Commentarii de Bononiensi Scientiarum et Artium Instituto Atque Academia

601쪽

opuscuLA. 167 te vel ad latus oppositum Μ, vel ad punishum aliquod D lateris

proximi OT. Si appellit ad latus oppositumTAI, iam hic appullus erit inordinatus, in fiet in latere Μ, uti proposui. Si vero appellit ad punetum D lateris Ο Γ, quoniam discedens a D dire.ctionem accipit parallelam CB, non potest non appellere ad punctum aliquod E lateris. Μ sic usque adhuc vel nullus secutus erit appulsus inordinatus poli appulsum factum in C, vel is erat 1e-

Cusus in M. Iam vero cum globus pervenerit ad punctum E adem argumentum recurret; etenim hinc discedens vel statim feretur ad latus ON, vel feretur ad punctum lateris M. Si ramum riam fiet appulsus inordinatus in Ν, ut ego supra proposui sit secundum accipiet globus directione ni FG parallelam BC, ideoque appellet ordinate ad No. Cumque idem argumentum in infi-n tum valea , idcirco necesse est, ut primus appulsus inordinatuS, qui poli appulsum iactiam a G sequitur, at vel in latere Μ, vel in ON . Corollarium

Q Uoniam saeto quovis appulsu inordinato in quovis latere

ver gr. AI, semper ostenditur, primum appulsum inordinatum , qui post sequetur, debere fieri vel in eodem latere M vel in adverso dubitari non potest, quin omnes pariter appulsus inordinati, quotcumque in infinitum sequentur , vel in eodem latere fieri debeant, in quo factus est primus, vel in opposito Quo sane fit, ut in uno perpetuoque globi it nequeant

appulsus inordinati alii fieri in lateribus Oiu, Μ, alii vero inilateribus OT, NM . ΤREO REM XIV., S globus a cerro puncto VII post certum numerum apis.

pulsuum tandem perveniat ad certum punctum H eorum Vero,,

quos dixi, appulsuum primus fiat ad punctum B lateris ΓΜ, ali vero omnes inordinati sint, fiantque ad C , D, E c. , ac ducta sit Alperpendicularis ad M, pariter ducta sit perpendicularis; ad illud latus, in quo fit appulsus ultimus, haecquem producta, si opus est, secet latus M in S, sitque numerus appulse suum et , dico esse in lam OT

602쪽

168 opus CULA.Demonstratio A punctis , E, Gore ducantur π, P, Gao c. perpendiculares ad TM. Facile apparet triangula omnia ABI. CBΚ, CD X c. similia esse. Quod si latus B cum omnibus suis homologis SV KD c. in unam summam conferantur , erit sane haec summa IS. Latus vero AI, Momnia eius bomologa in unam summam conferentur hoc modo cum quisque appulsus factus vel ad 4 , vel ad C, vel ad ino e compleat unum triangulum urAE ter triangula completa his appulsibus supersit triangulum ultimum HKG, erit numerus omnium triangulorum i m -- I. Ex his trian gulis primum AIB in ultimum HRG habent latera o nologa I m, in ceteris omnibus latera his homo toga sunt CX EP ς. quae lineae singulae aequales sunt OT, in unam summam colla insunt OT ideoque si latusis omnia eius homo toga con ferantur in unam summam, erit haec summa H Q -- 1 T, erit ergo IB: AI ISAI HR- - - I T.

THEO REM A XV. SI globus a certo puncto A Fig. VIII post certum numerum

appulsuum tandem perveniat ad punctum H, vel S, eorum vero, quos dixi, appulsuum primus fiat in puncto Blateris M alii Vero omnes ordinati sint, fiantque in C , D, E , 9 c., ac ducta sit AI perpendicularis ad PM, pariter ducta sit vi, vel S's perpendicularis ad latus, in quo fit appulsus ultimus, sitque numerus

appulsuum, m.

Dico primum si numerus fuerit impar, sequo post appulsus ultimus necessario fiet, vel in M, vel in N, ut in X j portio illa, in qua fit appulsus ultimus, appelletur RO , Ilium AI IT EO m 3ON

Dico secundo si numerus m fuerit par quo post appulsus ultimus necessario fiet, vel in OT , vel in ΜΝ, puta in L portio illa, in qua fit appulsus ultimus, appelletur is, erit IE

603쪽

Antequam haec demonstro iuvat animadvertere , appulsum globi ad B complere tria rigulum ABI , appulsum ad C complere triangulum BCT in singulos appulsus singula complere triangula , hi que finitis unum adhuc triangulum superesse vi, sive ΩΓ,

ideoque triangula haec omnia esse numero et Facile etiam apparet, esse metata similia inter se. Hi Politis de molastro primam partem . Primum , Multimum triangulum' bent laterat mologa M. Latera his homologa in ceteris triangulis omnibus sunt portiones laterum Γ, ΜΝ, quarum portionum binae quaeque aequant OT, si ergo latus cum Omnibus suis homologis in unam summam conferantur, erit haec summa AI- HR- - I T.

Praeterea in Primis duobus triangulis AIR, CBT in duobus uti imis HAK, KO homologa sunt latera B, Γ, ΓΚ, O, quorum summa et II H RO . Latera vero his homologa in ceteris triangulis omnibus sunt portiones laterum M ON, quarum portionum binae quaeque aequant ON; quare horum summa erit m - iq;

604쪽

ΤΗ EO REM A XVI SI globus discedat a puncto A TIG. IX post certum num G

rum appulsuum tandem perveniat ad punctum H, vel X dictorum vero appulsuum primus fiat ad punctum B lateris TM, alii vero ordinati sint inordinatis quotlibet interrupti ordinati fiant Ver gr. in C, D, Κ, S c., inordinati vero fiant ad latera Tm N, Ver. gr. in punctis P , G c. I ac si ducta st A perpendicularis ad latus M,, pariter ducta sit vi, vel Z perpendicularis ad latus, in quo fit appulsus ultimus in vel P . sitque numerus appulsuum inordinatorum, qui fiunt in E, F, G& mn, num eius vero appulsuum aliorum Dico primum si appulsus ultimus fiat in TII, vel Eu, puta ad Λ', portio illa, in qua fit appulsus fit c ultimus, appelletur it V, eruIB AI IT RN -- DONAI- -- - no T.

Dico secundo si appulsus ultimii; fiat in OT, vel NM , ut ad&portio illa, in qua sit appulsus hic ultimus, appelletur , erit Issi AI IT FXZ OM

Antequam haec demonstro, ducantur a punctis, ad quae fiunt appulsus inordinati in latere M id est a punctis E, Ginc perpendiculares L, Gri&c ad latus M. His ductis manifestum est, primum triangula omnia A BI, CDO, DEL&c similia inter se esse deinde singula haec triangula confici per singulos appulsus globi ad latera reganguli, praeter ultimum, quod conficitur perveniente globo vel ad H, vel ad X, ac propterea numerum triangulorum , quae conficiuntur per appulsus inordinatos esse m n, numerum vero triangulorum aliorum esses I.

His positis demonstro primam partem Triangulum primum ABI, Multimum HS xhabent latera homologa I, M. In ceteris

605쪽

OpUSCULA. Titi triangulis, illis quidem, quae fiunt per appulsus ordinatos, ut

C. CDO GUΚ c., quaeque sunt numero latera οὐ mologa lateri 1 sunt portiones vel lateris O, vel lateris ΛΙΝ, quarum portionum binae quaeque aequant T ideoque torum summa erit α - I T. Proeterea in triangulis, quae sunt per

appulsus inordinatos, ut DLE, EL Finc latera homo toga lateri A sunt lineae LE , Gad c quae singulae aequales sunt Od , quare

horum summa erit, O T. Si ergo&AI, omnia eius domo lo-gat in unam sumnaam coniiciantur, erit haec summa I--m -

Cum vero in triangulo CDo, quod conficitur per appulsum ordinatum auo , citia Homologiam lateri I sit in in triangulo

GHς, quod conficitur per appulsum ordinatum ad X, latus homologum late1 B sitis, sive o Al in triangulis vero intermediis DEL, EF&c., quae conficiuntur per appulsus in ordinatos, latera hosnologa lateri I sint L, F c. usque ad punctum idcirco horum omnium summa erit linea es, militer ut si globus ab latere T ad latus tu pervenisset uno tantum appulsu ordinato interposito ideoqiae omnia latera homo toga B sic colligemus, ut si in latere es fieret unus appulsus ordinatus D a quo statim globus ferretur ad se quare si simul cum B in unam summam coniiciantur, erit haec summa, T seram n - ΟΝ , erit ergo

Haud dissimili ratione demonstrabitur pars secunda THEO REM A XVII. SI globus discedat a puncto FIG. post certum numerum appulsuum tandem perveniat ad punctum I , vel X; eorum vero, quos dixi, appulsuum primus fiat ad punctum B lateris M, Cccc alii

606쪽

3 a opus ULA. alii vero ordinatissint inordinatis quotlibet interrupti; ordinati sane

ver gr. in C, P , '&c., inordinati fiant in lateribus Io, MN, ver gr. in punctis D in c. ac si ducta sit AI perpendicularis ad latus TM, pariter ducta sit mi, vel perpendicularis ad latus, in quo fit appulsus ultimus ad F vel S, sitque numerus appulsuum inordinatorum , qui fiunt ad D, E c. α , numer US e I appulsuum aliorum m m. Dico primum si appulsus ultimus fiat in Tu, vel ον, puta in F, portio illa, in qua fit appulsus hic ultimus, appelletur ito, erit Ira zzz AI IT RO H r N

Dico secundo si appulsus ultimus fiat in T, vel At, puta in S in portio illa, in qua sit appulsus hic ultimus, appelletur,r,

erit

Hoc theorema demonstrabitur smiliter, ut superius. Anima deterso

SI solvetur quaestio posito globo in dato puncto A in venire ii

latere M pu actura C tale ut si globus pellatur directione AR, is post datum numerum appuli uuna, qui ad data deiiceps mctanguli latera fieri debeant, perveniat tandem ad punctum datum : etenim vel punctum B, quod quaestioni satisfaciat, propositae formulae monitrabunt, vel hoc punctum in ullum erit an vero punctum B, quod formulae monstrabunt, satisfaciat, facile erit cognitu.