장음표시 사용
81쪽
ticalem , in qua nullam exercet vim ad descensum, quae deinde
perpetuo augetur, ac in fine evadit maxima . Hinc in priore casu illud pondus initio sui ascensus debet exercere vim maximam , quae in progressu perpetuo decrescat, ac in fine evanescat: id vero exigit formam curvae concavam , in qua inclinatio tangentis accedat semper magis ad positionem horizontelem , ac in eam demum desinat in ima sui parte : at in casu posteriore debet id pondus initio exercere vim nullam , curva ibi habente directi nem horizontalem , quae in descensu ab ea recedat perpetuo magis , quod exigit curvam convexam.
s. Sit in fig. i CE positio verticalis telescopii, quod elevari debeat per omnes positiones obliquas CF usque ad horigontalem CG ; pons autem debeat elevari a positione horizontali CG usque ad verticalem CE'. Pro hoc casu assigitur sunis cuipiam ejus
puncto G , qui tendit rem ad cochleam ) positam in E', inde recta ad aliam fixam in M', tum iterum rem usque ad pondus N', quod descendit per curvam concavam M'N'Κ'. Ut vis pontis ad recidendum perpetuo decrescit, dum punctum F' elevatur oblique per quadrantem GF'E', ac evanescit in E'; ita pondus N', dum descendit per curvam concavam M'N'Κ', exercet perpetuo minorem vim directione curvae Semper magis accedente ad
horizontalem , in quam si desinat arcus ipsius in Κ' ita , ut habeat ibi tangentem horizontalem , nisus ipse ponderis N' ad descendendum ibidem evanescit. Quaeritur autem curva , quae in mmnibus positionibus F', & N' praestet aequilibrium habita ratione tam imminutionis virium in F', & N' ortae ab obliquitate radii CV, R directionis curvae , quam ab obliquitate directionis funium E'F', & M'N', qui trahunt oblique. 6. Pro casu telescopii cum pondus N initio sui descensus in Metopondeat positioni telescopii verticali CE , debet ibi amittere
omnem nisum , adeoque tangens curvae ibi debet esse hori Zonta-
Iis I tum crescente vi telescopii ipsius ad descendendum , debet curva saltem initio , & saepe , ut inserius patebit , usque ad fi
nem Φ Cochleas hὶe consideramus instar puncti; ut & pondus N .
82쪽
ΟPUICULUM V. TInem ascensus telescopii ipsius ibi acquirere directionem semper
magis accedentem ad verticalem , adeoque debet eSSe convexa reis
spectu directionis, qua gravitas urget descensum. Videtur primo aspectu nexus inter puncta F , & N haberi non posse nisi per
funiculum spro ponte requiritur senis crassior, vel etiam catenae pro telescopio tanto leviore sussicit funiculus tenuior, qui erit eo
aptior, quo fuerit magis plicatilis), qui ab M ad N advolvatur
ipsi curvae acquirens ejus convexitatem , quod quidem imminuit non nihil vim ponderis N , utcumque concipiatur bene levigata ejus superficies. Ea curvatura funiculi ipsius, neglecta etiam resistentia orta a frictione , ita elevat naturam curvae requisitae ad hoc genus aequilibrii , ut eam reddat transcendentem dum curva M'N'K' aequilibrii pro ponte jam tum inventa non est nisi quarti gradus .
7. Uerum habetur dispositio , in qua punctum N tractum deorsum a pondere constanti assi xo ipsi per funiculum descendat per curvam convexam , & tamen funiculus abeat itidem rem ab Nad M . Id quidem facile obtinetur, si curva MNΚ fiat ex virga metallica bene levigata , cui addatur annulus ex filo metallico cylindrico bene levigatus, & paullo amplior crassitudine ipsius virgae transeuntis per ipsum . Is a pondere ipsi assixo per lan, culum Nd trahetur deorsum , tanquam si ipsum collectum in Ndeberet descendere. Uerum habeo quidem aliam methodum , quae exponetur in serius, praestandi idem per canales quosdam incavatos in binis tabulis ligneis conjunctis cum aliis binis, ita, ut illae comjungantur inter se in parte superiore, habeatur autem quaedam distantia in inferiore : binae rotae connexae per axiculum serreum ita descendunt per eos canales , ut punctum medium axis in descensu ejus velut curriculi describat eam curvam : pondus assigitur per su-niculum ei puncto axis ita, ut libere pendeat: is funiculus liberetr mit per illam aperturam, quae remanet inter binas tabulas conjunctas in sola sui parte superiore, ut abeat recta tam ad pondus
Q, qu m ad trochleam M. Quod pertinet ad id machinamentume ponam in serius per figuras idoneas, posteaquam determinavero constructionem, & naturam curvarum huc pertinentium. 8. Et Diuiligod by Gorale
83쪽
8. Et quidem pro casu laniculi radentis superficiem convexam curva est transcendens, ut innui , dum pro casu funiculi rectilinei est algebraica , & constructionis admodum expeditae . Uidetur itidem primo aspectu curva aequilibrii, quam quaerimus protelescopio, debere esse continuatio illius jam inventae pro ponte , quod novam perquisitionem redderet Supervacaneam . Dum enim telescopium a positione verticali CE abit motu continuato puncti F usque ad horizontalem CG , si inde debeat ascendere usque ad verticalem oppositam CE'; habetur continuatio motus puncti F per V in eadem curva continua circulari ; adeoque Videtur & curva aequilibrii debere esse naturae ejusdem . Adhuc tamen dum haec secunda inventa est, ut diximus, & ut patebit inserius , gradus quarti, illam primam invenio gradus os avi . Ratio ejus discriminis habetur in natura positivorum , & negativorum , quae in Geometria habent locum per directiones contrarias, aequeae in Arithmetica, & Algebra per signa - - & - , in qua analogia habet sundamentum tota applicatio Algebrae ad Geometriam , qua Cartesius hanc scientiam usque adeo promovit , sed quae producta postea ultra finitam Algebram , & applicata quantitatibus infinitesimis, & exponentibus ita indefinitis, ut eos complectatur
etiam irrationales, quandoque summos etiam primae notae Geometras deduxit ad contentiones veteribus Geometris prorsus incognitas , ubi utraque pars demonstrationibus productis devenit ad conclusiones contradictorias , ut in quaestione de negativarum qua titatum logarithmis : sed ea huc non pertinent.
y. Hic habetur illud e dum punctum F motu continuato per G transit in F', arcus GF positivus abit mutata directione in GV negativum ; at Vis gravitatis, quae tendebat directione rectilinea parallela E'CE , & directione circulari E'GE, agit etiam in F
directionibus iisdem non mutatis in oppositas negativas . Si vis in V, quae fuerat gravitas tendens deorsum , abiret in levitatem, quae esset vis negativa respectu gravitatis habitae ut positivae ;punctum F' tenderet sursum , Sc conaretur abire directione circulari GF'E', ae ad illud retinendum in aequilibrio oporteret adhibere eandem curvam MNΚ pondere Q. ipsum retrahente deorsum per Disiligod by Goc ul
84쪽
ΟPUsCULUM V. 73 per punctum N , & funiculum NMGF', quantum prius trahebat
F sursum . Verum adhuc ibi haberetur alia irregularitas . Quantitas positiva per mutationem continuam nunquam in Geometria abit in negativam, nisi transeundo per nihilum . Hic quidem a cus GF positivus abiret in negativum GF' per nihilum , quod haberetur in G ; at nisus gravitatis ad motum circularem non eis vanescit in G , sed advenit ad suum maximum utique finitum, a quo non potest concipi translatus momento temporis ad aequalem negativum respondentem levitati .io. Iis itidem omissis progrediemur hic ad determinandas cu vas pro telescopio, & pro ponte , agentes per funes , vel funiculos rectilineos , considerando singularum constructiones admodum analogas , ex quibus orientur aequationes . Deinde gradum faciemus ad naturam curvae pro telescopio respondentem funiculo advoluto lineae convexae e ac demum producemus figuras pro illo exiguo veluti curru , cujus ope punctum N connectetur cum trochlea M per funiculum rectilineum . I 1. In primis abscindatur GL ex GE , vel E'L' ex E G ae qualis GF, vel E'F': chorda curvae MN, vel M'N' erit aequalis residuo EL vel GL'; cum enim totus funis FG MN sit idem , ae EGM, dempta inde parte FGM , hinc LGNI ipsi aequali, relinquetur MN EL: eodem pacto auferendo ex aequalibus F'E'M'NIGE'M' partes F'E'M', L'E'M' aequales, residua M'N', GV erunti
Ia. Deinde pro aequilibrio oportet, ut pondus totius massae, vel telescopii, vel pontis ductum in lineolam aequalem illi , per
quam ipsius centrum gravitatis ascenderet, si tempusculo infini-tesimo haberetur motus circa centrum C , aequetur ponderi exesecenti vim in N ducto in lineolam aequalem illi , per quam descenderet id punctum eodem tempusculo , vel illi aequalem . Si F eat ipsum centrum gravitatis, & id abeat motu circulari in f,
abeunte N per arcum curvae in u , concipiantur autem rectae FI,
si perpendiculares radio CE , & NR,nr rectae verticali MP ; eae lineolae erunt Ii, & Rr. Quod si punctum F sit alibi ubicunque in recta , quae transit per punctum C , & per ip4um gravitam
85쪽
centrum ; descentus ejusdem centri ad descenῖum puncti P erit, ut distantia illi iis ab ipso centro ad rectam CF , adeoque loco producti ex ascens a centri gravitatis, ' pondere totius pontis, vel telescopii, poterit assumi productum ex lineola Ii, & alio ponis dere minore , vel majore in ratione ejus distantiae ad eam rectam . Id pondus dicatur p , & pondus , quod urget punctum N, dicatur P ; eritque quaevis lineola Rr , ad lineolam Ii sibi respon dentem in ratione constanti p ad P. Quare in eadem ratione erunt etiam totae lineae MR , EI, quae proveniunt ab omnium praecedentium summis . Eadem est demonstratio pro ratione eadem lineolarum R , IT , si litteris omnibus adhibitis addatur acincentus . Sed cum summa omnium I'i' sit CI', non ET; rectae M'R', CI' erunt in illa ratione constanti ponderum I , P, quM est origo discriminis inter sormas , Sc aequationes binarum cur
13. Inde autem habetur expeditissima constructio curvae utriusque per puncta . Assumpto quovis puncto I in radio CE , capiatur MR in recta verticali MP quarta continuae proportionalis pOSt P,I , EI, ducaturque ex R recta ipsi perpendicularis indefinita: centro G, intervallo GF inveniatur in recta GE punctum L : centro M , intervallo EL inveniatur in illa perpendiculari indefinita punctum N . Id erit ad curvam quaesitam ; cum nimirum assumpta sit MR habens rationem inventam ad El , & ostensum sit num. D , rectam MN debere esse aequalem rectae EL Eodem autem pacto assumpta M'R' quarta post P, p,CI', invenietur punctum N' centro M', intervallo GL I . Figura est aptata casui, in quo adhibeatur pondus P majus pondere p in ratione 3 ad a . Verum constructio evadit multo expeditior, si pondus P adhibeatur aequale ponderi ρ ; neque enim erit opus ulla proportione ad inveniendum punctum R , cum sussiciat assumere MR aequalem EI , vel M'κ m Ct': facilis autem est inventio puncti L , vel L' centro G , vel E', & intervallo GF, vel E'F', ac inventio puncti N, vel N' centro
M , vel M', & intervallo EL , vel GL'; ubi etiam si MP, vel M'P' fiat CE CE'; ea erit in hoc casu ultima abscissa is
86쪽
OPUSCULUM V. 73R iis ipsis erit aequalis ultima ordinata PK , vel P' ' ί- . Nam puncto F abeunte in G , abit eodem etiam L , & I abit in C ;adeoque MR abiens in MP evadit m EC , & MN abiens in
MK evadit m EG . Cum autem quadratum hujus sit duplum quadrati CE , erit & quadratum ML duplum quadrati MP , nimirum hina quadrata M P, PK aequalia simul binis M P , & proinde
quadratum PK aequale uni quadrato M P . Eadem autem est de monstratio pro ultima abscissa M'P', in quam ultimis abit M'R' abeunte ultima Cl' in CC, & GL' in GE', cui evadit aequalis ultima M'N' abiens in M'Κ'. I s. Si pondus P fuerit majus , vel minus quam p , abscissa MP vel M'Ρ' respondens ultimo puncto quadrantis G , vel E de
bebit esse minor, vel major radio CE in eadem ratione inversa:
ordinata autem P , vel P' ' ipsi respondens, nisi evadat imaginaria , aucto pondere P augebitur, imminuto minuetur, ob ML semper aequalem constanti EG, vel GE', & abscissam MP, vel M'P'in primo casu imminutam , in secundo auctam. Ea in casu ponderis P majoris pondere p , nec poterit evadere impossibilis , nec
vero evanescere : at in casu contrario ponderis P minoris evanescet utique, ubi ratio ipsius ad p suerit eadem , ac ratio lateris quadrati ad diagonalem , sive I ad , ac deinde adhuc magis imminuto eo pondere , evadet impossibilis. Nam in casu ejus rationis evadit M P EG m ML , evanescente PK , R eadem est demonstratio pro P Κ'. Existente autem pondere P adhuc minore , adeoque adhuc aucta MP , ipsa evadet major quam EG , R intervallum huic aequale translatum in M non pertinget ad P. Non erit possibilis nisi arcus MN , cujus abscissa MR minor recta EL sibi respondente excrescat usque ad aequalitatem cum ipsa . Ibi arcus ipse , mutato prius recessu ab axe in accessum , desinet in ipsum ς atque arcus circuli EF respondens ei EL erit ultimus limes, ad quem possit ascendere telescopium cum a quilibrio praestito ab illo pondere . Ubi arcus curvae mutat receSSum ab axe in accessum , convexitas, quae erat objecta directioni gra-
'b Id quidem non exprimitur a figura , quae non respondet aequalitati Ponderum sed illi rationi.
87쪽
vitatis tendentis deorsum, mutatur in concavitatem . Et quidem multo ante, quam pondera deveniant ad rationem I ad Wa , incipiet alicubi is arcus curvae mutare recessum ab axe in accessum& directionem curvaturae respectu directionis , qua agit gravi tas , licet non deveniat ad ipsum axem , nisi ubi pondera devenerint ad illam rationem , vel ubi pondus P decreverit adhuc
I 6. Patet inde, pro telescopio adhiberi posse pondus P quoscumque majus pondere p, pondus ipsi aequale , & vero etiam
pondus minus usque ad rationem I ad w2 . Verum praestabit evitare hunc casum ponderis saltem ita minoris , ut haberi debeat Rnte ascensum ad finem quadrantis ille regressus cum mutatione curvaturae, qui non habetur nisi infra aequalitatem , ut facile demonstrari potest, & ex ipsa constructione facile innotescit. IE- qualitas ponderum reddit constructionem simpliciorem , ut vidimus, nec producit plus aequo ultimam ordinatam P Κ , quod prae- Stant pondera majora , Sc evadit incommodum in ea applicatione curvae , quam adhibebimus inserius. 37. In curva pro ponte non solum evadit impossibilis arcus p stremus N 'Κ', ubi pondere P depresso respectu p insta rationem I ad Wa evadit abscissa M'Κ' major , quam tota corda circuli E'G, cui deberet esse aequalis chorda curvae M'N'; verum etiam
nisi pondus P fuerit multo majus pondere ρ, evadit impossibilis etiam ipse arcus initialis M'N'. Cum enim binae chordae E'F', GF simul excedant solum GE', Sc pars E'L' sit aequalis chordae E'F'; chorda GF' erit major, quam residuum GL'. Porro accedente puncto F' ad G in infinitum , ex una parte recta CI' accedit in infinitum ad rationem aequalitatis cum chorda GF', & ex altera si concipiatur arcus F'L', qui initio poterit considerari ut recta linea perpendicularis chordae GE'; angulo L'GF' accedente in infinitum ad semirectum, ratio chordae GF' ad rectam GL' accedet in infinitum ad rationem Wh ad I . Quare nisi ob augmentum ponderis P respectu p usque ad rationem W2 ad I , vel ultra,
minuatur ratio M'R' ad CI', quae est reciproca rationis eorum
ponderum , usque ad eum limitem , vel ultra intervallum GL
88쪽
translatum in M' non pertinget ad R', adeoque id pondus non poterit incipere esse in aequilibrio cum ponte, nisi pondus P suerit ad p ut wa ad I , vel adhuc majus. Id autem patet etiam idcirco, quod in G pons nititur ad descensum tota vi p agente directe , dum pondus P ope trochlearum trahit oblique directione E'G , cujus nisus ad vim absolutam est, ut CE'ad GE', nimirum ut Wa ad I . Porro vis p in ponte, si is trahatur per funem , vel catenam applicatam margini , est circiter dimidium
ponderis pontis totius , cujus centrum gravitatis est circa medium : at in telescopio , cui funiculus adnectatur circa centrum ipsum gravitatis, est circiter aequale toti ponderi telescopii . Sediis jam omissis , progrediamur ad eruendam e constructione curvae ejus aequationem .
W2 - , habetur aequatio, quae quadrando eos binos valores ejusdem E'L' evadit 1 - 2mx ma - - ν - - κ' - Σκί. - - 2x'), sive 2wίυ - - χκ F - - κ' - - 2 mx . Quadrando iterum , ea demum assurgit ad gradum quartum .
- 2wίχmx - m x ) a - 2wί - - 2x )- - γ - - sive 3 - - κ Σπιυ - - 2x ) - Σκίχmx - m ). Patet, ad Ru ferendam irrationalitatem oportere post priniam elevationem ad quadratum , quae inducet ν - - - . κ', transferre terminos ratio
89쪽
rationales secundi membri in primum , ac iterum quadrare , quod
aequationem reddet usque adeo complicatam , & elevatam ad gradum octavum : nec vero aequalitas ponderum prodest quidquam, quae reddit tantummodo m I ' licet ea reddat construetionem usque adeo magis expeditam. ro. Constructio geometrica multo melius ipsis oculis exhibebit formam integram ejus curvae , cujus lila indigemus solo arcu MNΚ, qui est ejus pars exigua , & sistet animo ipsius naturam , quam aequatio usque adeo complicata . Ipῖa autem constructio evadet adhuc multo magis commoda, si pro cavi maxime simplici aequalitatis ponderum fiat intra circulum genitori aequalem sequenti pacto . Capiatur fig. Σ) in axe curvae describendae MC aequalis radio CE figurae r , & centro C describatur quadrans circuli MFG, ducaturque chorda MG . E quovis puncto R ipsius radii ducatur ordinata RF: centro G, intervallo GF inveniatur in chorda GM punctum L : tum centro M, intervallo ML inveniatur in ordinata RF punctum N . Id erit ad curvam quaesitam , quae desinet in G, punctis P, Κ figurae I abeuntibus lila in haec puncta C, G. Erit enim EI ejusdem figurae 1 aequalis MR hujus secundae, ut ibi illius MR . Hinc RF hujus abscindet arcum circuli MF aequalem arcui EF illius, & chorda GF, ac recta GL hujus erunt aequales GF, GL illius , adeoque residuum ML hujus residuo ELillius. Cumque ibi punctum N inventum sit centro M, eo intervallo , ut hie , in recta RF perpendiculari ad MR ; erit punctum N hic idem , ac ibi.
a I. Id quidem abunde est pro arcu MNG , qui respondet e-Ievationi telescopii per quadrantem integrum figurae I : verum Satis patet, locum geometricum integrum debere habere plura alia puncta in quavis linea perpendiculari ad axem MC . Nam in primis recta illa perpendicularis ducta per R , & indesinite producta , occurrit circulo integro , qui totus continet unum locum geometricum etiam in alio puncto analogo huic F . Hinc habebuntur duo intervalla GF . Horum autem singula exhibebunt in eadem recta MG indefinite producta duo puncta L hinc , & inde a puncto G , quae jam evadunt quatua. Demum centro M,
90쪽
ΟpusCULUM V. 7ρ intervallo cujusvis ex iis quatuor GL , quae sit major abscissa MR , debent inveniri bina puncta N hinc, & inde a puncto Rin illa eadem recta perpendiculari , quae idcirco evadunt 8 , &respondent aequationi octavi gradus, cujus generis curvae Secari possunt a recta linea in octo punctis. 22. Patet autem, in curvis respondentibus cuivis rationi ponderum binas rectas RN inventas centro M , & quovis ex iis quatuor intervallis fore aequales inter se , adeoque rectam MC indefinite productam semper sere axem , qui secabit bifariam , & ad angulos rectos omnes chordas jungentes ea punctorum binaria, ac habebit bina dimidia totius curvae hinc, & inde aequalia. Ubi aliqua ex iis quatuor ML suerit aequalis abscissae MR , hini arcus MN positi hinc , & inde ab axe abibunt simul in punctum R ,
evanescente RN m 3 , ubi earum unio requiret tangentem communem , quod exigit natura continuitatis geometricae . Ea vel debet esse axis ipse , quod accidit, si ibi habeatur cuspis , vel eidem axi perpendicularis , quod in curva pro telescopio habebitur semper in M , abeuntibus eo simul cum R binis punctis F , binis e quatuor L , nimirum singulis e binis , quae determinantur per horum singula , ac quatuor punctis N . Ibi nimirum bini arcus pertinentes ad eum locum geometricum contingent rectam perpendicularem axi, quod patet in figura 3 exhibente curvam integram delineatam juxta hanc constructionem. Ibidem videre est binos alios arcus, qui secant axem ad angulos rectos , nimirum
Prima aequatio exhibet pro quavis ratione m ponderum punctum ipsum Duiliaco by CO Ie