장음표시 사용
101쪽
σ utrinque ad illius peripheriam terminata . Huiusnodi in es a . culo ABCD est tum recta AC, tum recta I M. Harum porro rectarum altera ΑC dicitur chorda arcus ABC, alteram chorda arcus DGC, quibus iudienduntur, nuncuPatur. c OROLLAR Iu M. I Omis evreuli diameter est illius eurda .-- visi Non enim chorda, quemadmodum diameter, id necessariurequirit, ut m circuli centrum transeat. .
I s Semlairerius est figura sub eirculi diametro, dictae ses marinoia e prehensa , ut BDAB , BCDB . Diximus enta, τε ii, omnem circuli diametrum bifariam circulum ipsum divide
gura eontenta sub quarta parte peri reia, σ duobus radus anu lum rectum in e reo cis in coin venti s. Talis est figura DEC. Continetur enim sub arcu DC, qui est quarta pars periph
riae ABCD totius circuli ABCD, & sub duobus ramis ED, EC, qui angulum mctum in centro E ipsius circuli consti'
phetia circuli in 3 so. gradus dividitur b . . DEFINITIO IX.
102쪽
peri errae, o eborda illi subtenis . Sic portio D GC circuli DAC arcu D , ejusque chorda DC comprehensa, ipsius libat
circuli segmentum nuncupatur. c OROLLARIUM. Is Cum circuli diameter bis iam circulum ipsum dividat, illud eireali sumentum eris mayus , quod illisu centrum eontinet ; illud vero minus , quod circuιi centrum minime comprehemdit . Μgmentum scilicet DAC circuli DAC majus erit segmento DCG ejusdem; cum circuli centrum in segmento DC A reperiatur.
- 2o Sector circuli est illius portio sub duobus radiis , σ area , quem illi intercipiant , comprehensa . Hujusmodi est pars HEC rix a. circuli ABCD; continetur enim sub duobus radiis ΕΗ,& arcu HC. DEFINITIO M.
2I Recta lim eireulum tangere dicitur , quae habet eommune punctum in peripheria , se in directum producatur , tota extra um eis iam eadit. Contra vero illa dicitur secare circulam, me producta illius peripheriam dirimit. Sic recta GF tangit cidiculum ABF; cum directe producta in H, tota extra ipsum ' circulum consistat. At vero e contrario recta secat ei
culum CFD , cum si directe producatur in L, illius aream
. 22 Duo circissi sese mutuo tangere dicuntur , cum eorum per meris balent cammune punctum , quin earum una alteram dirismat . Uerum dupliciter duo circuli possunt sese mutuo tangem , intus, di extra . Se tangunt extra , cum ira sese tam Μ α gunt, Diuit iros by Corale
103쪽
Fig. as. gunt, ut tamen eorum unus totus extra alterum reperiatur,
sicuti patet de duobus circulis ABF, FDC sese mutuo in gentibus in F . Contra vero sese mutuo tangent intus, cum eorum unus totus intra alterum consistit: qua ratione sese tangunt duo circuli ABC, CDE. Est enim punctum C commune peripheriis utriusque circulis, simulque circulus GC circulum CDE totaliter continet.
Dua recta linea dicuntur aequaliter bine inde distare a em. tro circuli, in quo utraque reperitur , cum recta a centro ipsius eirculi in illas ad perpendiculum ducta , inter se sunt aquales e Contra vero illa magis , quam alia , a circuli centro dolat, inquam ab ipso eentro mallor perpendicularis eadit. Duae nimirum Fie.,ν. rectae ΑΒ , CD aequaliter hinc inde distant a centro E cirri
X culi ACDB; quia rectae EF, EG ductae in illas a centro E , ipsisque ad perpendiculum insistentes, sunt inter se aequales . Si autem perpendicularis EF major esset recta perpendi culari EG , recta AB magis, quam recta CD, ab ipso censtro E distare diceretur. DEFINITIO XIV.
Antulus ad centrum , flve iri centro cireuli positus, voemtur ille , qui a duobus ipsius circuli radiis in ipsi centro essestis . Sic angulus HEC productus in centro E circuli ABCD a 'Θ' duobus radiis ΕΗ, EC dicitur angulus ad centrum, sive incentro ipsius circuli MCD.
COROLLARIUM LΣ s Mensura anguli ad centrum eistuli est arcus ipsius eireuli . quem illius erura comprehendum . Mensura nimirum anguli M. HEC positi in centro E circuli ABCD , est arcus I C peri-Τ'h Π pheriae ipsius circuli intra illius crura ΕΗ , EC comprehensus. Arcus namque HC descriptus habetur ex ipsius anguit api-
104쪽
li apice E prout requiritur , ut illius mensura dici pose sit a .c OROLLARIUM II.
26 Tot'graduum, er minutorum ad eireuli centrum positas , 'quot gradus, o minuta ille numerat arcus , quem ipsius anguli crura intercipiunt. Videlicet angulus HEC ad centrum E circuli ABCD dicetur tot graduum , & minutorum, quot erunt gradus, ic minuta in arcu HC. .c O R O L3L A R I U M III. '' a. 7 Anguli positi in eretra eirculi sunt directe inter se , ut amcus ipsus circuli, quos eorum crura comprehendunt. Et vicissimarcus h modi eam habent rationem inter se, quam habent anguli ad centrum cireuli rensistentes, quibus ipsi arcus Dbtenduntur .
Ut si ad centrum E circuli ABCD duo fuerint anguli BEΗ, rizi,. HEC, erit angulus BEΗ ad angulum HEC, ut est arcus ΒΗ
ad arcum M . Et vicissim arcus ΒΗ erit ad arcum ΗC, ut Euelid est angulus BEH ad angulum HEC . Id enim ex eo necessario sequitur , quod arcus Bri , HC quantitatem angulo rum BEII, HEC definiant. C O R O L L AR IU M IMUt angulus in eretro eireuli ad quatuor rectos, ita areas illi subtensus ad totam peripseriam . Et vicissim, ut arcus ciaeculi ad totam peripheriam , ita angulas in eretro ipsius circuli illi arcui
insistens ad quatuor rectos. Nimirum si in centro E circuli ABCD Fle.,,. fiant quatuor anguli recti AED, DEC, CEB, BEA, angu-τ νι lusque 'ectetur H EC ad ipsum itidem centrum positus, a cus ΗC illi subtensus eam habebit rationem ad totam peripheriam MCD, quam habet angulus HEC ad quatuor re-ctqs AED , DEC, CEB, BEA . Et vicissim angulus HEC erit ad quatuor rectos AED, DEC, CEB, BG, ut est a
105쪽
eus I C ad totam peripheriam MCD. Enimvero sicuti a cus I C metitur angulum HEC , ita quatuor quadrantea ΑΒ , BC, CD , DA, sive tota peripheria ABCD metitur
quam proportionem habet angulus I EC ad quatuors ΑΕΒ , BEC , CED, DEA , eandem habebit arcusHC ad totam peripheriam ABCD; & vicissim quam habet rationem arcus I C ad totam peripheriam ABCD, eandem quoque habebit angulus HEC ad quatuor rectosin, BEC, CED, Din. sc ROLIO V.
' 29 Ceterum ex eo, quod circa centrum circuli non nisi
quatuor anguli recti constitui possint b i , ansulique aa
centrum positi mensura sit arcus ipsus circuli illi tubtensus, ad evidentiam deducitur, omnes angulos rectos esse inter se aequales, quaxumque sit longitudo linearum, quae angulum iesiam constituunt. Enimvero, cum angulus MD g. centro E circuli ABCD sit rectus , allec
Ara deinceps positus erit illi aequalis se)s cumque angu lorum AED , Ara mensura gi semiperipheria BAD ,
quam determinat diameter B D c d a , stante aequalitate angulorum BEA, AED, arcus AD, ΑΒ erunt inauales; ae proinde mensura anguli recti AED erit medietas semiperipheriae BAD, sive quadrans totius peripher. , a cus nimirum AD. Omnes autem anguli recti sunt hujus. modi, ut, si alterum ipsorum crus directe producatur , emciant angulum sibi aequalem; atque adeo si eodem i tervallo ex singulorum apice circulus describatur, arcum subtendant a quadrante ipsius circuli haudquaquam dive sum. Ergo mensura omnium angulorum rectorum est qua ta pars peripheriae ejusdem circuli. Omnes autem illi amguli a mes sunt inter se, quos idem arcus circuli ex eorum apice descriptus metitur e . Igitur omnes anguli recti sunt inter 1e aestuales. DEFD
106쪽
Angulus ad prei eriam elaeuli vocatur ille, euJus apex in peripheria ean is, erura vero in emdem demunt, eiusque arcum tantinent. Hujusmodi est angulus ADC. Illius qui'pe apex D in peripheria circuli ADC reperitur; erura v T inro se, DC ad eandem terminantur.
I Aetali tam ad eireali centrum , quem ad Elias peripiariam positi , dicuntur ilia inem insi e , qaem illaram cra ra intercipiant . Sic angulus ad centrum HEC insistere
dicitur arcui HC , & angulus ad peripheriam ADC aDdi Teui ABC.
32 Angulus in portione cireuli eonsistens meaακη Me . riscitur a vi invi restis ιmeis ductis a pinaesu ipsim areaes ad puncta ejusdem extrema . Sic angulus ADC eonsistere die rica
tur in portione, sive segmento ΑCD circuli ADC , quem-- admodum etiam angulus ABC in portione Λω ejusdem circuli.
33 Angulus segmenti est si , - a recta inculum tame te , er eborda per punctum tantinus ducta emit. . Talis est Gangulus DCE productus in puncto contactus C a recta PE se , circulum DAC tangente, di a chorda DC , ficuti etiam angulus DCF productus in eodem puncto ab iisdem rectis , nimirum a tangente EF, & a chorda DC. ΑΜ lus enim DC E dicitur angulus segmenti minoris DC G,& angulus Doe segmenti majoris DAC: ubi notandum est, Minentum DCG dici alternum, si ad angulum DCF,
107쪽
& segmentum D AC itidem alternum vo , s ad angulum D CE reseratur. g c Π O L I O3 'gulum segmenti aliter nonnulli definiunt . Di cunt enim , angulum segmenti esse tuum , qui circuli anu , ejusque chorda comprehenditar, cujusinodi est angulus GDC. DEFINITIO XIX. 3s Angulus tantactus vocatur ille , qui a recta tangenis oe arcu in puncto tantactus eseitur . Hujusmodi est angu- Ii lus FAB, qui sit in puncto contactus A a rem tangen i, te FA, & ab arcii ΒΑ. THEO REM A L
. 3η Est' circulus ABCD, cujus centrum sit punctum E i Dico, in illius area nullum aliud assignari posse punctum, L 1 . quod pro illius cenuo haberi queat.
Si namque fieri potest, circuli ABCD duo sint eentra E, Η. Igitur ducta per utrumque recta AC , eaque aclpig.11. PeriPheriam usque perducta , erit recta EC rectar EA a, τε ia. qualis sa ; ac proinde recta HC major recta ΗΑ b . Ergo punctum H non est centrum circuli ABCD, eandemque ob causam nullum aliud diversum a punctu E ' Vnius itaque circuli dic quod erat ostendendum. THEO.
108쪽
. Is eodem vel aequalibus elaeulis aquales areui aquatia rectas eapiant , σ viei areus , qui aquales rectas capiunt , furit aquales.
In circulo ABC sumantur aequales arcus Bo . OCillorum chordas BO, esse inter se aequales.
Cum enim arcus Bo, CC sint aequales, ductis radiis mim, DC, anguli BDO, ODC erunt aestuales ca) . AEqualia sunt autem etiam latera DB, DO , DC triangulorum
38 Vicissim vero aequales sint chordae Bo; OC. Dico, aequales quoque esse arcus Bo, .
Etenim iisdem msitis , anguli BDO, ODC erunt aequites d) , ob aequalitatem scilicet laterum BD, DO, DC inrenon hafium Bo, OC . Ergo aequales itidem erunt armam , OC, quibus anguli ipsi insistunt ce . In eodem estur, vel Qualibus circulis M. quod erat inendendum. N THEO.
109쪽
n radias ekeuli ad angulas rectos , sive ad perpendisuum chordam secuerit, bifariam ipsam, ejusque arcum secabit. Et vicissim risus eireuli bifariam eboriam secans, est ipsi etarda perpendicularis. i.
ruelid. 39 In circulo ABC radius Do ad angulos rectos dividaι iid chordam BC. Dico, ipsam chordam BC a radio m bifari: ' riam dividi.
Ad extremachordae BC ducantur radii m , DC. Cum igitur rectae DB, D C sint adiluales ta , triangulum B D CPI, -isosceles ib) . Est autem per hypothesim rem DE basi μ BC ipsius trianguli perpendicularis . Ergo recta DE bis tiam basim ipsam BC secabit c ; adeoque M.
o Dico, radium DO bila iam quoque dividere arcum si chordae BC.
Cum enim radius m , ut modo ostensum est, bisaiam dividat basim BC trianguli isbscesis BDC, illius quoque amgulum verticalem BDC bifariam secabit d . Anguli ergo BDO, ODC sunt Muales. Ergo inauales quoque sunt a cus ΒΟ, OC, quibus anguli i , insistunt e); ae prae de &α
110쪽
I vicissim vero radius m bis Iam dividat chordam BC in puncto E. Dico , sectionem hujusmodi esse ad angulos rectos, atque ideo radium Do chordae BC ad perpendiculum in sistere.
Quia iisdem positis, triangulum BDC est isosceles, & re. cta DE ducta est ab angulo ipsius verticali BDC ad basim BC. Ergo si recta DE bifariam basim ipsam dividit, erit ipsi basi perpendicularis c a ) . Itaque si radius circuli M.
Si in eiretici recta quadam linea aliam rectam bifariam ;σ ad argutis rectos secuerit, erit in recta
1 In circulo ABCD recta AC bifariam, atque ad angu-T' Ios rectos dividat rectam BD. Dico, centrum circuli ABCD cotiu in ipsa secante AC reperiri.
Si namque stante hypothesi, centrum circuli ABCD in recta secante AC non existit, hujusinodi centrum sit extra illam, videlicet punctum F . Ducatur ergo a centro F in rectam BD recta FE o Igityr eum recta BD dividatur in puncto E bifae He. a. riam a recta AC, ipsa quoque BD bifariam 1ecabitur a rect cta re. Cumque recta FE ex centro F ipsius circuli in rectam cadat BD, erit recta FE rectae BD perpendicularis R. Posita est autem etiam recta AE perpendicularis rectae ei N a dem