장음표시 사용
591쪽
De reserionibus globi, qui in plano rectangulo si usa prominentibus undique lateribus huc atque illuc repellitur.
Uperioribus diebus cum globi reflexiones, qui in plano rectangulo pulsus a prominentibus undique lateribus huc atque illuc repellitur, paullo diligentius considerarem, theorema
ta non nulla occurrerunt, quae si elegantiana habere aliquam dicerem, haud sane vererer, ne arrogantiae nomine reprehendere r. Nam usque adeo facilia inventu sunt ut ipsa quis laudet, ea potius veritatis, ac re ipsius futura sit commendatio, quam ingenii. Verum qualiacumque sunt , eadem obis proponere decrevi, eorumque demonstrationes, ne singula accuratius persequens, Ongior sim, breviter indicare. Sed prius .vocum quarumdam definitiones explicandae sunt, inuid assumam , exponendum Cum globus ab uno latere appellit ad latus progimum , hic appulsus dicitur ordinatus, inordinatus vero dicitur, cum appellit ad latus oppositum . Hae sunt definitiones. Hae autem mihi sumo angulus reflexionis est aequalis angulo incidentiaeci crassitudinis
globi nuda habetur ratio, tamquam si is puncium esset . His ita constitutis venio ad theoremata. H D. Uem angulum vel inciden εἰω, vel esseXionis semel globus fecerit 1 uno latere, eumdem postea semper faciet vel in eodem latere, vel in adverso, donec Overi perget. Demonstratio. Si globus discedens a puncto B lateris TM T. I statim appellit ad punctum C lateris adversi ON; quoniam latera TM, A sunt parallela, oportet profecto alternos angulos BC, BCΝ esse aequales. Quod globus appellit prius ad punctum clareris proximi F. Is tum ad punctum D lateris adversi Ν, quoniam summa angulorum CB BC aequat unum rectuna, pariter summa angulorum OCD , DC aequat unum reinum si his summis demantur anguli aequales PCB , CD, duo reliqui BC.
ODC erunt ipsi necesiano aquales. Eademque valebit ratio,
592쪽
3 8 OPUSCULA.s globus prosectus a punctor incidet in latus MN,' post appul
sus in ordinatos quotlibet incidet tandem in punctum D laterisOII. Quem ergo angulum facit globus in uno latere, eumdem semper faciet' in eodem in adverso.
ΤΗ EO REMA II. O Irectiones omnes, quas deinceps globus accipit, alternis
sunt parallelae, idest, prima est parallela tertiae , quintae, septimae c. Secunda est parallela quartae, sextae, octavae c. nisi si quando globus reflectatur ab aliquo angulo, qua de re infra
Demonstratio. Vel globus accepta directione prima qualibet T. I statim a puncto B appellit ad latus adversum Ont, ibique acquirit tertiam directionem CD, vel statim appellit ad latus
proximum O P. II ibi ita dilectioriere, tortiam acci uirit CD
Acquirat primum directionem tertiam CD a latere adverso ON, T. L summa angulorum ABM, ABC, ΒΓ est aequalis duobus rectis, itemque summa angulorum B CN, BCD , DCO est aequalis duobus rectis si ergo illi summae dematur unum par angulorum ABM, CAT summae alteri dematur alterum par angulorum BCN, Coe cum liaec duo angulorum paria sim aequalia inter se, reliqui anguli ABC , BCD aequales erunt, alterni scilicet inter duas recitas AB , CD ergo prima directio AB, parallela tertiae CD Acquirat iam globus directionem tertiam CD ab latere proximo To summa angulorum BV ABC , CB aequat duos rectos, citem summa angulorum BCT, CD, Cinaequat duos rectos, igitur hi sex anguli aequant quatuor rectos. Cum
tium par angulorum ABC, DC aeque duos rectos, ideo due AB, CD sint parallelae ergo prima directio Mei parallela tertiae D. Tuost EMA Ita. Uctis in rectangulo OV F. III diagonalibus II TM, si globus acceperit directionem A parallelam diagonali Tes, directio altera BC, quam statim accipiet, erit parallela alteri diagonali M. Demonii ratio Angulus III est aequalis angulo TM; hic
593쪽
ERgo directiones omnes, quotcunaque post globias accipiet,
cum debeant esse alter natina pirallelae duabus iam dictis AB, BC , erunt etiam alternatim parallelae duabus diagonalibus tu, ORI. Nisi forte veremur, ne id fallat, si quando accidat, ut globus, procedens primum per A B, tum per BC, uti di Simus, post multas,is varias reflexiones incidat demum in aliquem angulum xectanguli quod uiden fieri non posse, sequenti theolemate patebit.
I REOR EMAIHI.Cceperit globus primum directionem AB parallelam diagonali Notum alteram directionem I, , quae erit parallela diagonali M. Sumatur in latere uo pars ND aequalis 2 B, in latere M pars E aequalis C. Globi reflexiones in infinitum iterabuntur in punctis iisdem B, C, D, E. Demonstratio . Cum sit L parallela M, erit OC, CT: Μ', AT atqui Μνα OD , T mire ergo OC, Te i , N. Ergo erit CD parallela M. Eodem octo demonstrabitur, Eesse parallelam OM, similli ter me si parallelam A . His positis quoniam directi, quam globus accipit a puncto C, debet esse Parallela diagonali TN debebit is necet sario ferri a puncto Cad punctum D is simili de causa debebit ferri a puncto D ad punctum , is puncto E ad punctum puncto B rursum ad punctum C Sec sicque reflexiones in insini M. iterabuntur iisdem
DUctis in rectangulo M F. IIII ab angulis , T duabus
lineis OZ PU, quae abscindant a lateribus M, N portiones aequales ΓΜ, hi secentque latus NM utrimque productum in , , si globus acceperit directionem AB, quae secet latus TMin B, uaeque sit parallela lineae V, directio 2 C, quam proxime accipiet, erit parallela lineae Z. Demonstratio. Facile apparet, angulum T aequalem esse
ansulo TT; atqui hic est aequalis angulo A M, hic est qua
594쪽
FRgo ire istiones omnes, quotcumque globus post accipiet,
cum debeant esse alternatim parallelae duabus iam dictis AB, AC erunt etiam alterinatim parallela: duabus lineis TU, OZ; nisi forte veremur, ne id fallat, si quando accidat, ut globus tandem incidat in aliquem angulum recta riguli, qua decie dicam in sequenti theoremate Τ REOR EMAVI. S globus inciderit in angulum aliquum , esse netur per eamdern viam , per quam incidit. Demonstratio. Incidat globus directione O in angulum o T. IIII L. Vel linea Tinsecat bifariam angulum in vel non. Secet primum bifariam . Oc posito globus eodem tempore pariter pellet duo latera OT ON, pariter ab his repelletur ii deoque, ut fert rati motus compositi, utique reflectetur ea directione, quae bifariam secat angulum O, idest directione Or. Secet O angulum O non bifariam , sitque minor angulus OT, quam ON. Hoc posito globus, quem nunc esse volumus crassitudinis infinite parvae, incidet prius in latus o deinde per lineolam infinite parvam feretur ad latus OA , atque hinc sane refle- stetur ea directione, quae erit parallela lineae ' iam enim huc re- referri possunt illa , quae in Theoremate II demonstrata sunt Jeique in sinite piotaima ergo reflectetur per lineam ipsam Or
Um globus appellit ad aliquem angulum, putari semper po
test ipsum appellere primum ad unum latus, tum ad alterum ac si directio, qua ab uno latere ad alterum fertur, quaeque notatur lineola infinite parva, in numero directionum ponatur, quas globus deinceps accipit, iam illud utique in universum valeabit, quod supra in Theoremate II proposuimus, dei directiones globi omnes esse alternatim inter se parallelas neque excipiendus erit casus ille, quem ibi excepimus, ideit: cum globus ab ali. quo angulo re nectitur
595쪽
ΤΗ EO REM A VII. DUctis in rectangulo M F. IIII lineis TZ, OZ, quemadmo
dum fecimus ad Theorema V, ducatur linea a parallela OZ, quae secet Min a accipiatque globus directionen AB, quae secet latus M in B, sitque parallela TV Dic primum e si punctum B est inter , a, appulUris secundu S, dest ille, qui statim sequetur post appulsum factum aderit inordinatus .fiet interi S a
Dico secundo si punctum B est in appulsus secundus fiet in angulo O, eritque inordinatus vel hic ipse appulsus factus adi, Vel certe inoxdinatus iit appulsus ille, qui statim sequetur, regrediente globo abis ad T.
Dic tertio si punctum B 1 1nter T, ETT, Don solum erit
ordinatus appulsus secundus, qui necessario fiet ad aliquod punctum C positum inter T, O, sed erit ordinatus etiam appulsus tertius, qui necessario fiet ad aliquod punctum D positum intero, Haec omnia facile intelliguntur ex eo, quod globi directiones alternatim parallelae esse debent duabus lineis V, OZ-ΤΗ EO REM A VIII. IIsdem positis post primum appulsum factum ad B sequantur
appulsus ordinati duo ad C, QD, F. IIIIJ. Dico primum si punctum D est inter , is appulsus qua tus, idest ille, qui statim sequetur post appulsum factum aderit inordinatus, & et incer M. V.
Dic sociarido . punctum D est in m appulsus quartus fiet in angulo Μ, eritque inordinatus vel hic ipse appulsus factus in II, vel certe inordinatus erit appulsus ille , qui statim sequetur regrediente globo ab M ad M. Dico tertio si punctum D est inter non solum erit ordinatus quartus appulsus, qui fiet necessario ad aliquod punctum E postum inter V, in , sed erit ordinatus etiam appulsus quintus, qui necessario se in aliquo puncto F post inter T, Haec omnia facile intelliguntur ex eo, quod globi directiones alternatim parallelae ess debent duabus lineis OZ TH
596쪽
Una globus post primum appulsum Distum ad B, tres on
di natos fagos ad C , in E iterum reversus fuerit ad latus se appellendo ad punctum R, referenda erunt ad hoc punctum omnia illa, quae supra Theoremate Via dicta sunt de punc' o Qquar punctum erit inter puncta AE , duo opullus, qui statim sequentur, erunt ordinati,is fient, ver gr. adiunci G, WH. Cum vero globus possidietos se appulsus factos adi , , D, E, F, G appulerit ad punctum H, referenda erunt ad OcPunctum H omnia cilla, quae Theoremate VIII dicta sunt de pian ei se quare si punctum Herit inter puncta Y . a duo P Putisus, qui statim sequentur erunt ordinati fient, es. gr, ad
telligitur, primum appulsum inordinatum tum solum se claturum esse, cum globus appellens ad latus ΓΜ inciderit in portionem. TM, vel appellens ad latus Νο inciderit in portionem Oa..
TRE OREM A VIIIII Isdem positis, factisque quatuor appulsibus, primo quidem,
ut supra diximus, ad punctum B F. HI aliis vero tribus ordinate ad puncta C, D, E, sumatur Ur ΝV. Dico primum, punctumis cadere inter puncta N, S E. Dico secundo , esse Di B . Dico tertio esse Uzz TC . Cum ad haec, tum ad alia , quae infra dicemus, demonstranda, iuvabit anima H. eisin . triangula haec omnia BC, TO TMZ.TΜU, NXGONLὐ TX sim aliaritate, si ego e quod non demonstro, neque quae in his snt latera homologa, oit endo, ne in re facillima videar longior esse . Hoc posito Demonstro primam partem. Quoniam D est parallela lineae OZ, em D, NO, G, V NX, ψ at oui Ninest maior quam inu ergo etiam N erit maior quam Kr; ergo punctum, cadit inter Λ , ME Demonstro secundam partem. Quoniam me parallela lineae TX, erit CT, D D OT OX quare cum sit OT OX CT, TB erit CT, X CT , R ideoque X TH. Demonstro tertiam partem. Cum sit D, E G, H, quemadmodum animadvertimus in demon It ratione primae partis, erit
597쪽
IIsdem positis, actisque appulsibus quatuor, primo ad B
F. IIIlo aliis vero tribus ordinate, ut supra diximus, ad C, D, sumantur in lineis BV DO portiones quotquot sumi possunt F, Κ, R c. H, H se singulae aequales NX; in lineis vero in Emportiones quotquot sumi possunt, CG, GL LSoe. Ei, P, c. singulae aequales a NT. Dico primo si puncta Finiantur linea EF, erit haec linea parallela TU. Dico secundoci puncta I acte notata in Eu sunt uno paucio-
Dico tert1o puncta F, c. quae Cadunt in partem , tot sunt, quot sunt puncta H P sc notata in Do , vel , , Sorc notata in o. Demonii ro primam partem . Cum sit Byzz NX, ,U LNU, erit BF, V:: NX, NUL TR, TC: ΓΗ, E es enim, Uzz I C); erit ergo tota I ad totam ra, ut BadrE, sive ut B ad TC, sive ut ΜΓ, ad V ergo erit EF parallela TU. Demonstro secundam partem . Cum sit m , ME : T, V: NX NU, quot portiones NX capit F, tot portiones et Vcapiet ME; quare cum linea BV capiat Ot portiones in quot capit ψ,in unam amplius, quae est idcirco portiones NU,
quas capit ME, erunt una pauciores, quam portiones a NX, quas capit B ideooue puncta I Zo c., quae terminant portionesai IV notatas in m erunt uno pauciora, uuam plane ady I , Roc., quae terminant portiones duxit Oratas in B.
Demonstro tertiam partem . Cum sit ora in WTB-XD, erit etiam DO; quare quot portiones in capit T, tot earum pariter capiet O . Praeterea cum sit CD parallela V, erit OD, C: OX, OT: NX NU; quare quot portiones at capit OD, tot portiones NC capit C; igitur puncta F, Κ, itore. quae cadunt in Ar, cum totidem sint, quot sunt puncta P notata in Do erunt etiam totidem , quot sunt puncta L,S ei,
598쪽
Animadversi prima SI quis puncta modo supra dicto notata diligenter colliget, inveniet eumdem esse inorum numerum in quolibet rectanguli latere, nisi quod vel unum deficiet in latere i in vel unum lupererit in latere M. Animadeterso altera. S quis puncta notata obliget hoc ordine , G, Η, I, Κ, L, unum scilicet in lateribus singulis deinceps sumendo, nullum ex notatis punctis in hac collectione praetermit
IIsdem postis, cum globus a puncto B F. IIII ordinate a papulerit ad puncta C, D, appellet deinceps ad alia puncta omnia, quae supra notavimus hoc ordine P , , I, X, L, P, α, R, S, c. Demonstratio . Globus discedens abis debet accipere directionem parallelam TU; cum sit ergo EF parallela TV, accipiet ille directionem EF, appellet ad punctum μ. Hic vero cum debeat accipere directionem parallelam lineae OZ sve lineae BC, oportebit, ut accipiat eam directionem, quae abscindat in C portionem quamdam, quae sit ad F quemadmodum C ad ΓΒ, sive quemadmodum V ad X, sive N ad in cum sit ergo BF debebit dicta portio eo ualis esse ΝV atqui portio CG sumta est aequalis ΝΖ, ergo debebit globus accipere directionem FG, appellere ad plane iam G. Simili modo ostendetur debere globum deinceps appellere ad punctam, I, Erc., sic ut
nullum eorum praetereat. Animad verso prima.
Donec supererunt aliqua ex punctis notatis F, G Η, I, X rc., continuabuntur appulsus ordinati ; ubi vero haec puncta deficient, sequetur primus appulsus inordinatus atqui deficere aliquando debent, nam infinita esse non possunt, ergo appulsus ordinati non poterunt continuari 1n infinitum , eosque tandem excipiet appulsus aliquis inordinatus, quem facile apparet DCiendum esse vel im, vel in a, ut ostendimus Theoremate VIII.
599쪽
Animadeterso secunda. LIneae', Ammagis magisque minui possunt ne fine, accedente scilicet linea TV magis magis si ad punctum N imminutis vero magis magisque lineis NX, C, etiam portiones DF, FV KR e aliaeque omnes notatae in aliis rectanguli lateribus magis magisque minuuntur: his vero portionibus magis magisque imminutis, numerus punctorum , c. aliorumque Omnium in aliis lateribus notatorum magis magisque augetur hoc autem numero aucto augetur numerus appulsuum ordinatorum , qui deinceps continuari debent post primos quatuor appulsus factos adi, C, D, E; ergo numerus appulsuum ordinatorum, qui deinceps sequi debent pia primos quatuor, augeri potest me fine, si prima scilicet directio AB fiat parallela lineae V, quae linea magis, magisque accedat a punctum . Animadeterso tertia
S linea TV magis magisque accedat ad punctum N prima directio AB , quae ei semper , Ut nunc supponimus, parallela esse debet, magis magisque accedet ad parallelismum cum diagonali Ν. Apparet ergo numerum appulsuum Ordinatorum
qui deinceps continuari debent post primos quatuor appulsus a Aos ad B, C, D, E, magis magisque augeri, si directio, Bisa. gis magisque accedat ad parallelismum cum diagonali. Animad versio quarta S lineae AN, V serent 1nfinite par x M puncta X, aliaque in aliis rectanguli lateribus notata essent infinitaci ex his vero punctis alia atque alia sine fine essent infinite prosima ad punctum B , similiter alia atque alia sine fine essent infinite proxima ad punctum C, idemque pariter dicendum est de puncto R, quapropter appulsus ordinati alii atque alii sine fine ue rari deberent in punctis infinite proximis ad puncta B, C, D, E; idque ad illud redit, quod supra demonstravimus in Theoremate III idest appulsus ordinatos in infinitum continuari in iisdem
punctis B, C IL E, si directis AB sit parallela diagonali N.
600쪽
T REOREM A XII. DUctis in rectangulo F. O ab angulis M, a lineis
ML , TV, quae abscindant in latere Oilportiones aequales Oa, NX secentque latera Ι Ο ΜΝ producta in m V si globus acceperit directionem SA, parallelam quae secet latus M in A, directio AB quam post statim accipiet, erit parallela C. Demonstratio . Facile patet angulumam aequalem esse angulo QMV atqui liuic aequalis est angulus SAU huic ver aequalis est angulus BAM; ergo angulus Tm aequalis est angulo BAMῖ ergo AB, T sunt parallelae. Animad versio prima
OUoniam globus incidit in latus Tu directione B parallela
lineae V, quae secat latus oppostumini in X, quem adnam Quin supposuimus in Theore nrates' sequentibus, idcirco huc illa referri poterunt, quae in hisce theorematis demonstrata sunt Animadeterso secunda. HI quoque cum lineae oa, Osa magis magisque sine sine minui possint, linea Ust magis magisque ad punctum accedentes poterit etiam numerus appulsuum ordinatorum , qui post appulsum factum ad B deinceps continuabuntur, magis magisque augeri sine sine . Ac tum quidem directio SA quam volumus parallelam esse lineae Igm magis magisque accedet ad parallelismum cum diagonali MO . Unde facile patet, etiam in hoc casu numerum appulsuum ordinatorum , qui post appulsum factum ad B continuari debent, magis magisque augeri, si prima directio globi magis magisque accedat ad parallelismum cum diagonali.
SI globus a puncto B lateris δ' F. VI inordinate anne at ad punctum C lateris adversi CN, primus appulsus inordinatus, qui post sequetur, debebit fieri vel in eodem latere tu, vel in adverso TRI. Demonstratio . Globus discedens a puncto C appellit immediate vel