P. Gregorii a S.to P. Vincentio Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum

61쪽

i Dinon ratio.

contin erit rationem, proportionales sine AH, AI, Α G, ΑΚ, AG quia vero HI, I G, GK, &c. differentiae. svit in bratione suorum integrorum, ut HI ad I G, sic AI ad ΑG, id est E G ad LI. quare ς parallelogramma L H. EI aequalia sunt: similiter quia est GI ad G Κ, ut ΜΚ ad EG, aequalia quoque sint paraIlelogramma EI, MGι sintiliter FK parallelogrammum aequale est parallelogrammo M G, aequalia igitur sunt quaruor parallelogramma L H, E I, M G, Fxi igitur duo LΗ, EI ablata E segmento EGH D, aequalia sunt duobus M FK abIatis Esegmento FCE G: Rursum si inter D Η, LREG. item EG, MK. FC , mediae ponantur proportionales, ostendetur similiter, ut prius, paralleloy-ma in segmento EGH D, aequari parallelogrammis segmenti FCE G: quod eum semper neri possit, sie ut ablata ex D H E G, maiora sint dimidio sementi D H E M aequalia ablatis ex segmento EG FC,quet maiora quoque sunt dimidio eiusdem, i risiii ι segmenti, constat FCE Gil segmen maequari segmento E GDH. Quod sitit demonstrandum.

C IX.

o A H, AI, A A C continuae sint proportionales, ponantili GL I, MK, F ipsi AB aequidistantes

LI, dcc. eamdem quoque inter in continuant rationem: unde DH. EI segmenta sunt aequali α Simillia ter cum ΕΗ, LI, ΜΚ, F C in eadem sint proportione, g aequalia quoque sunt segmenta EI, LMM C. Constat igitur veritas propositionis. E I I , .cd. AA b. Uri re uinoV . . . P .r D o P s: I T I o LV X. G .' . b. v.

62쪽

trimonstratio. 3 Riangulum ABD , aequale est

triangulo ΑΗΕt ablato igitur communi triangulo'HQ,manet ΣA Qy triangulum , aequale quadrilatero B DdM': Oddito igitur e ri l

ABCD, parallelis lineis uni asymptotorum intercepto aliud aequale exhibere , quod ad datum pumctum pertineat.' cius Mesriamo ristis.

IG ad HK, ut e pK ad FG, id est W CF ad FB, id est AB ad DC, quare A D e B segmentum, aequale est segmemto I HKG. Factum igitur est quod petebatur. Digitigod by Coosla

63쪽

)gitur trapezia i ACLI, DB ΗΚ inter se aequalia; sed eadem de causa etiam con cava segmenta x hyperbolica AILC,DΚHB aequalia sunt; residua igitur semen ta convexa A C, D B aequalia sint. Quod demonstrandum fuit.

64쪽

eui sata qui distans C F. ponaturque A F:. Pico ACFi signae' tum, segmento CFD aeqsala esse. . . t tinem ratio. TTungantur AC, CF, FDi quoniam AD ipsi CP aequidistae: segmentum PD

segmento ΑC a aequale est. quia vero triangula A F D, A C D, eamdem haben- a 313. tia altitudinem Be basim, aequalia sunt, ablato communi A E D, aequalia remanent triangula AEC, FED: igitur torum A CE mixtilineum . toti EFD mixtilineo aequatur. addito igitur communi CGFE, exstirgent aequalia segmenta AC GR& C GFD. Cruod fuit demonstrandum.

Demonstratio.

. . s

SI enim AD non aequidistat BC , ponatur DB parallela BC , 3t lungantur

CS segmentum igitur EBC, b aequatur BCD segmento: sed ex suppositio. ne BCD segmento aequatur segmentum CBA: igitur & CBA segmento , ae- 'quale existit tegmentum C BE, pars toti, quod fieri nequie; sunt igitur aequidistat tes BC, AD. inod fuerat demonstrandum.

Ato hyperbolae segmento conuexo,ex dato in perimetro puncto rectam ducere,quae legmcutum auserat,dato aequale.

65쪽

Γ Atlim sit segmennim ABC , depuna victum D , oporteat ex D rectam duis aequalia segmenta convexa , a quouis dato puncto, ut hyperbolae perimetro. Sit enim datum punctum Α , 5e segmentum ΑΒ, cui aequalia segmenta exhibeti d beant. ponatur CAD contingens hyperbolam in A. Ec BE aequidistans ΑD. erit EA segmentum aequale , tegmento ΑΒ ι tum rectae AE , ponatur aequissistans BF. iunganturque EF, erit denuo EF segmentum segmento e AB, hoc est AE aequale. eodem modo ponendo BG parallelam ΑF, erit segmentum FG, aequale ΑΒ vel AE, vel EF. sic de reliquis in infinitum.

- PROPOSITIO CXVIII. Coniugatarum sectionum ABC, D EF; diametri confligatae sine

G B, GE, ad quas ex assumpto in GH asymptoto, puncto H, ordinatim ponantur H Α, H F, auferentes segmenta Α Β C, D E F. Dico illa esse inter se aequalia. Demonstratio.

ΙVnctκ CB, DE bitariam seeentur in K de L, per diametros GK, GL, tu ganturque B M C, D NE. Quoniam igitur A C, DF ordinatim ad coniugatas diametros positae. a*mptoto in eodem occurrunt puncto H, aequalia sunt d trian gula B Υ C, E Z Dr quia veris B C, D E bifariam secantur in L dc Κ , ductae G K, GL e diametri sunt coniugatae, &MN, LRiunctet atquidistati e asymptoto GI: proportionaliter igitur in M Ac N diuisae sunt diametri GK. GL i unde iunctis GC, GD, cum triangula GBC, GED inter se a qualia sint, triangula quoqueBM C. Diuiti sic

66쪽

hue, BNA aequalia sint. similitetsi M NE N iam si ur vi V . S . MM C, D N in X & T, ostentaturve prius, iunctas UG. sta item καΤGdiametros esse coniugatas ae prouti e triareula BPM, M Uci aequalia esse triangulis N R E, N QPi quae operatio dum sine termino continuari possit, Vt ablata triangula maxima est segmmii DNA, aequ sint ablati residuo segmenti Bis se areonstae segmenta 1 Na, e B, adeoque YBC, DE Z de eorum dupla ADEP segmenta interie aequari. Quod erat demonstrandiim.

aequalis AC, & DE parallela ΑΒι alteri ve-εδ asymptoto A M, aequi distent B EC occurrentes lectioni in G,& L 'Dico lectorem D GH P, sectori EIKL aequalem existere.

67쪽

Demonstratio.

Vni Eula, monstri D 4,ΜΕ aequales sint, item FM, . MI aequentur eo quod FI parallela sit asymptoto B A, 1 etiam DF, IE aequales erutici ductisque diametius AD, ΑΕ, muni issae, diametri coniuga tκγα iuncta Hac e parallela B A. formentur itaque m,rallelogramilia OQ. S V, pertineas O HKRH Q. N S asymptotis parallelas. liniliter ductis ΑΟ, Α χωλV, AS firmentur parallelogramnia ON, P QiRS. bi TV. Quincam AD, ΑΕ diametri sunt coniugatae, M--in H des , dproportionaliter diuist , ut AD ad AE, qte H D ad ΚΕ,& Uψparallelogrammum ad parallelogrammum S U , ut M B parallelograminum ad larallelogrammum M'C: aequalia tunt autem parallelogramma MB, MC iob AB, Ac lineas aequales qualia sunt igitur M parallelogramma V Q. S U. simi liter aequalia ostenduntur parallelogramma P in No. parallelogrammis A S , T Ut quae operatio cum in in-mnitum continuari possit, ut ablata e sectore FH GDquq maiora sunt dimidio sectotis GH F D aequalia sint.

e sectore I KL 'ut maiora vvoque sunt simidio sectoris IKLE, constati Herae uales. idem strandum. ' .

F o P ipsi AC aequi distantes: & FM quiciem occurrat o P, .LG productis in R. cumae igitur ram FM;:υς, quam FΚ, MN aequissi- 'stcnt, squalia sunt latera F Κ, Μ N: M F, N M ac 'prinnae eein 'M P in E , diuisa 1λ h actras, trut ii alia uti tA A, id est QR in C diuisa sit bifariam, tota parallelogramma π dem de causa cum aequales quoque sine hie res

68쪽

dira.ι

Iudem j,ositis, iungantur DE, FG.

Sint ABC, DE F segmerita quae uis aequalia, coniugatarum secti num A B C, D E F , de dividantur rectae AC, DF, bifariam , per

diametros lG, I Hi

Dico I B ad B G eamdem habere rationem, quam IE ad E H. Demonstrviis.

DVctis D Κ FL quae asymptoto Io aequidistent tungatur ΚLi segmentuni igitur KN L aequale e eth l . segmento D EF, id est per hypothesim segmento ABC. .luvnde L K diuisa iii M bifariam per diametrum IM,erunt GL MI diametri proportionalitet a sectione divisi. sed - α IH quoque in E ii diuisa, ut IM in N, proportionaliter igitur diuis ona diametri I G III. Qised fuit M- r

SInx AC, A E eoniugatarum sectionum quae cumque diametri, proportibnaliter diutis, de AC quidem in D & B,ut AC secta est in F & Gi

p φntur autem in utraque sectione, i perdiuisionum puncta, ordinatim lineς L K, I H, OP, MN: Di ' Dico sest mentum LCK. aequaris '

gmento O EP,de H CI aequari segmen i .

Ariari secentur in Y & x, per diametram AZ quae in Y 3e X diuisa erit, ut AE in F de G quia A TX, A UY triangula aequalia Hs t tria gulis AGM, A FO) id est ex hy i

69쪽

nassam commensurabiles ponuntur quantitates DE M. HI CR , eam la- 1 -- , arationem eontinent, a quam numerus ad numerum et sit igitur DBQ P ad si .. - quantitatem HIC Κ ut quatuor ad unum. Fiantque εt HI ad KC , sie BD aa . FG. Igitur segmentum HI CR seir tento . DAGF est aequiae. Facta itetvmr tion FG, ad LM , & LM ad No eadem, cum ratione DE ad Fo, eluae segmenta FG ML,LMON inretis aequalia ae singula aequalia segmento DEGLhoe est HI CK segmento, Porro eum superficies D EQ Ρ ponatur Uadruplatu . perficies HICK, erit quanti ras NOQR quarta pars quantitatis DE P. proindeque No QP segmento Hic est aequalet igitur est No ad PQ, ut linea HI ad KC. est autem ratio DE ad Pin cimposita ex multiplicatione rationis D E ad FG. hoc est HI ad KC, de ex ratione FG ad L M, hoe est HI ad KC.& ratione LM ad NO, hoe est HI ad KC,& tandem oratione Noad P in I tui ratia DE ad Pin, compositi est ex rationc DE ad FG, quadruplurata, sed etiam' quadrupla ponitur quantitas DEQP segmenti HIC R. igitur toties multiplicat rationem HI ad CR, rario DE U P continet superficies DE 4, superfietem HIC. Quod fuit demonstrandum.

superficies AB DC in conuite surabitu C DEF ι quantitas autem CDFE, quoties potest, sublata; superficie ABDC termitietur inlia

Dico rationem KLad CD, toties multiplicare rationem CD ad E R'quoties seperficies KL DC continet planum CDFE. - l

70쪽

quoties sublata a quantitate ABDC terminatui in ΚΙ igitur RLDC est figurae CD NE commensurabilis i quare per prata edente propostionem ratio ΚLad CD, toties multiplicat rationem C D ad E F, quoties superficies ΚLDC, continet quantitatem CDFE. Quod demonstrare oportuit. i

p ROPOSITIO CXXUII. Isdem positis, diuisa sit superficies D E , per parallelam asymptoto,bi

fariam in IM, & pars DI bifariam per rectam N O , de idem cout nuetur donec DN sit minor tuantitas superficie ABLΚ ; &auferatur QPLΚ planum aequale D N a quantitate ABLK. Dico iterum quantitatem QP DC toties continere quantitatem C D F E, quoties ratio Q P ad C D multiplicat rationem C D ad E F. Demonstratio. . Al l hinoniam D N superficies per

subdiuisione quantitatis CF. in aequales partes, orta est; superfi- Cies DN . commensurabitis est quantitati CF: Igitur 3t P Κ quantitas, aequalis DN, a commensiI-xat quantitatem CF. Sed FC ex

K L C D, adeoque 3c totum P Q C D: commensurabiles igitur sunt superficies CF, Ee OD: Quare toties multiplicat ratio lineae QP ad lineam CD, rationem CD ad EF, b Aties planum QS D C , continet planum C F. Quod erat demonstran

PROPOSITIO CXXVI ii SInt AB, BC asymptoti hy- A

perbolae D F H , dc ponatur quaecunque superficies D E G Fparallelis asymptoto AB comprehensa , in commensurabilis . quantitati FGCHi Dico toties posse sebdiuidi in parres aequales superficiem , ' FG CH, ut una aliquoties commensurans partem superficiei DEGF,relinquat in ea residuum, qualibet data quantitate minus. Demon Iio.

Olt quantitas data quantumuis exigua Κι oportet demonstrare, planum FG CH toties in aequales partes posse diuidi, ut illarum una commensurans parrem aliqua super