장음표시 사용
181쪽
In omni triangula plano rectilinea recta basi parallela akfert triangulum simile toti triauulo. 6s In triangulo plano rectilineo ABC ducatur recta DEFIg lx. a triangulum ADE simile esse toti Ta, .rv.triangulo ABC.
Cum enim recta DE sit parallela basi BC, angulus AD aequalis erit angulo ABC, &angulus ΑΕD angulo ACB d . Angulus autem BAC est communis utrique triangulo . Ergo duo triangula ABC, ADE sunt inter se mutuo aequian- gula se) . Habent autem etiam latera circa aequales angulas proportionalia ; eum ob parallelismum rectarum DE , BCώt - . DE M . BC , DE. EA αα BC . G, necnon EA . AD CA . AB g . Ergo duo triangula - ΑDE , ABC sunt similia ch ; rectaque proinde DE triam gulum ausori simile triangulo ABC. Itaque recta &c. quod
Triangula sibi mutuo aequiangula 'nt similia, habentque latera aqualibus angulis Imposita homologa. minio. Duo triangula plana rectilinea ABC, ab e sint sbi mutuo aequiangula , esto nimirum angulus GC aequalis a gulo
182쪽
gulo ab e , angulus BCΑ angulo bea, & angulus C AB
66 Dico primo, duo ipsa triangula ABC, abc esse si-Euel . milia.
. Quoniam angulus bae trianguli ab e et uasis est angulo trianguli MC , si unus alteri superponatur, sibi mutuo congruent sa), cadetque propterea latus ab saper latus M , & latus ae luper latus AC , & basis be secabit latera ΑΒ , AC, prout exhibet M. D. Anguli autem ABC. positi sunt aequales. Ergo recta be in triangulo ABC, basis nempe trianguli abe positi super triangulum ABC, parallela erit basi BC trianguli ABC b ).. Igitur triangulum ab csimile est triangulo ABC est. II. 6 Dico secundo , similium triangulorum ABC, ab c la aues; ιtera AB , ab , sicuti etiam bc , necnon ΑC, ac, quae ibid. aequalibus, ut patet, angulis opponuntur, esse homologa.
Quandoquidem cum ob similitudinem triangulorum ABC, ab e , habeatur A B. BC ab . be, 6c CA . AB ea . ab d , homologi erunt tam antecedentes termini AB, ab 'CA, ca , quam consequentes BC, bc f . Erm c. Itaque triangula occi quod erat ostendendum.
183쪽
c OROLLARIUM . . Si inter duas rectas paradisias dua recta se invicem demssent; earum segmenta erunt proportionalia. Ut si inter rectas parallelas ΑΒ , CD duae rectae ab ed se mutuo secuerint in puncto e , earum segmenta erunt Proportionalia , erit nempe ae . eb ce . ed. Cum enim Ficia. anguli ae e , deb sint aequales a , utpote ad verticem opinv h ὲν milli , sicuti etiam anguli eae , ebd , necnon anguli eca, edb , utpote alterni triangula ae e , deb erunt sibi mutuo aequiangula sc , adeoque similia d) . Ergo hubebunt latera circa aequales angulos proportionalia , nempe erit ae . ee eb . ed , adeoque ae . eb ποῦ ec . ed ce .
Duo triangula habentia unum angulum uni angula aequalem ἰσ Gera circa illum proportionalia, sunt similia. Euel id. 69 Angulus b trianguli sit aequalis angulo BACtrianguli ABC , sitque latus ab ad latus ae , ut est latus AB ad latus ΛC . Dico, duo ipsa triangula ABC , ab esse similia.
Posito triangulo abe super triangulum ABC , duo anguli bac, BAC, utpote aequales, sibi mutuo congruent f); atque adeo cadet latus ab super latus ΑΒ, & latus ac superlatus AC , secabitque basis be latera AB, AC , ut in R. 2P. Fit 1.. Cum igitur per hypothesim habeatur ab . ae α ΑΒ . ACYibui. in triangulo ABC , erit quoque ab . ΑΒ ae . AC cg) , ct invertendo erit ΑΒ. ab ποῦ AC . ae h . Ergo recta be
184쪽
parallela erit basi BC a); ac proinde erit triangulum ab e simile triangulo ABC b . Duo itaque triangula dic. quod
Si duo triangula habuerint larem sibi mutuo proportionalia; erunt sibi matuo quiangula.
o Duo triangula ABC , ab e habeant latera sibi mutuo proportionalia , esto nempe AB . ab . . be , BC. CA F. , m be . ea , C Α . ΑΒ ca. ab . Dico , duo triangula ABC , ab e esse inter se mutuo aequiangula.
Ad basim BC trianguli ABC sint duo anguli DBC, D ,
quorum DBC sit aequalis angulo ab e trianguli ab e , & angulus DCB angulo a eq. Quoniam igitur duo anguli abeaeb minores sunt duobus rectis c , duo quoque DBC ,i.f.iv DCB duobus rectis minores erunt d). Concurrent ergo rectae DB, CD in puncto D, si in directum producantur o, triangulum nempe constituent BDC . Posuimus autem angulum DBC aequalem angulo ab e , Se angulum DC B amgulo aeb . Ergo etiam reliquus BD C reliquo bae aequalis erit s . Sunt igitur duo triangula BDC, abe inter se m
tuo aequiangula c g ); adeoque similia h ) . Quamobrem erit DB . BC ab . be i) . Est autem per hypothesim ΑΒ . BC ab . be . Ergo erit etiam DB . BC AB . BC chὶ , ac proinde AB l) . Eodem modo ostendam , duo quoque AC, DC esse inter se inaualia . Duo autem triangula ABC , DBC habent commune latus BC . Ergo duo ipia triangula sunt inter se mutuo aequilatera m i
185쪽
atque adeo inter se mutuo iniuiangula a . ostensum podiro est , duo triangula DBC, ab e esse inter se mutuo Hub angula . Igitur aequiangula itidem inter se erunt duo ABC, ab e b . Itaque si duo triangula &c. quod erat ostenden
c OROLLARIUM. Triangula plana rectilinea, quorum Litera sint inter se proportionalia, sunt similia. i Sunt enim inter se mutuo aequiangula, omniaque triangula inter se mutuo aequiangula sunt similia ce .
In omni triangulo rectangulo recta perpendicularis ducta ab anguis recto ad basim , duo essest triangula toti, σ inter se similia. Fie. t ε. Ab angulo recto BAC trianguli rectanguli BAC ducatur ad basim BC recta perpendicularis AE. . Lprimo, utrumque triangulum AEB , AEC si-ν. .. mile esse tota triangulo ABC.
Cum enim ob hypothesim angulus ΑEC si rectus d adilualis erit angulo BAC e ). Angulus autem AC B communis est utrique triangulo ABC, AEC. Ergo reliquus quoque angulus E AC trianguli AEC 'qualis erit reliquo angulo ABC trianguli ABC f). Sunt igitur duo triangula ABC s
186쪽
ABC , AEC inter se mutuo aequiangula a . Ergo sunt similia b . Eodem modo ostendam, similia sibi mutuo esse etiam duo AM, ABC . Igitur &c. II. 3 Dieo secundo , duo triangula AEB, AEC esse sibi sis i a.
Duo triangula AM , AEC similia sunt eidem triangulo ABC ce) . Ergo inter se quoque sunt similia dὶ . In omni
igitur triangulo M. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM LSi in triangulo rectangulo ab angulo ipsius recto ad basim recta
perpendicularis ducatur , hac erit media proportionalis inter partes basis. Latus vero trianguli, quod es ad partem , erit media proportionalis inter totam basim ,σ ipsam partem. ' i
Nimirum si ab angulo recto BAC trianguli rectanguli ABC ad basim BC ducitur recta perpendicularis A E , hareerit media proportionalis inter partes BE, EC ipsius basis. I tus quoque AC erit media proportionalis inter totam ba hi sim BC , & segmentum EC , sicuti etiam latus B A inter totam BC , & segmentum BE . Cum enim duo triangula -AEC, ΑΕΒ sint similia se , sintque ipsorum anguli Ara, lib. .. AEC aequales i , utpote recti g , erunt latera circa il- Coroll. los proportionalia , erit nempe BE. ΕΛ EA . EC, sive BE . EA . EC h . Eandem ob causam, cum triangulum AEC sit simile triangulo ABC i) , & angulus ACB sit utrique communis, erit BC. CA . , si
187쪽
ve D BC. CA. CE. Eodem modo demonstrabitur, esse DBC. BA. BE. sc MOLION. 7s mc eorollarium potest aliter, & quidem evidentius ostendi. Assumatur enim in base BC segmentum BC aequale lateri AC, & in latere A C segmentum G C aequale ieς mento EC basis BC , rectaque ducatur GF . Quoniam ibi j biv tur latera CG, CE triangulorum AEC, FGC sunt et ualia, sicuti etiam latera ΛC , F C , & angulus ACF est commu nis utrique triangulo , basis FG aequalis erit basi A E ast , dumue ipsa triangula AEC, FGC erunt inter se mutuo quilatera b , atque adeo inter se aequiangula c) . Α gulus ergo FG C aequalis erit angulo AEC ; cum aequalia posita sint latera FC , AC . Est autem angulus Ata aequalis angulo BAC d , cum uterque sit rectus. Ergo angulus quoque FGC angulo BAC aequalis erit se); rectaque idcirco FG erit rectae ΑΒ parallela . Habebitur ergo SC .FC α M. GC g . Posuimus autem AC FC , & ECGC . Ergo erit BC. AC BC . EC ch . Eodem modo demonsti itur, esse BC. BA AB . BE, quemadmodum etiam BE . - EA . EC.c OROLLARIUM LRear quaecunque in semisisculo secans diametrum ad angulos rectos est media proportis lis inter partes ipsius diametri. 6 Ut si in semicirculo BAC ducatur recta AE secans diametrum BC ad angulos rectos in puncto E , recta EA erit media proportionalis inter partes BE , EC ipsius diametri BC. Etenim ductis ab extremo A ad extrema B , C rectis angulus B C erit rectus si , adeoque triangulum B. C rectangulum . Ergo erit Θ BE. EM. EC 0 UE
188쪽
Omnia latera bomologa duarum figuraram resillaearum simu eandem inter se rarinem habent. sint duae figurae rectilineae similes AB cDE, abcde, me. m. quarum latera homologa , ab ' BC , be' CD, ed DE , de EA, ea; & anguli adiluales λα , ab e B Dbed 2 cDE, ede 'I DEA, dea ' EAB, ea b. Dico, eandem esse rationeni omnium laterum homologorum, videlicet esse ora, ab οῦκ . bs . cd .de ea.
Cum enim figurae sint smiles, habebunt latera circa aequales angulos proportionalia a st , erit nempe AB. BC ab . be . Igitur alternando habebitur quoque - . ab- BC. H Eodem modo ostendam, esse BC. be CD. ed &e. Itaque omnia latera homologa M. quod erat ostendendum.
Atitudines triangularum similium , quorum bases sint latera forum times a , sunt directe inter se , in earundem bases. 78 Tres casus distinguendi sunt, ut theorema plenius ostendatur. Uel enim' altitudines cadunt intra crura triangintlorum , vel extra ipsa, vel cum uno illorum congruunt. Uus primus. sint igitur primo duo triangula similia ABC, abc, quo j. rum bases BC , bc sint latera ipsorum homologa , sintque si I, Propterea aHuales anguli ABC , abe' BCA, Dea' CAE, D I LE .ca b.
189쪽
e ab . Altitudinia autem sint rectae , ad. Dico, altit dinem AB trianguli ABC esse ad altitudinem ad trianguli abe, ut est ins BC ad basim be.
Quoniam anguli ABC , abe aequales sunt per hypoth sim, sicuti etiam anguli B , adb , utpote recti a in , etiam reliquus BAD trianguli BAD erit reliquouad trianguli li ad aequalis b . Duo igitur triangula BAD , bad suntiater se mutuo aequiangula co , adeoque similia din, habentque satera aequalibus angulis opponta , nimirum AD , ad ' BD , bd , homologa e ). Eadem autem est ratio omnium laterum homologorum figurarum rectilinearum similium f). Ergo erit . ad τα BD . bd. Eodem mindo demonstrabitur , esse AD . ad Dc . de . Sunt igitur BD . bd DC . de g s ac proinde BD-DC. bd -- de BD . bd , sive BC . be BD . bd M . ostensum estautam , esse MD . ad BD. bd . Ergo erit quoque ad τα BC. be si . casus secundus. sint modo duo triangvia similia AB e . ab e , quorum
Basibus in directum productis, cum duo angissi ACB . MCD aequales sint duobus aeb , aed ch) , utpote tam illi , quam isti ualos duobus rectis lὶ , ablatis a qualibus CB , ac b, erit reliquus Ac D reliquo aed aequalis c in in . AEquades sunt autem etiam duo ADC , ad e, utpote rin
190쪽
cti sa). Ergo duo quoque DAC, da e aequales erunt b ,
duoque propterea triangula MD, ac utpote assulangula, erunt sibi mutuo similia c), habebuntque latera aequalibus angulis opposita homologa d) ; ac proinde erit A D. ad ra DC. de mCA .ca e . Est autem eandem qu que ob causam BC. be AC. ae; cum hujusinodi latera sint homologa. Ergo erit BC. be Ga CD .ed f). Demonstravimus autem, esse AD. ad CD .cd. Ergo erit etiam AD. ad
Altitudines demum triangulorum similium ABC, abc ω',i , incidant cum lateribus eorumdem homologis AC, M. Dico, sim' altitudines ipsas AC, ae esse directe inter se , ut ipsorum .. . bases BC. bc.
Enimvero, cum per hypothesim tam bases BC , bc, quam altitudines Α C . ae triansulorum ABC, ab e sint latera ipsorum homologa , manifeste sequitur , esse ΑC . ae BC. be h . Altitudines itaque triangulorum &c. quod erat ostendendum. COROLLARIUM LAssitudines duorum parallelogrammorum simillim , quorum bases sint latera ipseram homo a , sunt directe inter se , ut eo adem bases. 79 Ut si duo parallelogramma similia ABCD, ab ed ita spectentur, ut bases BC, bc sint latera ipsorum homologa, P. a. eorum altitudines DE, de erunt directe inter se , ut eorum dem bases. Quandoquidem, ductis diagonalibus DB, db, Z L cum