장음표시 사용
671쪽
Duplici rursus .ia propositionem hanc demonstrabimus, uti Be in quadratura seis
eunda fictum. Primum via Archimedea, perprop.a.de Conoid.Deinde perpr , positionem nostram sq. Lemmaticam huius lib. Prima igitur via sic den. onstro. Proportio quae est inter rationes corporum Gad T, & H ad V. eadem , est cum proportione quae est inter rationes corporum P ad L, a regiati Quad M. Item proportio quar est inter rationes corporum Had V, NI ad X, ea-- dem b est cum proportione quς est inter rationes corporu Q ad M & R ad N. Igitur . proportio quae est inter rationes corporum G ad T.& H ad V . est ad proportionem quae est inter rationes corporum P ad L, de ad M, ut proportio quae est inter rationes corporum H ad v, & I ad X, est ad proportionem quq est inter rationes co Porum Q ad M, S: R ad N, cum utrobique sit proportio aequalitatis ad proportione sequalitatis. igitur e permutando proportioquet est inter rationes corporum G ad T,M H ad V, est ad proportionem quet est inter rationes corporum H Q U , MI adve proportio quae est inter rationes corporum P ad L. dc md M, est ad proportione quae est inter rationes corporum QAd M, de Rad N. Simili modo proportio qus est inter rationes corborum H ad v, A: Iad X. Ostendetur esse ad proportionem qitae est inter rationes corporum I ad X,& K ad Y, ut proportio quς est inter rationes corporum uad Μ&R ad N, est ad proportionem qu est inter rationes corpora Rad μα S ad O. Atque hoc modo prima Archime et constructionis partem ab bluimus. Prsterea ostensum eli squod proportio, quae est inter rationes corporum G ad Τ, . . M H ad v, si ad proportionem, quae est inter rationes corporum P ad L, Sc Q ad ι- N, ut proportio, quae est inter rationes corporum G Z ad Τλ, delis, ad Uμ, est ais proportionem, quae est inter rationes corporum P κ ad L ω &o ad M/. Igiture permutando proportio, quae est inter rationes corporum G ad T, & H ad v, est ad em ..proportIonem, quae est inter rationes corporum GT ad T λ&Hi3 ad Uει, ut pro-ν -- portio qtiqest inter rationes corporum P ad L, & Q d M, est ad proportionem quae est inter rationes corporum Pn ad L , & Q p ad Mi. Eodem prorsus modo ostendetur quod proportio, quae est inter rationes corporum H ad V, I ad X, sit ad proportionem, quae est inter rationes corporum Η ε ait Vμ, NI γ ad Xν, ut proportIo, quae est inter rationes corporiam Q ad M, de Rad N, est ad proportionem quae est inter rationes corporum ad Me,&Risi ad Nir. Denique proportio, quae est in trationes corporum I ad X, de Rad costen-III 3 detur
672쪽
673쪽
detur esse ad proportionem quae est inter rationes eorporum I γ ad Xν, εe ad Y sui proportio, quς est inter rationes eorporum R ad N. & S ad O. est adproportionem, quae est inter rationesinorporum Rφad Nσ, dc Sω ad O Itaque quemadmodum Archimedes infert de quantitatibus eo modo dispositis, quo nos proportiones rationum dispositas ostendimus, ita & nos de proportionibus inferimus, nempe quod proportiones omnes simu sumptae , quae sunt inter rationes corporum G ad T, & H ad v, item rationes corporum H ad v, de I ad X, item Iad X, 3c K ad Y, sint ad proportiones omnes simul sumptas quae sunt inter rationes corporum P ad L, & Q ad M, item inter rationes corporum M, 3c RadN, item R ad N, & S ad O , ut proportiones omnes simul sumptae quae sunt inter rationes eorporum G Z ad T λ, de Hoad V item Hs ad V-Iγ ad X,,item 1γad Xν, de Kδ ad YE, sunt aci proportiones omnes simul sumptas, quae sunt interrationes corporum P κ ad L in ad Me, item ad bit, Se Risi ad Nae, item R G ad N σ, & S ω ad O θ. Et cum mediae proportiones sinigulorum aggregatorum
snt etiam inter se proportionales, si eae omissae intelligantur , manebit aggregatum duarum proportionum ut ad secundum aggregatum duarum proportionum,tertium staregatum duarum proportionum est ad aggregatum quartum duarum itidem proportionum. Sed propor iones singulo binς rationes constituunt, nempe proportionem inter rationes Gad T,&Had V, constituunt rationes corporum Gad T, MII ad V,& ita de reliquis: itaque quod de proportionibus intulimus, illud ipsum de rationibus inferre licebit, scilicet rationes omnes G ad T, H ad V, I ad X K ad Y, esse ad rationes omnes corporum P ad L, Q ad M, R ad N. Sad O, ut rationes corporusi Z ad T λ,H β ad v μ.I γ ad Xν, Κ δ ad Y ξ, sunt ad omnes rationes corporu Pκ ad L , ,Qφ ad M R isi ad N σ, S ω ad Oθ.Sed omnes rationes corporu G ad T, H ad U. I ad X, Κ ad Y, ita sunt constitutae vi corpora G, H, I, K sint termini antecedentes, corpora vero T, V, X, Υ sint termini consequentes, item rationes Pad L. Q id M. R ad N, Sad O, ita sunt constitutae vi corpora P, R. S snt antecedentes teriamini, corpora vero L, M, N. O termini consequentes. Idem autem in aliis ratio nibus obseruatum cit ut semper corpora G Z, His, I γε, Kδ antecedentium vices, corpora autem T λ, V-X ν, Y ξ conseqtientium locum obtineant, uti & in ultimo aggregato rationum obseruatum est, ut corpora P κ. υ, R i , S ω antecedentes sint termini, corpora autem L , Me,NG Oθ sint termini consequentes. Itaque ratio aggregati corporum G, H, I, K, ad aggregatum corporum T, V, X, Y, est ad ratiomem aggregati corporum P, Q, R, S ad aggregata corpora L,M,N, O, ut ratio agis gregatorii in eorporum GY, H is, I γ, K ad aggregata corpora Tλ. v μ, Xν, Y ξ est ad rationem aggregarorum corporum Pic,Qj, R., Sω, ad aggregata corpora L π,
675쪽
o Atio eorporis G ad Τ, eadem aest eum ratione corporis P ad L. item ratio eor- -- A. poris II ad V, eadem est cum ratione corporis O ad M : igitur permutando :ratio corporum G ad Τ, est ad rationem corporum H ad V, ut est ratio corporum P ad L, ad rationem corporum Q ad M. eodem modo ostendetur quod ratio eorporum M ad v, sitad rationem corporum I ad X, uti ratio corporum Q ad Μ, est ad rationem corporum R ad N. denique ratio corporum I ad X, esse ostendetur ad rationem corporum K ad K uti ratio corporum R ad N, est ad rationem eorporum S ad O. Atque sic primam constructionis Archimedeae partem ab luimus. Iam vero cum ostensum sit e quod ratio corporis G Zad T λ eadem sit eum ratio. ne corporum P κ ad L , erat autem ratio corporum Gad Τ, eadem cum rationec eporum P ad L. ergo ii permutando iterum erit ratio corporum Gad T, ad rationem eqrporum G Z ad T λ , ut ratio eorporum P ad L, est ad rationem eorporum Pn ad Letin Eodem modo demonstrabitur quod ratio corporum Had U, si ad rationem corporum ad U μ, ut ratio corporum Q ad M. est ad rationem corporum Q o ad Me; item quod ratio corporum I a s X, sit ad rationem corporum I γαd X, ut ratio corporum R ad N, est ad rationem corporum R. ad No. Denique inferetur eodem discursu quod ratici corporum K ad Y, sit ad rationem eorporum ad Yξ. ut ratio corporum S ad O, est ad rationem corporum S, ad Oθ. Igitur cum rationes hae omnes eo modo dispositae sint uti quantitates apud Arelii meriem , uti ipse recte infert omnes quantitates aggregati primi ad omnes secundiem, ut omnes terti, aggregati sunt ad omnes quarti; ita 8c nos inferimus omnes rationes corporis Gad T, H ad V, Iad X, Κ ad Y, quae primum aggregatum rationum constituunt esse ad omnes rationes corpὀrum P ad L, Q ad M. Rad N, S ad O quae secundum a regatum faciunt,ut omnes rationes corporum G Z ad Tλ, H is ad Vμ, I γ ad N ν, Κ ad Yξ, quae tertium aggregatum faciunt ad eas omnes quae quartum, nempe ad omnes rationes Pic ad L π, Q ad Me. Rii ad Nσ,Sω ad OLItaque cum rursiis omnes rationes Gad Τ, H ad V, Iad X, Κ ad Y, ita constitutae sint ut corpora G, H, I, K sint termini antecedentes , corpora vero T, V, X, Y sine termini consequentes; item rationes P ad L,Qad M, R ad N, S ad O, ita sine constitutae vi corpora P, Q, R, S sint antecedentes termini, corpora vero L. M. O sint termini consequentes, de ita de reliquis, ergo ratio aggregati antecedentium terminorun .lioc est corporum G, H, I, K, ad aggregatum terminorum consequentium , hoe est corporum Τ, v. X, Υ, est ad rationem aggregati corporum P. Q, R,L, ad aggregatum corporum L, M, N, O . ut ratio aggregati corporum G Z, H S, I γ, Ka ad aggregatum corporum Τλ,Vμ, Xν,Υξ, est ast rationem aggregati cor .porum P κ, Up, R., Sω, ad aggregatum corporum L π,Mi. Nσ, OL Quod erat demonstrandum.
677쪽
Α Ddemiis & alteram ex Lemmatica propositione s .huius qua similiter inferemus eandem concili sionem quam priore discursu intulimus. Proportio quae est inter rationes corporum G ad T , & P ad L, eadem est cum proportione quae est inter rationes corporum H ad U,& Q ad M, sunt enim a eaedem a Pre si rationes. Praeterea proportio quae est inter rationes corporum Gad Τ, dc P ad L, eadem est cum proportione quae est inter rationes eorporum I ad X, dc Rad N; ulterius proportio quae est inter rationes corporum Gad 1', de Pad L, eadem est cum proportione quae est inter rationes corporum Κ ad Y, de S ad Or atque huc usque proportio quae est inter rationes corporum Gad T,Sc Pad L, comparata est cum Omnibus alijs cum quibus conferri potest, ita ut semper antecedentis rationem obtineat. Vt igitur discursum prosequamur, assumemus proximὰ sequentes terminos, qui vicem antecedentis obtineant. Proportio itaque quae est inter rationes corpo- tum H ad V, & Q ad M, eadem est cum proportiones quae est inter rationes corporum s ad X, dc R ad N, item eadem cum proportione quae est inter rationes K ad Y, dc S ad O, denique eadem cum proportione quae est inter rationes G ad T, & P ad L, per eaquetant Ediximus, atque ita contulimus proportionemquς est inter rationes corporum H ad V, & Q ad M, cum reliquis proportionibus, dando illi semper locum antecedentis. Restat igitur ut idipsum praestemus de alijs quae re
Iterum igitur proportio, quae est inter rationes corporum I ad X, de Rad N. eadem est cum proportione, quae est inter rationes corporum K ad Y, de S ad O: item eadem cum proportione, quae est inter rationes corporum G ad T, de P ad L, deni. que eadem cum proportione quae est inter rationes corporum H ad V, Sc Q ad M. Tandem villanc partem concludamus, iterum proportio quae est inter rationes eorporum Κ ad Y, de S ad D, eadem est cum proportione quae est inter rationes corporum G ad T, de Pad L e similiter eadem est cum proportione quae est inter rationes corporum H ad V, Sc Q. ad M: tandem eadem cum proportione quae est inter rationes corporum I ad X, &. R ad N. His ita conclusis, infero ex vi Lemmaticae propositionis, quod proportio quae est Inter rationes aggregatorum omnium corporum G, H, I, Κ, ad T,U, X, Y, de ratio-''nes aggregatorum omnium P, Q, R, S, ad L, M, N, O eadem sic cum proportione
quae est inter rationes partium iam enumeratarum , quae antecedentium vices obtinebant, de rationes partium quς consequentium loca lupHebat
Qui vero per eundem discursum circa quatuor alia aggregata quorum primum complectitur corpora G Z. Hβ, I γ, Kλsecundulfi corpora Τ λ,via,Xν,Yξ, tertium Pae,. ., R d HS ω; quartum denique corpora L ., M t, Nσ,Oθ, eodem modo argu mentari possumus icebit etiam an serre quod proportio qciet est inter rationes aggre-
679쪽
sati primi ad secundum amegatum , ad rationes aggregati tertij ad aggregatum quartum, si teadem cum proportione, 'uae est inter rationes partium aggregatorum
quae antecedentes constituebant,dc rationes partium ag regatorum ouo consecuen
tium vices supplebant. Quia vero de monil ratum est quod proportio quae est inter rationes corporiam Gad T,M H ad U, ad proportionem quae est inter rationes corporum P ad L, M Q ad M, sit ut proportio, quae est inter rationes corporum G Z ad T λ, α Η 3 ad , ad proportionemquς est inter rationes corporum, P κ ad Lis ,& ias ad Me, atque ita. consequenter , de reliquis, de hoc quidem in omni sithdiuisione diametrorum parabolae; infero per Corr.Prop. Lemmaticae sit pra citatae, quod proportio quae est inter rationem aggregati corporum G, H, I, Κ, adaggregatum corporum T, v, X, Y, Minter rationem aggregati corporum P, Q, R, S, ad aggregatum corporum L , Μ, Ν, o, eadem sit cum proportione quae est inter rationemaggregati corporum G Z,Ηβ, 1 DKδ, ad aggregatum corporum T λ, VmXν,Yξ, de inter rationem aggregati corporum P κ , , R., S M, ad aggregatum Orporum L π, Μ t, N σ, O Quod fuit demonstrandum.
pROPOSITIO XC. FAdem manente figura uniuersali propostionis 8 . huius cum partu
Dico quod ratio corporis orti ex figura parabolica Α Ε istin se ducta, ad eorpus ortu ex figura parabolica C F in se duista sit ad rationem eo potis orti ex figura parabolica C F u r in se ducta, ad corpus quod exsurgit ex figura parabolica A Erζin seducta, ut ratio corporis ex ductu figurae Α Eal in se subalternὸ,ad corpus ortum ex ductu figurae CF ηα in se substerne, est ad rationem corporis orti ex ductu figurae CF. r in se subati terne positae, ad corpus ortum ex ductu figurae ΛΕ.Pζ in se subalte
Raecedenti demonstratione ostensiim est quod ratio omnium parallelepipedorum G, H, I, Κ, ad parallelepipeda Τ, V,X, Υ, sit ad rationem corporum P, Q. R, S, ad corpora L,M,N, O, ut ratio eorporum G Z, Hs,lγ,Κδ ad corpora Τ λ, πν, Ys est ad rationem corporum P κ, QS,Rψ, SM, ad corpora L .,Μt,Nσ,OLEt hoc quidem inquauis inscriptione figurarum per sil bdiuisionem linearum ΑΕ. CF intellisendum est ex vi discursiis in demonstratione positi. Cum ergo continuatis sithdiuisionibus, auferatur semper plus dimidio residui eorporum illorum,quibus parallelepipeda inscribuntun, ut dem'nstratum est d in libro deductibus: ac propterea omnia simul sumpta exhauriant corpora quibus inscribuntur,manifestum est rationem plani parabolicia Ea ζ in se ducit, ad planum parabolicum CF a in seductum, esse ad rationem plani parabolici CFor in se ducti, ad corpus ex plano parabolico A E r in se ducto, ut ratio eorporis orti ex ductu plani A Ea ζ in se subal-etern E, ad corpus ex ductu plani CF ηα in se iubalterae ducit, est astrationem plani
CFur in seducti subaltern)ad planum A EP ζ in se sebalternε ductum , cum haec ipsa corpora sint quibus parallelepipeda suerant inscripta.
' P Ropos ITIO XCI. PArabola: A E B axis sit B C, diametri vero E D, F G, quas secet linea
B Α ducta ex vertice B. Dieo segmentum B EA ductum in se secundum lineas ED, FG esse ungulam parabolicam quae ad corpus rectilineum ei aequale reducta sit.
680쪽
Vcta enim AC ordinatim ad axem: fiant lineis E D , F G aequales lineae OM,NL sc ut sint ad angulos rectos ad AC, erit itaque A NOC . parabola,&quidem aequalis parabolet AEB, Cum Omnia quadrata OM,NL aequalia sint quain dratis E D, FG.&c. Igitur parabola A E Bducta in se per diametros ED, FG aequalis est parabol; A O C, ductet in se per diametros OM,NL. Intelligatur igitur diameter EDM bifariam diuidere lineas A B,Α C: productaque D E ad tangentem BQ, eritv ED aeqitalis Einigitur si ex Educatur ordinatim EΚ ad axem BC, erit BK aequalis QE, hoc est ED, hoc est OM:sed de linea ΕΚ aequalis est MC, vel MA, igitur ΕΒΚ parabola eadem es cum parabola AOCi Ied parabola E BR in seducta, ς reducta est ad corpus rectilineum ei aequale, igitur & corpus ortum ex superficie AEB ducta in diametros E D.FG reductum est ad corpus rectilineum ei aequale.Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XCII. Ylindri paraboli et AB C D , basi inscribatur maximum triangulum
HB D cuius diameter B G, ad quam ordinatim ponantur F E. Fiant vero rectis F E aequales FH in cylindri superficie&iungantur E H. Dico puncta B H D eL
se in eodem ntano cum recta inoniam EF ordinatam positae sunt ad B G, igitur inter se parallelς sunt: ulterius quoniam F H in superficie eylindri ductet fiant, igitur et i
i inter se aequidistant.ergo cum EF, FH ςquales sint inter se, triangula EFII similia sunt. unde vi EF ad E P, ita est EHad AH. quare anguli FUE inter se aequales sunt: unde lineς EU, sunt in uno eodeῶ-que plano cum recta B E D.ac' proinde de puncta B, H, H D. - Quod erat propositum. HRO-