장음표시 사용
151쪽
Duae recta linea eidem plano ad perpendisviam laeumbentes, μην inter se patrallela. EuelIL 2o Plano ABCD ad perpendiculum incumbant duae r i h --FE, GH . Dico, rectas FE, GH esse inter se parallelas .
Dueatur in ipso plano a puncto E ad punctum H recta ,. ΕΗ . Cum igitur utraque FE , GH ad perpendiculum in-τ aikeumbat plano ABCD , utraque perpendicularis erit rectae Eri a , quae in ipso plano ducta est . Igitur rectus erit uterque angulus FEH, GHE b . Sunt autem duo hujusmodi anguli interni ad easdem partes , & ipsae rectae F E , GH in e m plano consistunt. Ergo duae F E , GH sunt inter se parallelae c . Duae itaque rectae lineae &c. quod
Si una duarum parallelarum fuerit plano perpendientinis . altera quoque eidem piam perpendi laris erit. Eu iid. a I Sint duae rectae parallelae FE , GH. Harum autem tib xx. una FE plano ABCD ad perpendiculum insistat. Diso, ab ' teram quoque GH eidem plano ABCD perpendicularem esse.
Moveatur recta GH super planum ABCD ea ratione, ut y l gilli semper insistat, eandemque ad illud inclinationem retia '' 'μ neat, pergatque versus rectam FE . Evidens est, conueruen'
152쪽
tibus simul punctis earum extremis Η, E , totam G Η toti FE congruere debere. Quandoquidem, si secus res contingeret , duae recta: FE, GH non essent parallelae, contra hypothesim , utpote in puncto concurrentes, sicuti duae FE , GE . Congruet ergo tota GH toti FE. Ergo sicuti recta FEperpendicularis est plano ABCD, ita recta G H eidem plano perpendicularis erit ρ ac proinde si una &c. quod erat
Si dua rectae in plano ducta sese in puncto secuerit, ex quo ere tur recta duabus illis perpendicularis , hac quoque ipsi plano ad perpenriculum incumbet. 11 In plano ABCD ducantur duae rectae AC, BD , quaeris ita. sese mutuo quomodocumque secent in puncto E . Ex hoc au- lib. i, tem sectionis puncto erigatur reo a FE, quae sit utrique AC, BD perpendicularis. Dico, rectam FE plano quoque ABCD, ad perpendiculum insistere.
Etenim potest recta AC se moveri super planum ABCDeirca punctum E , ut tota semper in illo sit, & rectae B Dplane congruat, quin recta FE unquam desinat ad perpen a Miculum rectae rotanti A C incumbere . Ergo recta EF perpendicularis est toti plano ABCD a , utpote ad perpem dieulum insistens omnibus rectis , ' quae in ipso plano per punctum E duci possunt. Igitur si duae rectae in plano Sc. . quod erat ostendendum.
153쪽
Elementorum T II E o R E M Λ IX.
Si in plano describatur eirculus , ex evus centra erigatur recta plamo perpendicularis , aquales erunt stmnes rectae,. qua in puncto in illa sumto in peripheriam ipsius circuli cadere possunt In planci ABCD describatur circulus GH , ex cumxcentro F erigatur recta FE ipsi plano ABCD perpendicul puncto autem E sumto in ipsa recta cadant in peri- pheriam descripti circuli quamplures rectae in , EG ω. D, ω , ho omnea esse inter se aequales
Cum enim recta EF sit ex hypothesi perpendicularis plano ABCD , perpendicularis. itidem erit utrique rectae FG , FH ca amitarem anguli EFG, EFH erunt recti b d adeoque inter se aequalex re γ. AEquales sunt autem etiam rectae FG, FH d , &ressi is est utrique triangulo EFG, EFΗ communis . tam basis quoque EG basi EH aequali erit ce). Igitur si in plana M. quod erat ostendendum
Si data plana se matuo steaerint, communis eorum sectis est recta linea ἀxuetui. --ABCD, EFGH se mutuo secent, eorum- lib. ii. que communis sectio sit ΚL . Dico , hujusinodi sectionem.
154쪽
Quod sectio hujusmodi sit linea ex eo patet, quod piana se mutuo secantia , longitudine dumtaxat, .& latitudine Sau- ..deant. Non sunt enim nisi superficies. Quod vero linearib sectionis KL sis recta.se ostenditur . Certum siquidem est , punctum K commune eta utrique plano ABD, FEH, quemadmodum etiam punctum L . Re siquidem lineae quibus ipsa plana terminantur , nonnisi in punctis K , L sese mutuo secare possunt. Certum est etiam, a quovis puncto ad quodvis punctum in utrMue plano sumis rectam ibneam duci posse ca . Igitur si linea KL non est recta, haec non impediet, quo minus in utroque plano duci possit recta a puncto X. ad punctum L, quae sunt utrique plano communia ; cum hujusmodi plana nihil Liud commune habeant , nisi lineam sectionis KL. Sit ergo in plano ABD linea recta ΚbL, & in plano FE H linea recta X. a L. Duae igitur recta: ΚbL, Κ a L spatium concludunt. Habent enim extrema communia Κ, L . Repugnat autem duas rectas spatium coneludere c b . Ergo neutra line tum Κb L , Κ a L est recta ; ac proinde duci neutiquam potest recta linea a puncto Κ ad punctum L, quin sit coinmunis utrique plano ABD, FEH - Nequit autem huiusmodi rem esse com ess utrique plano , nisi quatenus si communis illorum sectio, ut patet. Ergo stiuo K L planorum ABD , FE H est linea recta ; adeoque si duo Plana &α quod erat ostendendum.
155쪽
Dis plana , quibus eadem recta linea simul ad perpendum ιam insistit, sunt parallela. Mella. 2s Duobus planis ABCD , EFGH simul ad perpendiem lib. t. tum insistat eadem recta a f. Qico, plana ABCD , EFGH esse inter se paralella.
Per punctum a in plano ABCD ducatur recta bd, de per Iunctum s ducatur in plano EFGH recta eg; sintque duaed, eg in eodem plano. Non enim repugnat, ut idem planum transeat per puncta , f, & utrumque laeet planum . MCD, EFGH, eorumque sectiones sint rectar bd, eg ca . τ1.ῶ.Cum igitur recta fa ad perpendiculum insistat plano perpendicularis itidem erit rectae bd b ; rectusque idcirco erit angulus das H. Eandem ob causam rectus erit etiam angulus ala. Sunt autem duo anguli das, ala interni ad easdem partes, ut patet. Ergo duae rectae bd , eg erunt parallelae d . Eodem modo ostendam, parallelas itidem esse duas rems mn , h , omnesque alias , quae ab eodem plano per puncta a, s transeunte, duoque plana ABCD, EFGH secante, in ipsis planis desisnari possunt. Sunt autem omnes hujusinodi rectae parallelae in ipus planis ABCD, EFGH. Ergo hujusinodi itidem plana 1unt inter se parallela . Duo igitur plana 6α. quod erat ostendendum.
Si duo plana parallela eodem plano secta fuerint , eorum sectiones erant parallela. χ6 Duo plana ABCD, EFGH parallela sint inter se, eodemque
156쪽
demque plano secentur , sintque eorum sectiones duae rectae elid. bd, eg. Dico, rectas hujusmodi bd, eg esse inter se parab
Si namque duae bd, eg parallelae non sunt inter se ; si ad eandem partem directe producantur, sibi mutuo continuoglig. aecedent μ . Sunt autem hujusmodi rectae in planis ABCD, EFGH. Ergo si plana ipsa smul eum illis rectis in directum producta fuerint, proximiora sibi mutuo continuo fient; ae proinde non erunt inter se parallela b . Hoc autem est contra hypothesim. Ergo rectar bd, eg sunt parallelae. Ια-que si duo plana parallela &α quod erat ostendendam.
Si duo plana se invicem steraria eidem plano ad perpendicatam . in*terint , communis quoque eorum sectis eidem plana perpendicularis erit.. M . Duo plana se mutuo secantia ABCD, EFGH ad pedivivia. pendiculum incumbant plano MN, sique communis eorum tib it.
sectio recta M. Dico , rectam quoque KL plano M N ad y perpendiculum incumbere.
. Si namque recta X.L, quae communis est utrique plano ABCD, EFGH, utpote inmunis eorum si io, plano MN ad perpendiculum non incumbit, perpendicularis non eritv v rectae G L , neque rectae LC, secundum quas plana ipsa ABCD, EFGH planum MN secant. Neque enim potest tecta ΚL ad perpendiculum insistere rectis GL, L C, quin perpendicularis itidem sit ipsi plano ΜΝ e , in quo rectar GL, in reperiuntur. Certum est autem, posse expuncto L
157쪽
erigi in plano ABCD rectam , quae sit ejus basi LC perpem dicularis, sicuti alteram in plano EFGII ex e sem pon L, quae illius itidem basi GL perpendiculariter incumbat. Sint ergo hujusmodi rectae perpendiculares L n, L m. Igitur duae rectae Lm, L n educi possunt ex eodem puncto L , quae sint perpendiculares eidem plano M N . Non enim potest recta L n esse perpendicularis basi μ plani AdCD , & recta L ni perpendicu iter insistere basi G L plani EFGH, quiu utraque L n, Lm perpendicularis itidem sit plano ΜΝ a scum ex hiisthesi utrumque planum ABCD, EFGH plano MN ad perpendiculum incumbat. Repugnat autem , duas Lm, L n simul perpendiculares esse sano MN b .Ergo non alia recta educta ex puncto L erit plano MN saerpendis cularis, nisi communis sectio LX. . Igitur si duo plana se imuicem secantia M. quod erat ostendendum.
Si Da sma pararula fuerint, recta linaa uni eorum perpendicularis , alteri quoque perpendicularis erit.. 28 Sint duo plana inter se parallesa ABCD, EFGH .M. Uni autem eorum ABCD ac perperidiculum incumbat re-i:, as. Dico , rectam qs alteri quoque EFGH esse perpendicularem.
Per puncta af ducatur planum , eoque secentur duo ipsa plana MCD, - , ut ipsorum sectiones sint retamn, b K. Quoniam igitur duo plana ABCD , EFGH posita sunt parallela, sectiones quoque mit, erunt parali lae c) . Est autem recta af perpendicularis rectae mu d), cum posita sit ad perpendiculum plano ABCD incumbere . Ergo rectae quoque bΚ ipsa af perpendicularis erit ce .
158쪽
Eodem modo ostendam, ipsam af perpendiculariter insist re rectis omnibus , quae in plano EI GH per punctum s d ei possunt . Ergo redin af est plano EFG II perpendicul, ris Q. Itaque ii duo plaua M. quod erat Ostendendum.
Inclinatio duorum planorum est ubique eadem'.
19 Planum FEG insistat plano ABCD . Dico, eandem ubique esse inclinationem piani FEG ad planum MCD.
Comtuns, lilio illorum 'planorum sit recta EG , in qua laniti 'puom Ε.b , ducantur rectae ba, EF in plano FEG, EG perpendiculares& in plano ABCDalet
rectae bd , Ei respendicula s quoque eidem EG . Tum ' fiant rectae inter ae , sicuti etiam rectae bd , ducantur rectae a F , d D . inoniam igitur rectae FE, ab pessendiculares sunt eidem EG, anguli interni FEb, Eba erum recti b) , ac proinde parallelae ipsae rectae EF , Duae autem EF, ba pinsitae sunt aequales . Ergo duae quoque Eb , F a inter se aequales d) , di parallelae erunt te . Eodem modo Φstendam , duas quoque E b, D d aequales esse, & parallelas . Igitur duae Fa , Dd aequales sunt, & parallelae e dem Eb ; ac proinde inter se quoque sunt Quales , di parallelae s P. Quamobrem si earum extrema jungantur rectis FD, ad , hae similiter erunt aequales g . Const, tuta ergo habentur duo triangula FED , ab d , quorum latera sunt aequalia, alterum alteri , videlicet FE, ab ,& ED , bd , sicuti etiam bases aequales FD, ad . Igitur T 2 anguli
159쪽
anguli FED. abd sunt inter se aequales a . Ansuli autem FED , ab d ii sunt, ex quibus desumitur inclinatio plani FEG ad planum ABCD cb st . Ergo horum
planorum inclinatio est ubique eadem . Itaque inclinatio M. quod erat Ostendendum. lM I. r.
160쪽
De planorum similitudine , & ratione.
HActςnus ea planarum figurarum symptomata dea
monstravimus , quae illis Esitate , seu secundum se spectatis conveniunt: nunc ea consideranda sunt, quae illis competunt, quatenus illarum una ad aliam resertur , sive quatenus una similis alteri est, certamque ad illam rationem habet.
x V Igura rectilinea n dem generis duuntur similes , quae sunt T inter se mutuo aequiangula , o babent latera circa aquales angulos proportionalia . Sic duo triansula ABC, abe erunt
similia, si angulus ABC aequalis fuerit angulo a , angu la glus BCA angulo bea , de angulus CAB angulo eab; & insuper si fuerit latus AB ad latus BC, ut latus ab ad latus be, latus BC ad latus CA, ut latus be ad latus ea, & latus ad latus ΑΒ, ut latus ea ad latus ac OROLLARIUM L
. 2 Figura planae rectilinea e usidem generis inter se mutu u latera , σ aequiangulae sunt sibi mμtuo similis. Ut si duor trian- Ma., gula Abe, abe fuerint inter se mutuo aequilatera, & aequiangula, erunt sibi mutuo similia . Habent enim latera cire ' ' aequales angulos proportionalia. Quandoquidem si ponatur. Ab