장음표시 사용
201쪽
Tarallogramma aequalium bU- , sed viaequalium abitudiauem e I t directe inter se, ut ima initassinu. - diraequales bases BC, be,&sub inaequalibus altituarit., ,.-D 'stituta habeantur duo parallelogramma vaeis. ABVΡ , obcd. Dico, parallelogrammum ΑΒ CD esse ad parallelogrammum ab ed, ut est altitudo DD ad altitud,
Coincidit eum demonstratione theorematis praecedentis ii altitudines spectentur, ut bases, &bases, ut altitudines. COROLL AERIUM LTriangula aqualium basium , sed inaequatiam altitudinum sunt directe , ut altitudines. - aequalium basium BC, te , sed inaequalium altitudinum DD,dd sunt directe interet,EV. - , ut ipsae altitudines DD , dd. Ipsa namque triangula sunt, ut Parallel gramma ABCD, ab ed sa j. COROLLARIUM ILm pariae S innum, σ triangatum eandem baluerint basim . sed ausudo trianguti fuerit dapia altitudinis parallela- grammi, eru triangulum parauelogrammo aequale.
VI trianguli BDC suerit dupla alti-
YI - - μες d, aequalem basim be cumlplo triangulo habentis , erit triangulum BDC parallel
202쪽
grammo abed aequile . Hac enim stante hyphthesi, parablelogrammum ABCD eandem basim habens, atque altitudinem eum triangulo BDC, est in eadem ratione ad tria gulum BDC , & ad ipsum parallelogrammum ab ed , scit, cet dupla a ). Ergo triangulum B D C aequabit parallelo grammam abcd c by c OROLLARIUM m. . Parallelmina , secuti etiam trian a aquatiam basium, σ inaquarum altitudinum sunt respessive iure se
xv Sunt enim tam parallelogramma, quam triangula; ut altitudines.c o a D t L A R I E M κ
. - Mettitudines paruulogrammorum , triangulorum aquatis es babentium sunt directe inter se, ut ipsa plana respectraeis .
et Enimvero quemadmodum hujusmodi plana sunt Δ-σecte inter se, ut altitudines, ita vicissim altitudines erunt, ut ipsa plana respective , si eorum bases fuerint inter se a
Tarallativamma inaquilum basium , O altitudinum sunt, in rarisne remposita boum ,σ altitudinum.
Ios Super inaequales bases BC , be, & sub inaequalibus altitudinibus AD, ad constituta habeantur duo parallelo- . gramma BCM , bcef. mo, parallelogrammum BC EF, esse ad parallelograminum bees in ratione composita ex ra-T
203쪽
i2 2.tione basis BC ad basin , di ex ratione altitudinis AD
natur basis m, altitudo AD-x, basis be. - n,& altitudo ad . Erit ergo parallelogramnium BCEFmx , & parallelominimam bees 3 atque adeo BCEF . beef mx. nr tb . Est autem mx ad n in ratione eomposita ex ratione primae ni ad tertiam n, de ex ratione secundae x ad quartam c . Ergo parast rerummum quoque BC EF eris ad parallelogrammum bees in rartione composita ex ratione basis BC ad basim be, & ex ratione altitudinis AD ad altitudinem ad . Iraque parallelo, gramma &c. quod erat Ostendendum . . . .
Ducta recta MΡ parallela basi BC ad altitudin NDaltitudini ad parallelogrammi D mu em, ut proinde parallelogrammum P C sit ae vitiis altitudinis cum parallelogrammo se , ponatur basis ve ad basim BC, ut quantietas x ad quantitatem I, di altitudo ND, fixe ad , ad alti. Iudinem AD, ut quantitas I ad quantitatem cum parallelogramma se, ΜC habeant aquales altitudines, erit parallelogrammum se ad parallelogrammum M , ut basis vc ad batim BC d), sive ut quantitas x ad quantitatem , . Similiter cum parallelogramma MC, FC habeant eandem basim, erit parallelogrammum M C ad palaallelogrammum FC, ux altitudo ND ad altitudinem AD e , sive ut quam
litas I ad quiintitatem et . Ergo ex aqualitate rationis erit parallelogrammum D ad parallelogrammum FC, ut prima xtrium x, I, et ad tertiam α. f) . Est autem x ad n in ratione composita ex ratione primae x ad secundam ν . & ex ratione secundae o ad tertiam et, Parallelogra*
204쪽
mum quoque se erit ad parallelogrammum FC in ratione composita ex ratione basis be ad basim BC, di ex ratione altitudinis ad ad altitudinem AD. ' eo, o i L A UI U MI ' i , Triangula inaqWaliam basium, ct initis am sunt m rame ta sua basemm , re altitudinum . .' io6 Isidelicet tHangula BAC, inaequalium basium rit. α BC, be & altitudinum AD, ad sunt inter se in ratione fiἰ composita ex ratione basium BC, be, & ex ratione altitudinum AD, ad . Sunt enim, ut parallelogramma BC EF, bces.super easdem bases BC, be , & sub iisdem altitudin bus AD, ad constituta ca).
Si fueris' quatuor recta Enea geometrice proportionales, . rectangulum contentum sub extremis erit aquale rectauula 'contento sub mediis. ν. . 1 sint quatuor rectae lineae Α, B; C, D geometrice Proportionalesύ ςsto nimirum A. B C. D . Ex duabus autem extremis A ,D fiat rectangulum MXΚ , & ex modiis B, C rectangulum mm, ita 'nimirum ut sit intra, HL D, FHm C,&GH B. Dico, rectangulum XΚaequale este rectangulo EGm.
205쪽
Duo rectangula HLXΚ, EGI F ita iungantur in pumcto H, ut angulus P ΗΚ . sit rectus ; latus autem HK sit aequale rectae Α, latus HG rectae B , latus FH rectae C, delatus rectae D. Tum directe productis lateribus ERXΚ, donec uniantur in puncto Y, nat quadrilaterum FHΚΥ . Quoniam igitur duo anguli GH F, F ΗΚ per hypothesim sunt recti, duae rectae GH, ΗΚ erunt in directum positae a , quemadmodum eandem ob causun etiam rectae FH'. Η L. Cumque parallela sibi mutuo sint tam duo latera E GΗ, quam duo HL, KX, parallela quoque erunt tam duo FK ΗΚ, quam duo FH, YΚs atque adeo quadrilaterum FΗΚY erit parallelogrammum ' . Itaque cum parallalogramma ΗΥ, sint sub eadem altitudine, utpote inter easdem rectas parallelas EY, GK coinitura . parallelogrammum Η Y erit ad parallelogrammum HE, ut est basis ΗΚ ad basim I o, sive ut recta is ad rect in B , Eadem ratione paralleIogram mvm HV erit ad parallelograminum HX , ut basis FH ad basim H L, sye ut recta C ad rectam D. Est autem A. B C. D per hipothesim: Ergo parallelogrammum HY eam .dem habet rationem ad utrumque parallelogrammum HE, HX. Quamobrem duo parallelogrammam,m sunt imter se aequalia d). Si fuerint ergo qratuor re, lineae M. quod erat inendendum.
206쪽
e OROLLARIUM L. Si ex quatuor rectis lineis geometrice pro Nisnatibus fioe duo parallelogra=- , q--n alterum baseat primam usuram rectarem pro basi, σ quartam pro agri - is paturum pro bo barat secundam , σ tertiam pro altitudine, duo illa parauelogramma
ros si nimirum ex quatuor rectis A, B,C, D p ordor me.... nalibus, quae nimirum sic se habeant, ut sit A .B m C. fiant duo diarallelogramma --, FGNO ea quidem ge, ut haus in fit aequalis primae Α, & altitudo MN qua tae D, basis GN sit aequalis secundae B, & altitudo or te ita C, duo parallelietramma XΜ, FGNΟ erunt aequalia . Constitutis namque super easdem bases LX, GN, &sub iisdem altitudinibus , OP duobus rectangulis oracmNF, rectangulum YLm erit aequale parallelogrammo HLXΜ, ω re gulum mm parallelogrammo FGNO QEst autem rectangulum YLXX Quale retangulo EGNF M. Ergo parallelogrammum quoque HL Μ lelogrammo FGNo aequale erit te .
Iop AEqualia nimirum sunt duo parallelcgramma vi, FGNO, si fuerit basis LX ab basim , ut est altitudo OP a C ad altitudinem M. Patet ex praecedenti. B b x cOROL-
207쪽
'ν Triangula reciproeantia sibi mutuo bases, tudines sunt aqualia.
I IO Ut si basis BC trianguli BAC fuerit ad lusim be
Fie. r. b.ς , quemadmodum altitudo a e ad altitudi- a m t erunt aequalia. Sunt
Fig. a. nem AE , triangula B AC , b ae erui Tin kν enim inter se, ut parallelogramma DE
. Si. fuerint tres recta linaa tantinuo geometrice Npra λψις Si ' rectanguum contentum sub extremis est aquale quadrato media .
,..iu si fuerint tres rectae Α , B, C. continuo m ur'. metrice proportionales, reetangulum contentum sub extre- p. 37. mis Α , C erit aequale quadrato mediae B . Posita namqueri. 11. meta D , quae sit requalis secundae B, erit A. B α D. C; b. V. atque adeo rectangulum contentum sub extremis Α , C a, quale rectangulo contento sub mediis B , D c . Rectangulum autem contentum- sub mediis B, Tab est quadratum
II2 Hinc brevius ostenditur , in omni triangula rectavis. ι' quadrarum se tenusa aquare quadrata laterum simul sumta. D catur enim ab angulo recto B AC triansuli rectanguli B ACiati' BC recta perpendicularis AO. Erit AC media prin portionalis inter totam basim BC , & segmentum OC , &BΑ erit media proportionalis inter totam basim BC, &ων mentum m d . Igitur quadratum ACm erit aequale re I ctan-
208쪽
ctangulo OLEC eontento sub segmento OC, & recta CE ipsi BC aequali, & quadratum FBm erit aequale rectangulo BOLD , quod sub segmento BO, & iecta BD, sive BC, ein illa aequalis est , continetur a γ. Duo igitur quadrata Min FBAG simul sumtamiualia sunt rectangulis m, B D simul itidem sumtis. Gadratum autem B C hyia potenusae BC est aequale rectangulis OLEC, B D tbj. Eego duobus similiter quadratis A H, tam simul lum ps quadratum ADEC aequale erit o .c OROLLARIUM Mouadratam recta m semisseeuti perpendiculariser infidentis
. . dia-tro est aquale recta gula contento sab sernuntis ipsius diametri. .a . ,
; 'ii et Quadratum stilieri rectae ΑΕ insemicirculo BACν1. .. perpendiculariter insistentis diametro BC, adaequat rectans b.re. stulta contentum sub segmentiaBE, EC ipsim diametri M. Recta namque AE est media proportionalis inter segmenta BE , m ipsius diametri d . . l .
si datis quatuor rectis Meis, rectauarum contentum sub extremis aquais fuerit rectangulo tanterea sub mediis, quatuor illa i lima erant geometrice proportio s. ri4 Sint quatuor rectae Α, Β , C, D. Ex duabus ain Melis.
tem extremis A, D fiat rectangulum HLXΚ, & ex mediis B , C rectangulum BGHF , ita nimirum ut latus ΗΚ sit ' . aequale rectae A, latus rectae D. latus FH rectae C, & latus HG rectae B ..Rectangulum porru HLXΚ sit aequale' rectangulo EGM. Dico , rectas Λ , B , C , D esse νω metrice p portionales.
209쪽
Duo rectangula MXΚ, EGΗF ita jungantur in puncto H , ut angulum rectim F Η Κ in illo constituant. Tum lateribus EF . XΚ in directum productis, fiat qua-idrilateriun FHΚΥ , quod erat parallelosrammum ce) ὴ, .im duae HL, O, sicuti etiam duae G, GH sintrallelae f). omam igitur duo anguli GH F , FHKiunt recti, quemadmodum etiam duo F- , rast , inmduae rectae GH, ΗΚ, quam duae FH, HL erunt in directum positae g . Quamobrem duo parallelogrammamm, FH erunt ejussem altitudinis, utpote in iisdem parallelis constituta, sicuti eandem ob causam etiam
duo F-Y , - Κ ώ Paralles tamnum ergo PHRY erit ad parallelogrammum mm, ut est basis ΗΚ ad basim HG, & pa telogrammum F-Y erit ad parallelogram- Inum Η Κ, ut est basis FH ad iam HL h , sive: ratio basis HK ad .hasim HG eadem erit eum ratione Parallelogrammi vim ad parallelogrammum EGM , &ratio basis FH ad basim HL eadem cum ratione parali logrammi F- ad parallelog mum . Eadem autem est ratio parallelogrammi mo ad utrumque pM- rabelogrammum EGIM, i s eum duo paralle
210쪽
C. D. Iraque si datis &c. quod erat ostendendum. COROLLARIUM Lma gula Mariis habent latera recinue proportionalia. IIs Demonstravimus enim , in rectangulis inlualibus in, HLXX latus LX esse ad latus GH, ut ast latus
II s Ut si parallel rammum HLXM aequale fuerit parallel grammo FGNO. altitudo OP parallelogramnumNoerit ad altitudinem MN parallelogrammi -- , ut est hujus basis LX ad illius basm GN . Enimvero constitu- tis super easdem inses, & sub iisdem altitudinibus rectam egulis YL , EGNF, erit rectangulum YLxΚ Quale Parallelogrammo MXM, & resiangulum mNF palal ingrammo FGNO 6 b .. Duo autem Drallelogramma HLXM. FGNO posita iunt aequalia . Ergo duo quoquare gula YLu . EGNF inter se musia erunt c . Est autem latus m rectanguli EGNF ad latus r ctanguli YLXΚ, ut est latus LX ad latus GN c d ;suntque latera FN, Q qualiae altinidinibus GP, MN Parallelogrammorum FGNO. HLXM per hypothesim, &iatera LX, GN si - sunt eorundem bases. Ergo aequalia paralle