장음표시 사용
171쪽
plicatio, ita fluxus lineae est quaedam veluti replicatio ip- .nus lineae in eodem spatio , cumque hine consurgat s Perficies, quemadmodum ex fluxu puncti nascitur linea, spectari potest superficies veluti aggregatum ex pluribus lineis sesuadum longitudinem simul unitis. OROLLARIUM. o Hinc elementa supersisterum sunt linea.
I oritur parallelogrammum quodcunque ex parallela elevatione reta lineae ejusdem quantitatis continuo pedi maneatis, ita tamen ut semper in eodem plano consistat. . Fic ε Sic parallelogrammum ABDC emergit ex tali motu re-π- i ctae AB in eodem plano , ut sibi semper sit parallela , ejusdemque perpetuo magnitudinis. Constat enim, rectas. AC, BD , quae fiunt si extremis punctis A , B rectae
feneratricis AB, parallelas esse inter se ; cum aequaliteroe ipso inter se mutuo ubique distent. Constat etiam , rectas quascunque ab , ed, ef, CD parallelas basi AB, sibique mutuo, esse inter se aequales μ) . Hanc porro rectae lineae parallelam elevationem in genesi parallelogram-. mi metitur ipsius parallelogrammi altitudo . Ut si recta CA fuerit altitudo parallelogrammi ΑΒ DC , hax erit mensura illius motus rectae generatricis Α Β , ex quo parallelogrammum ipsum consurgit. Sola enim altitudo CA potest esse talis motus mensura , utpote omnium rectarum, quae hujusmodi motum metiri possimi, minima *.c OROLLARIUM L 2 Elementa parallelogrammi sunt omnia inter se aequaliac Sunt enim rectae determinatae ex fluxu rectae generatricis quae in suo motu ejusdem semper quantitatis perseverat.
172쪽
c OROLLARIUM ILI 6 I43 Hinc omne parallelogrammum ex tot rectis lineis aqualitabas inter se , atque ipsius basi , mique mutuo parallelis tamdiponitur , quot sunt puncta in tutus altitudine . Nimirum pDrallelogrammum C D coniurgit ex tot rectis aequalibusί πtum inter se , tum illius basi ΑΒ , atque inter se para,' telis , quot punya in illius altitudine CΑ numerantur. In parallela siquidem elevatione rectae generatricis , sive basis AB, toties replicatur ipsa recta AB, quot sunt puncta in vilitudine CA , quae motum ipsius rectae metitur. cost OLLARIUM IRM Spoctari ideireo potest pαrallel rammum veluti factum ex ductu basis in altitudinem . Dum enim recta AB percurrit altitudinem CA , fitque parallelcgrammum C ABD, to arum. ties sumitur ipsa AB , quot sunt minima in altitudine CΑ . Sumere autem rectam ΑΒ , quot sunt minima in altitudine CA, perinde est omnino, ac rectam Ad perrectam multiplicare. Ergo M.
s si ergo basis parallelogrammi suerit m a , ejusque
altitudo α b, parallelogrammum optime designabitur per ab . Est enim ab factum ex ductu quantitatis a in quantitatem b.
a in oritur circulus ex completa rotatione rectae lineae in eodem plano semper existentis circa unum sui extremum penitus immobile . Ut si recta ΑΒ ita agatur in ν;.. orbem circa immobile punctum Α , ut in eodem plans s.ιν. X sem-
173쪽
semper existae ; atque illuc redeat, unde moveri coepit , fiet circulus DBC. Constat enim, hujus odi rectam ei culare vestigium motu suo relinquere. OROLLARIUM L4 Produeitur propterea rimulus a rotante ipsius radio circaeentrum immobile . Ex quo ad evidentiam evincitur , -πέ dem ei cudi radios esse inter se aequales. COROLLARIUM II. 48 Area eireuli componitur ex tot eurvis eircalaribus lineis sibi maris emeretricis , quot sunt puncta in illius radio , eemtro excapto . Ut si radius AB quatuor tantum contineae γ' g et puncta Α, a, b, B , area circuli erit composita ex tri-- bus curvis circularibus amn, bed, BQ . Quodlibet enim puncturi rotantis radii AB curvam circularem motu suo describit , quae omnes simul sumtae arcam ipsius cireuli explent.
49 Area quoque sectoris circuli ex De inextas ememtricis consurgit, γαν, centro excepto, in tutus radio piacta numerantur. vis r. Sic sector ABC compositus eri ex quatuor arcubus concen-T-- λ' tricis BC, da, er, ab; cum tot sine puncta radii AB , quae in illius genesi circa centrum A in gyrum aguntur. c OROLLARIUM IMso circuli radiorum P atque adest' etiam diametrorum , squatium sant aequales ; & vicissim aequales circuli babent radios , ac proinde etiam diametros , inter se aquales . Similiter circulus --JOris radii, adeoque etiam maseris diametri, major est a & vici Duru eirculus , qui major altero es , tum radium , tum diametrum majorem habet.
174쪽
I solidum componitur ex planis , vel curvis superficiebus, pro diversa nimirum ip1brum indole , sibi mutuo parallelis . initur enim solidum vel ex parallela elevatione plani, vel ex plano circa rectam immobilem rotante , ut suo loco explicabituri; ac proinde sicuti ex motu puncti fit linea , ex motu lineae sui tacies, ita ex motu superficiei solidum essicitur . Uerum de solidorum genesi plura suo loco dicemus. Id enim in praesens summis tantummodo labiis attigisse lassiciat. COROLLARIUM.11 Hine elementa soli rum simi superficies.
Ita magnitudines sunt aquales inter se , quarum elementa sunt numero , er quamlitase inter se aqualia.
13 Magnitudines namque illar, qaarum elementa sunt numero, & quantitate inter se aequalia , ita se habent, ut carum una , salva quantitate , alteri substitui possit.
Recta parallelae , qua rectam istidentem in partes aquales. dividunt , intervalla habent aqualia.
σε Dupliciter potest recta sinea in plures rectas parali las incidere, ad perpendiculum scilicet, & oblique. casus primus. Primo itaque recta RT ad perpendiculum incidat in eo X α ctas
175쪽
ctas parallelas AB , CD , EF , a quibus in partes aequalis γ'ν Q , πι dividatur, Dico, reia AB, CD, EP aequalia
stante namque hypothesi, partes RQ, in sunt perpendicula , quae distantiam determinant a se mutuo rectarum AB, CD, M. Hujusmodi autem partes RQ , QT sunt aequales inter se. Ergo illarum rectarum intervalla sunt
casus fecundus. Modo recta GΜ oblique incidat in rectas parallelas AB;Ya u. V EF, ejusque partes inter illas comprehensae, nimirum GK, ΚΜ, sint aequales . Dico , rectas AB, CD, EF aequa-ba a se mut9ς intervalla habere.
Ducantur ex punctis G, Κ perpendicula GH, KL. Cum igitur anguli alterni GΗΚ , ΗΚ L producti a recta HK in ipsa perpendicula incidente, sint recti b , ac proinde ab quales cc , perpendicula GH , KL erunt parallela d) . Recta autem GH in illa incidit. Ergo anguli HGK, LΚΜ erunt inluales e . Eadem ratione aequales erunt anguli Gm, KML ; cum rectae CD , EF positae sint parallelae . AEqualia autem sunt ex hypothesi latera GΚ, ΚΜ triangulorum GHK, KLM, quibus adituales anguli, alter alteri , adjacent. Ergo latera, sive perpendicula GH, sunt in qualia atque adeo rectae parallelae , c D, EF inte valla hahent aequalia fg ). Itaque rectae paMelae &c. quod erat ostendendum.
176쪽
si in triangulo plano rectillare dueatur recta basi parallela seeos utrumque trianguli latus , proportionaliter latera ipsa secalis :segmenta unius erunt in eadem proportione ad fermenta ab terius: utrumque latus eandem ad sua respectivesedimenta rationem habebit: segmenta laterum erunt, ut i a latera: basis erit D secantem, ut latus ad semetisum ut latus ad basim , ita erit segmentum ad rectam secantem.
In triangulo plano rectilineo ABC ducatur recta quae secans utrumque trianguli latus AB, AC, sit basi BC parallela.
ys Dico primo , rectam DE proportionaliter secare lat. μ' :ra AB, AC, videlicet esse ΑΕ ad EC, ut est AD ad DB. p.
Ponatur latus AB divisum in quitaue partes a uales, &quidem ea lege, ut tres ex illis partibus, videlicet Λa, ab , b D, sint in segmento AD, &duae De,c B in segmento . Per singula autem divisionis puncta , sicuti etiam per vertiacem A ipsius trianguli ducantur rectae Αυ, ad , be, cs, quae basi BC, adeoque etiam inter se sa), necnon rectae secanti DE sint parallelae ' . Quoniam igitur partes Aa, ab ,bD, De, e B positae sunt a uales, reta parallelae Αυ, ad M. aequalia intervalla habebunt se . iamobrem latus ΑC d, visum ab illis erit in quinque partes a uales Ad, de , e E. EL fC d), ex quibus tres erunt in segmento AE, &duae in segmento EC, quemadmodum tres ex totidem aequalibus in segmento AD, & duae in segmento DB reperi uotur . . Ergo
177쪽
s6 Dico secundo, segmenta unius lateris esse in eadem ratione ad segmenta asterius , esse nimirum DB ad EC, ut est AD ad ΑE.
IT Dico tertio , ut naque latus eandem ad sua respecti-Ve segmenta rationem habere, nimirum esse AC. AE
178쪽
Dico quinto, basim BC trianguli ABC esse ad rectam secantem DE, ut est latus AB ad segmentum AD, adeoque ii i etiam latus AC ad segmentum ΑΕ.
Posita namque divisione lateris AB , ut supra nimirum in quinque aequales partes , ex quibus tres sint in segmento AD , duae in segmento residuo DB, ducantur rectae ag, Ff , Da , cd , B p parallelae lateri AC , adeoque etiam im ter se d) . Divisa igitur erit basis BC in tod partes, in quot divisum est latus ΑΒ , atque hujusmodi partes , videlicet Bd , de , ef, H, IC aequales erunt inter se ' ; cum ob aequalitatem partium Aa, ab , b D , Dc , e B rectae parallelae AC, ag , bs, De , cd , Bρ aequalia intervalla n beant D. Divisa similiter erit recta secans DE in tot partes, in quot divisum est segmentum AD; cumque rectae DE , BC positae sint parallelae, partes secantis DE non tantum inter se , verum etiam partibus B d, de , es , fg, g C aequales erunt n. Basis igitur BC erit ad rectam secam. rem DE, ut est latus M ad rementum AD h ; ac proinde etiam ut latus AC ad segmentum A E i ; cum jam sit AC ad AE , ut AB ad AD 4 . Igitur M. VI. Dico sexto, segmentum AD lateris AB esse ad tectam secantam DE , ut est latus ΑΒ ad basim BC.
179쪽
ndoquidem eum ostensum fuerit, esse ΑΒ . AD , BC . DE a in , erit quoque alternando ΑD . DE m AB. BC b . Eodem modo demonstrabitur , esse ΑΕ . ED mAC . CB . Itaque si in triangulo plano &c. quod erat Ostendendum.
S c H o L I O6I operationes omnes, quae fiunt ope circini proportissis , ω sp. potissimum innituntur.
c OROLLARIUM. Si duo eiseuli intus sese toga i , ct a puncto contactus duae recta ducantur , quarum altera per centrum maseris tr stat , altera vero extra centrum cadat , sed minoris per eriam dmidat, erant diametri subtensis proportionales , atque insuper recta pro portionaliter sectae erunt a peripheria minoris circuli.
. 61 Duo nimirum circuli ABC , ADE intus sese tantant in puncto Α, a quo per centrum F majoris circuli ad illius peripheriam ducatur recta , si ve diameter AC , extra centrum vero recta AB secans minoris peripheriam in puncto D. Erit ΑC. AB ra AE. AD, necnon AE. EC m AD. m. 4 Liv.Cum enim recta AC per centrum G minoris circuli itidem transeat c , ductis rectis BC, DE, anguli ADE , ABCerunt recti, utpote in semicirculo consistentes d); adeoque aequales inter se o . Quamobrem duae rectae lineae DE, BC erunt sibi mutuo parallelae D . Igitur erit ΑC. AB AE.
180쪽
, O mi triangula plano rectiliseo recta secans proportionaliter o ipsius latera est uusdem basi parallela. 63 In triangulo plano rectilineo ABC recta DE propor-Euevd.tionaliter dividat duo ipsius latera AB, AC, ita nimirum ..ut sit AE ad m, ut est AD ad DB. Dico, rectam secantem esse parallelam basi BC.
Si numque recta DE parallela non est basi BC, ducatur per idem punctum D recta DP basi parallela . Igitur erit Fig ix AF. FC AD . DB a . Est autem per hypothesim AE. MAD. DB . Ergo erit quoque ΑΕ. FC AE. EC M,& eomponendo erit M. FC AC. EC c . Duae autem magnitudines PC , EC inaequales sunt inter se , nempe FC major, & EC minor d . Ergo eadem niagnitudo M eamdem ad inaequales magnitudines rationem habet. Id autem uiane cilium est te . Ergo recta DF non est basii BCs, tallela : Eodem modo ostendam, nullam aliam rectam diia
versam a DE duci posse per punctum D parallelam hasi BC . Igitur recta DE est basi B C parallela ; ac proinde
in omni triangulo Sc. quod erat Ostendendum. c OROLLARIUM. Recta seeos duo trianguli latera , ita ut eandem ambo ad suam Ierimentum rinonem habeant, est basi ipsius trianguli parallela.
ω Recta nimirum D E in triangulo ABC parallela erit n. , . basilai, si fuerit AB. AD - ΑC . M. Si namque sueritTις iv.