장음표시 사용
431쪽
. DE ERRORE INDUCTO A REFRACTIONE IN UsU HOROLOGIlsoLARIs ANNULARIS UNIVERsALIs METHODO
r. m oris si MUM est horologii solaris genus constans binis
annulis, quorum alter in usu instrumenti redditur alteri perpendicularis cum suspensione excurrente per primum ita , ut collocari possit in distantia a secundo aequali latitudini loci, & soramine idoneo ad transmittendum radium excurrente per axem infixum primo annulo, & perpendicularem secundo , ut collocari possit in distantia a centro communi, quae sit aequalis tangenti declinationis ad radium secundi circuli, quam Obc φ Habetur hic numero a , qua occasione conscriptum sit hoc opusculum , in quo solvitur methodo breviore ,& simpliciore idem problema, quod initio tentatum aliis, quae se sponte rem consideranti obtulerant primae, ut obviae, Semaxime ad rem idoneae, exhibuerant complicationem maximam , & usum cur varum ordinis admodum elevati : sub ipsum finem eiusmodi perquisitionis animadverteram , licere alia via progredi, quam ingressus deveneram ad x lutionem , quae mihi videba ur ita simplex , ut nihil ulterius desiderandum superesset. Eam solutionem exposueram in alio opusculo , quo iam penitus absoluto, incidi in aliam adhuc multo simpliciorem, quam hic propono. Plerumque id accidit, quod & alibi monui, potissimum in geometricis meditationibus , ut quae simplicissima Sunt, postrema demum menti sese offerant. Cum in eo priore opusculo continerentur multa admodum idonea ad perspiciem dam Geometriae vim , atque tacunditatem , & considerationes uberes, quae pertinent ad comparationes methodorum , ac contemplationem constructionum geometricarum , evolutionem formularum algebraicarum , enumerationem casuum , Originem errorum , qui oriri posςunt in usu inconsiderato methodorum differentialium , potissimum ubi eae applicantur non ad quantitates infinitesimas, nimirum indefiat te parWas, sed in se determinatas, A taatum physice exiguas; illud ipsum destinaveram typis huic subjiciendum . Verum cum ibidem oecurrant nonnulla fere prorsus communia huc inde translata ; iis tam tum modo indicatis, excerpam ibi ea, quae vel prorsus discrepant ab hic propa uendis , vel utut cum ipsis congruentia ita connexa sunt cum adjectis, ut Rhiis divelli non possint.
432쪽
ΟPUICULUM XVII. 42 Iob causam quadrans primi circuli a secundo ad polum dividitur
in gradus respondentes latitudinibus, & in axe a centro versus utramque partem notantur tangentes respondentes declinationibus, adscriptis numeris graduum , ad quos eae pertinent, & signis ZOdiaci in altera facie , in altera mensibus anni , quibus respondenteae declinationes. a. Usus ejus instrumenti supponit radium solarem delatum rem a sole ad instrumentum collocatum in centro terrae, cui suppositioni contraria est refractio , quae radium incurvat per alm phaeram , ac parallaxis , quae respondet distantiae superficiei terrestris , in qua id adhibetur, a centro, nimirum semidiametro terrae . Utraque exigua est, & inducit errorem sere semper exiguum, ac plerumque insensibilem in usu eorum instrumentorum , quae
plerumque solent esse exigua , & facile portatilia . Verum aliquando ea sunt multo majora ad habendam horam multo magis exactam , cujusmodi unam admodum affabre elaboratam ostendit mihi Eminentissimus Cardinalis de Luynes Astronomiae & protector , 3c cultor egregius ς quanquam ejus constructio est admodum diversa , constans nimirum tribus circulis, & alidada habente pinnulam cum soramine. Errores, quos inducit refractio multis vicibus major parallaxi, obstant omnimodae exactitudini. Promisi ipsi eorum determinationem , quam aliis complicatioribus methodis quaesitam , & inventam alio longiore opusculo sum persecutus. Illud absolveram, & ipsi obtuleram , cum paullo post incidi in aliam multo breviorem , ac simpliciorem , quam in hoc opusculo
evolvam . Occurrent autem in quibusdam casibus errores non contemnendi . Ii communes sunt illi alteri constructioni adbibenti tres circulos cum alidada , de qua agam , posteaquam evolvero ea , quae pertinent ad hanc constructionem communiter mitatam.
q. I. Proponitur descriptio, re usus ejus instrumenti.
nulum, DKEc secundum ipsi perpendicularem cum diametro communi Diqiligoo by Cooste
433쪽
To Mus IV. muni DCE, & axe PCP', reserente P polum borealem elevatum
pro nostro hemisphaerio boreali supra hori Eontem , Ρ' australem depressum infra : A est suspensio mobilis, quae collocatur ad distantiam DA aequalem latitudini loci , F foramen transmittens radios , quod excurrit per axem PP', & collocatur ad distantiam CF aequalem tangenti declinationis ad radium CD versus P , vel P', prout declinatio suerit borealis , vel australis . 4. Susponso libere instrumento per annulum assi xum ipsi puncto mobili A, si primus circulus fuerit in plano Meridiani, patet, axem P'P habiturum directionem axis mundani ita , ut productus versus P abeat in polum borealem P' sphaerae caelestis habentis pro centro punctum F. In ea sphaera sit P'ZQ. quadrans Meridiani caelestis jacens in plano primi circuli, Z etenith respondens puncto F, Q punctum aequatoris . Si recta H F ducta e quopiam puncto secundi circuli per soramen F concipiatur producta usque ad punctum S superficiei ejusdem sphaerae caelestis , & punctum ipsum HLOncipiatur excurrens per totum secundum circulum ; punctum Spercurret in ea Sphaera parallelum respondentem ei declinationi rnam angulus P''m m HFC erit complementum anguli FHC FDC, nimirum declinationi, quae respondet tangenti CF, adeoque arcus P'S erit distantia ejus paralleli a polo : recta EF tendet in Meridiano ad punctum N, in quo is parallelus ipsum intersecat,& erit QN declinatio , ZQ latitudo loci , P'Z complementum latitudinis , ZS distantia puncti S a zenith . Si autem sol fuerit in eo parallelo ubilibet in S ; ejus radius SF abibit ad aliquod
punctum H secundi eireuli, qui si fuerit divisus in horas 24 , quarum hora XII meridiana respondeat ejus puncto infimo E ;punctum H indicabit horam, quod sic facile demonstratur. s. Angulus horarius in superficie caelesti erit ZP'S , qui exhi-het inclinationem plani CP''S ad planum CP L, sive plani CP'Had planum CP'E, cujus mensura in sphaeret instrumenti est arcus ΕΗ : idcirco is redactus ad tempus exhibebit distantiam horariam momenti observationis a meridie , adeoque horam vespertinam , vel complementum matutinae ad XII. 6. Uerum in eo cansistit maxima utilitas ejus instrumenti,
434쪽
ΟPUsCULUM XVII. 4et 3 quod ipsum per se, dum indicat horam , simul indicat directi
nem plani Meridiani. Si enim instrumentum convertatur circa mxem AB ; radius transmissus per F non poterit abire ad secum
dum circulum, nisi in binis punctis Η , & H' aeque distantibus a puncto infimo E : quod si demonstretur; patebit , satis esse ,
ut innotescat, an observatio fiat ante , an post meridiem , ut ex
iis binis positionibus seligatur illa , quae respondet momento ob- Servationis , quae nimirum indicabit planum Meridiani congruens cum plano primi circuli . Id autem sic sacile demonstratur. 7. Recta LF occurrat primo circulo in G , ac eadem producta in I, & si per conversionem instrumenti radius abeat in F ' pro H, angulus I FH' radii retinentis semper directionem eandem cum recta FI , quae itidem remanet verticalis, erit m I FH. Concipiatur in plano instrumenti CFE recta ex E parallela FC, quae occurrat in
M rectae FI jacenti in eodem plano: erit ipsa perpendicularis toti plano secundi circuli, ut FG; adeoque triangula MEH, MEH' rectangula ad E. Porro in iis latus M E est commune, & hypothenu-sae ΜΗ, ΜΗ ' aequales sunt, cum in triangulis MFH, MFH' latus M F sit commune , radii FH , FH', sunt aequales, ut & latera conirecti habentis verticem in F , & axem FC perpendicularem plano basis circularis EΚDΚ', & aequales anguli MFH, MFH', qui sunt iidem, ac I FH, I FH: Quare & chordae circuli EH , EH' aequales erunt , & aequales arcus horarii, quos subtendunt hinc, R inde ab E, quae aequalitas in nullo alio puncto ejus circuli haberi potest. q. II.
Determinantur errores orti e refractione.
8. QUE superiore paragrapho sunt proposita rite procedunt,
at mente secludatur refractio, & parallaxis, quarum altera solem elevat in plano verticali, altera deprimit . Haec posterior nunquam pertingit ad 9 secunda , illa prior in horizonte assurgit etiam ad 33 minuta , & quanquam in majoribus altitudinibus sit e iam ipsa exigua, semper adhuc est multo major, quam parali xis. Quin immo parallaxis negligi etiam poterit, cum refractio in Diuili od by Cooste
435쪽
in minoribus altitudinibus supra horizontem , in quibus parallaxis
est minus insensibilis, sit incerta intra non pauca secunda, & vero etiam variabilis. Effectus earum conjunctus elevabit solem in circulo verticali sphaerae caelestis ex S in f, adeoque deprimet radium FH in plano verticali transeunte per rectam GI ad punctum h positum in intersectione ejus plani cum superficie sphaerae instrumenti. Hinc primo hujus circulo habente directionem Meridiani sibi debitam, radius non incidet in secundum circulum ΚΕΚ'; sed instrumentum debebit converti, donec quoddam punctum K ejus circuli incidat in radium Fb . oportet determinare arcum ΗΚ, qui reductus ad tempus divisione solita per Is , exhibebit errorem temporarium in hora indicata ab instrumento inductum
ab ea depressione radii, & inclinationem plani I FP ad planum I Fb, qui erit error inductus ab eadem in positione Meridiani:
nam post conversionem recta FI instrumenti remanebit vertic
lis , & recta FP acquiret directionem radii Fb, dum planum i
strumenti I FH recedet a positione praecedenti tantundem , qua tum recesserit planum IFΛ', quo eodem angulo, patet, debere converti totum planum primi circuli circa rectam verticalem GI. Omnia fient, tanquam si conversio fieret circa ipsam rectam GIimmotam : si enim post conversionem transferatur totum instrumentum motu sibi parallelo, donec recta GI redeat ad locum priorem; radius abibit in idem punctum h'; & remanebunt omnia, ac si conversio facta fuisset circa ipsam GI .
o. Recta h'F positionis prioris debebit in sphaera caelesti abire ad quoddam punctum e paralleli SN snum. ὶ, ita ut Zs, Zs'
mensurae angulorum ZFs, Zri', sive Im , IFP, sint aequales ,& in conversione circa rectam Gl immotam , puncto Z immoto, debebit arcus Zi abire in Ze: adeoque angulus sZs' erit secundus error inclinationis primi circuli ad verum Meridianum : angulus autem ZP'li' habebit pro mensura arcum Eb', ut angulus Z S habebat arcum EF . Quare angulus SP'V habebit pro mensura arcum Hae, qui exhibet primum errorem horarium divisione instituta per Is . Quaerendi sunt igitur anguli SPV, SEP, qui exhibebunt errores quaesitos. I . Si Duili su by CO Ie
436쪽
ΟPUsCULUM XVII. asio. Ii facile invenientur pro quavis data latitudine loci, declinatione solis, Sc hora vera, methodo sequenti, ex qua determinatione licebit computare pro loco quovis , in quo instrumentum adhibendum sit , tabulam errorum habentem duplex argumentum, declinationem solis, & horam veram . Poterit autem error computatus pro hora vera applicari etiam horae indicatae ab horta gio , quae cum ob exiguitatem refractionis parum admodum differat a vera, habebit correctionem ad SenSum eandem , ac illa . Porro quotiescumque hic in posterum nominabimus refractionem, intelligemus eam imminutam perquam exiguo numero Secundorum, quem continet parallaxis. Re fractionum tabula passim habetur applicata distantiis a Zen illi , quae pro quavis distantia observata, vel inventa per Trigonometriam facite inde eruetur, & corrigetur per parallaxim , nisi haec negligatur etiam juxta num. 8. En eorum angulorum determinationes admodum simplices
II. Data latitudine loci, dabitur ejus complementam P''Z , Scdata declinatione solis, dabitur ejus complementum P''S , addendo ipsam gradibus 9o , si fuerit australis , vel inde auferendo , si ho- realis : ea sunt bina latera trianguli ZP''S . Si assumatur hora quaevis , Sc reducatur ad partes aequatoris tribuendo singulis horis , minutis, secundis, Is gradus, minuta, secunda; habebitur angulus etiam ZΡ''S . Inde in eo triangulo invenietur latus ZS di- Stantia vera a Zenith , a qua si auferatur refractio D , habebitur distantia apparens Zs Zs': in eodem autem triangulo LP''S habebitur itidem angulus PVLS . In triangulo LP', habebitur latus P'L idem ac prius, Sc Ps' erit m PS, puncto nimirum s' posito in eodem parallelo SN , ac habebitur etiam tertium latus Zs' OZs jam inventum ex ra invento in priore triangulo, 3c refractione subtracta . Quare invenientur in ipso anguli PP''Z, s'LP', quorum priore ablato ab SP''Z , Sc SZP' a posteriore , habebuntur bini anguli quaesiti SPV,SZr', & per ipsos quaesiti errores. I a. Si arcus Ze fuerit minor arcu ZN ; casus erit impossibilis : nam in triangulo s'P''Z deberent bina latera P'L, Zs' simul esse minora tertio P'V, quod debet aequari arcui P'N P'Z - -ZN . Constat sane, distantiam a zenith meridianam esse omnium Tom. IV. Hhh mi-Diuili os by Coos e
437쪽
To Mus IV. minimam in eodem parallelo : hinc si differentia distantiae a genith SL , quae respondet horae datae , sit minor , quam distantia meridiana LN , quae est m Zd 2 lat. Φ des. , per
quantitatem minorem refractione ; nulla conversione instrumenti poterit radius adduci ad secundum circulum . Porro facile admodum determinabuntur omnes casus, in quibus id accidit, & limites , in quibus impossibilitas incipit, ac errores respondentes iis limitibus , qui caeteris paribus erunt omnium maximi. 13. In primis pro quovis loco, & quavis declinatione solis, id accidet prope meridiem : nam distantia ZS prope meridiem mutatur parum admodum ita , ut demum desinat in ipsam ZN. Quare utcumque sit exigua refractio Ss, aliquando arcus D evadet aequalis ipsi ZN , ac deinde fiet minor. Limes habebitur in ipsa aequalitate et is autem invenietur resolvendo triangulum P''LS pro casu congruentiae punctorum P, N in circulo meridiano. In eo triangulo dabitur latus P L m compLIM., 3c P'S m compl. ecl. Quoniam prope meridiem distantia a Zenith mutatur parum admodum ; poterit assumi pro r refractio debita distantiae solis a ze-nith meridianae m lat. Φ des. pro refractione debita puncto Sconstituto in illo limite prope punctum L quod abit ibi in meridie in N, adeoque dabitur arcus ZN m Ze m Zs m ZS - Ss, qui
evadet m lat. - decI. - r, nam sole S appellente ad meridianum infra N per arcum aequalem refractioni, ejus distantia a Ze-nith evadit m Ρ'S - P'Z m 9o 1 decI. - co I t. m Iar. 1 dec . Hinc in triangulo sphaerico ZP'S habebuntur omnia tria latera, adeoque invenientur anguli SP'Z,SZP', quorum posterior ablatus a I 8o' exhibebit secundum errorem maximum ejus diei in ipso limite, & primus divisus per is distantiam horariam limitis ejusdem a meridie , quae ipsa erit error maximus possibilis instrumenti pro eo die .r4. Deinde prope polum casus evadet impossibilis per totam conversionem solis circa polum . Nam est arcus ZS minor , quam
P'Z φ P'S, sive quam 2P'Z φ ZN . Quare si fuerit P'Z minor, quam-M; erit ZS - Ss, nimirum Zs minor, quam ZN : adeoque si fuerit distantia a polo minor , quam dimidia refractio;
438쪽
os UsCULUM XVII. 427 casus erit impossibilis. Limes impossibilitatis habebitur , ubi di stantia loci a polo fuerit aequalis dimidiae refractioni. Refractio in eo casu erit quam proxime ipsa refractio debita altitudini aequali
declinationi solis, qui in tanta vicinia loci respectu poli conservat tota die eandem altitudinem supra horizontem. Sole existenis te in aequatore, ea erit refractio proxima horizontali; adeoque casus evadet impossibilis in aequinoctiis pro locis distantibus a polo minus, quam per I 6 minuta : limes autem erit eo propior polo, quo anni tempus suerit propius solstitio aestivo. IS. In superioribus solutionibus oportebit calculos triangulorum urgere usque ad secunda, ne error exiguus in determinatione arcus ZS primi trianguli traductus ad latus Zs' secundi inducat errorem non exiguum in angulos trianguli PP'Z ad Ρ', & Z, ut posset ob exiguam mutationem distantiae a zenith prope meridiem : is error posset esse etiam multo major ipsis quantitatibus quaesitis. Ea calculi exactitudo potest evitari adhibita methodo differentiali , quae etiam exhibebit formulas expeditiores , ac sere semper Veris valoribus quamproximas : in iis habebuntur valores angulorum,& arcuum , quos satis erit nosse accuratos intra limites multo magis remotos.
I 6. Concipiatur arcus sp, qui ob Z, Ze, Sc angulum sta' exiguum haberi poterit pro recta perpendiculari arcui Ss itidem habito pro recta. Haberi etiam poterit PS pro recta perpendiculari arcui P'S , adeoque angulus PSs erit complementum anguli P''SZ. Porro erit in triangulo Sse rectangulo ad s latus D m r,
Ss' divisus per sin.P'S exhibet angulum SPP, & s's divisus persin. Zs', pro quo poni potest ZS , angulum s)Zs . Quare satis erit resolvere primum triangulum P ZS , & invenire in ipso latus ZS distantiam solis a Zenith , quae dicatur D, Sc exhibeat refractionem r , ac angulum P'SZ , qui dicatur S : bini errores e
439쪽
ridie evadit valor infinitus: idem accidit valori -- prope po-
Ium , & in polo . Ibi valor erroris primi e evaderet immensus, ac demum infinitus, quod per se ostendit , valorem formulae ibi eSSe erroneum : nam si radius facta conversione aliquando incidit in secundum circulum ; distantia puncti incursus a puncto meridi et E non potest esse major semicirculo. Sed jam vidimuS, in iis casibus problema esse impossibile. Error provenit ex eo , quod dum anguli s'E, PSP' assumuntur pro rectis, negliguntur quantitates exiguae , quae tuto negligi possunt , donec angulus Ρ''SZ, respectu cujus negliguntur, est non nimis exiguus ζ secus, si sit exiguus etiam ipse, ut est, ubi S nimis accedit ad N prope meridiem , vel Z ad P' prope polum.1ρ. Si sol fuerit in aequatore caelesti ; sermula evadit simplicior , facto cos.decI. I , adeoque fit e ' P --. Si
440쪽
iore terrestri aequator caelestis evadit primus verticalis, in quo sol positus ascendit re ita ab horiχonte ad Zenith ita, ut existentemeridie in ipso Zenith, distantia D a Zenith sit ipse arcus horarius arquatoris H. Idcirco ibi fit e m - r. Refractio elevat s lem in aequatore ipso, ac nulla conversione instrumenti est opus ad hoc, ut radius refractus incidat in secundum circulum. Id in-
que a - r m o . Si sol fuerit in Zenith , sin.D evadit m o, quo casu formula evadit o ex duplici capite ; quia fit m otam sin. D , quam r : nec in ipso meridie , in quo sin. H m o, impeditur evanescentia formulae : nam in numeratore evanescunt binae dimensiones simul, in denominatore unica sis. H. Nec vero potest evanescere ulla alia simul. Nam eos decl. non potest decrescere infra cosinum maximae declinationis 23'. 28'; & cos.iat. non potest evanescere nisi loco existente in polo terrestri, in quo sol non potest ascendere ad Zenit h.
2 o. Porro Satis patet per sese , in ipso Eentili , in quo restoctio est nulla, errorem ab ipsa ortum esse itidem nullum , nec haberi locum pro perquisitione, in qua qimatur error inductus a refractione . a I. Formula tuto adhibebitur pluribus gradibus procul a meridie , & procul a polo terrestri . Prope eos casus poterit adhiberi illa alia methodus accurata, nimirum resolutionis binorum triangulorum sphaericorum ZP'S, ZPV. In usu formulae valoreS siu. D, cos.M L, COS. t. , siu.H possunt assumi laxiores , nimirum etiam neglectis secundis, quia exiguus error respectu singulorum Sinuum, vel cosinuum, inducet errorem exiguum respectu totius formulae . Assumpto r in minutis, vel secundis circuli maximi, obveniet valor formulae e in minutis itidem , vel secundis horariis vero proximus , si ii sinus, Sc cosinus assumpti fuerint discrepantes a Ve risDiqiti Cooste