P.F. Fortunati a Brixia Ord. min. ref. prov. Brixiae ... Elementa mathematica in quatuor tomos digesta. .. Tomus secundus in quo linearum atque planorum symptomata demonstrantur

91쪽

c OROLLARIUM III.

Ex omnibus figuris rectilineis sola triavgula aequilatera. φέadrata ict hexagona regularia , si penes latera semul respessivei gantur , replent spinum , quia est circa idem punctum in eodem plano. Nimirum sex triangula aequi latera , quatuor quadra ta, & tria hexagona regularia, si jungantur penes latera , replere possunt spatium , quod est circa idem punctum in eodem plano , & praeter haec , nulla alia est figura , quae aliquoties sumta id praestare queat. Primum patet Τ, quia uilibet angulus trianguli regularis adaequat tertiam partem uorum rectqrum μ) , adeoque sex tam partem quatuor rectorum . Quilibet angulus quadrati est rectus ib); & quil,

het angulus hexagoni regularis valet unum rectum, &unam insuper tertiam partem unius recti sto. Alterum quoque ma nifestum fiet inductione . Constabit enim , si valor cujusl, bet anguli ceterarum figurarum expendatur, earum angulos simul junctos vel summam excedere quatuor rectorum ,

vel ab illa deficere d .

. C O R O L R I U M IV. Omnes figura recti ea regulares ejusdem generis sunt inter se mutuo aquiangula.: 4s omnis enim angulus trianguli regularis valet tertiam partem duorum rectorum e . omnis angulus quadrati , quod solum inter quadrilatera est figura regularis , rectus est f) . Et omnis angulus polygoni regularis ejusdem generis est a qualis. numero rectorum , quos omnes illius anguli simul sumpti adaequant , per numerum laterum div N

92쪽

Anguli externi e uilibet figurae remmea aquales sunt

quatuor rectis.

U Latera hexagoni ACE directe ad easdem partes producantur , videlicet latus FΑ in , , latus ΑΒ ine, latus in d, latus CD in e , latus DE in f, & latus EF in a. Dico, angulos externos MB, AEC , d CD, e DE, fEF, a FA Gmul sumtos conficere summam quatuor angulorum rectorum.

Cum enim duo quilibet anguli, externus bAB, & intectanus deinceps positus Fra , valeant duos rectos a ) , --guli interni, & externi hexagoni ACE simul sumti erunt i uales duodecim rectis, nempe bis tot rectis, quot sunt ipsius hexagoni latera . Constat autem , angulos intern famul cum iis , qui fiunt circa punctum G , aequales itidem esse duodecim reinis h . Elci anguli interni simul eum externis aequales erunt angulis internis sumtis cum iis, qui sunt circa punctum G c J. amobrem sublatis internis, erunt externi aequales iis , qui circa punctum G constitui possunt d . Hi autem valent quatuor rectos se . Ergo anguli quoque externi quatuor rectis aequales erunt f θ . Itaque anguli externi &c. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM.tanguli externi anius figura recti ea simul sumti, sunt aequalis angulis externis itidem simuι sumtis asterius eujuslibet 'κra rectilinea. 7 Cum enim omnes sint aequales quatuor rectis g sL omnes

93쪽

omnes anguli externi unius figurae planae rectilineae oma,hus angulis externis alterius ariuales erunt M.

APPENDIX.

De lineis incommensurabilibus. D E F I N I T I o L

48 Mavutudines tammensuratis dieantis ilia , quabus darer leommunis me Ma , seu qua sunt bulla odi, at una eademque nia Pitudo eas exacte metiri possi. Nes sunt linea bipalmaris, dilinea tripalmaris . Utramque enim palmaris linea adaequato

metitur

M M ludises eommensurabiles Diu intra se , ut numerηι vulgaris integer . 'et fractus ad numerum vastarem istoe umivel fractum. Et vicissim magnitudines, quarum una est ad aliam, ut numerus vulgaris integer , vel fractus ad numerum vulgarem in uan, ves fractin, sunt inter se eommensurabiles. Numeri enim vulgares integri habent unitatem pro mensura comma ni , & numeri vulgares fracti eandem unitatis Particulam, si ad uem nomen reducantur.

DEFINITIO IL

so Ilia vero magnitudines ineommensurabiles vocantur, quibησnulla es meUura communis , sive pars, qua eas omnes adaquate

metiatur.

COROLLARIUM.sI Illa magnitudines sunt inter se lac mensuratiles, quarxm l

94쪽

ana non est ad aliam , ut numerus vi aris integer, vel fractus ad numerum vulgarem integrum , vel fractum . Hoc enim ipso magnitudines illae sunt hujusmodi, ut nulla pars aliquota illis communis inveniri quvat.

LEMMA I.

Quadrata magnitudirium commensurasilium Iunt ister se , - numerus quadratus ad merum quadraraxm- sint duae magnitudines commensurabilina, b. Dico, ipsarum quadrata a a , bbesse directe inter se ut numerus quadratus ad numerum quadratum.

- Demonstratis.

Cum enim magnitudines a, b sint, ut numerus ad nu.; merum a ) , ponatur a. b I. Igitur erit quoque a a.

Illa mi gnitudines, quarum quadrata sunt inters , ut nais maeras qua uus ad numerum q-atum, sunt inter se commensecratis. 33 Sint duae magnitu sines a , . , quarum quadrata a a, bb sint directe inter se, ut numerus quadratus Is ad num rum quadratum P. Dico , maritudines a , b esse eoi ei furabiles.

Enimvero, eum per hypothesim habeatura a. bbm IS9ἰ horum quoque terminorum radices quadratae a , , ε,3 erunt proportio es , erit nempe a. b m 4. 3 ς .

95쪽

8 Elementorum

duae magnitudines a, b erunt inter se commensurabiles a ;adeoque M.

LEMMA III.

Luadrata misitudinum inremmensurabilium non sunt inter se iut numerus quadratus ad numerum quadratum. Sint duae magnitudines ineomm urabiles Dico earum quadrata a a, b b non esse inter se, ut numerus quadratus ad numerum quadratum.

Demonseratio.

Si enim quadratum a a esset ad quadratum bb, ut numerus quadratus ad numerum quadratum, radices a, b essene inter se remm furabiles c b . Ergo M.L E Μ Μ Α IV. . Illa re studines sint ine mensurabitis, quarum quadratan sunt inrer se, ut numerus quadruus ad numerum

quadratum.

1s Quadrata a a, b b magnitudinum a, b non sint inter se, ut numerus quadratus ad numerum quadratum. Dico magnitudines a, b esse incommmmabitis.

Magnitudines namoue a, b non possunt esse e mensura biles, nisi earum quadrata a a, b b sint inter se, ut numerrus quadratus ad numerum quadratum se . Ergo M.

96쪽

Liber VI. 81

Nullus numerus quadretus musi esse duplus alterius numeri quadrati. s Esto numerus quadratus a. Dico, nullum inveniri popse numerum quadratum, cujus numerus ipse a sit duplus.

Demonstratio.

sumtis namque in ratione' quotcunque numeris ab unitate, videtlicet I. 2. . 8. I 6. 32. 6 I28. &c. tertius dum taxat ab unitri est quadratus , & ceteri omnes unum in termittentes a P. rigo nullus numerus quadratus potest esse duplus alterius numeri quadrati.

Diagonalis quadrati est ineonmensura bilis lateribus ipsius quadrati. 37 Esto quadratum ADCB, ejusque diagonalis AC. Dico, rectam AC esse ine mensurasilem lateri ΑΒ ipsius quadrati.

Demonstratio.

Quadratum AEC diagonalis M est duplum quadrati Atalateris AB ipsius quadrati b . Nullus autem numerus qua dratus potest esse duplus alterius numeri quadrati se . Ergo quadratum AEC diagonalis M non est ad quadratum AFB

lateris ΑΒ, ut numerus quadratus ad numerum quadratum. Illae autem magnitudines sunt inter se incommensurabiles , quurum quadrata non sunt, ut numerus quadratus ad numerum

97쪽

s Estmeruorum

S c Η O L I O38 Verum ut id evidentius fiat, e namus, diagonalem Fig.rs. dati quadrati esse rectam G H , Gutiem vero Iatus rectam Y1.2 hujusinodi rectae simi inter se commensurabiles , communis earum mensura sit pars , sintque propterea in diagonali GH sex partes ipsi G o aeqHles a quinque vero in latere CD . Igitur quadratum EGm diagonalis GH continebit 36. parva quadrata aequalia indrato GP communis mensurae Go. At quadratum Amn lateris CD nonnisi χs ex hisce parvis quadratis, ut patet , comprehendet. Quadratum ergo EGII F non erit duplum uuadrati AC DB . Quamobrem , ut sit duplum , non potest latus CD quisquaex illis partibus comprehendere, ex quibus so in diagona-

ν; ,,. li GH continentur. Ponamus idcirco, quatuor dumtaxat ex

. in illis partibus in recta , sive latere MN dati quadrari reperiri. Igitur quadratum K MNL I6 Padrata dumtaxat , quorum singilla quadrato GP aequalia sint , complectetur ;ae proinde quadratum EGI F diagonalis GH, neque in hoceani duplum erit quadrati ΚMNL lateris MN . Ut igitur quadratum diagonalis GH sit drisium quadrati lateris dati

quadrati, debet latu& iesum continere minus quam quisque ex illia partibus , ex quibus sex habentur in ipsa diagonaIi GH , plus vero quam qua r . Verum cum demonstratio robur habeat, quicumque si numeruspartium aliquotarum, in quas divish ponatur diagonalis GH , perspicuum rem net, diagonalem , atque latus quadrati esse lineas illius indolis , ut nulla a uari queat pars, quR ear Omnes ada quate Metiatur.

98쪽

ELEMENTORUM

MATHEMATICORUM

LIBER VII.

De circula. C Matur figuris omnibus planis nobilior est , tantaeque

praestantiae, ut stomes admiramisum omnis , quae in natura fiunt, principium, re crafam illum dixerit. Eximias itaque circuli assectiones hoc libro complectemur ,& demonstrabimus.

1 Deutus est figura plana sub una tantum euma linea est prehensa , in ensera area punctum es , a quo omnes rectast ducta in illam curvam lineam , sant inter se aquales. Hujusin

di est figura ABCD curva linea ABCD undique terminata. AEquales namque sunt omnes rectae EA, EB, EC, ED, e I teraeque omnes , quae a puncto E in illam curvam ABCD cadere possunt.

1 cireunferentia emilia, quae illius etiam peripiaria diei so Iet, est illa euma ιinea , qua circulus amdique elauditur . Sic l, pr , .nea curva ABCD est circumferentia, &peripiaria circuli MCD.' L

3 centrum Hrculi spunctum in illius mea sumtum, a qM Omnes recta linea, qua in illius peripseriam cadunt, sunt inter se aequar

99쪽

8 8 Elementorum

Ies. Tale est punEtiam E in circulo ABCD; eum aequales sint rectae EA, EB, G, ED, quae ab eo dubae sunt in P ripheriam ABCD. COROLLARIUM L. Singula puncta periphoia circuli aequaliter distant ab illius lentro. AEquales enim sunt rectae, quae illorum omnium dianantiam metiuntur.

c OROLLARIUM ILs centrum eirculi in illius medis psitum est. Definiri propterea etiam solet : punctum in medio circuli constitutum. c OROLLARIUM M. 6 AEquales fusdem eirculi areus sibi mutuo eongruunt. Qui'pe, si secus, non omnia ipsorum puncta Eriue distarist a centro , sed magis illa, quae extra Aterum iptorum arcuum caderetnt .

ipsius circuli, σ utrisque ad illius peripheriam terminata . Hu-Fix M. jusinodi sunt in circulo ABCD duae rectae BD, AC. Trans eunt enim per illius centrum E, & in illius periphetiam desinunt. xc OROLL RIUM. 8 Omnis diameter eireuli totum Uyim circulum , e usque per pherium bifariam dividit. I ransit enim per punctum , quod

in illius medio positum ci a , quodque a singulis punctis peripheriae ipsius circuli aequaliter distat b . DEFL

100쪽

Liber VIL

DEFINITIO V. .. 9 Rrdius eireali est recta quaeumque linea ducta a centro eis liis illius peripbertim . Hic femidiameter etiam dicitur, quod sit medietas diametri. Tales igitur in circulo ABCD sunt rectae , LB, EC, ED ; cum earum quaelibet cadat a centro ipsius circuli in illius periphenam MCD. OROLLARIUM Lxo omnes e usdem circuli radii fune inter se aequales:omnes namque illae rectae lineae aequaia sunt inter se, quae a ce tro circuli in illius peripheriam cadunt a .

II Omnes quoque e sdem cireuli diametri sunt inter se aquales r' Cum enim quaelibet diameter sit dupla radii, sicuti omnes radii, ita diamatri omnes ejusdem circuli erunt inter se aeqquales b . COR OZ LMRIUMm. I2 Anguli j quos essest radias quilibet circuli eum e fidem rerripiaria , sunt aquales. Angulus nimirum EDA aequalis est angulo EDC , quos efficit radius E D circuli ABCD cum ejusdem peripheria ABCD . Etenim si sumantur hine inde aequales arcus - , DC, eorumque alter revolvatur , immoto existente radio ED, illi sibi mutuo congruent eὰ . Congruunt ergo anguli EDA, ED C. Igitur sunt inter se aequales d . , DEFINITIO UL. x3 chorda tirculi est qualibet recta linea intra cireulum ducta,