Commentarii de Bononiensi Scientiarum et Artium Instituto Atque Academia

611쪽

De formulis quibusdam integrandis

Ractio ae in qua numeri, deis ponuntur integri,

positivi, digna sane erat, ad quam integrandam geometrae omnes incumbere nes eoque dignior, quod eius integratio ad alios etiam casus non magno artificio deducitur, in quibus numeri neque integri sunt, neque positivi. Hac vero fractione integrata ad

aliam quoque, quae latius patet, integrandam, idest qua-

lescumque snt numeri mete . . dummodo, sit integer, apertissima via est. Ego quemadmodum primam integraverim , prinaum dicam tum quid in integratione secundae proprie accidat, si numerina, positivi omnes sint, atque integri, paucis exponam . Ut autem omnia ordine exsequamur , primum scire convenit,

tium ducens a positivo termino cum dicon, intelligo numerum quemvis parem sic postea procedit, ut in sequentibus deinceps terminis index litterae x semper unitate, inuatur utrimus vero terminus, omnino signum Q habens, si constans quaelibet a ad eamdem potestatem n evecta . Neque laaec tamen satis sunt, ut formulam dicamus convertibile mi , sed praeterea requiritur , ut termini, qui aeque distant a medio, odem signo, eodemque coefficiente affecti sint, dimenso ne vero omnium Xaequentur e litateram a in singulis terminis toties adscribendam , quoties opus fuerit.

612쪽

betis a in quo numerus u positivus sit, atque integer, Vel omnino in trinomia resolvi possit, in quibus incognita x non X cedat secundam dimensionem, neque ullum habeat iractum X ponentem , vel partim in huiusmodi trinomia, partim in binomium Vel x - , vel utrumques sic quidem, ut haec omnia per se invicem multiplicata restituant binomium propositum . ad quoniam binomium hocce se uatuor omnino Dino JO-

To pari, tum Ma - a posito n numero impari, singula haec genera persequamur is Atqui binomium primi generis, in quo ponitur par, nullis propriis reguli inuiget; nam i Dinomium semper

resolvi potest in binomia duo , --a, hoc alterum

resolvi iterum potest in haec x-- , haecque resolutio usque eo continuari, donec exponens litterae tum x tum a fiat im-

par . Hoc autem facto binomium propositum resolutum erit in plura binomia, in quorum ultimo riter a erit affecta signo , in aliis omnibus erit affecta signo --. Atque haec quidem in trinomia resolvi poterunt per eas regulas, quas infra tra-

demus de binomio, Illud vero cadet sub eas regulas, quas

trademus dehinomio, , posito, numero impari. Quamquam si resolutio illa, quam dixi, nos tandem deduxerit ad momi a xxam, xx - a, haec utique resol Vere in tranΟ-mia non oportebit nam praeterquam quod hoc Itimum resolvitur

613쪽

OPUSCULA. 373turinae a, c, - , quae in trinomia con Uertere non oportet; potest etiam utrumque pro verissimo, aptissimoque haberi tri. nomio, cuius alter terminus sit ductus in oci Os enim cum trinomia dicimus, etiam talia intelligimus.

Quoniam ergo binomium primi generis, uti digimus , nullis praecipuis regulis opus habet, veniamus ad alterum , idest ',

in quo ponitur par quod omnino in trinomia resolvi poterit, uti volumus, hoc modo : finge tibi primuna formulam quamlibet convertibilem, in qua exponensia a Ximus liter x sit 1 - ultim Us autem terminus -- . Coessiciens vero, quod secundo termino , penultimo commune erit, si1 constans ignota quaelibet b coeffciens, quod tertio mantepultimo termino com nautae erit, si constans ignota quaelibet cc c. Cum talem formulam tibi hoc modo comparaveris , eam multiplicabis per trinomium xx ' ea quo in trino mi, est constans quaelibet pariter ignota. Ex hac

multiplicatione X sistet profecto formula altera convertibilis, in qua maXimus exponens litterae x erit

medii adesse putentur, quamvis ducti in o ut convertibilis haberi potest, hoc modo comparabis secundum terminum huius secun a illius aequabis, eliciesque incognitam tertium terti, hincque incognitam cc explorabis, quartum quarto, atque inde assumptam erues c. idque deinceps facies usque ad terminum medium, ad quem cum perveneris, conssistes; nam ultra progredi esset inutile , propterea quod cum hae aequationes instituantur ad eliciendos valores ignotarum constantium b, c&c., non alii valores elicerentur ex aequationibus terminorum , qui sunt infra medium , quam eliciantur ex aequationibus terminorum antecedentium ; idque ita accidere oportet propter formularum , quae comparantur, convertibilitatem . Sed redeo ad rem Ex aequationibus ergo hisce singulis elicies ex ordine valores illarum constantium b, cc c. quas arbitratu tuo assumsisti, hisque valoribus illarum loco deinceps substitutis ad eam tandem a quationem pervenies, quae e termini medii cum medio comparatione consurgit, quaeque nullam aliam constantem ignotam Complectetur, praeter quam . Hinc tu igitur valores j elicies,

qui .

614쪽

qui utique erunt reales omnes, et itque illorum numerus

Cum id feceris, redeundurn tibi erit ad trinomium xx f -- ca& loco singuli eius valores erunt subiti tuendi. Sic sane fiet, ut dictum trino natum in tot deinceps trinomia conVertatur, quoterunt valores dicti eruntque haec trinomia illa ipsa, quae quaerimus, destilla, quae si per se invicem multiplicentur, restituent

Ne cui vero haec omnia exsequi longum videatur, multos casus persecuti sumus, aequationes collegimus, quae in illis singulis valores quantitatis possint statim ottendere; quas aequationes hoc loco Xscribemus , ut sint omnibus paratissimiae. Sin aequatio, unde valores felicientur, critJ-2a Sinta 6 erit f gua

Si, erit f Ioauin 33aj soas et Jay - 2 m Hoc modo poterit quisque aequationes alias sibi comparare, unde eliciantur valores aliis ad numeros alios pares adhibendi quibus aequationibus qui instrudi erunt, eos supputationum longitudo non deterrebit. Fac verbi gratia Io, ide1t in Omium,

Io Io

615쪽

Quinque hos valores statim substituo locos in trinomio idque convertitur in haec quinque

-- ca

Venio iam ad tertium binomii genus , posito, numero impari , eoque, ut semper hactenus posMiri Ud, tum integro, tum positivo. Hic vero scire licet, binomium dictum H productum semper esse ex binomio e H a multiplicato per formulam quamdam convertibilem , cuius formulae haec est ratio

quapropter resolvi utique poterit in formulam conver tibilem talem, qualem modo descripsi si ergo haec formula in tri nomia resolvetur, erit profecto binomium, ita resolutum par tim in trinomia, partim in binomium x in a. Dddd o

616쪽

3 8 Op UsCULA.Formulam vero convertibilem talem, qualem modo descripsi, in trinomia resolves eodem prorsus artificio, quo usi sumus in casu superiori. Finge tibi formulam aliam convertibilem, cuius primus terminus, ultimus vero assumtis constantibus ignotis quibuslibet inc. hanc multiplica per trinomium

xx - - μFormulam, quae ex hac multiplicatione exsistet, compara cum illa quam resolvendam suscepistici valores ordine elice primum constantium b, . c. ac tum demum constantis f postremo hosce, qui utique omnes reales erunt, transfer in trinomium ae ' ac idque convertetur in ea trinomia , quae per se invicem multiplicata propositam restituent formulam ax cax c. Si aequatio, unde valores felicientur, eri o , quamquam in hoc casu tanto artificio non erit opus; ubi enim diviseris binomium peris a quotus erit illud ipsum trinomium, quod quaeritur

617쪽

aequatio, unde valoress depromendi sunt, erit as cara ciunde exsistunt

quare Phos alores substituam locos in trinomio in De H i, id convertetur in duo trinomia

quae trinomia si simul multiplicentur, tum ducantur in x a re stituent binomium propositum, a Qui haec intellexerit, is etiam facile intelliget, quartum bino. mii genus, des x i, posito numero impari, eoque, ut semia per hactenus posuimus, tum integro, tum positivo posse in tri nomia talia resolvi, qualia Volumus, quae scilicet simul multipli cata, tum ducta in Y--a restituantae Etenim quodvis bino.

mium a post ut diximus, non solum positivo atque in tegro, sed etiam impari, productum ei sine dubio ex binomio m a multiplicato per formulam quamdam Convertibilem , cuius formulae haec ratio est

quare si haec formula in trinomia resolvetur, erit tum sane bino,

mium de a resolutum partim in trinomia , partim in binomium

Dicta vero formula eodem artificio in trinomia resolvetur, quo in superiori casu usi sumus eaedemque aequationes, quas ibi ad valoresfeliciendos proposuimus, hic valebunt, nisi quod signa Ddd a mutan-

618쪽

38o OpusCULA. mutanda erunt in terminis secundo, quarto, aliisque omnibus

qui sedes obtinent pares is Atque his quidem regulis nudum omnino erit binomium, ad a dummodo usit integer, positivus quin vel omnino in trin mi resolvi possit, in quibus, non Xcedat secundam dimentionem, neque ullum Xponentem fractum habeat, vel partim in trinomia huiusmodi partim in binomium ae -- , vel x - Vel Utrum Ue. Neque tamen me praeterit, quantitatemfin plerisque illarum aequationum , unde eiu ualores ducendos est diaeimus, Potestatem obtinere tantam , ut omnem separationis spem tollat sed quamvis separari s saepe non possit, prae isto tamen eis semper potest Constructio aliqua geometrica, quae certissimos ejus at Oreso cendat, quibus citra omnem incognitae separationem, ad res Ol-Venda formulas sem, vel potius quod operae pretium est ad integrandas formulas commodisisme utamur

Sint verbi gratia ad integrandam formulam eliciendi

geometricam constructionem invenio nihil de separatione sollicitatus, ad hunc, qui sequitur, vel alium, si lubet, modum AEquationi variabilem, in sero fra ass-2ca zzz

tum curvam construo CDEAFGH Fig. I. quam aequatio

619쪽

iaeque dubito, haec illa esse trinomia, quorum inveniendorum causa alores quaerebamus . Haec trinonaia ad integrationem formulae sussiciunt, neque actualis valorum s separatio ad

negotium hoc conficiendum nobis est necessaria Neque vero hoc loco praetermittenda est animadversio altera, qu saepe ad valores scommodius inveniendos, interdum etiam separandos, talis erit. Est autem haec: cum binomium proposi

tum est a --H, numerum impar , isque divisibilis per alios numero Ver. r. per ρ ρ aequatio illa, unde valores j ducendi erunt, erit divisibilis per aeqtiationem illam, quae adhiberetur ad valores j inveniendos, si propositum fuisset binomium x , itemque per aequationem illam , quae adhiberetur, si propositum fui siet binomium ae Exempli causa propositum sit bino-

ritana a dividi potest per 3 aequatio illa, quam in hoc casu adhiberemus ad valores feliciendos , erit divisibilis per aequationem illam , quae adhiberetur ad valores inveniendos , si resolvendum esset binomium, pariter per aequationem illam , quae

adhiberetur, si resolvendum esset binomium a Praevis his omnibus seu iam ad illud, quo nostra haec omnis commentatio spei tar, veniamias facile intelligitur, quemadmo

dum integrari possit fracti positois numero integro

positivo. Si enim denominator Ea vel omnino in trinomia r Alvatur talia, qualia supra docuimus, vel partim in huiusmodi trinomia, partim in binomia, a eo tum denique proposita fractio deducta erit, ut iam notissima, & communia artificia ad integrandum non desint; quae quidem omnia integrationem

620쪽

38a Op UsCULA. ostendent eam, quae ad hyperbolae, aut circuli quadraturam spectabit nullam aliam requiret quemadmodum in multis casibus a multis creditum esto superiorem Sed sunt multi, qui artificia paullo longiora fastidiunt brevitatem , celeritatemque student in rebus omnibus . Ut ergo properantibus serviamus, modum trademus, quo quisque fractionem integrare statim poterit, ubi illos valores quantita

tic invenerit, quos supra diximus adhibendos esse ad bino- mmmis idest denominatorem fractionis propositae, resolvendum qui valores ex aequationibus iam descriptis, saltem in multis casibus, cuique statim patebunt. Et primum quoniam qui integrare sciverit fractionem id is

etiam illico integrabit fractionem ponamus non hanc ,

sed illam esse ad integrandum propositam , valores vero quantitatis f, Hi ad xc solveridiam binomἰiam di tarii adhiberi debent , esse

daeae se Cxes aio c. Logarithmi hi omnes ex ea lo. gistic depromendi sunt, cuius subtangen si Tum sume tibi has quantitate circulares primum duos arcus eius circuli: cuius radius sit daa-AA, tangens vero utriusvis

arcus si x A tum alios duos arcus eius circuli: cuius