장음표시 사용
461쪽
stantibus , R in singulis habetur proportio exhibens rationem v riationum pertinentium ad singula binaria eorum quatuor, quae mutantur. Ego ad Academiam Parisiensem Scientiarum transmisi quatuor aequationes generales , in quibus habentur omnes
nexus mutui earum variationum, ubi etiam mutentur omnia: eae continent omnia earundem quaternaria , adeoque omnes etiam casus, in quibus supponatur unum aliquod constans, vel duo : nam in iis casibus satis est essicere zz o omnes terminos, in quibus occurrat variatio quaepiam termini constantis. Possem hic adhibere unam ex iis proportionibus, vel aequationibus ; sed cum res reducatur ad casum , in quo constantibus binis lateribus quaeratur nexus inter variationes tertii lateris , & anguli ipsi oppositi, acrius evolutio geometrica sit admodum simplex, eam hic adhibebo.
I s. Vertex C sfig. 3) trianguli ACB abeat exigua mutatione in e ita, ut latus AB maneat, & BC sit m Be . Centro A con-eipiatur arcus eD , qui abscindet disterentiam CD laterum AC, Ae. Quaeratur nexus inter ipsam CD deserentiam lateris AC, ACBe di fierentiam anguli ipsi oppositi ABC . Si concipiatur arcus Ce habens centrum in B ; is, & eD haberi poterunt pro rectis perpendicularibus ad suos radios. Hinc haneri poterunt pro rectis
anguli AEB , eDC , & proinde anguli ACB , CcD complementa
ejusdem cCD erunt aequales inter se, eritque CD m Cc um CcDm CcXω1. ACB . Porro cum arcus quivis sit ut radius, & angulus , quem subtendit in centro; erit Co BCXCBe, adeoque CD CBeXBCXun. ACB. Si latus variabile dicatur x , angulus ipsi oppositus p , alterum e reliquis binis lateribus Σ , angulus ipsi adjacens st, & differentiae, seu variationes designentur de more , praefixa littera d; erit δε α Οαsin.ρ.
Io. Huc reducitur prima e meis aequationibus continens variati Haec sunt ea, quae habentur fuse exposita, ae demonstrata in opusculo XU.HIe etiam haberi posset nova earundem illarum aequationum applicatio prae--ν tot alias ibidem νei adhibitas, vel indieatas di sed hie exhibetur imme diate , di demonstratur sola illa totius generalis theoriae particula, quae perti. net ad hune usum. Habetur paullo inserius num. I 6 applicatio primae ex illis quatuor, ad quam pertinet praesens problema, unde semper magis innotescet illarum utilitas latissime patens.
462쪽
tiones trium laterum , & unius anguli, factis m O terminis, qui continent variationes binorum laterum adjacentium eidem angulo. Equatio integra est mihi dx - cos. r - cos. ρ - osin.dsin.q- O , ubi x , F , et sunt tria latera trianguli sphaerici p , ρ , ranguli iis oppositi . Factis o , & dΣ o , habetur dx - sin. Σsin.ρ : posito latere α pro ejus sinu in triangulo plano, obtinetur aequatio particularis Esiu.q , quam illa directe demonstravimus. En ejus applicationem ad carum praesentem . Iu
cosinus declinationis, ΕΓ eos inus anguli CL F , sive latitudinis loci DCA, LFH α SFZ est distantia solis a etenith : LCHhabet pro mensura arcum horarium EFl , nimirum horam vespertinam , vel residuum matutinae ad XII redactam ad partes aequatoris . Quare si distantia a Zenith dicatur D , & hic angulus hinrarius H : habebitur valor sermulae - - - - .
I8. Is valor pendet a tribus elementis, declinatione solis, latitudine loci , & hora : nam ab iis pendet D distantia a Zenith ,& ab hac refractio r. Ad habendam ex iis elementis distantiam a Zenith , satis est resolvere triangulum sphaericum ZP'S , in quo Lil a ha Disit iroo by Cooste
463쪽
habebuntur haec tria, latus P'S complementum declinationis additae gradibus 9o , vel inde ablatae, prout ea fuerit australis, vel horealis , latus P Z complementum latitudinis loci , & angulus horarius ad P' H . Quare habebitur latus ZS m D. In tabula
refractionum habebitur refractio 1 respondens distantiae a Zenith D. iς. Resolutio numerica trianguli ZP''S evitari potest per constructionem graphicam , quae exhibebit valorem arcus quaesiti ZS satis proximum vero ad hanc rem , ubi valor sermulae debet esse exiguus. Plurium minutorum error in valore D inducet errorem in ejus sinu, & in refractione r exiguum respectu totius, qui evadit insensibilis ). Inventis vel per calculum trigonometricum, vel per constructionem graphicam distantiis D a Zenith , & eruto e tabulis refractionum valore r refractionis , quae ipsi respondet , facile ope togarithmorum invenietur pro singulis horis min. D singularum declinationum valor formulae qui
sacta conversione in tempus, nimirum divisus adhuc per IS , eX-hibebit errorem primum. 2 o. Sic pro dato loco facile obtinebitur tabula primi erroris habens duplex argumentum , nimirum declinationem , & horam . Eadem obtinebitur etiam pro secundo errore deviationis plani instrumenti a plano Meridiani, & quidem facilius itidem per usum quantitatum exiguarum . Concipiatur in fig. 2 arcus Nn , qui ah scindat Mn differentiam laterum LM, LN ; sive angulorum L FH, L Fli', quae est r. Positis in num. Ia angulis H Fli', HCli' pro eorum si nubus, habebitur valor prioris, si valor posterioris ducatur in cos. decl. . Valor autem anguli HC P est num. i ) my ' O . Quare valor anguli H FP, sive arcus MN, , qui dicatur a . ob angulum rectum MnN
erit Hὶe hi ebatur constructio prorsus eadem , quae in opusculo praecedente et laumero a a paullo aliter expressa , sed re prorsus eadem , qua quidem nec est necessaria i poterat e nunciari , methodum generalem ejusmodi constra 'ionis haberi in prima parte Tomi III huius Collectionis statim post opusculum primum .
464쪽
adeoque erit m - r. Ouare si is error dicatur e , & er-
ar. PRIMA methodus q. IIJ est accurata, nec unquam potest inducere in errorem , potest tamen deficere in casibus nonnullis :secunda s*. IIIJ fere semper exhibet valorem saltem vero quamproximum , sed aliquando inducit in errores maximos , qui possunt etiam excrescere in infinitum , quod quidem accidit methodis omnibus disserentialibus , nisi caute adhibeantur , & quidem aliquando etiam , ubi agitur de quantitatibus vere infinitesim albbus , sed multo magis , ubi methodi infinitesimales applicantur , ut hic , quantitatibus non infinite parvis , sed finitis , utut exiguis . Evolvemus hoc , & sequenti paragrapho ea omnia , quae Ovolutio erit utilis non modo ad habendam accuratam determinationem eorum , quae in hoc opusculo quaeruntur , sed ad agnins endam intimius indolem methodorum, & evitandos errores, qui bus
Hi valores iidem obvenerunt in praecedente opusculo numero ir eruti ibi alia methodo simpliciore . Hae investigationes habentur in opusculo praeedente instituta: paullo aliter, nimirum relate ad illam aliam methodum solvendi idem problema , R conlinentur intra limites arctiores.
465쪽
bus obnoxii esse possunt, qui eas temere adhibent, nec solutiones generales excutiunt, Sc applicant ad diversos casus particulares , qua in re veteres Graeci Geometrae fuerunt accuratissimi: nostri recentiores nonnunquam sunt multo negligentiores.
13. Prima illa methodus adhibet fig. I in resolutionem trigonometricam triangulorum Lb'F, Lli'C , assumpto ubicunque puncto H, ex quibus profluat angulus H CP, qui exhibet arcum horarium ΗΓ erroris primi, & inclinationem planorum I FH IFb', sive errorem secundum inclinationis plani Meridiani. Quare si ea triangula haberi non possint in quibusdam casibus ; in iis ea methodus deficiet. Porro ea triangula haberi non possunt, si utrum
que e punctis F, L , vel alterum abeat in C , vel in infinitum ,
quo casu ea triangula evanescunt, vel abeunt in infinitum ita , ut eorum angulus, qui habebat ibi verticem , nusquam jam sit Ipsa autem triangula evadunt impossibilia , & inducunt eam, quam in calculo appellamus imaginarietatem ; si conditio problemati Lreddat unum e tribus lateribus majus reliquis binis simul sumptis. Ad evolvendos eos casus consideranda est positio punctorum F, L, H,h', quae pendet a declinatione solis, latitudine loci , & hora, a quibus elementis pendent errores inducti a refractione in usu instrumenti , de quo agimus.1 . Re fractio ipsa H Fh habetur semper , sole posito extra Ze-nith Z . In eo solo casu evanescit, in quo sol apellat ad genith, in quo quidem patet , errorem provenientem a refractione nullum esse . Id non potest accidere nisi sub Eona torrida in singulis ejus locis semel , vel ad summum bis in anno, in meridie , quo casu puncta H, b abibunt simul in I . In quavis alia determinata distantia solis a Zenith refractio habetur aliqua , quae est perquam exigua in exigua distantia , augetur , ea aucta , sed ita, ut ad minutum integrum non perveniat, nisi post gradus sejus distantiae , & in ipso horizonte , in quo est maxima , sit
as. Punctum H pendet a sola hora , punctum F a sola declinatione , punctum L ab ipsa , 8c a latitudine loci. Punctum H in meridie est in E , a quo puncto reliquis horis distat ita , ut
466쪽
arcus ΕΗ in meridie evanescat, nec abeat in semicirculum , nisi sub zonis frigidis eo tempore, quo sol evadit inocciduus, puncto H tempore , quod mediae nocti responderet, abeunte in D .
Punctum F abit in C in aequinoctiis, facta m o declinatione
CDF : reliquis anni temporibus recedit inde versus P , vel P prout declinatio fuerit hortalis , vel australis, sed ita , ut radio existente m I, maxima ejus distantia CF non excedat partes O, 34I , quae est tangens maximae declinationis Σ3'. 28' in solstitiis , adeoque id punctum non potest abire in infinitum , potest autem abire in C . Punctum L pro quovis loco sito extra aequatorem ita pendebit a puncto F , ut , eo abeunte in C in aequinoe iis, abeat simul eddem etiam ipsum : declinatione existente
reali , ut figura exhibet, abit pro locis latitudinis borealis , quibus eadem est aptata , a C versus E , & cadit citra E , in E , vel ultra ; prout latitudo loci suerit major , aequalis, vel minor declinatione C EF ; ipsa vero declinatione existente australi , abibit a C versus D itidem citra D, Vel in D, Vel ultra, prout latitudo borealis ipsa fuerit major , aequalis, vel minor ea declinatione . Quod si latitudo loci fuerit nulla , loco nimirum posito in aequatore terrestri ; id punctum, declinatione existente aliqua, abit in infinitum ex parte E , vel D, prout declinatio fuerit bo realis , vel australis , quia tum angulus CFL complementum lati. tudinis evadit angulus rectus, ut FCL , & rectae CL, FL evadunt parallelae . Sed sole posito in aequatore caelesti, loco in temrestri , punctum L quodammodo veluti diffunditur per totam rectam ACB utrinque in infinitum productam , congruentibus rectis CL, FL, vel potius nusquam jam est. Ea omnia patebunt
magis inserius snum. 37ὶ in figura ordinata ad exhibendas diversas positiones punctorum F, L. 16. Hinc facile jam definiuntur casus omnes, in quibus prima methodus deficit priore desectu triangulorum adhibitorum : I'. deficit quovis anni tempore pro locis positis in aequatore terrestri,
pro quibus punctum L abit in infinitum ita , ut nusquam jam sit: χ' deficit pro quavis alia etiam latitudine in aequinoctiis, punctis F, L abeuntibus in C , & evanescente utroque triangulo LbF,
467쪽
LYC . Deficiet secundo modo prope polum quavis hora , & prope meridiem quovis loco , in quibus casibus occurrit imaginarietas, nimirum impossibilitas incursus radii refracti in circulum
DKE ', quae pro utroque caSu facile demonstrabitur sequenti pacto. 27. Angulus IFE est minimus omnium angulorum , quos rectae digressae ab F , & terminatae ad eum circulum continent cum recta verticali FI : cum enim recta ME sit num. perpendicularis ad planum circuli ejusdem ; erit minor quavis M H , adeoquem triangulis MFE, MFΗ, in quibus latus MF est commune, latera FH, FE aequalia , angulus M FE oppositus basi minori ME erit minor, quam MFH oppositus majori M H . Quare si angulus I Fh fuerit minor angulo I FE ; nulla conversione instrumenti circa AB , sive GI radius Fh poterit incurrere in eum circulum. Porro angulus IFb erit minor angulo IFE quavis hora in exigua distantia a polo , & in quavis latitudine loci in exigua distantia
Σ8. Concipiatur enim recta EF producta usque ad Meridianum caelestem in N , in quo sit Q punctum aequatoris, ac dicatur e refractio debita distantia: ZN a zenith meridianae minimae omnium distantiarum ejusdem diei , quae refractio erit minor quavis alia refractione ν diei ejusdem . Sol in meridie erit in N , adeoque N erit declinatio solis r . erit latitudo loci, & ZN mIat. φ decI., quae erit mensura anguli Z FN IFE. Erit itidem P 's m P N. 29. Iam vero prope polum impossibilitas sic facile demonstratur , & determinatur ejus limes. Arcus ZS mensura anguli ZFS, sive I FH est minor binis arcubus simul P S - - P'Z , sive P'N- - Ρ' Z , vel ZN - - 2P''Z. Quare I Fh α IFH - r , erit minor, quam ZN - - 2P'Z - ν, & adhuc minor quam ZN Η- 2P''Z- P, Q minorem , quam r . Hinc si fuerit 2P'L minor H, sive distantia a polo P 'L minor dimidia refractione minima debita distantiae minimae a Zenith meridianae diei cujuspiam ; nulla hora ejus diei radius refractus poterit incidere in circulum DΚΕΚ',& limes , in quo incipiet ejusmodi impossibilitas respondens ho-
468쪽
ris omnibus , erit aequalitas distantiae a polo cum ea dimidia refractione minima. Ea refractio invenietur facile . Distantia solis a Zenith in polo est complementum declinationis: sumatur refractio debita ei distantiae, & distantia a polo Verae proxima erit ejus dimidium: dematur haec a complemento declinationis , & hχ-hebitur distantia meridiana a Zenith magis correcta , cui respondens refractio erit jam correctior , & exhibebit distantiam a polo correctiorem aequalem ejus dimidio. 3o. Quod pertinet ad impossibilitatem prope meridiem in majoribus a polo distantiis, ea itidem facile demonstratur, Sc determinatur facile ejus limes. Quoniam angulus I FH in exigua distantia ab IFE est eo tantillo major, & quo major est distantia
a meridie , eo magis augetur is angulus, refractio autem non mutatur ad sensum , mutata parum admodum distantia a Zenith; habebitur aliquis limes , in quo differentia eorum angulorum erit aequalis refractioni: citra eum limitem ea disterentia erit minor refractione , adeoque angulus I Fb erit minor angulo IPE, 3c nulla conversione instrumenti radius Fb poterit incisere in eum circulum . Is limes determinabitur per resolutionem unici triangulisphaerici P TS . In eo erit P''Z m compLIM., P S compl. decI., ZS m ZN - - r lat. ' decl. - - r. Datis tribus lateribus invenietur angulus ad P', cujus mensura est arcus horarius Eri, qui redactus ad tempus divisione instituta per Is exhibet primum errorem temporarium in eo limite , & angulus SLP'', cujus supplementum est angulus SLN exhibens secundum errorem directionis
3I. Sole existente in ae quatore, determinatio evadet facilior. Concipiatur arcus circuli maximi SN : is erit arcus aequatoris, cadente N in , adeoque perpendicularis Meridiano in N, qui metietur angulum horarium SP''N quaesitum. In triangulo ZNS rectangulo ad N habebitur latus ZN m Iar. , quia tum declinatio Θest nulla, Sc hypothenusa ZS m lat. -- r. Quaeretur arcus horarius SN, qui exhibebit distantiam limitis a meridie , & angulus S ZN , qui exhibebit errorem plani Meridiani . Erit ex for
469쪽
autem pro sibi.SZN , & sin.SN poni ipsi arcus, atque id, sive ii arcus assumantur in iisdem partibus radii , in quibus assumuntur sinus , sive in gradibus, minutis, & secundis, ratione eorum v lorum remanente eadem , quaecumque scala partium adhibeatur .
Hinc habebitur STN α - - - , ubi in capiendo sinu latitudinis
tuto poterunt negligi secunda. 32. In formula cos.SN m-- poterunt itidem negligi secunda latitudinis tam in numeratore, quam in denominatore sed in valore r, qui constat vel solis secundis , vel paucis admodum minutis, negligi non possunt. Is neglectus induceret eris rorem in valorem cosinus SN , qui esset exiguus respectu ipsius, sed pareret errorem ingentem in valore SN; nam cosinus arcuum eae iguorum mutantur parum admodum , mutatis plurimum arcubus . Tota determinatio ejus arcus provenit ab additione valoris eXigui r, in quo si negligantur partes non exiguae respectu ipsius, orietur in determinatione error itidem non exiguus respectu ejus, quod inde determinatur. Idcirco in applicando ipsi formulae calculo numerico oportet adhibere partes proportionales ad eruendum e tabulis valorem cos. Iat. - - r) . Usus partium proportionalium evitari potest reducendo ipsam sormulam sequenti pacto ).
potest poni radius m I : arcus quaesitus SN dicatur x , & erit
470쪽
s u.r , vel ponendo Isin.x pro sin. x ob arcus exiguos proportionales sinubus quamproxime, Isin . x tan.lat.siu.r , &m Watan.Dt.sin . r. Hic ad habendum logarithmum sis, necessarius esset usus tabularum majorum , ut Gardinerit , habentium Sinus pro minutis, & secundis priorum graduum nec vero in tabulis communibus adhiberi possent partes proportionales, cram disserentiae togarithmorum sinuum exiguorum non sint proportionales differentiis suorum arcuum. Adhuc tamen potest evitari uSustabularum majorum, & partium proportionalium duplici pacto.
34. Primo quidem si numerus secundorum contentus in radio fiat m n, & numerus r exprimat refractionem reductam ad secunda ' sinus r in iis partibus radii , in quibus assumuntur sinus
in tabula, erit - , & sis.x m ξ , exprimente itidem x numerum ecundorum ejus valoris quaesiti. Hinc fiet 'D
adeoque x wanrtan. lat. Porro ob exiguitatem valoris x satis erit assumere togarithmorum notas 4 , Vel f priores post characteristicam , & duplicato numero ν adhibere semisummam togarithmorum 2r, n , tan. at. Est autem Iog.Π 4, 3I et . Alia
ratio ) evitandi usum partium proportionalium erit, assumendo R O 6or, quo pacto migrabunt minuta prima in gradus, secunda in minuta , retentis iisdem numeris, & ob proportionalitatem sinuum cum arcubus exiguis, erit sin.r Esin.R. Quare man. Iat. sis Rhabebitur sin.π 3 3s. In formula praecedente valor x quaeretur in tabula logarith- morum respondentium numeris naturalibus , in hac sormula posteriore quaeretur in tabula respondentium Sinubus : nec vero poterat in formula sine. κ tan.lat.sin.r poni x, & r pro siu.x, &sin.r , quia non erant ii valores dimensionum earundem , altero habente duas , altero unam ; neque enim in aequatione possunt Μ m m et subin
Haec sola secunda e binis rationibus hic adhibitis ad eam rem retenta est in opusculo praecedente, appellando ν', quod hic est R.