장음표시 사용
71쪽
Etenim stante illa araualitate laterum AB , ab ' AD, ad ἐMeli4. non potest basis BD superare basim bd, quin magis a se mutuo distracta sint duo latera AB, AD, quam duo abs ad . Latera autem magis distracta majorem angulum continent cab . Ergo angulus BAD major erit angulo bad . Mirgo duo triangula M. quod erat ostendendum .
72쪽
De quadrilateris , & polygonis.
1 Riangularum figurarum consequuntur quadrilaina, Sepol gona. Cum igitur de triangulis superiori libro actum sit, nunc consequenter de quadrilateris, &pMagonis est agendum.
I inuadrilateram planum rectilineum est figura plana qua-
. tuor tantummodo rectis limis terminata , totιdemque Gngvios emthnens. Dividitur autem in quadruum, altera parte ιongius , rami m , romMidem , di 3 Peraum.
1 Duadratum est quadrilaterum, eHus omnia latera aqualia sunt inter se, quemadmodam etiam quamur Usius anguli. Hu
jusnodi est quadrilaterum MDC. 3 Quadratam es figura regularis . Est enim figura aequi latera, & aequiangula.
DEFINITIO III. Mera parte lauim est suo flat in ,
73쪽
guli aequales quidem sumi inter se, at ex lateribus opposita t-x.b v σqμriis. Tale est quadrilaterum ABCD '''' AEquales enim sunt omnes ipsius anguli. Verum ex lateriabus duo tantum AD, BC, sicuti etiam duo AB, DC, qua nimirum sibi mutuo adversantur, sunt qualia.
s a'nous est quadrilaterum habens Omnia latera aqualia, em laValos dumtaxat, qui funt ex adves , aquales. Hujuin m...di est quadrilaterum ABCD. Omnia enim ipsius latera sunt Tisu. aequalia; non omnes tamen ipsius anguli isse mutuo adae'
quant, sed duo tantum BAD, BCD , sicuti etiam duo ABC, ADC, qui sibi mutuo ex adverso consistunt .. DEFINITIO R6 R Mides est quadrilaterum, eugus Opposita tantum latera sunt inter se aequalia , secuti etiam oppositi anguli, ut qua- iiii -ABCD , cujus duo opposita latera AD, BQ aequalia sunt inter se , quemadmodum etiam duo ΑΒ, DC . Duo quoque oppositi anguli BAD, PCD AM , ADC sunt sibi mutuo aequales. l
Reliqua vero ab his quadrilatera, quorum nempe innia Mema inaequalia sunt inter se , qηemadmodum etiam -es ipso rum anguli, trapetua vocantur.
8 Parallelogrammam est quadrilarem , eurus V sita ἰαι o. ra sunt parallela. Tale est quadrilaterum ABCD . Parallela namque sibi mutuo sum tam duo latoea AD , BC ,
quam duo AB, DC, quae sibi adverstatur.
74쪽
9 Rectauulurn est parallelogra-num , cujus smin anguli sunt recti, ut parallelogrammum MCD.
IO Diameter , sive diagonalis pam Eel animi est rem ducta ad opposivos parallelogrammi angulos . Sic recta A D est iam meter, seu diagonalis parallelogrammi M .
II Polygonum est figura plana piaribus , quam quatuor re, ais lineis conrehensa . Sicuti autem numerus laterum au- .geri potest in infinitum, ita morant infinitae penitus sani species , quae a laterum numero denominantur . Dicitur enim pentagonum, si quinque lateribus ἱ hemonum , si se Ptem; decagonum, si decem; eisliuisum, si Iom. I myriri num , si Iomo. lateribus polygonum ipsum comprehem
DEFINITIO XLax Spatia , seu intervacta plurium rectarum parallelarum a. qualia sunt inter se , si recta perpendiculares , qua inter illas eadunt, sint aequales . Sic intervalla rectarum parallelarum
AB, CD , EF sunt aequalia; quia perffndiculares GH , ita inter illas comprehensae sunt aequales.
ακον anguli cu uslibet quadrilateri aquailes sunt . quatuor rectis.
ra Esto quadrilaterum Λ B. Dico quatuor ipsius an
75쪽
Ducta recta AD, seu quadrilatero ΑCDB in duo triangula divise, quatuor ipuus anguli ACD , CDB, DBA, BAC aequales sunt sex angulis triangulorum ADB, ADC simul sumtis a in . Hi autem sex anguli valent quatuor rectos b . Ergo quatuor itidem anguli MD , CDB , DBA , BAD sunt quatuor rectis aequales t e ) . tuor itaque anguli &α quod erat ostendendum.
OROLLARIUM LOmnes anguli quadrati , er quadrilateri observi sunt recti. Is Cum enim omnes anguli tam quadrati , quam quadrilateri , quod dicitur altera parte longius , aequales sint inter se d ; omnesque simul sumti valeant quatuor rinctos, eorum quilibet necessario erit rectus.c O R ς I A. Η Altitudo quadrati, O quadrilateri oblongi eoiseidit cum uno suorum laterum. is Altitudo nimirum quadrati ABDC erit ipsius latus ν;e. 1. CD, vel AB . Enimvero eum uterque angulus CDB . Fic s. ABD sit rectus e ) ,' utrumque latus CD , AB ad pe
pendiculum basi BD insistit f atque adeo pro illius altitudine sumi potest fg . Idipsum dicito de altitudine quadrilateri oblongi MCD.
76쪽
malax anguli Mias quadrilateri, si sum tur semul ;quales sunt quatuor at His alterius quadrilateri simuι itidem sumtis. ' is videlicet quatuor anguli quadrilateri MCD simul sumti , aequales sunt quatuor angulis simul itidem sumus quadrilateri MCD. sunt enim tam illi, qdam isti qua- Me. a. tuor rectis aequales ta , & quae eidem aequalia sunt,
Si tres aetuli unius quadrilarari aquatis fuerint tribus angulis alterius quadrilateri , etiam reliqquus erit reliquo aqualis.1 Quandoquidem si aequalibus aequalia dematur,
remanent, sunt aequalia cc . COROLLARIUM Romnia quadrata sunt inter se mutuo aqui Pisai 3 Cum enim anguli omnium quadratorum sint rectis ;& omnes anguli recti sint inter se muties te , omnia quadrata erunt inter se mutuo aequiangula cf .
Omis parallelogrammi qui ex adverso emsistunt anguli, σ latera, sunt inter se aqualia.
Quadrilaterum ABCD sit parallelogrammum , habeae I nim,
77쪽
nimirum opposita latera AB, CD, sicuti edam AD, BC
I9 Dico primo , oppositos ipsius angulos BAD, BCD , Mmadmodum etiam ABC, ADC esse inter se aequales. Demonstratio. Cum enim latera AD , BC sit parallela, duo anguli
DAB, ABC aequales erunt duobus rectis sa). Eandem ob causam duobus rectis aequales erunt etiani duo BAD, AD eum duo quoque latera ΑΒ , DC sint sibi mutuo parablela . Duo igitur anguli DAB , ABC axluales sunt dum ADC it, . Quamobrem sublato communi BAD , erit reliquus ABC reliquo ADC aequalis so. 'm modo ollandam, etiam duos BAD, BCD esse aeuu lea s adeoque &e.
mit. i. a o meo sec-d s CD, sicuti etiam Tab.ii. AC, BD parallelogrammi ΑCm esse inter se aequalia '
Ducta diabonali AD, anguli alterni tam BAD, ADC producti ab ipsa diagonali Α D , quatenus incidit in rebctas parallelas M , CD , quam ADB , DAC , qui fiunt ab eadem incidente in rectas parallelas BD , AC erunt uales d . Duo ergo triangula ADB , ADC habentduus angulos BAD, BDA duobus angulis CDA , CADaequales, alterum alteri, qui communi lareti adjacent AD Ergo aequalia itiμm erunt ipserum latera , quae aequalibus angulis adversantur , . erit nempe latus AB aequale lateri
78쪽
teri CD, & latus BD lateri AC ca . Itaque omnis parallelograinini, , qui ex adversis cqnsistunt M. quod erat ostendendum. COROLL.ARIUM L, Duo lis parallelogrammi ipsum dividit in duo triangula
xx AEqualia nempe sunt duo triangula ADB , MC , in quae parallelogrammum MDB dividitur a sua diagonali AD. Cum enim latus AB aequale sit lateri CD, la--ν. tus BD lateri AC , & latus AD sit commune utrique 'triangulo ADB, ADC, duo triangula ADB, ADC erunt inter se mutuo aequilatera b . Ergo erunt quoque i. lib. t. ter se mutuo aequalia cc . P, 3 c. O R O L L A R I U M V.
Si unus angulas parallogramm rectus fuerit, Omms sius anguli erami recti. τ
22 Ut si angulus parallelogrammi ABCD suerit rectus, reliqui similitet ipsius anguli BCD, CDA, DAB erunt rem . Enimvero si angulus ABC est rectus, rectus quinque erit etiam angulus illi oppositus ADC , utpote ipsi ABC aequalis d). Quatuor autem anguli ABC , BCD , CDA , DAC aequales sunt quatuor rectis o. Ergo etiam duo DAB , BCD erunt duobus rectis aequales. Duo autem anguli DAB, BCD aequales sunt inter se D. Ergo
79쪽
eo ROLLARIUM m. Recta parallaia, qua inter duas rectas parallelas conti nentur , sunt inter se aequales. 23 si nimirum rectae ΑΗ, GΚ quae inter rectas Pa-τl..t,. AB , CD continentur , fuerint parallelae, erunt Tis II etiam inter se aequales. . Enimvero cum facta hac hypinthesi , quadrilaterum HKGA sit parallelogrammum a , opposita ipsius latera erunt aequalia φ . Igitur re reciae GK aequalis erit 3 adeoque M.
Maa linea bifariam diυidens Opposita parallelogrammi latera i illius quoque diametram diυidit bifariam, o Geombifariam a diametra dividitur . .
M Recta EG bifariam dividat opposita latera AB, DC ι.ε,. parallelogrammi ABCD . Dico, hilariam quoque divide-τ h-u, re ipsius parallelogrammi diasonalem M, & vicissim ab ipsa diagonali M bifariam dividi.
Cum enim opposita latera AB , DC paralIelagrammi ABCD snt aequalia e , eorum quoque dimidia erunt
aequalia d . Segmentum itaque GC aequale erit segme to AE . Quoniam vero latera AB, DC sunt parallela , atque in ea incidit recta AC, anguli alterni MC , Λ erunt aequales se); scuti etiam eandem ob causam aequa les erunt duo AEG, EGC, utpote similiter alterni, prinducti a recta incidente EG. Itaque duo triangula AEE, GF C habent duos angulos FAE, AEF duaus angulis FCG, FGC aequales, alterum alteri. Habent autem etiam
80쪽
latera AE, GC Uualia, quibus aequales anguli adjacent.
Ergo reliqua similiter latera unius aequalia erunt reliquis lateribus asterius, alterum alteri, quae aequalibus respective angulis adversantur , erit nempe latus AP aequale lateri F C, & latus E F lateri F G a ) . Recta igitur EG bifariam dividit diagonalem AC, & vicissim ab ipsa diagonali AC bifariam dividitur a ac proinde recta bifariam dividens opposita parallelogrammi latera &c. quod erat
ostendendum. COROLLARIUM L. I Recta linea silique inridens in plures rectas parallelas , qua aqualia inter se mutuo intervalla habeant, in partes aquales ab ipsis rectis parallelis loca dividitur.
Ut si recta XL oblique inciderit in rectas parallelas AB, CD, EF , GH aequalia intervalla habentes, aequales erunt partes ΚS, ST, TL, in quas ab illis dividitur . . Eductis namque ex punctis Κ, T rectis ΚΝ, o, quae ad per' Pendiculum insistant rectae ΑΒ , atque adeo etiam reliquis CD, EF b) , cum duo anguli KNΤ, RTN sint recti W , duae ΚΝ , RT erunt parallelae d θ; ac proinde quadrilaterum ΚΝTR erit parallelmrammum ce . Cumque pedipendicula ΚΜ, ΜΝ, RQ , QT per hypothesim fini inter se aequalia, recta Μ bifariam dividet opposita latera ΚλRT parallelogrammi KNTR, adeoque etiam rectam ψ fh quae est diagonalis , ut patet, parallelogrammi KN TR . Partes igitur ΚS , is rectae oblique incidentis KL sunt a