장음표시 사용
111쪽
dem B D, & quidem ad idem punctum E . Ergo duae rectae E Α, EF excitari possunt ad easdem partes ex eodeInpuncto E eidem rectae BD ad perpendiculum incum ntes . Hoc autem omnino repugnat a ) . Ergo punctum p non est centrum circuli ABCD . Eodem modo demonstrabitur , nullum punctum extra rectam secantem AC esse centrum circuli ABCD. Igitur hujus odi centrum est insecante AC , adeoque si in circulo &c. quod erat ostendendum.
Recta linea ducta ad angulos rectos pre extremum diametri extra peripheriam ipsius eirculi totaliter eadit. Ex illo autem puncto nequis duci alia recta , qua locum habeat inter eum elaeuli integrum, σ rectam imam taetrauem ,
sed alia quacumque hujusmodi linea ipsius ei euti peripiariam seces it.
3 Per extremum punctum C diametri A C ducatur ad i. angulos rectos recta KL . Dico , totam KL extra periphe P. ra. riam cadere ipsius circuli MCD.
Cum enim ex hypothesi radius o C ad perpendiculum rectae KL insistat, minima erit omnium rectarum OG , ΟΚ, quae a centro O ipsius circuli ABCD in rectam c dς possunt b . Ergo alia quaecumque recta linea dua centro P in rem KL sreundum aliquam sui pa tem extra peripheriam cadet ABCD . Omnes enim radii sunt inter se aequales cst. Quamobrem singula puncta rectae M cadent extra peripheriam MCD praeter punctum C, quod est ipsi peripheriae , rectaeque ΚL commune Iadeoque &c. II.
112쪽
II. IOIM Rursus dico, ex puncto C excitari non posse rectam. quae locum habeat inter arcum CD , S rectam CL , quin secundum aliquam sui partem intra circulum ABCD cadat.
si namque fieri potest, hujusmodi linea si recta C M . Igitur cum angulus in L ex hypothesi sit rectus, angulus X M erit minor recto , ac proinde radius non erit ad perpendiculum rectae CM . Ducatur itaque a centro O in ipsam C M recta perpendicularis ΟΗ . Haec propterea minor erit aliis omnibus , quae a centro O in ipsam in cad re possunt, adeoque etiam recta a). Recta autem simul excedit rectam OC ; eum ex hypothesi recta Ο Η s eundum aliquam sui partem extra perapheriam circuli ABCD indat. Ergo recta OH erit simul major, de minor radio O quo certe nihil absurdius . Nequit igitur recta C M locum habere inter arcum CD , ω rectam CL; adeoque recta ibnea occ. quod erat ostendendum.
OROLLARIO M L angulus eontingentia riuua trecta linea dividi potest.. 4s Neque enim potest recta linea dividere angulum eo tingentiae DCL , nisi educta ex puncto C locum ineat illa ier arcum CD, & rectam CL, ut Patet.
113쪽
c OROLLARIUM ILri emtris in eadem recta linea in infinitium producta acceptis,
scribantur per Hasdem recta extremam infiniti circuti, recta per idem extremum ad amulos rectu tria tua , extra omnium peripheriam tota versabitur.
45 Recha nimirum ΗΚ ducta ad angulos rectos per extremum punctum B rectae B Α , tota versabitur extra peririt pheriam circulorum AEB, CB , DEB , & aliorum quot- '' eumque in inunitum , centrum habentium in eadem recta airecte ad partem A in infinitum producta. Quod enim de uno Ara ostensum est, de ceteris omnibus eodem modo demonsuabitur. coROLLARIO M m.
Periplaria eircularum, eratrum in eadem recta habentium, tran euntes per extremum punctum illius recta linea, quores sunt, magis quidem accedunt ad rectam per illud punctum traductam, ax nunquam illi recta 'congraere psunt.
sis peripheria circuli Din proximior est rectae BK .
Fig. 3. quam periphetia circuli CB At fieri nequit , ut periph η' ria unius ex illis circulis, quamvis extensionis infinitae, congruat rectae BK in alteropuncto praetereunctum B. Id enim si contingere posset, recia M. extra illius peripheriam tota non dem, cOROL.
114쪽
OROLLARIUM IR Engadas contingentia curis linea dividi, o in infinitum minui potest. 8 inandoquidem evidens estiangulum contingentiae, . Κ in plures dividi ope arcuum BC, BF. Cumque infini-Tι in. tae circulorum peripheriae per punctum B Mnsire queant, manifeste constat, angulum ipsum EBE iacinestum mi alui posse. sc HOLIO di os Quamquam angulus contingentia ope rectae lineae dividi nequeat , propterea absolute indivisibilis censendus est , cum , ut modo vidimus , circuli areus ipsum perseqe dividat . Perperam quoque hinc insertur , angulum contingenti
minorem esse quocumque rectilineo Muto quantumvis exiguo . Quandoquidem cum angulus contingentia, angulus
mixtus, utpote qui a resta curvaque linea essicitur, diversi Omnino senens est a retalineo; adeoque illunima est quin cumque anter illos instituta comparatio. Debent enim mugnitudines esse ejuslem Maeris , ut una ad alteram remi
recta linea elaeulum tangat, a centro autem ipsiau inculi ad pumaum comtactus recta ducatur , erit tangenti serpendicularis.1o circulum ABCD tangat recta quaedam KL in pun--nLEtis C. Ducatur autem a centro C ipuus circuli adpuncium conractus C recta OC . Dico , rectam, sue radium tangenti XL ad perpendiculum incumbere .
115쪽
Etenim si radius OC ad perpendiculum non laeumbit recKL , sit recta CG ipsi X.L perpendicularis. Haec ergo
erit minor recta OC ca), quae persendicularis non est. Est me. . autem segmentum OP ipsius OG aequale rectae b , ac γε- 'proinde tota CG major est ipsa CC . Ergo recta OG simul major , di minor erit recta OC , quo nimi absurdius. R cta igitur OG rectae tangenti XL ad perpendiculum non imcumbit, eandemque ob causam nulla alia praeter rectam . Itaque si recta linea Sc. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM Lcirculum rectam tangens , in uno tantum puncto ipsam tangst c
si Si namque in pluribus simul punctis rectam tangereti plures simul rectae ex eodem puncto, scilicet centro tangem iis circuli, in ipsam rectam cadere possent, eidem ad persendiculum insistentes, ut ex hoe theoremate liquido constat. d autem aperte lalsum est sc) . Ergo circulus rectam tangens , in uno tantum puncto ipsam tangit.
c OROLLARIUM II. circulus eirculum exterius tangens, in uno tantum pomimum tangit. Euelid. 12 Etenim si circulus AB exterius tangens circulum CD, in pluribus punctis ipsum tangeret, uterque in pluribus si- , mul punctis tangeret rectam GH per punctum contactus FτΓα traductam . Ergo, cum id repugnet d , circulus ΑΒ ci eulum CD in uno tantum puncto tangit. OROL-
116쪽
c OROLLARIUM m. si a centro eireuli rectam tangentis ad ipsam tangentem recta 'ducatis , qua uti ad perpendiculam insistat, ea thujusmodi recta m punctum contactus.13 Ut si a centro o circuli A BD tangentis rectam KL in puncto C ducatur ad ipsam tangentem recta perpendic laris , cadet illa in punctum contactus C . Si namque fieri potest , cadat hujusmodi recta extia punctum C , eaque sit recta CG . A centro autem O ad punctum contactus C du- Fig a. catur recta O C . Haec igitur erit tangenti Κ L perpendieu ' VLIaris sa . Posita est autem etiam recta OG eidem M pedipendicularis . Ergo duae rectae perpendiculares cadunt ab eodem puncto O in eandem rectam KL . Id autem repugnat b). Ergo recta OG non est perpendicularis tangenti M . Eodem modo ostendam, nullam rectam cadere posse a puncto O in rectam KL, quae si ipsi KL perpendicur Iaris, quin cadat in punctum contactus C r, adeoque &c.
cireulas circulum interius tangens, in uno tantummodo puncto ipsum tariis.1 Circulus DF intra circulum ABC positus , ipsum tan-mlid. gat in C . Dico, hujusmodi contactum in uno puncto tam tummodo fieri.
Si namque fieri potest, circulus DE tangat circulum ABC in duobus simul punctis C, F, sitque punctum H centrum Fie. αε. circuli ABC, & punctum G centrum circuli DE. Ducatur itaque per eorum centra H , G recta I C, quae per unum o Pum
117쪽
punctum contactiis C incedat . Ad alterum vero punctum contactus P ducatur a centro G recta GE , & a centro Hrecta I F. Cum igitur punctuin G sit centrum circuli DE , duae rectae CG, GF, utpote illius radii, erunt aequales c. Qu3mobrem addita utrique recta GH, erunt duae HG, GH simul sumtae aequales rectae H C b . Est autem recta HV aequalis rectae HC ; cum utraque sit radius circuli ABC. Ergo duae HG, GF rectae quoque I F aequales erunt e ; ac proinde duo trianguli latera tertium aequabunt. Id autem repuSnat d) . Ergo contactus circulorum DB, ABCfieri nequit in duobus punctis C, F . Itaque circulus circulum tangens &c. quod erat ostendendum.
Si a rentris duorum cireularum sese exteritis tangentium daa recta ad punctum contactus ducantur , erant sitis dua recta
linea in directum posita. 3s Duo circuli AB, CD sese exterius tangant in puncto F. Α centro autem K circuli ΑΒ ducatur ad punctum P recta EF, & a centro L circuli CD ad idem punctum recta LF . Dico, rectas M, FL esse in directum positas.
Ducta per punctum F recta G H utrumque circulum in illo puncto tangente, utraque m , is illi ad perpendicuris, i. tum incumbet est is rectusque subinde crit uterque angulus τλu G, LFG . Ergo duae ΚF, LE erunt in directum pinsitae , seu unam eandeinque rectam KL constitvcnt g . Itaque si a centris duorum circulorum Sc. quod erat osten
118쪽
c OROLLARIUM. Si duo circuli se tangant exterius , recta eorum centra cori ens per punctum contactas i. ansibit. e 6 Ut si duo centra Κ, L circulorum AB, CD sese exte-Σ-lisirius tangentium jungantur recta linea, haec transibit per pun- , ctum contactus F . Etenim si fieri potest , transeat extra Il- .ilud punctum , sitque linea KOL . Cum igitur rectae KF ,LF ductae a centris Κ, L ad punctum contatius F unam eamdemque rectam constituant, recta erit utraque X.L, KOL; ac proinde duae rectae spatium claudent, quo nihil absur
Si dis eireuli intus sese tragant, recta ducta per rerum eat ira ibit per punctum contactus. 7 Duo circuli AEB, DFB intus sese tangant in pu η Φ : cto B . Ducatur autem per eorum centra N, O recta No, p. D. eaque in directum producatur. Dim, futurum esse, ut transeat per punctum contactus B.
Transeat namque, si fieri potest, extra punctum B , ut recta NL , sitque punctum P centrum circuli ΑΕΒ, & punctum N centrum circuli DAE . Ducantur autem radii ra , N B ad conmune utriusque punctum B . Igitur cum Pun ctum N sit centrum eirculi DFB , rectae N L, N B erqnt aequales c b ). Eadem ratione aequales erunt duae PM, cum punctum P p tum sit centrum circuli ΑΕΒ . Addita Propterea communi P Ν , erit recta NM aequalis duabus
NP, PB simul sumtis c . Duae autem N P, PB majores
119쪽
sunt reliqua NB a . Ergo recta quoque NΜ rectam ΝΒ superabit b); adeoque etiam rectam ΝL , utpote quae remctae NB ostensa est aequalis. Pars igitur NM major erit suo toto NL, quo nihil absurdius c). Recta igitur conjungens
centra circulorum AEB, DEB extra punctum contactus B non cadit ; adeoque si duo circuli intus &c. quod erat ostemdendum.
Si recta elaeuum tangat, atque a puncto contactus recta intra circulum excitetur , qua tangenti ad perpendiculum inflat, erit in illa centrum ipsius circuli.
38 Circulum ABCD tangat recta ΗΚ in puncto C . Ex autem excitetur intra circulum recta C A ipsi ΗΚ ad p. s. perpendiculum insistens. Dico, in recta perpendiculari CAesse centrum ipsius circuli MCD.
Etenim, si fieri potest, centrum circuli ABCD extra rectam perpendicularem C A reperiatur , sitque illud punctum L . Ab ipso itaque cadat in punctum conractus C r cta L C . Haec ad perpendiculum incumbet rectae tangenti j., iii cd . Eidem autem rectae ad idem punctum C perpe '' Udiculariter insistit recta C A ex hypothesi . Ergo duae CA , CL sunt simul perpendiculares eidem rectae ΗΚ . Hoc a tem repugnat se . Ergo punctum L non est centrum ci culi ABCD. Ei em modo demonstrabitur , nullum pumctum extra rectam perpendicularem C A esse centrum circuli ABCD . Ergo hujusmodi centrum in ipsa perpendiculariCA reperitur. Itaque si recta circulum tangλt &c. quod erat ostendendum. THEG
120쪽
In eirculo aquales recta linea aequaliter a eentra distaent; σ qua aqualiter a centra distant, sunt aquales.
eo In circulo ACm duae habeantur rectae inter se aequa-Σ-ii: les AB, CD. Dico, illas aequaliter distare a centro E ipsius =. ita circuli.
Ducantur a centro E ad ipsas rectas ΑΒ , CD rectae perpendieulares EF, EG, atque ab eodem centro ad extrema earundem puncta radii EA, EB, m , ED . Rectae igitur ΑΒ , CD bisariam divisae erunt a rectis perpendicularibus EF, EG a . Quamobrem, cum duae M , CD positae talaequales, earum quoque medietates FB , G D aequales erunt b . Rursus cum duae M , CD sint aequales , ucuti etiam duae EB, ED , necnon duae EA, EC e ) , angulus ABE angulo EDC aequalis erit d) . ostensum est aute', duo latera FB, GD triangulorum FBE, GDE esse aequalia, sicuti etiam duo EB, ED. Ergo bases quoque ipsorum tria gulorum FE, EG erunt aequales se ; atque adeo re AB, CD aequaliter distant a centro E ipsius circuli D. II. clo Vicissim vero rectae AB, CD ex aequo distent a cen gialia. tro E circuli AC , adeoque rectae perpendiculares FE, EG ibid. sint inter se aequales. Dico, aequales quoque esse inter semitas AB, CD.