장음표시 사용
131쪽
Ducantur a centro B circuli ad illarum chordarum mirema radii BH, BL, ΒΜ, ΒΚ, junganturque extrema Η, Π recta ΗΜ. Manifestum cst, angulum H BL duplum esse anguli ΗΜL , & angulum ΜΒΚ duplum esse anguli MHΚ a . Sunt autem anguli H- , ΜΗΚ inter se a, quales *; cum sint alterni, producti a recta I M incide te in parallelas ΗΚ, LM. Ergo anguli quoque ΗΒL, Μ ; erunt inter se aequales c); cumque sint ad centrum, arcus similiter HL, MK , quibus ii istunt, erunt inter se aequa les c d . Itaque chord* parallelae-quod erat ostendendum s
Omnis p drilateri eireulo inscripti duo quisumqae anguli ex adverso positi valent duos rectos. audita. Circulo AOD inscriptum habeatur quadrilaterum lib. a. ABDC. Dico, duos ipsus angulos ex adverso positos ACD, P 'ABD, quemadmodum etiam duos BAC, B simul sumtos, summam duorum rectorum conficere.
Ductis a centro E circuli ad apices angulorum Α, C , DT;ι. radiis EA, EC, ED, productoque in directum radio CE in τ b.au angulus ABD erit medietas anguli AED, & angulus ΑCDerit medietas duorum AEO, DEO e , ut proinde duo anguli ABD, ACD medietas sint corum, qui circa punctum Eferi possunt. Anguli autem, qui fieri possunt circa punctum E valent quatuor rectos f . Ergo anguli ABD, ΑCD dum bus rectis aequales erunt. Rursus quatuor anguli quadril,
132쪽
teri si ipsi simul sumantur , summam quatuor rectorum conficiunt u. Ergo si duo anguli ABD, ACD quadrilateri AB DC aequales sunt duobus rectis, reliqui itidem duo BAC, Cm duobus rectis aequales erunt. Omnis igitur quadrilateri &c. quod erat ostendendum. ΤHEOREM A XVIII. t
si recta linea circulum , gat , σ a pwncto contactus recta intra circulum ducatur , erunt anguli in puncto contactus prodam, quales iis , qui in alternis ipsus circuli portionibus
33 Recta linea EF tangat circulum BGD in puncto B, quo itura ipsum circulum recta ducatur. p.
Et quidem primo transeat hujusmodi recta per centrum X ipsius circuli, sitque recta BA . In segmentis autem circuli habeantur anguli BGA, BDA . Dico , angulum EBA princi a ductum in puncto contactus B a recta tangente EF simul cum recta B A intra circulum ducta ,' ariualem esse angulo BDA, & angulum FBΑ angulo BGA, qui in alternis ipsius circuli portionibus consistunt.
Cum enim recta ΒΑ transeat per centrum X circuli; adique in punctum contactus B incidat, ad perpendiculum rectae tangenti EF incumbit b ; rectique proinde erunt amguli EBA, FBA e . Recti autem iunt etiam anguli BGA, BDA , utpote in semicirculo consistentes d). Ergo angulus GA aequalis erit angulo BDA, & angulus DA angu
133쪽
Cadat modo recta a puncto contactus B intra circulum ducta extra illius centrum X , eaque sit recta BD. In portione autem BCD fiat angulus BCD , & in portione majori BGD fiat angulus B G D. Dico, angulum F B D angulo D, & angulum EBD angulo BCD esse aequalam.
Ducatur a puncto contactus B per centrum X recta BA;& jungantur puncta A, D recta AD; sitque proinde inscriptum circulo BGD quadrilaterum BADC. Cum igitur a gulus BDΑ in semicirculo consistat, rectus erit sa). Quamobrem reliqui duo anguli DBA , BAD trianguli ABD summam conficient unius recti cb . Rectus autem est angulus FBA e . Ergo duo anguli DBA, BAD angulo FBA et quales erunt. Sublato idcirco communi angulo DBΑ, erit residuus MD reliquo FBD aequalis d . Est autem angulus B GD aequalis angulo BAD e ; cum ambo in eadem circuli portione consistant. Ergo angulus quoque BGD amulum OD aequabit f . Rursus cum duo anguli BCD, D quadrilateri BGm valeant duos rectos g , duobus D , FBD, qui itidem valent duos rectos h ), aequales erunt ci). Ostensum est autem, angulum FBD adiaualem esse angulo BGD. Ergo reliquus EBD reliquo BCD erit aequalis ch). Itaque si recta linea circulum tangat &c. quod erat
134쪽
Si diis recta linea ab eodem puncto ducta circatam tangant, σ pinvia contactus recta jungantur , anguli is pinctis con actus producti erunt aquales.
8 Ut si a puncto D ducantur duae rectae DE, DF ei eulum ABC tangentes in duobus punctis Α, C, ipsaque pumcta A, C jungantur recta AC, anguli DAC, DCΑ erunt adivales, quemadmodum etiam anguli EAC, FG . Etenim uterque angulus DAC, Din aequalis est angulo ABC in ab '- terna circuli portione constituto per Me theorema. Ergo ipsi guli DAC, DCΑ erunt inter se aequales μ Rursus eum rtam duo DAC, EM, quam duo DUA, FCΛ valeant duos irectos b , erunt duo DAC, EAC duobus DCA, FCA am quales cc . Sublatis ergo aequalibus DAC, DCA, reliquus C reliquo FCA aequalis erit d); adeoque & c OROLLARIUM II. Dua recta eis tum tangentes , se ab eodem puncto d. , cta fuerint, erutu inter se aquales. 8s Nimirum duae DA, DC ductae ab eodem puncto D, circulumque MC tangentes in punctis A, C, erunt inter se aequales. Etenim ducta per puncta contactus recta AC, an 'guli DAC, Dra erunt aequales e γ. Ergo latera quoque DA, DC trianguli DAC erunt inter se aequalia ac protinde M.
135쪽
Si is Ureulo punctum aliquod accinatur a centro circuli Disrsum, σ ab eo quamplures recta in per heriam duca utur , illa erit omnium maxima, qua per circuli rentrum transit: m,nima illius eomplementum . Aliarum vero proxi χων maxima remotiore major erit . Duaμπο dumtaxat inter se aquales ia illo puncto in peri eriam . αν
cadere mue t. In eirculo, ACGH punctuin F accipiatur diversum a ce tib. ,.tro E ipsius circuli. Ab illo autem ducantur ad periphetiam p. r. circuli quamplures rectae lineae EA, FB, FC, FG , quarum Ffi per centrum E ipsius circuli transeat, eaque directe pro ducatur in D.
86 Dico primo , rectam FΑ per circuli centrum E trans,
uatem , esse omnium aliarum maximam.
Iunctis punctis E, B radio G, cum duae EA, EB sint ae quales sa), utpote radii ejusdem circuli, addita commu- sit, ni EF, erunt duae BE, EF rectae AF aequales . Duae Tab.HI.autem BE, EF majores sunt recta BF c). Ergo recta quinque AF rectam BF superabit d). Eodem modo ostendam, rectam AF majorem esse recta CP , iisque omnibus, quae a puncto F in circuli peripheriam AGII cadere possunt. Est itaque recta in harum omnium maxima.
136쪽
II. 87 Dico secundo , complementum FD maximae PA esse
A centro E ad punctum G ducatur radius EG. Cum igitur duae EF, FG majores si sit reliqua EG a , sitque rectam rectae ED aequalis b . uitae EF, FG recta quoque ED majores erunt c . Sublata 'ropterea communi EF , erit reliqua FG major reliqua FD d). Id ipsum eodem modo de ceteris FC , FB demonstrabitur . Recta igitur FD est
III. 88 Dico tertio rectam F B proximiorem maximae F Amajorem esse remotiore FC. . - Demonstratio. Ducatur radius ΕC. Itaque cum duae EB, EC sint aequariles e & recta EF sit communis utrique triangulo BEF, CEF, duo triangula BG, CG habebunt duo latera duobus lateribus aequalia, alterum alteri. Est autem augulus BEFmajor angulo CEF f). Ergo basis quoque BF bala CF major erit g . Eadem ratione rectam major erit recta GF , atque ita de ceteris. IV. 89 Dico quarto, binas tantum rectas inter se aequales a puncto F in periph etiam cadere posse.
137쪽
Sumatur arcus DΗ aequalis arcui m, dg ducantur rectaem , EH . c.um ergo arcus GD, DH sint aequales, aequa les itidem erunt anguli DEH, GED a . AEqualia sunt autem etiam duo latera EG , ΕΗ triangulorum GEF, Fin M,& latus EF est utrique triangulo commune. Ergo bases quoque GF , FH aequales erunt te . Duae itaque aequales rectae cadere possunt a puncto F in peripheriam VH. Quod autem tantum duae, ex eo ostenditur, quod tertia linea esset vel proximior maximae FΑ, vel ab ea remotior, quam sint duae FG, FH, ut patet. Ergo esset major , vel minor ipsis FG, FH, ut ex g. 88. est manifestum. Duae igitur tantummodo inter se aequales a puncto F in periphetiam duci rueunt. Si ergo in circulo punctum M. quia erat osten
endum ac OROLLARIUM LPMaum in area eireali , a quo tres recta aequales in perin riam cadunt, est centrum ipsius circuli. so Ut si tres rectae EB, EC , EG suerint inter se aequa-xuella. ira, punctum E erit centrum circuli Α GH. Neque enimai . 3, a puncto , quod non sit cenφrum circuli, tres rectae inter te
aequales in illius peripheriam cadere possunt U .c OROLLA UM II. Si in elaeuis dua recta aequales sese matuo bifariam dividant, punctum sectioms erit centrum illisu circuli. pI Hoe enim ipso tres rectae inter se aequales ab illo pumcto in ipsius circuli peripheriam cadunt.
138쪽
Si extra cinatim phnctum aliquia fumatur, a quo is ipsum Greuakm plures recta ducantur, earam, qua in concamam ipsus ei eusiperi eriam eadunt, maxima est, quae per centrum transiit galiarum vero proximior maxima rex tiore major est. earum , qua in convexam cadunt peripheriam, minima
est illa, qua inter datum punctum, oe circuli diam trum directe daret; aliarum vero, quae est minima proximior remotiore minor est. Dua postremo dumtaxat inter se aequales is Mo p οia ipsum circulum cadere possunt.
Extra circulum ZDN sumatur punctum Α, a quo ipsum circulum quamplures rectae ducantur AD, ΑΚ, AZ, ub. s. ex quibus recta M per ipsius circuli centrum P transeat.
Dico primo, rectarum AD, ΑΖ, ΑΚ, mae in mae, Fig.ra. vam ipsius circuli peripheriam cadunt, maximam em res is in. AZ, quae per centrum P transit.
Ducatur ad punctum Κ radius P Κ . Duae itaquae P Κ, PZ erunt inter se inluales cast. Quamobrem addita utrique recta M, erunt duae Κ P, P Λ simul sumtae aequales rectae ΖΑ cb . Duae autem ΚΡ, PA majores sunt recta ΚΑ c . Ergo recta quoque ZA ipsuu ΚΑ superabit d) . Eodem modo demonstrabitur , rectam AZ majorem esse recta AD, iisque omnibus, quae in concavam ipfius circuli peripheriam cadere positat. Est ergo recta M omnium maxima. II.
139쪽
- Dico secundo , rectam AK proximiorein aximae AZ majorem esse remotiore AD.
Ducto radio PD, cum duae PΚ, PD sint aequales a , &recta in communis utrique triangulo ΚΡΑ, DΡΑ, duo ipsa triangula duo latera duobus lateribus aequὰia habebunt, alterum alteri. Estautem angulus ΚPA major angulo DPA b c Ergo basis quoque vi bale in major erit sc . III. Dico tertio, rectarum AC, AO, AX, quae cadunt ioconvexam peripheriam, minimam esse reiam AC, quae directe jacet inter datum punctum Α, & diametrum CZ.
Ducto radio PO, duae PO , OA maiores erunt recta PA R. Duae autem P Ο, PC sunt inter se aequales e) . Ergo illis sublatis, reliqua OA major erit reliqua CA 1 . Eodem mo- , do ostendam, rectani XA iuperare eandem CR . Est itaque recta CA omnium minima.
140쪽
est, duo latera ra , ΣΑ trianguli PQ majora esse duobus lateribus Po, ΟΛ trianguli NA a . Duo autem PX, Posunt aequalia b . Ergo illis sublatis, reliquum X A majeserit reliquo OA D .
ys Postremo dico , duas tantum inter se aequales a puxΛ in circulum ipsum XZN cadere posse. Demonstratio.
Sumatur arcus CN aequalis areui Co , & duratur radius PN , necnon recta NA . Quoniam igitur arcus CN, Cosunt aequales, aequales itidem erunt anguli NM,CΡοωθ. Sunt autem aequalia etiam latera m , PΝ eo, & latus PAest commune utrique triangulo APO, Am. Eigo basis quinque NA basi m aequalis erit D. Eodem modo ostendam; duas rectas inquales cadere posse ab eodem puncto A in eo. cavam ejusdem circuli peripheriam . Quod autem nonnisi duae hujusmodi rectae esse possint , patet ex iis , quae modo demonstravimus. Etenim altera recta cadens in convexam perlaberiam, vel esset proximior minimae CΑ, & ideo minor quim remotior , & ideo major illis. Similiter altera recta in concavam cadens periphetiam, vel esset proximior maximae AZ, quam illae sint, &ideo es.lat illis major ; vel esset ab ea remotior , & sic ab illis duabus deficeret. Itaque duae tantum inter se aequales caderetiossunt a puncto A in ipsum circulum XZN; ac proinde si eitra circulum M. quod erat ostendendum . . e
THEO REM A XXI. Radias eisculi sextam peripheria partem subtendit. 9 Recta FH in circulo DHM si aequalis radio m eiusta g