장음표시 사용
121쪽
Cum enim rectae FE, EG ad perpendiculum ex hypothesi incumbant rectis AB, CD , anguli EFB , EG D erunt recti sa); duoque propterea triangula EFB , EGD erunt rectangula b γ . Igitnr quadratum hypotenulae EB aequale erit quadratis laterum EF, FB, sicuti etiam quadratum hypotenuis ED quadratis laterum EG, GD c). Sunt autem quadrata laterum EB, ED inter se aequalia do , ob mualitatem scilicet rectarum EB, ED e . Ergo duo itidem uadrata laterum EF , FB simul sumta aequalia erunt quuratis laterum EG, GD simul pariter sumtis D. AEquulia autem sunt quadrata rectarum aequalium EF , EG g . Ergo, his sublatis, quadratum lateris D quadrato lateris GD aequale erit h ); atque adeo etiam ipsa latera F B, G Derunt 'qualia ci) . Eodem modo demonstrabitur , aequalia esse etiam segmenta AF, CG . Igitur tota AB toti CD aequalis erit . In circulo itaque &c. quod erat Ostenden
scΗOLIO V. 6I Cum rectae perpendiculares EF , EG bifariam diu, dant rectas AB, CD l , si segmenta G, GD aequalia sunt inter se, etiam tota M totam CD muabit m . COROLLARIUM.
Maa in eis Io mkaliter at illius eratro distantes aqualibus a cubus subtenducitur a ct qua aequalibus arcubus subtemduntur , aqualiter ab illius erepra distant.
61 Ut si in circulo ΑCm rectae AB, CD aequaliter
ab illius centro E distantes fuerint , arcus ΑΒ , CD , quibus
122쪽
quibus illae subtenduntur , erunt aequales; & vicissi in si arcus hujusmodi fuerint aestuales, chordae AB, CD aequa-Trbii liter a centro E distabunt. Etenim si rectae ΑΒ , CD a centro E aequaliter distant, aequales erunt inter se a . Ergo arcus quoque AB, C D erunt aequales b) . Vicissim si arcus ΑΒ , CD sunt Uuales, aequales itidemerunt rectae AB, CD 0; ac proinde aequaliter distabunt a centro E circuli cis .
In tinuo recta, qua per centrum transit, est omnium rectarum , quae in iis circisis duci pessunt, maxima . Aliarumturo, qu propinquior es centro , remoti re major est.
In cireulo AFC plures habeantur rectae AC, DE, PG, Euella. quarum ΑC per centrum B ipsius circuli transeat.
O Dico primo, rectam AC esse omnium maximam r
Ex emtro B ipsius cireuli ducantur ad extrema puncta D, E rectae DE, radii BD , BE, constituaturque trian-ν;- gulum DBE. Manifestum est, rems BA, BD, BC, BDabiu. esse inter se aequales ; cum sint radii ejusdem cire ii . Igitur tota AC aequalis erit duabus BD , BE. Sunt autem duae BD, BE simul sumtae majores reliqua DE s Erso recta quoque AC rectam DE superabit ae . Eadem ratione ostendam , rectam AC majorem esse recta FG , iisque omnibus , quae in ipso circulo ABC reperiri pes sunt; adeoque &c.
123쪽
ω Dico secundo; rectam DE propinquiorem eentro B majorem esse recta FG, quae ab ipso centro est remotior.
Ducantur a centro B ad extrema puncta rectae FG radii BF , BG , ut proinde constitutum habeatur triangulum FBG . Duo itaque latera BF, BG trianguli FBG a qualia erunt lateribus BD , BE trianguli DBE aθ ; cum omnia sint radii ejusdem circuli . Constat autem , angulum DBE majorem esse angulo FBG M. Ergo basis suoque DE major erit base FG e . Recta igitur in circuislo, quae proximior est illius centro, remotiore major est; adeoque in circulo recta Sc. quod erat ostendendum c OROLLARIUM LDiameter elaeuli est omnium rectatrum, qua is ipse circulo duci pessunt, maxima. 6s Ex omnibus namque rectis , quae in circulo constitui possunt, sola diameter hujusinodi est, ut per circuli centrum transeat cd .c OROLLARIUM II. Omninm ctardarum maxima est diameter. 66 Quandoquidem ex omnibus chordis sola diameter per circuli centrum transiit; cum omnis recta, quae per cenetrum transit, sit circuli diameter e .cOROL-
124쪽
co ROLLA UM m. . urrima rectara , qvie m elacato eonstitui possint per illius centrum transer. 67 Etenim, si secus, diameter circuli non esset omnium maxima. Quippe altera recta haberetur in circulo, diver'sa ab ipsius diamevo, & simul major diametro .
orda majoris arcus eireuli major est elarda arcus minoris, o vicism minor Gorda remorem, quam malloriareum subtendit.
68 In circulo MC duo spinntur arcus DOE, F , νω visitque arcus DOE major arcu FOG. Dico, chordam Dera mέoris arcus majorem esse chorda FG arcus minoris.
Α eentro B ipsius circuli ducantur ad extrema puncta chordarum, adeoque etiam arcuum, radii BD, BP, BG, BE. Cum . igitur arcus DOE major sit arcu FOG, angulus quoque DBE angulum FBG superabit ca . Sunt a tem latera DB , FB aequalia inter se , quemadmodum etiam latera BG, BE LM. Igitur basis m trianguli DBEmajor erit bala FG trianguli FBG έ; adeoque M. II. 69 Uieissim vero chorda DE maior sit chorda FG. Dieci P arcum
125쪽
Elementorum arcum quoque DoE chordae Dd majorem esse arcu F
Ductis radiis DB, FB, GB , EB, ut supra, constitu-tilaue propterea triangulis DBE, FBG, cum duo latera DB , EB aequalia snt inter se , sicuti etiam duo G B, EB a , & basis D E major sit ex hypothesi bala FG,. angulus quoque DBE major erit angulo FBG, qui aequulibus lateribus continentur b . Est autem arcus DOE ad arcum P , ut angulus DBE ad angulum FBG 0 . E go arcus quosve DOE maior erit arcu FOG d . Igitur
chorda majoris arcu circuli &c. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM. irculi chorda, quo magis a centro distat, eo minorem arcum subtendit. o Enimvero, quo magis chorda a circuli centro distat, eo minor est e . Ergo, quo magis a centro distat, minorem arcum per hoc theorema subtendit.
D eodem circula angulus ad eretrum dupus est anguli ad perhneriam, si uterque eidem arcui insistat. a Trieliciter fieri potest , ut angulus ad peripheriam illi arcui insistat, cui angulus ad centrum incumbit.
Esto itaque primo in circulo ABC ad iusius centrum D angulus BDC; ad peripheriam vero angulus BAC, eidem
126쪽
insistentes arcui BLC. Dico, angulum BDC duplum esse anguli BAC.
Ducatur ab anguli BAC apice A per centrum D recta AL . Cum igitur duo radii DB , DA sint 'quales a , triangulum BD Α erit isosceles b . Anguli ergo D AB, DBΑ , qui sunt ad basim M , erunt aequales sc). Est autem angulus externus BDL aequalis duobus internis oppositis DAB , DBΑ d). Ergo, si duo D AB , DBA aequales sunt inter se , angulus BDL erit duplus utriusque. Est igitur angulus BDL duplus anguli BAL . Eodem modo ostemdam , angulum quoque L DC duplum esse anguli DA C. Igitur totus BDC duplus est totius BAC ce ; adeoque &c.
Angulus ad centrum sit BDC, & angulus ad peripheriamst BZC . Dico, angulum BDC duplum esse anguli BZC.
Angulus BDC aequalis est duobus internis oppositis D . Dra U. Hi autem duo anguli aequales sunt inter se n ;- cum duo latera m , DC sint aequalia ch . Ergo angulus BDC duplus erit anguli BZC.
Angulus ad centrum sit BEC in circulo GBD , & angu-Ia Ius ad peripheriam sit BDC . Dico, angulum BEC duplum esse anguli BDC .
127쪽
Ducta enim a puncto D per centrum circuli E rectam; angulus GEC duplus est anguli GDC, quemadmodum etiam angulus GEB anguli GDB , ut ex secundo casu est manifestum. Sublatis ergp angulis GD, GDB, erit reliquus BEC duplus reliqui BDe ca) . In eodem itaque circulo &e. quod
erat ostendendum. COROLLARIUM LMensura anguli ad peripiariam est medietas meus, eui infidit . 72 Sic mensura anguli BAC ad peripheriam positi, est medietas arcus BLC , cui insistit . Etenim totus arcus Bis τλ.ui.est mensura anguli ad centrum BDC b . Cum ergo angulus ad peripheriam BAC sit medietas anguli BDC , nonnisi medietas arcus BLC angulum ipsum BAC metietur. c OROLLARIUM ILO es anguli, qui in eadem, vel aequali elaeuli portione consistunt, inter se sunt aquatis.
Meud. 7i Anguli nimirum BAC ; BZC, qui in eadem circuli, 'iat Portione consistunt BAC, sunt inter se aequales. Etenim si Fic s. guli sunt medietas esusdem anguli BDC ad centrum positi, τ m eidemque arcui insistentis BLC. Idipsum dicito de iis, qui in aequalibus circuli portionibus reperiuntur.
a C O R O L L A R I U H IILOmnes anguli ad peripiariam positi, qui aquallas Husdem peri- eria arcubus insistunt, inter se sunt aquales. Videlicet si portio FHL circuli BFL aequalis fuerit
128쪽
portioni DBM ejusdem circuli, anguli FI L, DBM in ,. portionibus contenti, erunt inter se aequales . Si namqueris is arcus FHL , DBM aequales sunt inter se , 'quales quoque erunt arcus PBL , DI Μ μ), Mibus anguli ipsi insistunt. Ergo ipsi itid- anguli FHL, DBM erunt inter se aequa
Angulus in semicirculo consistens rectus est: qui in portione major acutus ; oe qui in minori, maθον est recto . Vicissim illa pytis circuli est semieircalas, qua rectum continet anguIum: major semicirculo, qua acutum, minor veroIemi circulo, qua obtusum angulum comprehendit.
In semicirculo BAD consistat angulus BAD . Dico angulum BAD esse retium. p.ra: Demonstratis. Ab anguli apice Α dueatur per centrum C recta AC Ec Manifestum est, angulum BAC esse medietatem anguli BC & angulum CAD medietatem anguli ECD cc , ut proim FIL s. de totus angulus BAD medietas sit duorum BCE, DCEDuo autem anguli BCE, ME valent duos rectos d).go angulus B AD unum rectum aequabit, seu erit rectus Angulus itaque in semicirculo &c.
6 In portione BAC circuli BCΑ, quae sit major semicir νii , culo BAZ , consistat angulus BZC. Dico, ipsum esse acu Tabbu
129쪽
t 18 Elementorum Demonseratio.
A centro D ad extremum punctum C ducatur rem M. Cum igitur angulus BDC simul cum angulo CD Z constituat summam duorum rectorum a , angulus BDC minor erit duobus rectis .. Est autem angulus Bre medietas anguli B M. Ergo angulus GC erit minor recto, nempe ac
III.,i 77 In portione ACD circuli ΑOD, quae sit minor semi-u.ὼ circulo FAD, consistat angulus ACD. Dico, angulum ipsum
Ducatur ab ipsius anguli apice C per centrum E recta Cinjunganturque extrema A, D cum centro E rectis AE, DE, quae producatur directe in F . Cum igitur duo anguli FEO, Om valeant duos rectos e , duo A EO, OED duobus rectis majores erunt. Est autem angulus ME medietas a guli AEO, & angulus DCE medietas anguli DEO , adeoque totus angulus ACD medietas duorum AEO, DEO M. Ergo angulus Α CD major erit recto, nempe erit Obtusis. Igitur &c. IV.
8 Vieissim angulus BAD sit rectus. Dico , portionem .. BAD circuli MED , quae angulum ipsum comprehendit,
130쪽
si namque portio BAD semicirculus non est, erit segmentum majus, vel minus semicireulo. Non est autem segmen, tum majus; quia tunc angulus BAD esset acutus, ut patet ex fecunda parte hujus. Neque est segmentum minus tquia tune angulus dAD esset obtusus, ut liquet ex tertia,
quod est contra hypothesim . Emo portio BAD est semin
V m Eodem modo demonstrabitur, portionem BAC circuli
Α Z, quae angulum acutum GC continet, esis majorem s. semicirculo . Portionem quoque ΑCD circuli ΑΟD, quae fiu obtusum angulum ACD comprehendit, a semicirculo deficere . Itaque angulus in semicirculo M. quod erat ostendendum ac OROLLARIUM.' 8o .angulus in portione circuli consistens eo ma re est . quo minor est ipsa portio ; σ eo minor , quo ipsa portio est major . VLeissim portis circuli major est , quo minorem , σ re minor , quo majorem angulum eο-ehendit,
chorda parallela aquales cisculi artus intercipiunt: 81 In circulo FLMG sint duae chordae parallelae ΗΚ , FIa. 4. LM, arcus intercipientes ΗL, ΜΚ. Dico, arcus hujus o di HL, - esse inter se aequites.