Commentarii de Bononiensi Scientiarum et Artium Instituto Atque Academia

621쪽

OPUSCULA. 383-- deinde alios duos arcus eius circuli , cuius ra-

dius sit,sia o CC, tangens vero utriusvis arcus sit, incte.

Quantitates has omnes cum logarithmicas, tum circulares in unam summam coniice, omnesque assirma, si denominator fractionis integrandae sit,' -- omnes nega, si dictus denominator sit ' a'.

Ηoc facto, dictus denominator sit, numerus u sit par erit dicta summa integrale illud , quod quaeritura erit etiam integrale, quod quaeritur, in aliis casibus, dummodo aliquid ei ad rungatur nam si dictus denominator fuerit -- Umerus VςIO N impar oportebit dictae summae adiungere l a , si ve-

rodictus denominator fuerit a - velis est impar, vel par impar oportebit addictam summam adiungere si veron est par oportebit dictae summae adiungere a, demere. Quos logarithmos omnes sumere semper oportebit in logii ica, cuius sub tangens sit . . Ubi id feceris , exsistet tibi integrale fractionis quod in

tegrale si divides pernis, habebis protinus fractionem inte

gratam , neque incognitae finia parabilitas integrationis opus quidquam impediet, sive enim lineas, , c. per actualem incognitae eliminationem , sive per geometricam effectionem tibi compar Veris, aeque perfecta, atque utilis prodit formulae propositae integratio

Postquam elementum integravimus, facili negotio ele

ux amentum quoque dae integrabimus, cuius denomi-

622쪽

nator formula est trinomia , in qua exponentes variabilis, in ariathmetica sunt progressione, neque interest an una erus quaedam binari potestas, nec ne modo sit numerus integer Trino-mium illud , si in sit numerus positivus binario minor, dividetur in trinomia realia numero a per actualem eius comparationem cum formula convertibili ea prorsus ratione, quam pro resolvendo bi

omi x re a modo tradidimus. Si autem numerus m sit positivus quidem, a binario maior, resolvetur in duo binomia

2mum .i Voces alterum c, iam unum quodvis eorum nivos divisores trinomios, aut binomios reales divides per traditas regulas . Si vero iis numerus sit negati*us, cuius quadratum minus sit quam , trinomium propositum a mox a in trinomia realia numero rursus divides, illud comparans cum congenere formula convertibili Tandem ubi innumerus sit negatiVus, Cuius quadratum maius sit quam , formulam divides in duo bino

nudus est casus , quo formula a non possit hac methodo in suos divisores reales dividi, qui incognitam x ultra secundam dimensionem evectam non habeant; quapropter generalis formulae , integratio est in potestate, neque

aliquid quidpiam ultra circuli, hyperbolae quadraturam postulat. Fracti etiam si numerusi sit negativus, nihilominus in

tegrabitur, eo quod idem est aca

est posterioris integrale ex dictis facile profluit.

623쪽

Formulae etiam integrale in promtu est, sive ni,

snt positivi numeri, sive sint negativi, modo integri, quando. quidem ablatis ex ipsa indicibus negati vis, transibit in aliam huius formae vel huius in quibus iam ina

dises p sunt positivi Harum prior nullam habet discultatem, quo minus integretur, ubi integrabilis si posterior

- autem , si minor sit quama vertitur in

s veros maior si quam 1 transit in seriem x x -

quo index littera x sit proxime maior quam , ad quam seriem ad iungendus deinde est , vel ex ipsa demendus prout tulerit signo rum alternati, quae attendi debeto terminus tibi i

estidem exponens, quem habuerit a in antecedente termino serie , vero est residuum ex divisione numeri facta per numerumi cuius tamen seriei omnes termini negari debens terminus autem ex

tra seriem assirmari, si formula si Igitur formulae

dae integratio non superabit vires eius, qui probe scive. Te se rit

624쪽

386 OpUSCULA. erit, qua ratione formula simplicior sit integranda

Quid quod neque integratio dictae fractionis ex eo impe

dietur, quod numerus sit fractus, isque vel possitivus, vel negativus. Fac enim ni sic ut fractio propolita sit x

Loco a substituebi, doco substitue continuo proposita fractio convertetur in hanc D 'd ubi cum numerus r-I,

pariter numerus e sint integri, nihil erit, quod integrationem impediat. Immo vero ne formulae quidem integratio impedietur

mis, taut proposita fractio si oco e substitue

loco substitue Continuo propost fractio convertetur in quae sane cadit sub regulas iam propositas

Nihil dicam de fractiones quae latius quidem patet

quam sed hac tamen integrata ipsa quoque, quod omnes

norunt, integrari sacile potest, qualescumque sint numeri nascis,

625쪽

dummodo, sit integer tantum monebo id, quod huic fractioni

proprie accidit, si numerin, Hintegri sint,in positivi.

Accidit autem, ut eius integrale semper componatur ex fractione aliqua algebraica, quantitate quadam summatoria . En tibi huius integratis forma

quorum terminorum in numeratore fractionis algebraicae exsistentium, .coeffciens etiam A termini summatorii, determinandi sunt per actualem differentiationem,in per comparationem quantitatis sic differentiatae cum proposita alorum sic repertorum aliqui esse possunt interdum arbitrarii, ut litterae, b, vel e vel alius ex assumptis coeffcientibus nimirum potest relinqui arbitrarius valor coeffcientis illius termini, in quo dimensio litterae D sitru is , qui sane terminus in numeratore fractionis erit nume rom n - . uius, inquam, termini coeffciens arbitrarius esse potest, ipso exsistente arbitrario, erunt similiter arbitrarii coeffcientes sequentium terminorum numer m

Quod si in quantitate integranda numerus m esset in-

628쪽

388 opus CULA.teger negativus, ita ut illa explicabilis esset per hane He ,

ubi iam numerus est positivus, in hoc casu integrale quaesitum esset huius formae.

ex huius enim formulae actuali disse.

rentiatione, comparatione cum data quantitate re-

perientur singulorum coessicientium einc W8 A valores ad efformandum adaequatum integrale propositae formulae. EUSTA-