장음표시 사용
441쪽
Tis per quantitates exiguas respectu totius. Hine si libeat eo putare integram errorum tabulam ; possent ipsi valores distantiae D a aenith assumi multo iacilius per constructionem graphicam . 22. Ego jam olim edidi constructionem planam omnium casuum
Trigonometriae sphaericae sane simplicem , & elegantem : en casum praesentem, in quo datis lateribus P'Z,Pri cum angulo horario ad P , quaeritur latus tertium ra. Describatur fig. a centro quovis F , & radio quovis FP circulus , in cujus periph ria assumantur hinc , & inde a P arcus PZ, PT aequales distantiae P'T a zenith figurae I , sive complemento latitudinis loci . Ducta diametro PFP', & chorda ZZ', quam ipsa secabit bifariam in C , centro C radio CZ fiat semicirculus ZHZ', in quo capiatur arcus Z'H , qui sit mensura anguli horarii dati ZPri figurae primae, ac demittatur HD perpendiculum in ipsam diametrum . Assumatur versus Z' areus PS aequalis distantiae solis P'Sa polo P' figurae I , & ducatur diameter Sm', ac ipsi perpendicularis recta DE , quae producta ex parte utravis usque ad primum circulum in Z' exhibebit arcum ST aequalem distantiae quaesitae LS solis a aenith in fig. I. 23. Nam si concipiatur semicirculus ZΗT erectus verticaliteraupra planum primi circuli; patet, ipsum debere jacere in superficie hemisphaerii habentis ipsum circulum pro basi , cujus semicirculi polus erit P , & HD erit perpendicularis et basi circulari. Si arcus PZ gyret circa diametrum PFP'; punctum Z percurret utique peripheriam ejus semicirculi, adeoque abibit aliquando in Η . Itidem si arcus SL' gyret circa diametrum Sm'; punctum πdescribet peripheriam circuli habentis polos in S & S', adeoque perpendicularis plano primi circuit, quod punctum idcirco aliquando perveniet ad positionem imminentem perpendiculariter puncto D , & eo casu congruet ipsum etiam cum H . Hinc ibi ha
442쪽
hebitur vertex trianguli sphaerici, cujus latera erunt arcus PZ, PS,SZ', & anguli ad P mensura erit arcus Z'H semicirculi habentis polum in P . Quare id erit ipsum triangulum datum , & arcus ST' aequalis tertio lateri quaesito D. 24. Data latitudine loci , idem semicirculus ZΗZ' adhibebitur
pro horis omnibus cum declinationibus solis assumendis pro imveniendo puncto S . Detineato eo circulo, satis erit ipsum dividere in partes Ia respondentes singulis horis , & e singulis divisionibus demittere singula perpendicula H D , quae praeparatio Semel facta inserviet pro omnibus declinationibus solis, nec remanebit nisi pro singulis determinandum suum punctum S. Assumptis declinationibus pluribus, ut in quinos gradus , ducentur totidem diametri SS'. Pro singulis unum latus normae applicatum ei diametro ducetur secundum ipsam , donec alterum transeat per singula puncta D , & assumetur distantia puncti S ab ejus occursu cum arcu primi circuli in Z', quae determinabit utiores singulos D n tandos in tabula praeparata cum valoribus refractionum p ipsis respondentium . Ubi eo pacto inventi fuerint omnes valores D , di r respondentes uni e punctis S respondentibus uni declinati ni , idem praestandum erit respectu alterius, quo pacto brevi tempore habebitur tabula eorum binorum valorum , qui conjuncti cum valoribus decL, lat. , & H, exhibebunt valorem a ze - Uba'-rlsa -νὶὶ I scos.deci. ' sin. Das. Chordae ST translatae in circinum proportionis exhibebunt valores D . Uerum ipsi facile admodum habebuntur accuratiores,
si radius FP primi circuli fiat partium scio scalae cujuspiam, cujusmodi plures haberi solent aeri incisae, quae dividunt pollices sin partes Iocio ope transversalium. Chorda SZ' translata in ejusmodi scalam exhibebit numerum respondentem sinui dimidii ejus arcus ad radium m I o. Nam si radius FP contineret partes Io- ea chorda haberet numerum duplum ejus , quem habet , qui idcirco exprimeret ejus dimidium, nimirum sinum dimidii a cus in partibus radii m Iom.
443쪽
16. Si libeat habere eadem constructione etiam angulum Ρ'SZfigurae I , adhibendum immediate in formulis numeri Io ; is habebitur facile. In diametro ZZ' producta, si opus est, capiatur DE' DE , ducaturque HE'. Angulus HED, vel ejus supplementum , aequabixur quaesito angulo, prout punctum D respectu radii S F ceciderit versus P , vel versus partem oppositam. Nam in casu punctorum Z, Z coeuntium in H , habebitur in E angulus trianguli rectanguli in H , quorum latera circa ipsum angulum erunt, recta DE manens in plano basis, & H D verticaliter erecta. Quare is angulus erit aequalis angulo HE'D trianguli H DE' habentis idem latus H D, & DE' G DE. Porro is angulus semper acutus erit ipse angulus ejus trianguli sphaerici in S , si eo angulo existente acuto perpendiculum H D ceciderit respectu diametri M' versus P , R erit ejus supplementum , si eo existente obtuso, id perpendiculum ceciderit ad partes oppositas: nam is angulus ejus trianguli rectilinei rectanguli exhibebit inclinationem plani lateris ST oblique elevati ad planum lateris SP remanentis
et . Hoc pacto habebuntur vel per calculum accuratum ope binorum triangulorum sphaericorum , vel per constructionem unici trianguli, & per formulas expeditas omnes valores necessarii ad
construendam tabulam pro utroque errore respondentem datae cuivis latitudini loci habens argumentum duplex , declinationem solis , & horam. Habebuntur etiam limites impossibilitatis. Limes pro distantia a polo iacile Jnvenietur methodo numeri r , per quem is limes est distantia loci a polo aequalis di m diae refractioni , quae debetur altitudini supra horizontem aequali declinationi solis, sive distantiae a Zenith aequali ejus complemento . Pro distantia a meridie debet concipi in fig. I punctum s' congruens in meridie cum puncto N evadente Zs m. Ze m ZN tata lat. st decl. ,& ZS i Zs - - Ss m lat. - decl. - - r . Hinc satis erit resolvere unicum triangulum sphaericum figurae primae, nimirum triangulum P LS , in quo erit ZS m lat. - decl. - - r , ZP' mcompLlat. , SP' m coempl.decl. 28. Sole existente in aequatore , evitari poterit resolutio ejus
444쪽
trianguli ope formulae , quae sic determinabitur . In eo casu ipse arcus SN est arcus aequatoris, congruentibus punctis N, Q, & ZNS evadit triangulum sphaericum rectangulum ad N , in quo LN M., ZS m Iat. - - r. Ponatur latitudo b , & SN in x : erite formulis trigonometricis cm.SZ eos.SN X cos. ZN , unde jam
jam reddit faciliorem inventionem arcus SN, qui tum est ipse arcus horarius dividendus per Is ad habendam distantiam horariam limitis a meridie, & primum errorem ibidem. Deinde est eos. b-Fr)
In ea sermula praestabi t evitare sinum arcus r , ubi is suerit nimis exiguus : nam oporteret quaerere ejus logarithmum in tabulis sinuum ingentibus , ut Gardinerti ; cum logarithmi secundorum non habeantur in tabulis communibus , nec inVeniri possint methodo usitata differentiarum , quae in logarithmis sinuum arcuum exiguorum non sunt inter se proportionales. Ad eam rem fiat Hm for , nimirum pro minutis , & secundis valoris r scribantur gradus, & minuta ad habendum r: erit r m 'r', adeoque pro-
- 3o 3o 'quae sormula exhibet sinum arcus SN m x, sive anguli ZP'S, qui divisus per Is est error primus temporarius . Error secundus, qui
sin.ZS sin. b - - Η poni etiam potest sin.b in denominatore , neglecto ibi exiguo valore r , Sive Sin.lana p. Similis formula potest inveniri pro limite etiam extra aequatorem . Sit in figura 3 PLQP' Meridianus caues is idem , qui in fig. I , posito P in polo boreali , 8c addito P' in polo australi rsit etiam arcus SN idem, qui ibi, tum arcus SA polo Z, ut sit Tom. IV. I ii AN Diuiti sed by Cooste
445쪽
AN excessus arcus SZ supra ZN aequalis refractioni r, ac arcus SM sit arcus circuli maximi perpendicularis Meridiano. Puncto Sjacente in hemisphaerio boreali, jacebunt puncta A, N ultra ipsum: sed existente S' in hemisphaerio australi, jacebit quidem A' ultra, sed N' citra M' respectu punctorum Ρ , Z , ut jaceat ipsum N ultra M' respectu P': ea omnia facile deducuntur ex theoria sphaericorum ob hypothenusas PS , ZS, ZS', P'ς minores quadrante,& arcus SM , S'M' exiguos . Hinc autem erit AN differentia arcuum MN , MA, & A'N' summa M'N', M'A', quod indicabunt etiam sormulae , quas pro iis valoribus inveniemus.
mirum, ob exiguitatem arcus c, I - sin . κ
tat Potuit hὶρ assumi complementum declinationis pro b , di poterit assumi Iat. - Me . pro δ', quia punctum N est proximum puncto, ad quod sol appellit in meridie , eujus distantia β a polo P est eomplementum declinationis, A distantia a renith Z est α Z ' QN .
446쪽
tat signum,& vel , ipsa habita pro negativa , - tan. GH. evadit
valor positivus , vel Scribendum est ψ- tan.decI. 3I. Poterit in tabulis sinuum assumi tangens declinationis , &cotangens valoris θ' Iat. decI. ad radium Ioooo , quae tum non excedent quatuor notas, & capta eorum valorum differentia,
vel summa , assumi ipsius logarithmus, qui cum Iog.sin. - , &complemento togarithmico numeri 3o exhibebit summam , cujus dimidium erit Iog.st e. Valor x, sive SM divisus per sinum PS, sive per cos.decl. exhibebit sinum anguli MPS , qui angulus redactus ad tempus divisione per Is exhibebit errorem primum ,& idem sis.κ divisus per sin.ZS , sive proxime per sin.ς msin. Iat. - decI.), exhibebit sinum erroris secundi MZS. 32. Errores plerumque erunt perquam exigui ob exiguitatem refractionis, ut innuimus num. a: verum prope horizontem, ubi refractio est multo major, error primus perveniet ad plura minuta horaria , Secundus superabit unum , vel plures gradus: & id multo magis accidet prope meridiem. Id patebit in paragrapho Sequenti. Verum notandum illud , prope meridiem impediri usum hujusce instrumenti ab umbra primi annuli, cujus crassitudo vetat radium pervenire ad soramen . Simile impedimentum praestat uinbra secundi annuli, sole posito prope aequatorem: verum in hoc casu remedium est facile. Satis est removere foramen a centro per dimidiam ejus annuli crassitudinem , & excipere radium non in circulo, qui inscribitur mediae crassitudini annuli ejusdem, sed procul a medio per intervallum aequale spatio, per quod soramen retractum est a loco , quem debebat occupare relate ad declin tionem solis . Res eodem modo habebitur , ac si foramine exue Stente loco debito , radius exciperetur in circulo illo medio.
Proponuntur methodi , ct formula inuemae cum aliquot excamplis . 33. PRo solutione accurata resolvenda sunt num. II) bina
triangula sphaerica obliquangula LP'S, ZPV sfig. i) . In priore I i i i datur
447쪽
datur angulus ZP'S, qui dicatur H : is est hora vespertina , vel complementum matutinae ad XII redactum more solito ad partes aequatoris: habebuntur itidem bina latera P''Z,P''S ipsum continentia, quorum alterum compi t. , alterum m compl. ' φ dees.). In eo inveniendum est tertium latus ra distantia solis a Zenim, quod dicatur D : capietur refractio ipsi respondens, & parallaxis , nisi ea negligatur , qua ablata a refractione , residuum dicatur r . In posteriore triangulo latus P 'Z erit idem, ac prius complGrt. , latus P', erit aequale priori P S m compl. sρω - daci. , ac tertium Zs' erit πα Zs m D - r. In hoc invenietur angulus ZP'V, qui dicatur H', & angulus P'ZP. Supplementum hujus p Sterioris erit error secundus positionis Meridiani : error primu vH - Η
horarius erit - . Haec methodus patet ex num. II .
15 i3 . Bini sunt casus, in quibus problema evadit impossibile, locus nimis vicinus polo pro horis omnibus , & hora nimis vicina meridiei pro locis omnibus. Limes primae impossibilitatis est numer. I distantia loci a polo aequalis dimidiae refractioni debita distantiae a Zeniti, aequali complemento declinationis solis , sive distantiae solis a polo hortali. Limes secundae impossibilitatis in-Venitur resolvendo num. I 3ὶ triangulum sphaericum obliquangulum ZP''S, in quo primum latus est P''Z complementum latitudinis
loci, secundum est P S complementum declinationis solis , tertium latus ZS, quod assumendo refractionem r, quae respondet distantiae a Zenith m lat. ε decI. , evadit m lat. - decI. - - r . In eo triangulo inveniendus erit angulus LP S, qui divisus per Isexhibet distantiam horariam a meridie, & is erit error primus in eo limite, tum etiam angulus P''ZS, cujus supplementum erit se cundus error : ii Rutem errores erunt maximi ejus diei. 3s. Si Sol sit in aequatore , & arcus horarius limitis secundi dicatur x, ac fiat oor, sumendo nimirum gradu6 , & minuta
ac angulus x divisus per Is erit error primus in eo limite :erroris autem secundi tangens erit --, - . Ubicunque sit
448쪽
sinus erroris Secundi erit m - . - .
sin. stat. ' decl. 36. Ii erunt valores veris proximi. Pro solutione generali per formulam verae proximam invenienda erit distantia D a etenit hvel per resolutionem primi trianguli sphaerici num. ri , vel per constructionem graphicam num. 22 ea obtinetur e tribus elementis , latitudine loci, declinatione solis, & distantia horaria H ameridie redacta ad partes aequatoris 2 e distantia autem D a Zenith habebitur refractio r. Ex iis elementis habebuntur num. 2 sequentes formulae , in quibus a est valor subsidiarius, e error primus horarius , e secundus plani meridiani.
37. Hae sormulae exhibebunt valores veris satis proximos in distantia non nimis exigua loci a polo , & anguli horarii H a meridie . Paucorum graduum distantia sussicit ad eam rem . In multo minore distantia utravis, sormulae exhibent determinationem erroneam, qui error evadit infinitus, ubi locus sit accurate in polo , vel hora in ipso meridie. Hax omnia satis patent e reliquo omni paragrapho secundo. 38. Quod pertinet ad exempla, applicabimus formulas ad plures casus latitudinis Parisiensis , & adhibebimus tabulam refractionum Bradleyanam , quae est applicata altitudinibus apparentibus supra horizontem, quae quidem facile transfertur etiam ad altitudines veras, ac veras distantias a Zenith: & quidem in majoribus elevationibus discrimen est perquam exiguum inter refractio srespondentes iisdem mensuris distantiae verae , & apparentis, prope horiZontem est multo majus. Idcirco, ne ulla reductione sit opus, incipiemus a casu ortus , vel occasus apparentis, in quo distantia a Zenith apparens est qes, refractio 33', parallaxis ci citer 8', o , adeoque refractio immiauta per parallaxim,. bive rDiqiligoo by Cooste
449쪽
& I2o', quorum valorum alter est supplementum alterius, ade que habent functiones communes . Cum distantia a Zenith D sit proxime m pG cujus sinus est proxime unitas, omittemus in hoc exemplo sinD . En calculum ). In aequinoctiisl arithmi ν- 32', 86 ... I, SI 667
39. Primus error horarius e obvenit in aequinoctiis minutorum 3'ς, in solstitiis major, quam 4, & secundus directionis plani in priore casu 37' , in posteriore 41' . Ii quidem non sunt contemnendi; sed in majoribus altitudinibus, imminuta statim plurimum refractione, evadet uterque perquam exiguus. 4o. Quod pertinet ad limitem impossibilitatis , sol prope po lumi In prima divisione invenitur a m in Secunda st - - , ubi in eius linea tertia si summa togarithmi lineae postremae divisionis primae , 8t logarithmi lineae primae ipsius; cum secunda non habeat nisi aero i iis divisione tertia pro valore e w a ε Ga - o ob Iog.D ' o fit in linerutertia summa togarithmorum primae , & secundae , in quarta sumitur ejus dimidium , quod est Iogarithnius valoris e .
450쪽
lum in solstitio aestivo habet elevationem supra horizontem proxime aequalem declinationi, quae est 23'. 28'. Ipsi respondet refractio paulo major binis minutis, adeoque is limes distat a polo paullo plus , quam per unicum minutum . At in aequinoctiis ea distantia erit circiter minutorum I 3 . Nam in ea distantia a po- Io ea ipsa erit in meridie elevatio vera solis supra horizontem, cui respondet refractio proxime se 16 cum haec addita ei elevationi verae inducat apparentem proxime Σαμ', & huic elevationi apparenti respondeat proxime refractio m 26', cujus dimidium I 3' debet esse distantia quaesita limitis a polo. Hic negligimus parallaxim , cum is neglectus errorem non augeat ad Sensum , & hunc limitem hic definiamus tantum proxime. 4 I. Pro limite prope meridiem in aequatore formula est nu-
3o a angulum horarium erroris primi: is sinus divisus per sinum latitudinis exhibet sinum erroris secundi. Retinendo eandem latitudinem 48 ses, ea erit distantia solis a etenith in meridie: ipsi respondet refractio r: s', parallaxis γ', adeoque r m o'. s8', H m
cundi. Arcus distantiae a meridie est x Iriar', qui inducit distantiam horariam sere 6 minutorum. Error secundus I 'so' ac cedit ad duos gradus. Iidem valores proveniunt, si resolvatur triangulum sphaericum rectangulum ZSN figurae r , ubi latus ZNm lat. Diqiligoo by Cooste