장음표시 사용
81쪽
c OROLLARIUM II. paralleia oblique ineidentes in plures rectas parasietis aqualia intervalla habentes , in partes ἀγχι
26 Ut si in rectas parallelas AB, CD, EF aequalia i tervalla habentes oblique incidant rectae parallela: AL, GM, I se ipsarum HA, HL, GΚ, ΚΜ , in quas ab illis divi- i' duntur, erunt inter se aequales. Quandoquidem pars A Haequalis est parti GK ca). Est autem GK aequalis partim b ). Ergo pars quoque ΑΗ partem ΚΜ mirabit o. Cumque pars HL partem ΑΗ adaequet d , partibus itidem GΚ, ΚΜ aequalis erit e); eruntque propterea Omnes AH, HL, GK, KM inter re aequalesi ac prolude M. S C H O L I O V . 17 In utroque corollaris positum est, lineas oblique in pae rallelas incidere. Quippe si incidentia suerit ad perpendi-
eulum, utrumque eorollariam patet ex sola Definitione XI. b-1as libri. Etenim si ponatur recta RT incidere ad perpendia τδῖ eulum in rectas AB, CD, EF, cum recta o nequeat uni illarum ad perpendiculum incumbere , quin ceteris quoque
perpendicularis existat D, ipsius partes sim QT erune
perpendicula, quibus ipsarum parallelarum intervalla dete minantur . Quamobrem ex Definit. laudata rimenta R O , QT erunt aequalia . Similiter si duae parallelae ΚΝ, RTU perpendiculum incidant, s enta perpendicularia ΚΜ , Rinerunt aequalia, sicuti etiam segmenta MN, QT . AEqualia autem sunt ὀuo R , QT, ut modo vidimus. Ergo utrumque - , ΜΝ utrique RQ, QT aequale erit, sivae quod Perinde est , quatuor partes m , MN, Ra, QT erunt inter se aequales. '
82쪽
Ome quadrilaterim balens duo opposita latera aqualia ivel oppositos angulas inter se quales , es paralleloyammum.
dis Quadrilatetum ACm habeat duo opposita latera AB, CD, sicuti etiam duo AC, BD inter se aequalia. Dico, hujuslaodi quadrilaterum esse parallelogramum I.
Cum latus ΑΒ sit ex hypqthes aequale lateri CD, latus 'AD sit commune utrique triangulo ADB , ADC, & basis BD unius basim AC alterius itidem ex hypothesi adaequet, a gulus BAD, angum ADC aequalis erit h. Sunt autem alterni Producti a recta , sive diagonali AD, incidente in rectas AB, CD , ut patet. Ergo duae ΑΒ , CD exunt parallelae bὶ . Sunt autem etiam aequales , jungunturque rectis AC, BD. Ergo etiam duae AC, BD Parallelae erunt μ , adeoque M. 19 In quadrilatero ABCD sint anguli ex adverso aequa Ies, angulus nimirum ABC angulum ADC, & angulus BAD angulum BCD adaequet. Dico, quadrilaterum ABCD esse parallelogrammum.
Quoniam ex hypothesi angulus ABC aequalis est angulo ADC, & angulus B AD angulo BCD, erunt duo BAD, ADC aequales duobus ABC , BCD , di duo BAD, ABC duobus
83쪽
duobus BCD, CDA, ut patet. Sunt autem matuor anguli ABC, ADC, BAD , BCD simul sumti aequales quatuor rectis sa) . Ergo tam duo BAD, ADC,' quam duo BAD, ABC duinus rectis aequales erunt. Quamobrem eum tam illi, quam isti sint interni ad easdem partes, duae rectae AB, DC, quemadmodum etiam duae rectae AD, BC , erunt inter se parallelae b . Igitur omne quadrilaterum &c. quod erat ostendendum.
Quadratum , altera parte longius, rhombus , o rM Mides sunt parallelogramma. 3o Hujusmodi namque figurae quadrilaterae habent opposita latera aequalia, quemadmodum etiam angulos, qui sunt ex adverso, aequales, ut ex earum desinit ibus constat o. Ergo &c.
Parallelogramma super eadem basi, ct m isdem rectis parallelis
e seiruta , sunt inter se a alia.
3r Super eadem basi CD , & in iisdem parallelis AF et
Euelid. CD constituta habeantur duo parallelogramma AC DB .F., ,. ECDF . Dico, ea esse inter se aequalia.
Cum enim duo latera AB , CD parallelogrammi AC aequalia sint inter se , quemadmodum etiam duo EF , CDτ.b.u. parallelogrammi ECDF , aequalia erunt inter se duo ΑΒ, e), utpote eidem CD aequalia. Quamobrem si utrique addatur segmentum BE, erit totum AE toti BF aequale ci .
84쪽
tst autem latus quoque AC lateri BD aequale a , &ang rhis DBE angulo C ΑΒ G, eum duo latera AC, BD ex hypothesi sint parallela. Igitur duo triangula ΑEC, BD Fhabent latera AE, BF, sicuti etiam AC, BD, aequalia, nec non angulos EAC, FBD, qui aequalibus lateribus continem tur, aequales. Ergo basis quoque CE basi DF adilualis erit, totumque triangulum AEC erit toti triangulo BDF aequale e . Sublato propterea communi triangulo BGE, trap. aium ΑCGB erit aequale trapezio EGDF d) . Quocirca, si utrique tra aio addatur triangulum CGD, parallelogram-mum Amu aequale erit parallelogrammo ECDF e . P, allelogramma ergo super eadem basi M. quod erat ostea dendum. c OROLLARIUM LTHausa super eadem basi , σ in iisdem rectis paradisi se constitata, sunt inter se aequalia. Triangula nimirum ΑEC, AFC super eadem basi AC, in iisdem rectis parallelis AC , EF constituta , sunt inter F. ,1 se inivalia. Erectis namque super basi AC parallelogrammis AEBC, Α C, haec erunt per hoc theorema inter se aequalia. Est autem triangulum Am medietas parallelogrammi Αει 'u-
Si parallelogrammum, ct triangulum eradem babuerint basim, oe in iisdem fuerint rectis parallelis constituta, erit parallelogrammum duplum trianguli.
33 Parallelogrammum scilicet ΑΕ BC duplum erit relan-Euelidi
85쪽
r;t , . guli AF C eandem habentis basim AC , in iisdemque te τε, ιι. parallelis EF , AC constituti. Etenim ducta diagonali EC , duo triangula ΑEC, AEC erunt adilualia ca). Est autem parallelogrammum AEBC duplum trianguli Am b . Esem duplum quoque erit trianguli MC c ; adeoque M.
Parallelogramma super aquales ines , ct in isdem rectis parallelis constituta, sunt inter se aequalia. Euhiid. 3 super adiluales bases BC, FG , & in iisdem rectis p lib. r. rallelis ΑΗ, BG constituta habeantur duo parallelogramm ' ABCD, EFGH. Dico, ea esse inter se aequalia.
Extrema rectarum BC , ΕΗ jungantur rectis EB , ΗC . Cum ergo recta EH aequalis sit rectae FG d), ipsa in rectae quoque BC, quam recta FG ex hypothesi adaequat, ε pse. μ. qualis erit se . Sunt autem duae BC, EH parallelae. Ergo τε u, parallelae quoque erunt duae BE, CH f), eritque proindet quadrilaterum GCH parallelogrammum c g . Est autem parallelogrammum ABCD , quemadmodum etiam paralla- Iogrammum EFGH, aequale parallelogranamo EBCH h Ergo duo parallelogramma ABCD, EFGH crunt inter se aequalia ci . Itaque parallelogramma &c. quod erat osten, dendum. COROLLARIUM LTriangula super aquales bases, ct in iisdem rectis parallelis Gnsti tuta , funt inter se aqualia. 3s Triangula nimirum BAC, Em super aequales bases , BCa
86쪽
BC, FG, & in iisdem rectis parallelis AH, BG constituta , sunt inter se aequalia . enim trian illum BAC medietas Parallelogrammi ABCD , & triangulum FEG medietas parallelogramuli EFGH a . Quamobrem cum, ut modo ostensum est , hujusmodi parallelograinma sint inter se 'qualia, ipsae quoque triangula BAC, FEG inter se aequalia
c OROLLARIUM II. vi parallelogrammιm , ct triangulum aequalem habuerint basim, oe fuerint inter easdem rectas parallelas confluata, erit parallelogrammum duplum trianguli.
36 Parallelogrammum scilicet ABCD duplum erit trianguli Fm habentis basim FG aequalem basi se , in iisdem que rectis parallelis AH, BG constituti. Ducta namque di DFig ε. gonali AC in parallelogrammo ABCD, parallelogrammum ABCD duplum erit trianguli BAC cc . Est autem triangulum FEG aequale triangulo BAC cd . Ergo parallelogram mum ABCD duplum quoque erit trianguli FEG e .
D Omai triangulo rectangulo quadratum M tenuis est aequale quadratis laterum simul sumtis. 37 Esto triangulum rectangulum BM. Super singula a Rueusitem ipsius latera AB, BC, in constituta habiantur quadrata. Dico, quadratum BDEC hypotenulae BC aequale esse quadratis BFGA, ACKH laterlim BA, AC simul sumtis.
Ab angulo recto BAC ipsius trianguli ducatur ad basim Fig. tr. DE quadrati BE recta M, quae sit parallela lateribus BD, Π Κ L CE
87쪽
CE ejusdem quadrati, junganturque puncta F, C recta FC,S puncta A, D recta AD ca). Quoniam igitur quadrilat ra GB, BE sunt quadrata, latera D, BA erunt aequalia, sicuti etiam latera BC, BD b ; duoque proinde triangula lFCB, Αm habebunt duo latera duobus lateribus aequalia , lalterum alteri. Habent autem & angulos FBC, MD, qui aequalibus lateribus continentur , aequales. Cum enim duo anguli FBA , CBD sint aequales , utpote rem c) , si utri que addatur angulus ABC , erie totus FBC toti ABD aequalis μὰ . Ergo triangulum FCB triangulo B AD aequale erit ce) . Rursus cum duo anguli G AB, B AC sint recti, duae rectae lineae G Α , AC erunt in directum positae s ) ; eritque propterea tota GC parallela rectae FB; cum GA sit ipsi FB parallela g . Sunt igitur quadratum GB, & triam gulum FCB super eadem ressi FB , & in iisdem rectis parallelis GC, D constituta. Quamobrem erit quadratum GA duplum trianguli F h . Eandem ob causam paralleloe grammum MLD duplum erit trianguli BAD; cum eademst utriusque basis BD, in iisdemque rectis parallelis M, BD sint constituta , Ergo, sicuti duo triangula Foe , BAD inrualia sunt inter se, parallelogrammum quoque BOLDquam rato FGAB inauale erit si . Eodem modo demonstrabitur parallelogrammum OLEC aequale quadrato AHKC . Ergo
totum quadratum B DEC inquale erit duobus quadratis
FBAG, ACΚH simul sumtis. In omni ergo trioagulo &α quod erat ostendendum. sc HOLION. l38 Hujus in rematis eximius per universam Mathesim usus est. Illius inventio Pythagorae accepta resertur , qui, ut alibi etiam ex Laertio notavimus, Musis victimas immolavit, quod in tam praeclaro invento ab illis se adjutum putaret. -
88쪽
Quadratura diagonalis euiuslibet quadrati est duplum quadrati singularam laterum ejusdem quadrati. 39 Dum nimirum in quadrato ADCB diagonali AC , erectisque super eam, necnon super latera AB, BC quadra F;..ia. tis AE, AF , CG , quadratum ΑΕ diagonalis AC duplum T .u. erit tum quadrati AF lateris ΑΒ , tum quadrati m lateris BC. Etenim cum angulus ABC sit rectus sa), triangulum C erit rectangulum b) ; ae proinde quadratum AE hy- tenulae AC aequale erit quadratis AF, CG laterum AB , BC simul unitis c . Duo autem quadrata ΑF , CG sunt inter se aequalia d . Ergo quadratum AE duplum erit tum quadrati AP, tum quadrati CG; adeoque des.
Omnis figura plana rectilinea resolvi potest in tot triangula plana restilinea, quot habet latera.
o Esto hexagonum ACE. Dico, ipsum resolvi posse in sex triangula plana rectilinea, quemada um sex sunt ipsius
Sumto in illius area quovis puncto G , ducantur ex illo ad apices angulorum Α, Β, C, D, E, F, quos hexaginnum ipsum continet, rectae GA, GB, GC, GD, GE, GF. Perspicuum est, tot hine lacta esse triangula, quot sunt ipsius hexagoni latera. Horum autem triangulorum areae umulsumtae aream dati hexagoni adaequant e in. Ergo divisum erit
89쪽
erit in tot triangula, quot sunt ipsius latera . Itaque omni figura &c. quod erat ostendendum.
Anguli interni euJusvis piagoni simul sumti m ieiunt summa tot rectoram , quot sunt ipsius latera bis sumta , demtis quatuor, i Esto polygonum sex laterum A B F . Dico , internos νῖe H. ipsius angulos , si simul sumantur, conficere summam octo v reiarum, tot nimirum, quot sunt ipsius latera bis sumta, demtis quatuor.
Sumto in illius area puncto G, ductisque ad apices angulorum ipsius hexagoni rectis GA, GB, GC, GD, GE, GF, divisum erit hexagonum in sex triangula , quorum anguli ad basim simul sumti aequales erunt ansulis ipsius hexagoni,s ipsi quoque simul sumantur; ae proinde anguli ipsius h
xagoni aequales erunt tot rectis, quot rectis aequales sunt anguli, qui ad basim illorum triangulorum reperiuntur so . Hujusmovi .autem anguli timui sumti summam conficiunt tot rectorum , quot sunt hexagoni latera bis sumta ,
demtis quatuor, videlicet octo rectorum . Quandoquidem cum tres anguli cujuslibet trianguli valeant duos rectos b ), lomnes anguli omnium triangulorum , in quae divisum est lhexagonum ACE simul sumti , ducisecim rectis adiluales erunt. inamobrem, cum, qui circa punctum G reperiuntur,
ansuli valeant quatuor rectos c , anguli, qui sunt ad
90쪽
c OROLLARIUM LOmnes anguli intem anius pes mi simul su-i, aequales sunt omnibus auulis internis 3imul itidem sumtis alterias pinum ejusdem generis. Anguli nimirum unius IKntagoni simul sumti aequales sunt angulis alterius pentagoni simul itidem sumtis . Utriusque enim anguli valent tot rectos, quot sunt iplarum late in duputa , demus quatuor. c OROLLO RIUM mri nummus angulorum rectorum , quos a quant omnes aua. μῆθνηi regularis simia sumti, dividatur per numerum laqterum ejusdem , quotus erit valor cujuslibet anguli ipsius pingarii. 43 Ut si numerus rectorum angulorum ἀ quibus inluses
sunt omnes anguli dati polygoni regularis , fuerit m m, numerus laterum ponatur m n. Fuerit autem - αρ, quo
ius p erit valor cujuslibet anguli ipsius polygoni. Cum enim summa omnium angulorum adaequet tot rectos, quot dem
gnat quantitas m, & omnes illi anguli sint inter se aequales aitotque sint anguli in quolibet polygono , quot in eo sunt latera , conse tum est , ut quili t illoram angulorum, fit aequalis summa: m per numerum laterum divisae, scilicet quotienti p.