장음표시 사용
551쪽
E origine M F. II circa communem axem describa natur infinitae figurae similes AED AGF, ACB c. linea recta, quae connectit puncta AE, C transibit per infinita puncta E, Go c. sunt enim tam in figuris similibus, quam in triangulo ABC, AB BC AF FG : in Dro e recta igitur AC est communis locus, in quem desinunt puncta extrema, Wanaloga omnium similium figurarum. Cum autem curva AH ad libitum sumpta sit, nullaaue tam ex analyticis, quam ex mechanicis a demonstrata proprietate excludatur; manifestum est inter ipsas, locum etiam rectae lineae AE concedendum. Si itaque triangulo ABC aliud simile ex origine puta ADE, Vel FG describendum sit, huiusmodi triangulum erit pars trianguli maioris ABC linea AE , vel AG pars lineae maioris C. In hoc solo casu, reliquis
omnibus exclusis, unica linea, hoc es AEC idem ossicium praeitat, ac infinitae curvae similes. Porro e praemisso lemmate,
massis existentibus aequalibus, spatia FA, Da re aequali
tempore percurruntur . Solum igitur triangulum pro scala vir iura sollicitantium habendum et , in qua motus a quiete incipientes in
quocumque punca magis,in desimentes in punctum A sint sochroni LEMMA SECUNDUM. IIsdem postis, ut in antecedenti lemmate, hoc solum immuta to, quod loco duarum curvarum similium, accipiantur duae curvae AEC , ae III analogae ad ordinatam in quibus scilicet sumptis abscissis aequalibus AD, ad applicatae r de sint semper in constante rationes dico tempora, quibus a mobilibus conficiuntur spatia aequalia A, a , vel AD, se habere
in ratione directa subdupiscata massarum, inversa pariter sub duplicata virium sollicitantium. Velocitates, quibus percurruntur spatia infinites in aequalia DF, ex una parte sunt in ratione reciproca temporum, cautera, ut radices arearum BDEC, bde divisae per radices massarum et sed areae sunt inter se , ut ordinatae , seu vires accelerantes BC , bc ergo tempora per DF, sunt directe, ut radices maillarum , min- verse, ut radices virium . Quod autem demonstratum est de su-Σionibus DF, si, de quibuscumque aliis sub iisdem conditionibus erificatur igitur eadem temporum proportio locum ha-
552쪽
326 OPUSCULA.bet, etiamsi consciantur spatia finita ba, vel BD, Corollaria. Assis existentibus equalibus, tempora se habebunt in ratio. ne inversa dimidiata virium, Ut massae sint, ut vires, tempora utrobique erunt aequalia LEMMA TERTIUMSIn modo curvae AEC, ee T. I J ad abscissas analogae, hoe est, diviso utroque axe ΑΛ , a proportionaliter in punctis D, d ordinata D alteri de sit semper aequalisci dico tempora per A ba, vel BD , bd esse in ratione composita ex dimidiata spatiorum BA , ba , dimidiata massiarum Velocitates per elementa proportionalia DF, se sunt, ut ipsa
elementa direct ompor , quibus percurruntur, in Verses:
cum huiusmodi velocitates sint pariter in ratione subduplicata directa arearum BDEC, bdec in Versa subduplicata massarum areae autem servent proportionem fluxionum DF df, hoc est spatiorum BA, bi igitur vocatis , t temporibus per DF, Q, habebimus B di ba BA ba, quae analogia alteram suppeditat
per quascumque fluxiones proportionales, proportionaliter reia sectas in ratione constante, eadem proporti manebit, dum corpora B, Q eriantur per spatia finita proportionalia BD , i, A ba. Ω E. D. Corollaria. massae sunt aequales, tempora se habebunt in ratione dimidiata spatiorum si massae sint, ut spatia percurrenda, tempora quoque erunt, ut ipsa spatia. Quod si massae sint reciproce ut spa tia, tempora utrobique erunt aequalia. Sebolium Uin vires sollicitantes quomodocumque per ordinatas alicuius Curvae Xponuntur, qua ratione tractandae sint geometram latere non potest, postquam apud illustres mathematicos
553쪽
canones generales passim demonstratos inveniet; at cum vires omnino ignotae inter se comparandae veniunt, tunc tria lemmata, quae consulto praemiis sunt, latissime patent,in eximium prae stant usum . Id pluribus in medium allatis exemplis evincere pos sem , sed instituti nostri ratio postulat, ut non nisi de lege distractionum in corporibus elasticis ad potentias distrahentes relata
disseramuS.CA NON PRIMUS A experientia desumptas FIdes sonoras ex eadem materia confectas aliquot praeditas esse
proprietatibus physicos .musicos longa experientia docuit. In primis certum est itus, reditus eiusdem chiordae sub constante distractione ad instar oscillantis penduli eodem fere tempore perfici. Isochronismo locus esse nequit, ut in primo lemmate demonstratum est, nisi curva , seu scala tensionum sit linea recta, hoc est arithmetice crescentibus potentiis distrahentibus, distractiones eadem prorsus ratione augeantur, quod experientiae non satisfacit. Quo longior chorda est, ceteris paribus magis ab ista
lege discedit, inter maximas, .minimas eiusdem chordae vibrationes , hoc est inter sonos his respondentes integri comatis dis
ferentiam audiri saepius expertus sum, post alios testatur doetissimus Iesuit de Chales. Cum autem fides iam distractae viribus mi nimis licet inaequalibus pulsantur, tunc vibrationes fieri aeque- diuturnas ita demonstro Funis AB a ponderem patiatur distentionem BC T. VJ . Addatur pondus minimum M , cui conveniat ulterior distractio CE, manifestum est chordam ab hoc onere superadiecto liberatam sese restituere per spatium BC. Rursus appendatur pondus maius, sed
infinitesimum H, quod Riciat distentionem CF, atque eo remoto restitutio fiat per maius spatium σοῦ in utroque casu scala virium funem restituentium exponitur a minimis trilineis DGI,D- , quorum ordinatae repraesentant cum potentias distrahen tes, tum chordae tenacitates distractioni resistentes. Sed cum pars
curvaei sit infinite sma cum sua tangente confunditur, Wideo trilinea ΗΚ, GI triangulum rectilineum constituunt ' igitur per scholium lemmatis primi utraque restitutio, quae sit seorsim
per spatia C , C est isochiona in E. D.
554쪽
corosiariunt Hoc verum est in rigore geometrico, dum chorda iam di stenta a viribus aequalibus, vel ad aequalitatem proxime accedentibus, vel tandem a viribus infinite simis quamcumque rationem obtinentibus rursus sollicitatur . In ceteris casibus dii sentia exigua est plerumque sub sensum non cadit, cum vinium restituentium scala paululum a triangulo aberret. CAMON ECUNDUS A experientia desum ur SUmptis duobus nervis sola longitudine inaequalibus , qui ab eodem pondere distrahantur. pulsentur ictibus aequalibus, tempora oscillationum sunt inter se, ut nervorum longitudines. Ex hoc canone nihil ad rem nostram colligi potestu locum enim invenit in quacumque hypothesi distra stionum , quod c
Chordis A breviori mamongiori F. V aptetur idem
pondus quod hinc inde producat distentiones , f. Intelligantur descriptae Curvae tensionum , quaecumque tandem sint, Dy, bd quarum abscissae designent distractiones, applicatae vero potentias distrahentes. Huiusmodi curvae semper erunt analogae relata ad abscissas ponderibus enim aequalibus respondent distentiones, chordarum longitudinibus proportionales, ut e lemmate subiiciendo constabit. Sublato hinc inde pondere , dum utraque corda regreditur per spatia B, b eandem proportionem servantia, a chordarum longitudines, sollicitatur a viri-hus, quarum scalae sunt curvae DX, H. Porro cum massae sint in nostra hypothesi , ut spatia percutiori da FB vel ut chordarum longitudines AR, ab , tempora quoque restitutionum e corollario lemmatis tertii se habebunt in eadem rationes. Q. E. D. LEMMA NARTUM,PEndeant chordae praedictae AB, ab a duobus clavis A, a,
tendantur a ponderibus aequalibusci dico distentiones BE, Iesse inter se , ut chordarum longitudines. Haec propositio iam demonstrata fuit a summis Viri Galileo,
555쪽
rorelio , Iacobo Bernoudio, sed alteram placet addere de monstrationem his, quae dicenda sunt , magis accommodatam Sumatur eae chorda AB pars minina a L, cui in puncto Lappli. cetur da tum pondus P, quod distrahendo fibram L producat di stentionem LM. Pariter ex altera chorda accipiatur pars a zzz AL,& eodem aptato pondere inci fiat distentio imis LM. Punctum sagatur clavo, ut fibra am se contrahere non possit. Sumpta iterum ex eadem chorda portione an AL, agat rursus pondus P in fibram in & oriatur secunda distentio no QM, punctumque out prius altero clavo firmetur. Sic repetita operatione ex ultima fibra, quam statuamus esse op libere pendeat idem gravera, itp ta LV postrema distractio Cum duae fibrae distractae am , mo tentent ad consuetam longitudinem sese reducere, Mattigatae sint duobus clavis o manifestum est, quod clavus intermedius m trahitur sursum is deorusum a viribus aequalibus inter se equiti brium constituentibus . Similiter duae fibrae mo, i, sunt in aequilibri respectu clavi o prima namque eamdem vim exercet in clavos in, o ac secunda in clavum , inus suspensum ex punelo contrariis tamen directio nibus igitur remotis clavis intermediis . . ino, non destruitur aequilibrium , sed omnibus in eodem statu manentibus, grave non ascendet, neque descendet ex quo fit quod tot erunt distentiones aequales, quot fibrae, quod istractio toti ias chordae ab . quae aequivalet omnibus suarum partium distractionibus, ad distra Oionem unius fibrae L. vel omnium fibrarum Componentium
Uaordam AB sia habebit, ut longitudo ad longitudinem. Q. E.
AD procurandas distentiones funium AB, ab requiruntur vi
res obtinentes proportionem longitudinum bidimus enim pro numero fibrarum in utraque chorda multiplicandam fuisse actionem constantem ponderis P singulis partibus infinitesimis apis plicatam . Quod si potentiae quomodocumque in funes agant, putati pondera aequalia suspensa ex punctis b motu accelerato descendentia chordas secum traherent, distenderent, tandemiaque post varias reciprocationes in punctis consisterent; evidens puto vires in distractiones insumptas in eadem ratione fias cum causae sint semper effectis productis proportionales, aequalibus effectis aequales causae respondere debeant.
556쪽
A distractione iam facta , ad impediendam restitutionem
utriusque chordae sufficiunt pondera aequalia , etiamsi chordae sint longitudinis inaequalis Hoc fortasse mirum alicui videbi tur, sed phoenomen explicatio augebit admirationem . Dico igi tur, quod grave applicatum chordae in puncto infimo sustine tur, , qui libratur solummodo a dimidia vi ultimae fibrae Oq. Re stitutis clavis in locis , de , patet fibram minima tendi a consueto ponderet, atque eodem tempore, dum nititur sese contrahere, non solum sustinere onus P, sed aequali vi deorsum urgere clavum . Similiter fibra superior in passa distractionem no pari vi sursum trahit clavum o, deorsum clavum ni sic successive ergo dum singulae fibrae virtutem contractionis directione opposita exercent, actio unius elidit actionem alterius, pondus P non est in aequilibrio nisi cum dimidia resistentia inferioris fibraeo . Dummodo fibrae sint in utraque chorda eiusdem tenacitatis,&resistentiae, nihil facit ad hunc effectum explicandum longit do chordae, quamvis in infinitum excresceret.
Colligo ex dictis, vim gravitatis ponderis finiti P quiescentis
esse infinitesimam sustinetur quidem a dimidia vi minima fibrae o , quae cum sit totius chorda a pars in assignabilis , necesse est, ut agat nassignabili reactione . AEquilibrium igitur a natura
non instituitur, praeterquam inter vires evanescentes, seu inter elementa,in fluxiones virium; supponamus enim vires in statu manente, cum loco cuiuscumque vis mortuae pondus substitui possit absque eo quod tollatur aequilibrium, vires autem ponderum quiescentium sint minimae, liquet inter vires mortuas tantummodo aequipondium subsistere. Hinc ni fallor corrigendi veniunt nostrates Galileus, WBorellus, qui animadvertentes vim percussionis ad vim gravitatis habere rationem quacumque data maiorem, cum supposuissent vim gravitatis finitam esse, alteram percussionis infinitam fecere. Sed potius vis percussionis inter finitas collocanda erat, bis gravitatis cum omnibus aliis viribus mortuis, quae scilicet a motu non roborantur, ut vires elasticae pressiones &c inter infinite simas erant recensendae.
557쪽
Sebolion fortasse ex proprietatibus chordarum elasticarum peti potest
demonstratio principii fundamentalis Dynamices, quod sci licet vires vivae corporum sint inter se, ut facta ex massis in veloci latum quadrata, non autem, ut quantitates motu quam legem tota fere Mathematica Republica reclamantes, nulla licet demon
stratione munitam , sanciendam tamen putavit incomparabitis Leibnitius. ΤΗ Eo REMA. TIres eiusdem corporis sub diversis velocitatibus non sunt, ut V velocitateS.Chordis AB, ab in punctis B, b aptentur pondera aequa ilia X, s. Descendat utrumque ad puncta F, usquequo chordarum resistentiae sint dictis ponderibus aequales, quod evenit, quando, deis scriptis curvis DK, bd tenacitatum laimae ordinatae F , Ucum inter se, tum ponderibus sunt aequales, Mabscissae FB D se habent, ut longitudines AR, ab
Iam fingamus tam pondus EX, quam x sonicitatum a naturais
ti gravitate , nullo modo impeditum a reactione chordarum descendere per spatia BF,.U; velocitates in punctis se , ferunt in ra tione dimidiata spatiorum confedtorum , aut rectangulorum Xy, aes Rursus descendant dicta pondera chordis appensa, vires acceleratrices in punctis analogis C, e erunt aequales, utpote quae determinantur a vi constante ponderum C , te subductis viribus aequalibus resistentiarum utriusque chordae DC de Scalae itaque virium sonicitantium pondera descendentia erunt curvae DX bdit relatae ad axeo XX GH, Si velocitates in punctis FG f, ut radices quadratae arearum BDXX, bd sed huiusmodi areae sunt, ut
abscissae I X, ἐκ igitur velocitates in punctis P, s se habebunt in ratione dimidiata dictarum abscissarum. His positis animadvertendum est gravitatem X vel x comi tantem utrumque pondus per spatia F, partim agere extendendo chordas AB, ab partim accelerando gravia descendentia usque ad terminos F, f; sed huiusmodi vis gravitatis continue applicata in non impedita gignere posset velocitates in ratione dimidiata spatiorum hinc inde decursorum , atque impedita a te. nacitate chordarum de facto velocitates utrinque producit in ea-Xxx dem
558쪽
dem proportione igitur ii fieri potest, quod vires vivae sint, ut velocitates, deducendo velocitates, e vires genitas a velocitatibus, seu viribus, quae generari potuissent a ponderibus non impeditis, sequitur, quod reliqua pars viri uiri, quae e utraque parte insumitur in chordarum dis entionem , sit pari re in ratione dimidiata linearum BF vel longitudinum AR ab quod abiur- dum contra corollarium primum nostri lemmatis; nam cum distentiones sint , ut vires tendentes, vis, quae efficit distentionem BR ad vim efficientem alteram distentionem V se habet, ut ES,
N idem absurdum incidimus ponendo vires vivas respondere L cuicumque functioni celeritatum, unica tantum XCepta, quod nempe vires sint in ratione velocitatum duplicata. Iuxta hanc hypothesim gravitas non impedita agendo per spatia ' V producit
vires vivas in ratione eorumdem spatiorum , ac insuper impedita resistentia chordarum essicit vires dictis spatiis proportionales, facta subtractione ea vis, quae erogatur in distentionem choradarum, servat pariter rationem distentionum , quod verum L
se supra comprobatum est. Corollarium secvudum. V Ires tendentes chordas, Winducentes distentiones F, Umetiri debemus per area BDXF, bras, quae in eadem proportione inveniuntur cum longitudinibus chordarum ordinatae siquidem curvarum DK, bd exprimunt resistentias crescentes chordarum, ad quas vincendas in singulis undiis C, e adhibetur pars aliqua constantis gravitatis, quae per easdem applicatas CD, cd exponitur. Quod chorda ab in plures partes dividatur, singula extendantur ab eodem ponderet, summa omnium virium partes distrahentium est praecise aequalis vi, quae in chorda ab eff-cit dictractionem sicut haec distractio aequalis est omnium partium distractionibus. Mirabuntur fortasse hi, qui contrariam sententiam tuentur, WVires vivas corporum e quantitate motus, hoc est ex facto massae in velocitatem metiuntur , me in allata demonstratione nullam inire rationem temporis, quod profecto elementum in huiusmodi disquisitionibus absque paralogismo omitti non debuit. Verum, nisi pessime fallor, certo certius est in ea re ,
559쪽
de qua sermo est, temporis rationem nullo modo subducendam esses; cum enim funis elasticus brevior per violentam distractionem tranti in longiorem , non muta Nur eius resistentia , seu longo seu brevissimo tempore ad aequalem dii entionem perveniat Adaequalem porro resilientiam vincendam eadem vis adlubetur, dum manu, vel lento motu , vel velociori funis ducitur
CANON TERTIUS Ab experientia desumptus ALtera proprietas fidium nostrarum in hoc consistit. Si gemianae chordae aequales ab inaequalibus ponderibus distrahantur, is his sumantur portiones aequales, quae pari vi pulsentur soni erunt inter se in subduplicata ratione ponderum tendentium tempora oscillationum in sonorum proportione reciproca . Superest inquirendum , quid ad rem, de qua sermo est, ex hoc non deduci possit. Ex funibus aequalibus As, ab i. Id suspendantur duo gravia inaequalia, quorum minus C efficiat distentionem minorem BC maius vero maiorem bes. Fiat eaequalis integrae CA punctum g clavo firmetur, ita ut pars superior ast ulterius tendi non possit deinde punctis C, c aptentur duo alia pondera aequalia magnitudinis infinite simae, quibus conveniant minimae distentiones CD, cf. Sublatis hisce ponderibus a punctis extremisi, is tempora restitutionum per fluxiones DC, e sunt in ratione composita tam dimidiata earumdem fluxionum , quam massarum C , e . Id patet ex lemmate tertio iam portiones nascentes curvarum, sive arearum , quae hinc inde sunt scalae tenacitatum a triangulis non differunt, quorum bases aequales sunt ob aequalia pondera infinite sima superaddita altitudines autem plerumque inaequales ob diversam funium inaequaliter tensorum resistentiam . Iam cum massa ge ad massam ac, vel AC st, ut recta ge, vel AC ad rectam ae s massia utriusque funis per unitatem exponatur, massa portionis g exprimi poterit per magnitudinem AC igitur tenapora restitutionum
perientia docente sunt etiam in ratione reciproca subduplicata
560쪽
quae analogia debitis operationibus institutis transit in sequentemAS: Dp ec, quod erat inveniendum.
REmoveatur clavus in tunc onus infinitesimum, quod genis do in solam portionem, producebat distentionem e sol. 11citando integram chordam ea, essiciet distentionem ed eritque σε; cd cem CA ca, ideoque CAκedraee, quo valore substi.
tulo in superior analogismo DCQ e , alter oritur
Sebalium. REponet fortasse aliquis, me in allata demonstratione compu. tum non inire ponderum C, e prima vice suspensorum quorum massae in restitutionibus per fluxiones DC, e movendae sunt: at hae pondera consideranda non veniunt in casu nostro sunt enim in aequilibrio cum tenacitatibus chordarum, a quibus sustinentur, meorum a stio a retro actione eliditur . Ut hoc e vim
eam rem ad absurdum deduco. Chordis sola longitudine inaequalibus AB, ab F. Vo aptentur duo pondera finita aequalia CD, dessicientia distentiones BC, be subinde alia duo infinite sima aequalia Hic bl , quibus conveniant ulteriores distentiones CF, ef . His remotis quadrata temporum restitutionum per FC, D se habe-hunt ob vires soliicitantes aequales , ut spatia percursa C, D uota in massas movendas, seu iuxta hypothesim assumptam in massas chordarum additis hinc inde ponderibus aequalibus DC, H igitur TVT'. FckAB Dcto k ab --de est autem C D:: AB: ab ergo vocato P pondere DC ves de, AB M AB QPrab se ab M P. Interim cum pondus P ad pondera chordarum possit esse in ratione quacumque data, sequitur tempora restitutionum per FC, e vergere ad aequalitatem, quod est absurduis sunt enim temper inter se, ut chordarum longitudines.