장음표시 사용
261쪽
De geometria principii , ' de formulis quibusdam integrandis.
Ic ea colligam, quae Franciscus Maria a notius, ut a rii sermones partim cum Rondello, partim cum Castel-vetrio de analys inciderunt, saepius in Academia disputavit, in quibus contendebat, principia illa, quae ab recentioribus geometris ponuntur, illudque praesertim , quod primum videtur quantitatulam infinite parvam pro nihilo habendam esses vel esse etiam a veteribus posita, quamvis id veteres non adverterent, vel ab iis, quae a veteribus posita sunt, neces sario proficisci eamque inter veteres, recentiores differentiam unam esse, quod cum eadem principia posuerint omnes, sunt quaedam tamen , quae illi tacite, Mnescientes posuerunt, hi vero scienter, palam. Sicque analyseos principia, atque adeo universa geometriae originem suo quodam modo, non ut plerique solent, explicabat. Haec primum exsequar, nam quamvis ab initiis iam inde ultimis ducta in quaestiones incidunt, quae dudum scholasticorum ingenia Xercent, quibusque solet Academia iure ac merito abstinere, quia tamen pauca sunt, ad geometriam fundandam spe stant, magno animi ardore in Academia sunt 1- sputata, idcirco in hac historia non videntur praetermittenda Cum haec X posuero, ad id veniam, quod habet quamdam analyseos amplificationem , estque artificium, de quo Gabriel Man-fredius Academiam monuit, quo possent formulae quaedam ad integrationem perduci. Ut autem omnia recto Ordine exsequar, rem totam ab initio repetens exordiar ad hunc modum Omne, quod extensum est, partibus constat, haeque partes constant aliis partibus, atque hae aliis in infinitum . Id quidem si cum iis sermo esset, qui veterem tuentur geometriam , nulla ratione probare opus esset namque illi vel professionem abiiciant suam necesse est, vel in eo, quod est extensum, alias atque alias, atque alias partes in infinitum ponant. Sed quoniam haec philosophis cunctis proponimus, in quibus erunt, qui velint hoc etiam probari, argumentum vetus afferam . Si quae partes elsent in X-Hh tenso
262쪽
et a COMMENTARII. tensione, quae nullis aliis constarent partibus, oporteret sane,
ut se mutuo contingentes se se plane, atque adaequate, non ex parte, contingerent; quo possit earum sequeretur compenetratio atqui inter partes extensionis compenetratio nuda esse potest si enim simul compenetrarentur, neque extensionem Ecerent, neque omnino extensionis, quatenus extensio est, partes
essent igitur partes ullae in extensione esse nequeunt, quae partibus aliis non constent. Quod qui concedunt concedunt autem praeter Zenonicos philosophi omnino omnes j iidem quoque partes alias, atque alias sine fine in extensione ponant necessi est . At enim negant multi has partes posse dividi, atque a se se mutuo distrahi sine fine. Si ita, ut volunt. Verum ut divid Endi certus sit finis, non continuo tamen certus finis est partium ; nam quamvis hae infinitae ponantur, quid impedit, quo minus eas, si ita volumus, Cres postulat, eiusmodi esse fingamus, ut non omnes
possint a se mutuo dividi sic ut finis dividendi sit, finis partium non sit Sed erit nobis infra de horum opinione iterum dicendi
locus . Illud in praesens ratum, Xumque maneat, in eo, quod est extensum , partes esse alias, atque alias in infinitum , neque ex ineXtensis extensum ullo modo componi posse. Quod cum ita sit, ut certe est, quemadmodum X tensiones, vel, quod idem est, res X tensas metiemur Videmur enim primo adspectu propter illam partium infinitatem non posse; namque Ut metiamur, oportet sane , mensuram nobis esse aliquam Messe tum in mensura, quam adhibemus, tum in eo, quod metiri volumus, initi una certum constitutum, finem . Mod autem initium , aut finis constitui potest in eo , in quo quidquid accipiatur, id aliis semper, atque aliis partibus constat, quarum nulla neque prima dici potest, neque ultima
Et sane cum infinitis partibus extensio constet, neque mensuram ullam certam proponere, neque omnino ad metiendum accedere possent homines , nisi praecisione uterentur quadam . Quae est porro praecisio isthaec Θ Nempe quasdam in extensione accipiunt portiunculas, praescindentes ab omni parte harum portiuncularum , eas perinde habent, ac si re ipsa carerent partibus, essentque ne X tensae, atque incompositae . Potest enim unaquaeque harum portiuncularum , si sic quidem accipiatur, vel tamquam initium constitui in extensione , vel tamquam finis . Sic faciunt homines, ut praescindendo certum infinitati modum ponant 1dque nisi facerent, omnis metiendi ratio sublata elset.
Tali modo homines metiendi cupidos adegit res ipsa, necessitas γ
263쪽
COMMENTARII. 243 stas, ut puncta ponerent, clineas, superficies. Nam puncta
ponunt, cum praescindunt ab omni parte lineas, cum a latitudine,, profunditate superficies, cum a profunditate tantum
Atque ut punctis lineas terminant, sic superficies lineis, corpora superficiebus. Neque id sit idem iterum dicam arbitrium fecit, sed necessitas quod res ipsa declarat, is is declararet, fieret tamen ex hominum consensione probabile; si enim arbitrium in hoc valuisset, non necessitas, dissicile omnes, qui Cumque metiendi praecepta tradiderunt, in ponendis punctis, Gineis, superficiebus consensissent, sed alii principia alia secutiati a metiendi vias quae esse aliae possent iniissent. Quae porro quanta esse debeat illa portiuncula, quae quasi in extensa, atque incomposta per praecisionem quamdam assumitur, quaeques assumta punctum dicitur , infra explicabimus. Hactenus exposuimus, quemadmodum in hanc metiendi artem , quae geometria dicitur,o puncta, lineae, .superficies invecta sint; nunc alia eiusdem artis decreta persequamur , quorum duo illa prima sunt infinita puncta in extensione qualibet in veniri posse neque ramen X tensionem punctis componi quae quo modo accipienda sint, paullo diligentius exponendum est. Punctum , uti diximus, est portio quaedam X tensionis, quae X- tensa quidem est,is composita, sed perinde accipitur, quasi in- Composita esset, atque in extensa. Cum ergo nulla sit pars in X- tensiones, quin hoc modo, si opus sit, possit accipi, sintque in extensione partes aliae, atque aliae sine fine, hinc sane sequitur, ut si opus sit, alia semper, atque alia puncta in extensione sine fine possint inveniri atque hinc illud invaluit puncta in extensione qualibet esse infinita: non quod infinitae sint in extensione portiunculae, quae Omni parte careant, ut quidam sibi fingunt, sed quia infinitae sunt in extensione portiunculi, quae quamvis partes habeant, sic tamen accipi a nobis possunt, ut ab omni illarum parte praescindatur
Eamque ob caussam numquam dixerim extensonem punctis componi. Etenim part lautae illae, quas dixi, si tamquam extensae considerentur, ex eis quidem Ytenso componitur, sed eae hoc modo consideratae non sunt unci ; sin autem ut ineX tensae, atque incompositae sumuntur, sunt quidem puncta, sed quis eis hoc modo sumtis extensionem componi dixerito Nam qui eas ut in extensas accipit, tales accipit, quales si elsent, non possent utique extensionem componere. Praeclare ergo veteres, qui puncta non linearum partes esse dixerunt, sed terminos Partium est enim Hi 4 compΟ-
264쪽
componere , non terminorum, extensio requiritur in partibus, in terminis non requiritur. Hinc porro alia secuntur veteris geometriae quasi παραδόξα, ut illus quotlibet puncta , si congrediantur simul atque uniantur Unum, atque unicum punctum esse. Etenim cum puncta sint portiones, quae perinde habentur, quasi essent incompositae, Win- extensae, convenit etiam, si multae illarum simul uniantur , eas perinde habere, ac si compenetrarentur, atque unum, idem punctum essent. Id enim fert ipsa connegi rat1o, ut si quid posuimus, id etiam ponamus, quod e illo, quod posuimus, necessario consequitur.
Eademque ratione fit, ut nequeat unum punctum fingi alteri puncto contiguum ; nam simul ut contiguum fingitur , consequens est, ut etiam cum illo compenetratum fingatur, idest idem atque illud. Et vero hinc accidit, ut si quid forte de puncto aliquo statutum fuerit, nemini Umquam geometrae in mentem Venerit quaerere, quid de puncto contiguo esset statuendum Similiterque ostenditur nihilo maiorem lineam fieri ex pune torum quotlibet additiones cum enim ad extremum lineae punctum aliud additur, putandum est haec duo simul compenetrari. Pari autem ratione ostendemus, superficiem non componi lineis, neque corpus superficiebus atque ut plures lineae iugi sepositae sunt una linea, si plures superficies alias aliis superstratas unam esse superficiem, similiter nec superficiem meae additione maiorem fieri, neque corpus superficiei. Haec sane in primo geometriae veteris quasi aditu apparent ;quod si hinc profecti, atque alia colligentes ex aliis h ea, quae ultra sunt, processerimus, in ipsam statim geometriam infinite si-malem incurremus. Etenim cum infinita puncta in extensione inveniantur, quemadmodum supra monui, oportet profecto, ut illae portiunculae, quae tamquam ineX tensae sumuntur, quaeque ob hanc praecisionem puncti naturam induunt, multitudine pariter infinitae sint, .st propterea illarum unaquaeque infinit eum arquippe illa pars infinite sima dicitur, quae est ex illis, quarum in- sinita est in extensione multitudo Portiones ergo, quas geometrae pro punctis sumunt, etsi id non omnes satis Viderunt, necessari portiones sunt extensae in se, quamvis pro ne Stensis sumantur, eaeque infinite parvae infinite parvae , inquam , si cum illis quantitatibus comparentur quarum portiones sunt, quarum puncta dicuntur. Et quoniana quae, quanta esse debeat unaquaeque e his portionibus, quae
265쪽
ut punista sumuntur, nulla alia ratione constituitur, nisi dicen do, eam esse debere infinite parvam idcirco portio quaevis infini
te parva e communi geometrarum usu, tamquam punctum necessario habenda est; si utique cum quantitatibus illis comparetur respectu quarum infinite parva est, quae quantitates assignabiles dici solent; nam si comparetur cum aliis, neque pro puncto haberi potest, neque omnino infinite parva est. Ut vero illa, quae extensionem habent infinite parvam , perinde sumuntur, quas nullam haberent X tensionem , puncta sunt, sic pariter illa, quae profunditatem habent infinite parvam , perinde sumuntur, ac si nudam profunditatem haberent, Milla, quibus non solum profunditas, sed etiam latitudo in sinite parva est, perinde accipiuntur, ac si profunditatem, latitudinem haberent nullam . Atque hae quidem lineae sunt, illae superficies. Quae hactenus dixi, eo spectant, ut portiones in sinite parvae, quamvis ipsae in se sint extensae, tanaen si cum quantitatibus assignabilibus, respectu quarum infinite parvae sunt, Comparentur plane pro inextensis, sive pro punctis habendae sint. Quod si ita est, quid est, quaeso, cur nequeat geometra ibi quael ionis ratio id ferat ab hacce comparatione, atque ab assignabilibus quantitatibus mentem paullis per avocare portiones infinite parvas Considerare primum ut extensas, deinde ad comparationem rediens easdem quasi inextensas haberes Quid est enim in hoc aut absurdum, aut minus veritati consentaneum
Verbi gratia, si ponatur haec quaestio dato puncto in curva quapiam linea tangentem ei ducere. Non est dubium , qui punctum, quod datur, portiuncula quaedam sit, quae si cum mensuris communibus, Massignabilibus comparetur, necessario habenda sit pro in-e X tensa . Sed tamen quid impedit, quo minus geometra animum ab hac comparatione primum avocet, eamdem portiunculam, ut extensam ponat, interim tangentem inveniat; tum ad comparationem rediens concedat utique portiunculam , quam dixi, ine&tensam esse, sed contendat nihilominus, tangentem, quam ipse invenit, esse illam ipsam, quae dato puncto convenit. Etenim sue portio illa, quae puncti loco est, consideretur, ut X- tensa in se, sive e comparatione communium mensurarum habeatur ut ineX tensa , id ut1que ad constituendam tangentem nihil refert tangens enim ex diversis hisce considerationibus non variat. Hoc autem facere in Quaestionibus similibus id ipsum est, quod geometria in sinites malis appellatur. Iam vero quis negabit lineam ex portionis infinite parvae addi-
266쪽
246 COMMENTARII. tione nihilo maiorem fieri, si id modo accipiatur, ut oportet 'Qui enim portionem addit infinite parvam, id addit, quod quamvis ipsum in se si extensum , ex communium tamen mensurarum comparatione pro in extenso habendum est . Quare cum in hac a cultate, quae geometria dicitur, omnia demum ad metiendum, idest ad comparationem communium, assignabilium mensurarum referantur, consequens est , ut si quae linea portionis infinite parvae accessione aucta sit, perinde haberi debeat , ut si nihilo esset aucta. An non veteres concedebant lineam ex additione puncti ni
hilo maiorem fieri P Atqui portio, quae habetur ut ine X tensa, id ipsum est , quod illi punctum appellarunt. Haec qui intelligent, nihil eos deterrebit multitudo aliorum
των παραδόξων. Omnia enim eo recidunt, ut portiuncula infinite parva, quemadmodum supra diximus, extensa in se sit, si ad mensuras referatur, respectu quarum infinite parva est necessario sit habenda pro nihilo, sive pro in extensa liceatque
propterea geometris eamdem portiunculam modo, ut est in se, considerare, atque extensam ponere, modo ad communes mensuras exigere, atque habere pro nihilo. Quod autem in extensione valet, id etiam in quantitatibus ceteris valere debet est enim in omnibus ratio eadem nam tem pus quodque minoribus aliis infinitis temporibus constat, vis quaeque infinitis aliis minoribus viribus,, motus quisque quamlibet re Vis infinitis aliis brevioribus. Ut vero tempus quodque infinite simum in communi metiendi ratione pro nullo tempore habere oportet, sic vim pariter infinites mam pro nulla vi, totum quemque infinite simum pro nusso motu . Haec mechanicam scientiam maiorem in modum illustrarunt. Sed redeo ad extensionem . Profecto sicut itinea ' superficies&corpus, si infinite parva sunt, pro nihilo habentur, sic angulus infinite parvus in communi metiendi ratione nullus angulus est, di item curvitas infinite parva est nulla cur vitam. Et quando ad linearum curvitatem venimus, non est praetermittendum theo rem nobilissimum , cuius ratio hoc modo concludi potest Cuiuslibet curvae arcus tanto minorem habet curvitatem , vetanto minus distat a rectitUdine, quanto minor estu quapropter si infinite parvus fuerit, curvitatem habebit infinite parvam, id est in communi quidem metiendi ratione nullam , Omninoque pro linea quadam recta habendus erit e quo illud efficitur, curvam quamque lineam esse polygonum infinitis lineolis, eisque rectis, infinite parvis constans. Quod theorema qui negant, ii videlicet
267쪽
COMMENTARII. a Tlicet valde errant, nam praecisionem ponentes, quid ex ea sequatur non vident. Quam praecisionem ' illam scilicet, quam saepe
iam dixi, quamque nemo in geometriae initi potest non ponere, ut aliqua extensionis portiuncula accipiatur , atque ab eius praescindatur partibus, eaque tamquam ne X tensa habeatur. Hoc
enim qui ponunt, haec alia etiam , quae supra dixi, ponant neces se est. Neque illud, unde omnis hic sermo profestus est, id est ex tensum quodlibet infinitis constare partibus, a quopiam negari
volo , nam quamvis multi adversari nobis se putent, propterea quod materiam , sive extensionem infinite dividi pol se negant ii tamen neque adversantur nobis quidquam duas quae itiones confundunt longe diversas. Aliud est enim quaerere an extensio infinitis partibus componatur, aliud quaerere an partes hae Omnes a se se mutuo dividi, distrahi possint. Plerique autem , hoc alterum negantes, primum illud non negant. Nam si Zenonicos eXceperis, quorum est iamdudum profligata sententia, ceteri paene omnes ultimas quidem partes ponunt, sed eas partes intelligunt , quae sint ultimae in dividendo, non in componendo nam quamvis eas ulterius dividi posse negent, extensas tamen esse con
cedunt, ideoque aliis, aliisque componi partibus volunt, hasque partes alias esse egira alias; nam nisi essent aliae extra alias, e
Hique profecto divisibilitatem infinitarum partium tollunt, partes ipsas infinitas non ossunt; atque hinc illa atomorum infinita durities profecta est hinc illa partium in formales, virtualesque distinctio hinc alia demum scholasticorum portenta , quae hoc loco persequi operae pretium non videtur. Etenim si infinitas partes, qualescumque eae sint, dummodo aliae extra alias sint, ne X tensione esse concedunt, quamvis eas infinite dividi posse negent sibi quidem minus consulunt, sed nobis dant, quod volumus . Sibi autem minus consulunt, propterea quod in easdem difficultates incidunt, ut si dicerent non solum partes in extensione infinitas esse, quod non negant, sed etiam infinite dividi posse, quod pernegant. Etenim ab ipsis quoque illa quaeri possunt,
cur omnes lineae aequales non sint, cum Omnes infinitis partihus confitent; quo modo motus esse ullus Ostit, cum inter infinitas partes percurrendas nulla prima statui possit, quae percurratur; quo modo ala muscae tot partes Contineat, quot satis essent si separari quidem possent ad universum terrarum orben contegendum . Quae omnia iactari in scholis solent contra eos,
268쪽
248 COMMENTARII rqui divisibilitatem infinitarum partium ponunt. Nobis autem hac diυisibilitate minime opus est nam si partes infinitae sunt, dummodo aliae extra alias sint, etiamsi dividi in infinitum non possint, satis est adhuc enim manent ea , quae diximus. Quod si qui putant, quaestionem hanc totam a geometria ad physicam non recte transferri, propterea quod haec corpus physicum contemplatur, illa mathematicum hi profecto distinctionem adhibent ad rem ipsam, atque ad sententiam nostram minime accommodatam. Nam corpus mathematicum corpus physicum nihil differunt nis ex hominum considerationes; si enim in
corpore extensionem tantum consideraveris, id erit corpus mathematicum: si etiam gravitatem , ve duritiem, sive motum, sive alia id genus, erit corpus physicum ut videatur non diversa esse res, sed in eadem re diversa esse consideratio. Neque sanes, si corporum physicorum figurae ita, ut Vere sunt, geometris proponerentur, dubitandum ullo modo est, quin earum proprietates iisdem principiis colligi possent, quibus proprietates colliguntur figurarum geometricarum . Nisi forte putamus figuras physicas non esse alias aliarum duplas, aut triplas, aut quadruplas, nec alias habere quaslibet proportiones , quemadmodum figurae geometricae habent easque proportiones non sic inter se aptas, conne Sasque esse, ut si una aliqua illarum cognoscatur, ceterae quoque cognosci possint, ut in figuris accidit geometricis. At numquam certo scire possumus figuram physicam , quam nobis ob oculos ponimus, esse Vel sphaericam, vel cubicam, vel talem aliam . Ita sane. Verum in hoc non physicae extensionis natura , quod geometriae minus respondeat, sed sensuum hebet uado est accusanda . Nam cum in qualibet figura tum physica , tum geometrica primam quamdam proprietatem cognoscere Oporteat, ut ea ad certum genUs referatur, a proprietates ceterae
codigantur nuda res alia de hac prima proprietate docere nos potest in figuris physicis, praeter sensum , incertum monitorem fit ergo hebetudine sensuum , ut cum figura quaevis physica ex eis utique sit, quas geometrae contemplantur , incertum sit tamen,
qualis ea sit. Atqui id ipsum Min elasticitate accidit, Miniuriatie , in qualitatibus ceteris, quas numquam usque adeo accurate metiri possumus, ut nihil plane aberremus. Hactenus universae geometriae originem, irincipia exposui, quam disciplinam veteres ne calculo, non sine summo ingenio tractaverunt . artestis calculum addidit: praeclara sane acces
soci philosophorum principe digna. Post alii etiam differen
269쪽
COMMENTARII. tias infinitesma in eam invexerunt, novosque adiunxerunt calculos, quos Cartesius ipse ignoraverat. Neque hi tamen diver sis, aut contraria principia secuti sunt, sed, quantum ego iudico, omnes eadem . Haec fere a notius ad analysim illis praecipue com mendandam proposuit, qui haec studia nondum gustaverint ve nio nunc ad ea, quae Gabriel Manhedius ad eamdem facultatem amplificandam invenit.
Nemo illorum est, qui aliquid operae in hoc studio posuerunt, quin plane intelligat, quam dissicile saepe sit formulas quasdam
integrare ; nam bariabilibus multis interdum involutae sunt, quae extricari, separari vix possunt, radicalibus fgnis implicantur, quae semper incommodum afferunt, fractiones plurimae Occurrunt, quas discerpens in multas, multisque modis di sponens, versans, vix eo tandem deduXeris , Ut cognoscas, an Iogarithmica ad integrandum requiratur, an cyclois aliam etiam superiorem, difficiliorenaque curvam requiri in multis est creditum Inter ceteras vero formulas illa, quae maxime simplex videba-
tur, , in qua numeri ... , ponuntur integri, posi
tivi, non minimus analystarum fuit labor , qui multa quidem aratificia ad eam integrandam necessaria sibi paraverant, sed unum adhuc desiderabatur. Idque erat, ut modus aliquis ostenderetur dissolvendi binomium illud, dia in quantitates eas, in quibus nullum haberet exponentem alium nisci, vel et . Hunc modum si qui tradidisset, se statim propositam formulam integraturos L se recipiebant, neque ad id aliam curvam adhibituros, nisi Dcloidem is logarithmicam Huic analystarum desiderio Gabriel Man redius deesse noluit; ac cum binomium, quod dixi, binomia omnino quatuor comprehendatis si a' post v numero impari Witema a post n numero pari modum invenit, quemadmodum unumquodque horum distat vi posset. Est autem expeditissimum de omnibus cognoscere, ubi de primo cognitum fueriti ad id enim dissolvendum haec praestanda
sunt. Primum dividere ipsum oportet per x se a tum quotus in trinomia dissolvendus, quae eam habeant formam , Ut primus cuiusque terminus sit xx, ultimus a, alter vero sitis ducta in constantem quamdam , quae in variis casibus varia sit oportet huc au-I ' tem
270쪽
tem man redianum artificium omne spectat, ut huiusmodi constans possit semper inveniri. Quod artificium etiam ad secundum binomii genus , idest posito, impari, traduci potest, si
hoc quidem binomium ante per x - a divisum fuerit. Neque mi nus valet in binomio tertio e a , positois pari, quod bino mium tamen non ante dividendum est, quemadmodum in duobus
aliis fieri diximus, sed statim in trinomia distatuendum. Iam vero binomium, - , positon pari, nullas praecipuas habet regulas quippe quia in binomia alia nullo negotio distatui
tu , quae vel habent, non ultra potestatem secundam adscendentem, ut haec propterea in quantitates alias, integrationis caussa,
nihil esset amplius desiderandum : quod eius in analystas ossicium hoc etiam nobis videtur illustrius, quod illa fractione, quam dixi mus, integrata, aliae etiam eiusdem modi integrari facile possunt,
qualescumque sint numeri 1s, atque adeo illa ' quae latius patet quam ceterae, dummodo, sit integer . De qua proprie Manhedius in Academia agens admonuit, integrale eius, si numeri quidem, , n, is positivi omnes sint, atque integri, duabus semper quantitatibus componi, quarum altera summatoria est, altera est fractio quaedam algebraica . Quamquam quae summatoria est, interdum abest, utpote cum semper per constantem multiplicetur, quae aliquando nulla est. Horum non pauca Manstedius edidit in supplementis diarii veneti anni millesimi septingentesimi secundi,in vicesimi, tum omnia in unum scriptum contulit, quod a notio tradidit. Id scriptum inter Academicorum opuscula reponemus, ad quae lectorem de