux Seuis. 86. Nous avons uu , qu' un triangle spherique , qui aura deuxangles tres- petits , aura te troisi δ me tr)s-approchant de I 8o'; ain si nous avons deja v v les propriόtes de celui-la . Le memensus donnera les proprietes de celui , qui a lova les trois angies approchanis de I 8o', mais non pas de tous ceux , qui en ont unseul. Le triangle A'CB', qui aura toris les trois angi es de cetie
on aura a son cote te triangle ABC, qui aura te se ut angle CBApetit , qui est te supplement de l' angle CBA', Sc les de ux aut res angi es BCA, BAC le premier supplement dii BCA', te second egat a BA'C , qui ne seront pas petits : les cotes AC, BC seront les supplements des cotes A'C, B'C . Les proprie tes dutriangle ABC pour te cas d' un seul angle B petit donneront lerapport entre un cote quelconque dia triangle A' BC , qui aura unseul angle B approchant de i8o' avec son angle opposό, & les
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aussi des rapporis entre des petits cote s , ou entre des differences des grands cotes : dans tous les cas d' un cote petit, ou apprOchant de 18ori & de de ux cotes de cet te es phce, on pourra deuterminer leura proprietes a l' aide du triangle supplementatre, qui change les angies en supplementet des cotes , & viceversa . Le casde trois angies approchanis de I 8o' donne dans son triangle supplementatre un triangle 1 trois cotes tous Ira trois petita. Cetriangle peut et re traiiec comme recti ligne . On en tirera pour letrian e , qui a tous les trois an gles approchanis de I 8o , que lawmme de tous les trois cotes s' approche d ' un cercle, & si testrois angi es deviennent exactement de ago le perim tre d'uniel triangle deviendra un cercle eniter. Puisque dans un triangle recti ligne la somme de tous les trois angies est egale a de uxdroiis, & chaque an e avec son supplement en fait deux ς toustes trois supplemenis, qui soni egaux aux trois cotes de l' an
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R sume des proprietes trouυδes dans Ies deux Arniercparagrapho , o Dur application auxtrians es plans. 88. DANs un triangle spherique, qui a un seul angle petit,
mentatre , 3c it y en a une de monstration simple dans te num. 68. 92. L'angle oppose a la hase ectant petit, la somme des deux
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s . En multipliant l'angle opposet a la base par te sinus verse d 'un des cotes on aura l' exchs des trois angi es internes suries de ux droiis , qui sera aussi la mesure de l' aire du triangles num. 7 I) . J'y ai demon tre: aussi d 'une mani Ere hien simple lebeau theo rhme gelaetral sui vant, qui devroit se placer parmi les Elements : dans un triangle sphe rique quelconque l' ex chs de lasom me des trois angies sur de ux droita est la mesure de son ai-
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vec au β. XII les propriόtela sui vantes . I'. L 'angle externe oppossa la base sera aussi petit, l' interne s' approchant de deux droiis: la mesure de ce petit angle sera la somme des deux produlis dusinus de chaque cote par son angle adjacent fur la base . a'. L'ex-cδs de la somme des trois an gles internes sur de ux droiis, qui est aussi la mesure de son aire , sera la somme des deux pr duits du sinus verse de chaque cote: par te meme angle adjacent. 3'. La somme des de ux cotes excedera la base par une differencede second ord re , qui sera un quari de la somme des deux pro- duits du sinus du doubie de chaque cote par te quarre du memeangle . V. Les de ux angies seront enlr' eux , comme te sinus descotes oppose . s . Si les de ux angies soni haux , chaque cotε
ne differera de la moltiό de la base , que d' un quart du produit du sinus de son double multipli et par te quar re: d' un des angies
quantite, qui pe ut et re prise pour 4ale au premier . 6'. Dansle eas de son isocesisme rexchs de trois angies sur deux droiis, qui est aussi la mesure de son aire , sera te doubie du produit du sinus verse d'un des cotes par un des de ux angies a la hase: rex chs de la somme des de ux cotes fur la base sera la molliedu produit du sinus d' un des cotes par te quarre: d'un des m
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18s, it y en a toujours un a uire oppose , qui a deuX angles petiis, supplecments de ceux du premier triangle, te troisi Eme an-gle avec te cote oppose: egaux a ceux du me me premier, & les deuX aut res coleis supplements des siens . Par les proprietesi deces trian gles substituest on aura te rapport entre ce , qu' ii y a de conanatin , & les supple:ments du res te . Dans te cas de troisan gles approchanis de 18o' i' aire dii triangle toujours egale a P ex chs de ses an gles fur les deux droiis, disterera trEs-peu de celle du doubie d' un grand cercle , la disterence en ectant ciale ala somme des trois supplEments des memes angleS. 9'. Les proprietes des triangles sphecriques , qui ont des cotes petit S , Se trou veront alsecinent par celles des trian gles 1 an gles approchanis de i8o' a l' aide des triangles supplementatres, quioni potir angi es les Supplements de ses cotes , & pour cotes les supplements de ses an gles. Celui du triangle a trois an gles appro-chanis de 18o' donnera te triangle a trois cotela petits tous testrois, qui pOurra et re consideret comme triangle plan: celui a unseul angle approchant de I 8o' en donnera un 1 un se ut cote: petit : comme on ne pe ut pas avoir aucun a de ux seu is cotes petits , de me me ii n' y en a aucun a de ux seu is approchanis de I 8o', qui te donne. Ioo. Un grand nombre de ces proprie te peut et re applique auxtriansles plans en falsant alter te ramii de la sphhre 1 l' infini ries sinus, & tangentes des cotes se changeront en cotes memes,les co-sinus en unite, les co- tangentes en unite: divisee par les cotes : la mesure des an gles sera pri se dans un cercle , qui aura pour rayon une unite: arbitraire , & leurs sinus relati sis 1 ce me- me rayon. Les rapporis des sinus des cote s deviendroni rapportades memes cotes : ceux des cotes aux an gles n' auroni plus lieu , la mesure de cev x-ci, & leur sinus dependint de cet te uni tec arbitraire . Nous commen cerons ici aussi par les trian gles a un se ulangle trES- petit, dans teque i ii ne pourra en avoir aucun apprOchant de de ux dro iis, parcequ' ii y en auroit necessat rement en-