장음표시 사용
471쪽
substitui numeri alterius scalae cujuspiam exprimentes easdem quantitates , nisi in utroque membro id fiat pro coefficientibus totius membri , vel singulorum terminorum utriusque eodem dimensionum numero . Haec formula posterior erit commodior , quia exhibebit immediate ipsum arcum x in gradibus, & minutis ; dum
illa prior exhibens numerum secundorum requiret reductionem ad
minuta , & gradus praeterquam quod pro latitudinibus majoribus , in quibus refractio pertingit ad plura minuta in aequinoctiis in ipso meridie ob majorem in ea poli , & aequatoris positione distantiam a Zenith , requiritur praevia reductio valoris r ad se
36. In hisce casibus, in quibus problema evadit impossibile, primum triangulum L FP nihil impossibilitatis involvet; cum datis lateribus L F, Fae cum angulo intercepto LFie magnitudinis cujusvis, semper haberi possit triangulum reale iis constans, quod& facile construitur. At in eo obveniet valor LP ejusmodi , ut reddat impossibile secundum triangulum LCK, in quo invenientur Semper bina latera simul sumpta minora tertio ; atque id absu
dum profluet ex eo , quod radio Fili depresso in iis casibus per refractionem infra FH, magis quam recta FE sit inclinata ad horizontem , punctum h , adeoque & h' deberet esse in serius puncto E , dum omnium punctorum secundi circuli EΚDΚ' inclinati ex parte E omnium infimum est punctum H . 37. Id facile patebit, fr concipiantur omnes positiones puncti L in recta DE producta quantum oportet utrinque , de quibus Supra num. Σs . Sint in fig. bini circuli cum axe , & suis punctis, ut in prima , sed cum exigua latitudine AD , quae Praebebit locum iis positionibus omnibus . In ingenti declinatione boreali recta verticalis ZF occurret rectae in L infra punctum Ε, in minore supra in L' inter C , & E : in exigua australi incidet in ipsam in L' supra C inter ipsum , & D , in aliqua alia maj re in L ''supra ipsum D . Posset cadere punctum L etiam in E, C, D ; sed facile patebit, absurdum, quod invenietur in illis quatuor ejus positionibus prope ea puncta , haberi etiam in concursu cum ipsis. In prima positione anguli L FH, LFE essent supple
472쪽
menta angulorum Z ', ZFE , adeoque horum priore existente majore , angulus L Fh' esset minor, quam LFE , & ob FU FErecta Lb' minor, quam LE, adeoque ob PC m EC summa lal rum Lb' - - h C minor , quam LE - - EC , nimirum quam latus tertium LC . In secunda positione angulus L'F'V esset itidem minor angulo L'F'E, adeoque itidem L'b' minor, quam L'E, & summa laterum CL' -- L'b' minor, quam CL' - - L'E , nimirum minor, quam radius C E aequalis tertio lateri Ch'. At puncto L' a eunte supra C in positione tertia, anguli L 'F'h', L''U'E essent iidem , ac anguli Z'F'li', Z''F''E , adeoque e contrario angulus L)'F''E minor angulo LPF''U, Sc CE nimirum summa L C - - CE , sive L'C - - Ch' minor tertio latere L P. Demum in positione quarta itidem L''F''E minor, quam L 'F'''Λ', adeoque L''E , sive itidem summa L''C - - CE , nimirum L 'C H- CP minor, quam tertium latus L 'Γ, quod erat absurdum propositum. Id absurdum occurreret etiam in calculo trigonometrico , in quo devenitur ad sinum anguli quaesiti majorem radio , quotiescunque proponatur resolvendum triangulum , datis tribus lateribus ita , ut bina simul sint minora tertio.
38. Polo P posito prope A non poterit haberi casus primus,& quartus ; sed secundus , & tertius demonstrationem complebunt . Prima igitur methodus deficit, tam sole existente in aequatore caelesti, quam loco in terrestri ob desectum triangulorum ad solutionem adhibitorum , quam in accessu nimio ad polum , vel ad Meridiem ob angulum TFh majorem in figura I angulo lFE . Cum in hoc casu habeatur vera impossibilitas; ea methodus ibi suppleri non potest: secus in priore , in quo facile invenitur solutio, quae plerumque in iis casibus evadit simplicior . Eam hic proponemus incipiendo a sole existente in aequatore.
39. Eo casu, puncta F, L abeunt in C , chorda GI in diametrum ACB , evadente GHI semicirculo maximo , in quo arcus I ΗΛ metietur refractionem H Fh r, IH angulum I FH m TFS D , adeoque erit IK m Ih m D - r . Erit autem Ih'Etriangulum sphaericum rectangulum ad E , ubi bini circuli sunt Sibi invicem perpendiculares, cujus latus ΙΕ fiet m BE AD
473쪽
ψi a To Mus IV. latitudini loci, hypothenusa Ib' m D - r, adeoque latus Eli
qui arcus ablatus ab EH assumpto ad eruendam distantiam a Zenith D , & refractionem r , relinquet arcum quaesitum HK, qui redactus ad tempus exhibebit errorem primum temporarium. Is, invento D, invenietur ita multo facilius per solutionem unius trianguli sphaerici rectanguli, dum prius inveniebatur per solutionem duorum rectilineorum rectangulorum. Ipse autem valor D , qui prius inveniebatur in triangulo sphaerico obliquangulo ZP'S, invenietur facilius in rectangulo IEH ; erit enim cos. IH m cos. IE X cos.EH , nimirum cos. D m eos. x.cos.H ω Error secundus erit angulus HI,', qui facile invenietur; cum in
Sc. similiter eos. EI P . Si praeter solem positum in aequatore caelesti , locus sit inaequatore terrestri; abibunt praeterea puncta D, E , in A, B, aequator fiet primus verticalis , cum quo semper congruet GHI , congruente arcu Eb' cum Eh, adeoque arcus quaesitus Hb' erit - H, r, qui tum obtinetur sine ullo calculo . Congruit formula cos.Eb' , cum evanescente latitudine sit eos.lat.
I , adeoque cos.Eh' eos. D - r) m eos. Iae, unde facto tum HE HI m D , evadit Hh' m ν. In eo casu sol ascendit reisu ab horizonte ad Zenith per aequatorem congruentem cum primo verticali , & refractio deprimit radium in plano ipsius circuli per arcum sibi aequalem , cum ipse radius transeat tum per centrum ipsius circuli. Hinc error secundus ibi est nullus . I. Quod si locus quidem sit in aequatore terrestri, sed sol extra caelestem ς tum vero alio modo instituenda erit solutio . Sint in figura s primus circulus EPDP', dimidium secundi EHD, existente diametro communi DE verticali in ea positione, ade
474쪽
que parallela chordae GFI transeunti per foramen F . Sit autem H punctum hujus, ad quod radius deveniret sine refractione , &h' id , ad quod devenit per conversionem . Erit mensura anguli I FH distantia a Zenith m D , quae ex datis hora, 3c declinatione lite invenietur facile. Si enim concipiatur arcus aequatoris caelestis transeuntis per L occurrens arcui P 'S in R ; erit ZR mensura anguli ZP''S m H , & SR declinatio solis , ZS distantia quaesita D ipsius a Zenith : cumque in triangulo rectangulo SRZεit cos.ZS m cos.SR X cos.ZR ; erit cos. D cos. cI.cos. H . Invento D, habebitur refractio r. Angulus PFI erit m D - ν. Concipiatur per P planum perpendiculare rectis DE, GI parallelis , quibus occurrat in x,u . Erit cos. Dae m Ct sob CP m 1)m Fu α Fb'Xsin.b'FI --ob Flym FD m - ς:
num. Io) . Inde habebitur arcus Eb', qui ablatus ab EH assumpto m H relinquet quaesitum Hb': hic redactus ad tempus divisione per Is , erit primus error horarius . 42. Error secundus inclinationis planorum invenietur hic methodo adhibita pro solutione generali . Satis est in fig. et puncto L substituere punctum I hujus figurae . Erit hic , ut ibi numero Ia sin. ZHFh'm siu.- HCΛ' cor.deci. . Invento inde H Fb',
N. adhibitis I FH, I FP hujus figurae pro LFH,LFP illius , sive D , & D - r, angulus MLN erit quaesitus error. f. V.
Proponuntur considerationes secundae methodi paretrapsi III.
Inquirendum in singulos hosce valores. In primis refractio r est m o in ipso Eenith , & est exigua quidem , sed semper aliqua in quavis alia distantia D a Zenith . Quare ex hoc capite sermula tota evadit ibi m o ; nisi divisores excrescentes in infinitum
compensent ejus evanescentiam 2 verum jam constat, sole existente in Zenith , & proinde refractione nulla, non habere locum hanc Diqitigod by Gorale
475쪽
hanc perquisitionem , in qua inquiritur in emum ipsius refractionis . Ualor sin. D , sole existente in Zenith , est itidem m o, cum ibi sit nulla distantia D ab ipso Eenith , adeoque etiam ex me capite sermula ibi evanescit , nisi ab evanescentia divisorum compensetur , quod nonnunquam accidit . Extra Zeniti, is sinus est semper aliquid , & in horizonte m I . Si instrumentum adhibeatur in elevatione , quae solem videat infra horizontem , tum ipse sin D iterum decrescit. Ualor cos.decI. in aequinoctiis evadit I , declinatione ibi evanescente , & est minimus in solstitiis
cos 23'. 28 . Ualor cos. t. in aequatore terrestri, ubi lat. - o,
evadit m I , in polo, ubi ea est m 9o . evadit m o , ade que valor formulae in polo evadit infinitus , in quo cum sol non possit appellere ad Zen illi , nec r , nec sin. D potest evadere o. Demum valor siu.H evadit m o in meridie , & hora o est I, cum arcus horarius H sit tum m po'. Hinc etiam in meridie formula evadit infinita, atque id, ubicunque sol sit extra Zenith,
nam , ipso sole existente in Zen illi , ea adhuc est o , cum ibi evadant m o hinae dimensiones numeratoris r , & sin. D , unica vero denominatoris sin. H , quae sola sine auxilio evanescentiae valoris cos.lat. non potest compensare evanescentiam numeratoris.
. Hὶc autem jam patet , formulam esse erroneam in casulat. - ςo', vel H m o , nimirum in polo quavis hora, & ubique in meridie, dummodo sol non sit in ipso Eenith , & quidem ea est in iis casibus erronea errore infinito . Si enim in prima integra
conversione instrumenti radius incidit aliquando in circulun i continentem hora distantia ejus puncti a puncto infimo horae Iaerit utique finita : si autem in tota prima conversione nunquam incidit; continuata ipsa in infinitum, utique nunquam incidet, adeoque valor sermulae non potest esse infinitus. Vidimus num. 29,& 3o, in iis binis casibus valorem a formula expressum esse imaginarium , non realem : adeoque in ipsis ea sormula est omnino erronea. Porro debet esse erronea etiam prope polum , & prope meridiem : nam decrescente in immensum distantia loci a polo terrestri , vel solis a Meridiano caelesti, cos. t. , vel sin H decrescunt in immensum , adeoque crescit in immensum valor sormulae,
476쪽
mulae , dum arcus respondens errori horario ab ipsa expresso non potest superare semicirculum. Et quidem etiam in iis casibus mstendimus , haberi imaginarietatem, cujus etiam limites determinavimus in paragrapho Superiore.
s. Videndum est igitur, cur in iis easibus sermula ev dat erronea. Id quidem provenit ex eo, quod in fig. 3 habitis eC,cD pro rectis lineis , nimirum adhibitis chordis eorum amuum , asinsumpti sunt anguli BG, CDe pro rectis, unde profluxit snum. is aequalitas angulorum ACB, CcD, quorum uterque habitus est pro complemento ejusdem eCD . Revera angulus CDc acutus excedit rectum per dimidium anguli DAe, per quod deficit a recto angulus ADe ad basim De trianguli isoscelii, & angulus BCc e contrario deficit a recto per dimidium anguli CBo oppositi basi trianguli iso-
lar CD m CeXsin.Cm i COXtin. ACB , dum revera si concipio tur verum perpendiculum G in rectam AC , non erit CD mCe sm CcD , sed Cd - CcXsin.Ced. Hinc neglecta est primo semidisserentia τsb'-η angulorum CBc, C Ac, tum angulus Dod,
qui est m etcAD m et b , ac lineola Dd. s. In figura 3 angulus ACB est minor angulo eCB ; sed ille
potest esse hoc eodem major , quo casu adhibito simili neglectu, angulus CeD non erit aequalis angulo ACB , sed ejus supplemento : migrabit sigura tertia in sextam , in qua producto latere BC in B , erit angulus cCD habendus pro complemento hinc anguli CeD , inde anguli ACB', adeoque angulus Cm pro aequali angulo ACB': adhuc tamen erit CD Ccxwr.ACB , cum debeat esse m CcXsin. ACB', & sinus supplementorum ACB, ACB' sit idem . Sed neglectus lineolae Dd, qua Cd m CcXriu.Ced superat rectam CD , & anguli Ded α τb erit idem . Accedit autem contemptus valoris Isb' - - b) pro ξ- b' - b) . Erit enim hic itidem BCo m 9o' - οῦ θ', adeoque B Cc m 18o' - BCe m 9o' - - Ib', & ADc so' - zb , adeoque eCD m B'Cc - ACB' Tom. IV. Nnn ςo'Diuiti od by Go la
477쪽
In priore easu habebatur aequalitas anguli CeD cum angulo ACB per contemptum semidisserentiae angulorum CBe,CAe , in secundo cum ejus supplemento per contemptum Semisummae. 7. Donec anguli CAe , CBe fuerint exigui tam respectu anguli ACB figurae 3, quam respectu ejus supplementi, contemptus aemi differentiae ipsorum , vel semisummae exiguus respectu eorum, vespectu quorum fit, non afferet errorem Sensibilem in formula, quae per eum neglectum eruitur : nec vero lineola Dd rem turbabit , quia erit exigua respectu differentiae CD , respectu cujus negligitur, quod sic demonstratur . Lineola dD est ad α , ut tangens anguli MD ad tangentem anguli AC: prior ex iis duobus
angulis debet esse exiguus, posterior non potest I nam anguluv
Quamobrem prior angulus MD debet esse exiguus, posterior λC. differt ab angulo ACB, vel ab ejus residuo ad I 8o', per dimidium angulum exiguum CBe m adeoque non potest esse exiguus, nisi ipse ACB vel sit exiguus , vel nimis accedens ad I 8o'. 8. Hinc extra eos casus lineola Dd erit exigua respectu differentiae CD, respectu cujus negligitur , & sermula exhibebit valorem
ero proximum , quotiescumque angulus ACB nec erit nimis exiguus , nec nimis accedet ad duos rectos . At in utroque ex his eaSibus negliguntur quantitates, quae possunt esse non Solum none iguae respectu eorum, respectu quorum negliguntur , Sed iis aequales , 3c in immensum majores , quod accideret imminuto infig. 3 angulo ACB , vel in fig. 6 ACB', donec evanescat , vel accedente ACB in infinitum in ipsa fig. 6 ad duos rectoε , donec evanescat ACB' ejus supplementum, imminuta nimirum in infinitum recta AB in priore casu , aucta in posteriore , & remanente exiguo , sed finito utroque ex angulis G , CN , vel Saltem altero, in quo casu etiam Dd potest evadere aequalis, R ia Dissiligod by COrale
478쪽
immensum in lor respectu CD . Hinc nisi sorte fortuna quantitates neglectar se mutuo compensent, determinatio erit erronea,& error poterit excrescere etiam in infinitum.
q. Regrediamur jam ad figuram I, cum qua ita comparata est figura 3 numero is sadjecta deinde est ipsi figura ue ad exprimendum casum anguli ACB obtusi), ut triangulum ABC hujus abiens in ABc reserat triangulum L FH illius abiens in L Fn, tum triangulum CFH ejusdem abiens in triangulum CFb. Anguli ACB, CAc, CBc hujus referunt in prima comparatione angulos LHF, HLP, H Fli' illius, in secunda ejus angulos HCL H Fae. Angulus H FP est refractio, quae quidem est semper exigua , sed semper aliqua in hac perquisitione , in qua quaeritur effectus refractionis ipsius. Hinc erit exiguus etiam arcus Hae, adeoque & angulus HCP ob distantiam puncti C a toto circulo DΚΕΚ', cujus id est centrum,& vero etiam H Lb', nisi L accedat proxime ad E , & punctum
H sit itidem ipsi proximum. Quare illi bini anguli b, & b', qui
respondent angulis HLli', H Fb , HCU, quorum semidisserentia ,
vel semisumma negligebatur, debent esse exigui semper praetercaSum , in quo praeter Viciniam punctorum L , E , punctum Hsit ipsi E proximum, tempore nimirum proximo meridiei, in qua duplici eorum casuum conjunctione vicinia puncti L respectu punctorum H , Κ potest plurimum augere angulum H L h. so. At anguli LHF,LHC, respectu quorum negligebantur anguli b, & ν, possunt tam imminui in infinitum , quam accedere in infinitum ad duos rectos. Minuuntur ambo in infinitum , imminuta in infinitum declinatione, cum debeat tum imminui in infinitum ejus tangens CF, adeoque latitudine manente finita , etiam utrumque latus LF,LC trianguli CFL habens ad ipsam CF rationem radii ad tangentem , & secantem anguli CFL P 'FZcomplementi latitudinis, qua manente finita, tangens, & secans remanent finitae . Latitudine manente finita, evanescent ea ipsa latera cum angulis LHF, CHL, si sol abeat in aequatorem . Minuetur in infinitum etiam extra aequatorem alter ex iis binis angulis,
nimirum CF L in accessu puncti L ad C , quod accidet latitudine loci aucta usque ad quadrantem : ea enim ita audia , augetur
479쪽
angulus CL F , adeoque minuitur ejus complementum CFL cum recta CL, donec evanescant simul, loco abeunte in polum . Idem angulus CHL accedet in infinitum ad duos rectos latitudine loci imminuta in infinitum , & sole posito extra aequatorem : quia tum angulus CL F minuetur in infinitum , adeoque punctum L rei
cedet in infinitum a C , & E , atque id versus E respectu C , in casu declinationis horealis expresso a figura per L , & ad partes D , in casu declinationis australis , in quo F abeat ibi in
', & L in L''. Angulus L H F in distantia ab aequatore non e xigua non potest evadere exiguus , non evadente exigua FL , quae semper est major, quam CF ' nec potest accedere ad duos rectos , nisi puncto L abeunte in infinitum , sive loco accedente ad aequatorem .si. Patet ex hac omni perquisitione , sermulam non posse esse suspectam , nisi sole accedente ad aequatorem , hora accedente ad meridiem , loco accedente ad polum , vel ad aequaetorem . Extra eos casus ipsa exhibebit semper valores veris proximos. Porro jam vidimus, hora accedente ad meridiem , & loco accedente ad polum , ipsam formulam debere esse erroneam , cum exhibeat valorem infinitum , evanescente in primo casu divisore sin.H , in secundo divisore cos.lat. . In accessu solis , & loci ad aequatorem formula nihil absurdi continet, cum cos.lat. , & costaret. evadant demum zz I . Adhuc tamen nisi aliunde demonstretur, eam habere locum etiam in iis casibus, contemptibus se compensantibus debebit esse suspecta, nec analysis, ex qua profluxit ea formula, potest extendi ad ipsos .set. Quod pertinet ad solem positum in aequatore , facile evincitur pluribus methodis , eam esse exactam etiam in eo caSu , in quo quidem ipsa reducitur ad formam adhuc simpliciorem , & tamen accuratam . Proseremus binas methodos , quae exhibent so mulam consentaneam cum ea generali rite applicata ad eos casus.s3. Sole existente in aequatore abibit in fg. i chorda GFI in diametrum ACB , adeoque GHI erit semicirculus maximus , in quo arcus ΗΚ erit mensura anguli H FP α ν , arcus IH anguli I FH m TFS , sive distantiae solis a zenith m D , arcus autem
480쪽
opus CULUM XVIII. ψύρI E erit m BE AD latitudo loci , arcus EH horarius m H, ut prius : erit IEH triangulum sphaericum rectangulum ad E , ubi bini circuli sunt sibi invicem perpendiculares, & hli erit arcus circuli habentis polos in G, 3c I, qui idcirco erit perpendicularis arcui Hh circuli maximi GH l . Quare triangulum exiguum hHli' habitum pro rectilineo erit rectangulum in h , habens pro hypothenusa arcum H, adeoque latus H, , nimirum i , adjacens angulohHl ' erit Hli' X cos. bHV erit Hlι' X cos. I HE.
34. Porro in triangulo sphaerico IEH erit IH hypothenusae, EH latus adjacens angulo IHE , 3c ex Trigonometria sphaerica est radius ad cosinum anguli, ut tangens hypothenusae ad tan-
gentem anguli adlacentis, adeoque cos. I HE p
mula multo simplicior , quam generalis inventa numero Ι - ' - . Verum ea in hoc casu reducitur ad hanc i-
psam simplicem . Nam in primis sole posito in aequatore fit dees. o , cos. cI. - I : deinde in eodem triangulo sphaerico in quo IH est hypothenusa , est civ. IH m cos. EH X cos. IE , sive cos.D - cos. H os t. , & proinde cos. t. - . Quare sor-rsin. D
ss. In hac formula datur hora H , pro qua quaeritur error ,& invenienda est distantia D a Zenith per latitudinem, & horam , necessaria etiam ad habendam refractionem r . Ea distantia facile deducitur ex iis elementis per ipsam aequationem cos. D os.lat. cos.H quanquam saepe poterit inveniri per immediatam observationem factam hoc eodem instrumento , cui aliquando additur aliud foramen , & divisio indicans altitudines supra horizontem , sive distantias a Zenith , quas satis est habere veris proximas tam pro habenda refractione r , quam pro eruendo Valore arcus Hae per sormulam , quae continet valorem D . Observatio exhi- Dissili od by Corale