장음표시 사용
141쪽
dem circuli. Dico, arcum FH, cui ipsa recta FH subrenditur, aequare sextam partem peripheriae Μ ipsius circuli.
Ducatur ad extremum F radius ΑF. Cum igitur tres re Biae AF, FH, ΗΑ sint aequales a , triangulum ΗΑF erit aequilaterum b , adeoque aequiangulum rc a ac proinde angulus FAH erit tertia pars duorum rectorum , sive sexta Pars quatuor rectorum ru . Est autem arcus FH ad totam peripheriam DΗΜ, ut. angulus FAH ad quatuor rectos ' . Ergo arcus FH erit sexta pars totius periphoriae DB M. Radius itaque circuli &c. quod erat Ostendendum. S c Η O L I O 93 Cum isitur quaevis circini apertura aequalis sit radio e culi ea descripti, manifestum est , quam recte circinus It ce si Iesto vocetur . Sextam quippe peripheriae partem sub tendit.
Si Da recta paralleis circulum tangant, σ per pinvia tacita recta ducasum , transbit illa per cenIrum ipsius circuli. 9 Duae rectae lineae v. MN circulum tangant BGD in punctis B, A, sintque rectae EF, MN inter se parallelae. τ ῶ.Per puncta autem contactus B, A ducatur recta B Α . DDco , rectam hujusinodi transire per centrum ipsius eirculi.
Cum enim per hypothesim rectae EF, ΜN sint parali lae , aequales erunt anguli alterni EBA, BAN D. Est au-
142쪽
tem angulus ΕΒΑ aequalis Magulo BD A posito in altern circuli portione LDAE, qtie. iadmoduia, etiam angulus BANangulo BG Α in alte. na itidem circuli portione EGA ex, stenti ab. Erg, duci itidem anguli BDA, BGA inter se
mutuo aequales erunt. Mamicitum est autem , duos angulos BDA, BGA valere duos rectos b a cum sine oppositi in quadrilatero BGAD circulo BGD lucripto. Ergo uterque BD A , BGA erat rectus; ac proinde circuli portiones BDA, BGΑ erunt semicirculi e . Determinantur autem a tecta BΑ. Ergo recta BA per centrum transit circuli BGD. Est enim jpsius circuli diameter . Itaque si duae rectae
S C Η O L I OIoo Ostensa rectitudine anguli B- , aliter demonstrari potest, rectam BA transire per centrum circuli BGD. Cum enim angulus VA qt aequalis angulo BDA, si angulus BDAest rectus, rectus quoque erit angulus EB Α . Duo autem anguli EBA , FBA valent duos rectos d ) . Ergo uterque erit rectus. Quamobrem recta BA ad perpendiculum incumbet tangenti EF c . atque ideo transibit per centrum ipsius
Si dua recta linia ex eodem puncto ducta circulum tangetu, σ per puncta confactus rem daearum, transbit illa extra centrum ipsius circuli.
Io I Extra circulum ABC sumatur punctum D, a quo in ipsum circulum ducantur duae rectae tangentes D Α, DC. Fit Per puncta autem contactus Α, C transeat recta AC. Dico, rectam hujusnodi cadere extra centrum ipsius circuli.
143쪽
. Cum enim duo ainguli D AC , DC A quales sint inter
se sinsque ambo simul sumti minores duobus rectis es, uterque erit acutus. Est autem angulus MD awlis angu lo ABC, qui fit in alterna portione MC e . Ergo angulus quoque ABC erit acutus; ac proinde Iortio ABC circuli ACB major erit semicirculo din . Determinatur autem a recta M. Ergo recta AC in ualiter circulum dividit ACB, ac proinde extra ipsius circuli centrum cadit, Itaque si duae rectae lineae &e. quod erat Ostendendum.
144쪽
MATHEMATICORUML I B E R VIII. .
De planorum sectione, & situ. DS pDηρη- secti e , σ situ nonnulla hic exhibe
mus, quae magis situ necessaria reputamus, ex lib. XI. Elementorum Euclidis praesertim destinta.
. DEFINITIO LI DLanam , sive pluma superficies ea est, φια suis ex aequox interjicitur extremis , stu quae hujusmodi, ut duo ipsius punω simul recta linea jungi nequeant, quin υνα in ipsa supreficie consistat . vide quae diximus' de lisaea recta ex Platone ta .
' et Illa iam linea dieitur plano ad perpendiculum incumbene, qua perinicularis est rectis omnibus , qua in ipso plano per iliad pulinum duci queunt. Sio recta FE perpendicularisserit Fimr plano ABCD, si perpendicularis fuerit rinis AC , BD, omnibusque aliis ductis in ipso plano per punctum E.
. DEFINITIO III. . .' a Recta ad planum melinata , seu silique plano insistens, essaea , qua c- naa rectarum in ipso plano per illud punctam, cui illa ἔ
145쪽
eat illa incumbit, traducta anulum acutum constituit. Ut si angulus GEH, quem recta GE emeit in pun E cum recta En, fuerit acutus, recta GE erit ad planum ABCD
Angulus inlinctionis lineae 'rectae ad planum est angulus ille acutus, quem recta ipsi plana inclinata cum altera in pi caelituit. Sic angulus: GEH est anulas incliti ui nis rectae GE ad planum ABCD
s c H O L I O V. ':s in determinetur angulus inclinationis lineae rectae ad planum , ducenda est recta perpendicularis ab uno sublimi ipsius rectae puncta ad ipsum planum , simulque recta linea jungenda sunt illa plani puncta, quibus hujuse Fig.34. modi rectae insistunt . Sic ducta e puncto G ad planum τμν φ MCD recta perpendicularis GH , iunctisque punctis E , H recta in , ita ut fiat triangulum GEH, angulus acutus Gin erit anulus inclinationis rectae lineae GE ad plunum ABCD.
c communis sectio duorum planorum est illa linea , quae WrAve piam es communis . Ut si planum EFGH secet ns num MDB , sitque linea FG utrique plano communis ,' haec erit communia sectici planorum Emis. AC .
Illud planum dicitur alteri ad perpendiculam incolere , quod ita tui missis , ut non magis in unam, quam in alteram iuias partem incliser . Ut si planum EI F. ita incumbat plano MDB, ut non magia inclinet in partem D, quam in par
146쪽
8 mnes recta ducta in N O , quod alteri ad perpendum. nam inranniae , edimmunique eorum sectioni perpendisulariter in-
si tes , perpendiculares sunt plano ,- eui illud infimo . Restienimirum vib , cd ductae in plano EI GF , & communi eorum sectioni GF perpendiculares , plano quoque ΑCDBlaut perpendiculares . Etenim si secus, planum E HGF plano A B ad perpendiculum minime incumberet. D E F I N I Τ I O VII. 9 Unum planum dieitur alteri silique insistens , eum ita illi Birumbit, ut magis in anam , quam in alteram illius partem inclinet . Sic planum FE GH dicitur oblique incumbenset.ζvi plano MCD , quia magis tendit in partem c , quam in Partem B ipsius plani ABCD. DEFINITIO UI.
ro A gulus inclinatinis plani ad planum est annalis, quem metunt recta , quarum una in tino, altera in altero plano rein peritur , ετ eommuni sectioni perpera aculWiter insiliarit. Sic m νἱι ,.. Iuliis inclinationis plani PEGH ad planum ABCD erit ana u. , gulus ab d , quem emciunt rectae ab , bd ductae in ipsis planis , communique eorum sectioni GF perpendiculares.c OROLLARIUM. II iamus cireudi , quo determinatur quantitas metuli ab d
147쪽
i3ε Elementorum DEFINITIO LIL' ,
Fle. tr. ' cantur parallela ,---it, abique lateret,Lm fe distant. Hujusniodi suist plana MCD, EFGH . Comtra vero illa non sunt parallela , quorum distantia a se mu--ο eadem ubique non est . Vide quae disimus de lineis rasielis , σ non parallelis.c O R O L L A R I U M. Plaηε parallela licet in infinitum directe predueantur , nunquam se mutuo steare possunt . Sectio namque fieri ne quit, nisi ad se mutuo continuo magis accedant, ac Prininde nisi eorum distantiae sint inaequales.
'' 'Ita eodem plani puncto una. υηtum recta ipse Nam permia 'cularis ad emdem partem excitari potest.
nuelia. In plano AICD sumatur punctum E , ex quo ex- lib. tr. citetur recta EF plano ABCD ad perpendiculum incumbens u. Dico , ex eodem puncto E ad eandem partem Falteram rectam excitari non posse, quae sit ipsi plano pedi . . pendiculari . t . , . Demonstratio.
Si fieri potest , si altera perpendicularis HI . Cum Ui-
,.. , xur utraque recta EF, EG deuat ad perpendiculum in-τ.ζ.m.eum ere Omnibus rectis , quae in ipso plano per punctum E duci possunt a , utraque EG, EF erit eidem re , nimirum EH, perpendicularis. Hoc autem manifeste re pugnat b . Ergo recta. EG non est elano ABCD pe pendicularis , & eadem ratione nulla alia , nisi recta EF EX
148쪽
Ex eodem itaque plani puncto Mi quod erat ostendem
Ex puncto extra planum fumio una tantum rem p pendisula. ris in ipsum sarium cadere potest. 11 Extra planum ABCD sumatur punctum G , ex quo Eaelid. in ipsum planum cadat recta perpendieularis GH . Dico, ex eodem puncto G cadere non μsse alteram rectam perpendieularem in ipsum planum.
Etendi , si id potest fieri, sit altera recta GE plano ABCD ad perpendiculum incumbens. Ducatur autem a puncto E ad punctum H in ipso plano recta EH. Cum er go utraque GH , GE insistat plano ABCD ad perpendie
lum, utraque perpendicularis erit eidem rectae in ast. Id autem contingere nequit b . Ergo recta GE non est plano ABCD perpendicularis. Ex eodem itaque puncto dic. quod erat ostendendum.
Raecta perpendicalaris munima est omnium rectarum, qua ex e dem puncto in ipsum planum cadere possunt. Is Ex puncto G sumto extra planum ABCD cadat in ipsum planum recta perpendicularis GH. Dico, hanc esse Ficr minimam omnium , quae a puncto G in ipsum planum ABCD cadere possunt.
149쪽
Ducatur in ipse plano per punctum H recta ab. Evidens est , rectam GH esse minimam omnium rectarum , quae a puncto G in ipsam a b duci queunt a ); cum recta GH sit ipsi ab perpendicularis b . Eadem ratione, ducta alia quacumque licea per punctum H in ipso plano, recta GH, utpote illi ad perpendiculum incumbens cc , erit omnium , quae in illam ex eodem puncto G catare possunt, minima . Recta igitur GH est minima omnium , quae a puncto G in
planum ABCD cadere queunt adeoque recta perpendicularis &c. quod erat ostendendum.
Si una recta linea quoad unam fui partem eum piso eoincidat , quoad omnes suas partes in eodem erit. II Pars aE rectae alicujus lineae coincidat cum plano Rempe in ipso plano reperiatur . Dico, hujuis i - ε, rectam quoad omnes suas partes in ipso plano reperiri , sive cum illo conincidere.
- . 'Quandoquidem, si fieri potest, una pars illius rectae lineae extra planum tendat, sitque pars EG . Certum est , extremum punctum E partis aE recto tramite moveri posse suo rFig i . planum ABCD, suoque recto fluxu lineam rectam describe- - Φu re Eb , unam eandemque rectam constituentem cum par te, sive segmento aE . Ergo, cum linea a EG posim sit recta , duae rectae a EG , a Eb habebunt commune segme tum aE . Id autem plane repugnat d ). Ergo una pars rectae lineae necuit eum Plano coinciaere , & altera in lu-blimi extra illud tendere , quod erat ostendendum. ΤΗ -
150쪽
DMe recta lineae parallela, quemadmodum etiam dua concurrantes in puncto , atque in illo sese mutuo secarites ,
18 sint duae rectae parallelae AB, CD. Dico, illas in eodem plano consistere.
Potest recta CD recto tramite moveri, & tendere in rectam ΑΒ, ut illi tandem congruat, quin earum paralleli Lmus turbetur. Atqui recta CD hujusmodi motu planam s perficiem describet 0 cum omnes lineae ab , ed, es, Ib M. ex hoc motu productae, in eademque superficie consistentes, sint rectae. Ergo rectae parallelae M , CD in eodem plano
II. Is Duae rectar lineae AE, CE simul concurrant in Pummita ct' E . Duae quoque AB, CD in illo sese mutuo dividant. Dico, tam duas AE, CE , quam duas AB, CD in eodem plano consistere.
Etenim potest recta AB eo tramite sic moveri circa punctum E , ut congruat rectae CD, & plana superficies hoc motu consurgat. Ergo tam duae reta AE, CE , quam duae ΑΒ , CD in eodem plano consistunt. Duae itaque rinctae M. quod erat ostendendum. S L UE